3b. Видим что полином степени  

Удовлетворяет этим условиям.

Ф-лу (3) называют ф-лой Лагранжа. Число арифметич. действий для вычисления по этой ф-ле пропорционально . Для оценки близости полинома  к ф-ии  предполагают что существует непрерывная производная  Тогда имеет место формула для погрешности:

2b. Максимальная степень интерполяционного многочлена  ; в этом случае говорят о глобальной интерполяции, поскольку один многочлен  используется для интерполяции функции f(x) на всем рассматриваемом интервале изменения аргумента. Интерполяционные многочлены могут строиться для разных частей рассматриваемого интервала изменения . В этом случае имеем кусочную интерполяцию. При интерполировании основным условием является прохождение графика интерполяционного многочлена через данные значения ф-ии в узлах интерполяции. Но иногда выполнение этого условия затруднительно и нецелесообразно.

Например, при большом количестве узлов интерполяции получается высокая степень многочлена (3) в случае глобальной интерполяции, т. е. когда нужно иметь один интерполяционный многочлен для всего интервала изменения аргумента. Кроме того, табличные данные могли быть получены путем измерений и содержать ошибки. Построение аппроксимирующего многочлена с условием обязательного прохождения его графика через эти экспериментальные точки означало бы тщательное повторение допущенных при измерениях ошибок. Выход из этого положения может быть найден выбором такого многочлена, график которого проходит близко от данных точек (штриховая линия на рис.).

{Понятие «близко» уточняется при рассмотрении разных видов приближения. Одним из таких видов является среднеквадратичное

приближение функций с помощью многочлена (1). При этом случай соответствует интерполяции. На практике стараются подобрать аппроксимирующий многочлен как можно меньшей степени (как правило,  1, 2, 3).

Мерой отклонения многочлена  от заданной функции f(x) на множестве точек () (i = 0, 1, … n) при среднеквадратичном приближении является величина  равная сумме квадратов разностей между значениями многочлена и функции в данных точках:

Для построения аппроксимирующего многочлена нужно подобрать коэффициенты  так, чтобы величина  была наименьшей. В этом состоит метод наименьших квадратов.}

1b. абсолютной погрешности к истинному значению этой величины. Часто выражается в %.

Ввиду того, что фактически вместо абсолютной погрешности приходится рассматривать предельную, относительную погрешность также заменяют предельной относительной погрешностью, которая означает число, не меньшее относительной погрешности. При отыскании предельной относительной погрешности приходится заменять неизвестное истинное значение величины x*  приближенным – x.

Эта замена обычно не отражается на величине отн. погр-ти ввиду близости этих значений и малости абсолютной погр-ти.δx =Δx /|x| Понятие близости

Множество X элементов произвольной природы называется метрическим пространством, если любой паре элементов поставлено в соответствие число , (метрика, или расстояние) в соответствии с аксиомами:

А1. тогда и только тогда, когда x=y.

А2. ; А3. – неравенство треугольника.

Говорят, что последовательность элементов метрического пространства X сходится к элементу , если .Последовательность элементов метрического пространства X называется фундаментальной, если

.

Метрическое пространство X называется полным, если любая фундаментальная последовательность его элементов сходится к некоторому элементу этого пространства.

Замечания.1,Не любое метрическое пространство является полным. 2,Сходимость большинства итерационных процессов удается доказать только в полном метрическом пространстве, следовательно, полнота играет важную роль в числовом анализе;

Множество X называется нормированным линейным пространством, если: -оно является линейным пространством, т.е. в нем определены операции сложения элементов и умножения элемента на число с известными свойствами; -любому элементу поставлено в соответствие число (норма x), удовлетворяющее аксиомам:

А1. , А2.

А3. – неравенство треугольника.

Замечание.

Любое нормированное линейное пространство X можно считать метрическим, введя метрику по формуле   (1)

Если последовательность нормированного пространства X сходится в смысле метрики (1), то говорят о сходимости по норме пространства X.

Мера Близости- функция,  по значению к-рой определяется степень "похожести", близости между объектами (или группами объектов) и между признаками (двумя или группами признаков).