Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
ArialArial BoldMTArial BoldMTArial Bold ItalicMTArialSymbolMTTimes New RomanPSMTTimes New RomanPSMTTimes New RomanPS ItalicMTTimes New RomanPS ItalicMTЛабораторная работа № 4
Вынужденные колебания линейного осциллятора
Методические рекомендации
Цели работы:
•
•
•
•
Изучить закономерности установившихся вынужденных колебаний линейного ме-
ханического осциллятора при синусоидальном возбуждении.
Исследовать резонансные зависимости амплитуды и фазы установившихся вынуж-
денных колебаний от частоты вынуждающей силы.
Исследовать превращения энергии при вынужденных колебаниях осциллятора.
Изучить переходные процессы установления вынужденных колебаний при резо-
нансе и вдали от резонанса.
При подготовке к лабораторной работе следует:
1. Повторить соответствующий теоретический материал (тема 4, см. ниже), поль-
зуясь конспектом лекций и рекомендованным Вам учебником физики.
2. Изучить Главу 4 «Вынужденные колебания линейного осциллятора» в учебном
пособии «Основы физики колебаний». Рекомендуется проделать на черновике
вывод всех формул, особенно тех, что в пособии приведены без вывода.
3. Подготовить письменно краткие ответы на предлагаемые Вам «Вопросы для
самоконтроля» (см. ниже).
4. Решить некоторые теоретические задачи из учебного пособия «Основы физики
колебаний» (по индивидуальному заданию преподавателя).
5. Познакомиться с «Требованиями к оформлению отчета» о выполненной работе.
Теоретический материал (тема 4)
Вынужденные колебания линейного осциллятора при синусоидальном внешнем
воздействии. Силовое и кинематическое возбуждение вынужденных колебаний. Механи-
ческая и электромагнитная модели вынужденных колебаний. Дифференциальное уравне-
ние вынужденных колебаний осциллятора. Частное решение неоднородного уравнения и
установившиеся вынужденные колебания. Резонансные кривые (амплитудно-частотная и
фазо-частотная характеристики). Резонанс смещения и скорости. Влияние трения на фор-
му резонансных кривых. Энергетические превращения при установившихся колебаниях.
Особенности энергетических превращений при кинематическом возбуждении.
Общее решение неоднородного уравнения и переходные процессы. Условие отсут-
ствия переходного процесса. Резонанс в отсутствие трения. Переходные процессы в усло-
виях резонанса и вдали от резонанса. Биения. Разложение переходного процесса на уста-
новившиеся вынужденные колебания и колебания на собственной частоте. Фазовые тра-
ектории переходных процессов и сечения Пуанкаре.
Вопросы для самоконтроля
1.
2.
Опишите физическую систему (торсионный пружинный осциллятор), которая моделируется в лабо-
раторной работе. Какими физическими параметрами характеризуется пружинный осциллятор? Ка-
ким образом реализуется синусоидальное внешнее воздействие на осциллятор?
Какие параметры характеризуют математическую модель осциллятора, используемую в лаборатор-
ной работе? Почему модель характеризуется меньшим числом параметров, чем моделируемая фи-
Лабораторная работа 4. Вынужденные колебания линейного осциллятора
2
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
19.
20.
21.
22.
23.
зическая система? Какими соотношениями параметры модели выражаются через параметры физи-
ческой системы? Какими параметрами характеризуется внешнее воздействие на осциллятор?
Какими переменными характеризуется механическое состояние осциллятора, совершающего выну-
жденные колебания?
Приведите вывод дифференциального уравнения вынужденных колебаний торсионного осциллято-
ра, моделируемого в лабораторной работе. Чем это уравнение отличается от уравнения, описываю-
щего собственные колебания такого осциллятора?
Как можно записать общее решение дифференциального уравнения вынужденных колебаний гар-
монического осциллятора? Чем определяются значения произвольных постоянных в общем реше-
нии уравнения? Какую физическую интерпретацию можно предложить для каждого из членов в
общем решении уравнения вынужденных колебаний?
Какой вид вынужденных колебаний осциллятора называют установившимися колебаниями? При
каких физических условиях можно реализовать на практике установившиеся колебания осциллято-
ра? Какой вид имеет фазовая траектория установившихся колебаний?
Какие физические параметры осциллятора и внешнего воздействия на него определяют частоту,
амплитуду и фазу установившихся вынужденных колебаний?
В чем заключается явление резонанса? При каких условиях наблюдается резонанс смещения и ре-
зонанс скорости?
Как фаза и амплитуда установившихся колебаний зависят от частоты внешнего воздействия на ос-
циллятор? Что называют фазо-частотной и амплитудно-частотной характеристиками осциллятора
(или резонансными кривыми)?
Какие физические параметры определяют высоту резонансного пика (максимум амплитуды устано-
вившихся колебаний) и ширину резонансной кривой?
С какой амплитудой и в какой фазе происходят установившиеся колебания ротора торсионного ос-
циллятора, если возбуждающий шатун совершает заданное очень медленное колебательное движе-
ние около некоторого среднего положения?
Какими фазовыми соотношениями характеризуются установившиеся колебания в условиях резо-
нанса? Что можно сказать о соотношении фаз колебаний вынуждающего шатуна и угловой скоро-
сти ротора при резонансе?
Какой физической величиной, характеризующей осциллятор, определяется отношение резонансной
амплитуды ротора к амплитуде возбуждающего шатуна?
В каких случаях для расчета амплитуды установившихся колебаний можно пользоваться частным
решением дифференциального уравнения, в котором не учитывается трение?
Какие превращения энергии происходят при установившихся вынужденных колебаниях осциллято-
ра? Рассмотрите случаи, когда частота внешнего воздействия ниже резонансной частоты, когда она
совпадает с резонансной частотой и когда она выше резонансной частоты.
Как зависит от частоты внешнего возбуждения отношение средних значений кинетической и потен-
циальной энергий осциллятора при установившихся вынужденных колебаниях? Сравните случаи
кинематического и прямого силового возбуждения вынужденных колебаний.
Дайте характеристику спектральной зависимости средней мощности, поглощаемой и рассеиваемой
осциллятором, совершающим установившиеся вынужденные колебания. Какую кривую называют
лоренцевским контуром?
Какими параметрами определяется в общем случае длительность процесса установления вынуж-
денных колебаний? При каких условиях установившиеся колебания будут происходить сразу после
включения внешнего воздействия, т.е. без переходного процесса?
По какому закону растет со временем амплитуда колебаний ротора в условиях точной настройки в
резонанс, если до включения внешнего воздействия ротор покоился в положении равновесия?
Может ли амплитуда колебаний осциллятора убывать во время переходного процесса в условиях
точной настройки в резонанс?
Объясните физические причины возникновения переходных биений, возникающих, когда частота
возбуждения близка к собственной частоте. Рассмотрите процесс биений с точки зрения направле-
ния передачи энергии в зависимости от фазовых соотношений между колебаниями ротора и движе-
нием возбуждающего шатуна. Как можно объяснить возникновение биений на спектральном языке,
рассматривая переходный процесс как суперпозицию установившихся колебаний и затухающих
собственных колебаний?
Что такое сечения Пуанкаре? Объясните наблюдаемое при моделировании поведение сечений Пу-
анкаре на фазовой траектории в процессе установления вынужденных колебаний.
Какие процессы в колебательном контуре, состоящем из конденсатора, катушки индуктивности и
резистора, аналогичны вынужденным колебаниям массивного ротора на упругой пружине в меха-
ническом осцилляторе? Что является аналогом резистора в механическом осцилляторе?
Лабораторная работа 4. Вынужденные колебания линейного осциллятора
3
Задания и порядок выполнения лабораторной работы
Начните работу с раздела «Основы теории», в котором приведены краткие сведения об изучаемой
физической системе, о соответствующей ей математической модели и о режимах ее поведения при
разных значениях параметров.
• Просмотрите последовательно все страницы этого раздела, запуская каждый раз (кнопкой
«Пуск») моделирование соответствующих движений осциллятора.
• Особое внимание обратите на фазовые соотношения между движением возбуждающего шатуна
и колебаниями ротора при установившихся колебаниях и в переходных процессах.
2. Изучите установившиеся вынужденные колебания осциллятора при разных значениях частоты
внешнего воздействия. Чтобы в процессе моделирования не нужно было дожидаться установления
колебаний, т.е. чтобы сразу (с самого начала моделирования) наблюдались установившиеся колеба-
ния, нужно в панели «Условия моделирования» выбрать опцию «Установившиеся колебания». При
этом программа автоматически выберет такие начальные условия, при которых переходный процесс
отсутствует (игнорируя начальные условия, введенные Вами в панели «Ввод данных»).
• Выберите раздел «Графики колебаний» и откройте панель ввода параметров (либо нажатием
кнопки «Ввод», либо выбрав пункт меню «Ввод данных»). Введите частоту внешнего воздейст-
вия, примерно вдвое меньшую частоты (частота внешнего воздействия задается в единицах соб-
ственной частоты осциллятора). Закройте панель ввода, нажав кнопку «Ok».
• Начните моделирование, нажав кнопку «Пуск». Регулятором «Моделирование» установите
временной масштаб, удобный для наблюдения». Обратите внимание на вид графиков угла от-
клонения ротора и возбуждающего шатуна. Какой математической функции соответствует каж-
дый из графиков? В каком соотношении находятся фазы колебаний на этих графиках? Несколь-
ко раз приостановите моделирование кнопкой «Пауза» в разных фазах колебаний и сопоставьте
наблюдаемые положения ротора и возбуждающего шатуна с соответствующими точками гра-
фиков. Повторите эксперимент при другом значении добротности.
• Перейдите в раздел «Превращения энергии». При моделировании колебаний обратите внимание
на соотношение графиков потенциальной, кинетической и полной энергий. На протяжении не-
которой части периода энергия передается от шатуна к осциллятору, а затем обратно от осцил-
лятора к возбуждающему шатуну. Объясните наблюдаемое направление передачи энергии, со-
поставляя графики превращений энергии с расположенными ниже графиками движения шатуна
и ротора.
• Повторите описанные выше эксперименты и ответьте на поставленные вопросы при частоте
внешнего воздействия, превышающей собственную частоту.
• Внимательно изучите наблюдаемые графики колебаний и превращений энергии при возбуж-
дающей частоте, близкой к собственной частоте осциллятора, и в условиях точной настройки в
резонанс.
3. Изучите переходные процессы установления вынужденных колебаний. Для того, чтобы программа
отображала переходный процесс при начальных условиях, введенных Вами в панели «Ввод дан-
ных», нужно в панели «Условия моделирования» выбрать опцию «Переходный процесс».
• Начните изучение переходных процессов со случая резонансной раскачки осциллятора из со-
стояния покоя в положении равновесия (т.е. при нулевых начальных условиях). Сначала ис-
пользуйте раздел программы «Графики колебаний». Обратите внимание на то, что угловая ско-
рость ротора (нижний график) изменяется в фазе с движением возбуждающего шатуна, что соз-
дает оптимальные условия для передачи энергии осциллятору. На начальном этапе раскачки
амплитуда растет почти по линейному закону. Постепенно монотонный рост амплитуды ротора
замедляется, и в конце концов она асимптотически приближается к значению, соответствую-
щему установившимся колебаниям. Это значение в Q раз больше амплитуды шатуна (Q – доб-
ротность осциллятора).
• С помощью панели «Условия моделирования» выберите опцию «Разложение переходного про-
цесса» и повторите моделирование сначала. Познакомьтесь с представлением процесса раскач-
ки в виде суперпозиции экспоненциально затухающих колебаний на собственной частоте и ус-
тановившихся вынужденных колебаний. По графикам ясно видно, что в данном случае эти ко-
лебания происходят в противофазе и на начальном этапе гасят друг друга.
• Убедитесь, что при точной настройке в резонанс в отсутствие трения амплитуда колебаний ли-
нейного осциллятора растет неограниченно. Как нужно задать начальные условия для того,
чтобы при настройке в резонанс вначале происходило уменьшение амплитуды?
• Познакомьтесь с процессами установления колебаний в окрестности резонанса. Постарайтесь
понять физическую причину возникновения переходных биений, наблюдая за движением самой
системы и сопоставляя это движение с графиками движения ротора и возбуждающего шатуна.
1.
Лабораторная работа 4. Вынужденные колебания линейного осциллятора
4
Почему рост амплитуды через некоторое время сменяется ее убыванием, которое в свою оче-
редь снова сменяется ростом? Как объяснить переходные биения на спектральном языке (пред-
ставляя переходный процесс в виде суперпозиции вынужденных и собственных затухающих
колебаний)?
• Изучите процессы установления колебаний вдали от резонанса. Объясните наблюдаемую фор-
му фазовой траектории в случаях простого кратного отношения собственной и вынуждающей
частот. Как ведет себя в процессе установления колебаний последовательность сечений Пуан-
каре? Как можно объяснить такое поведение?
4. Проверьте в моделирующем эксперименте Ваши теоретические решения тех задач из учебного по-
собия, которые были предложены Вам преподавателем в качестве индивидуального задания.
• Введите необходимые значения параметров и выполните соответствующие эксперименты. За-
рисуйте (или распечатайте на принтере) графики и фазовые диаграммы для включения в отчет.
• Сопоставьте результаты экспериментов с Вашими теоретическими предсказаниями. Если обна-
руживаются расхождения результатов расчета с экспериментом, обязательно попытайтесь уста-
новить причину расхождений. Результаты экспериментальной проверки Ваших решений вклю-
чите в отчет о лабораторной работе.
После выполнения всех заданий подготовьте отчет о проделанной лабораторной работе,
руководствуясь «Требованиями к оформлению отчета».
Требования к оформлению отчета
Отчет о проделанной лабораторной работе должен содержать следующие разделы:
1.
2.
3.
Титульный лист с указанием названия и номера лабораторной работы, фамилии и имени студента,
номера учебной группы, даты выполнения работы и даты представления отчета.
Цель лабораторной работы с определением изучаемого физического явления и краткое описание
моделируемой физической системы и ее математической модели.
Теоретический раздел с кратким изложением основных характеристик изучаемого явления, его мес-
та в классификации колебаний по разным признакам, и описанием математической модели физиче-
ской системы, используемой для его изучения. В этом разделе должны быть приведены все основ-
ные формулы (связь параметров физической системы и ее математической модели, дифференци-
альное уравнение, описывающее систему, его общее решение, частные решения для наиболее важ-
ных и интересных случаев, уравнение фазовой траектории, выражения для разных видов энергии и
их средних значений и т.п.). В этом разделе следует обязательно привести вывод тех формул, кото-
рые в учебном пособии приведены без вывода.
Ответы на вопросы для самоконтроля, которые сформулированы в «Методических рекомендациях»
к данной лабораторной работе. Рекомендуется проиллюстрировать Ваши ответы соответствующими
графиками или иными результатами моделирования (для тех вопросов, где это целесообразно).
Теоретическое решение задач из учебного пособия, предложенных Вам преподавателем в качестве
индивидуального задания, и результаты самостоятельной проверки Ваших решений с помощью мо-
делирующего эксперимента. В этом разделе нужно привести таблицы соответствующих измерений
с обработкой результатов (для заданий, где такие измерения необходимы), графики и/или фазовые
траектории (зарисовав их с экрана или распечатав на принтере, если есть такая возможность).
4.
5.