Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
Определение. Матрицей называется прямоугольная таблица чисел, которые называются элементами матрицы.
Если матрица имеет строк и столбцов, то будем говорить, что матрица имеет размеры .
Матрицы обозначают заглавными латинскими буквами . Элементы матрицы обозначаются соответствующими строчными буквами с двумя индексами, указывающие номер строки и номер столбца в которых находится элемент матрицы. Так элемент матрицы находится в -й строке и -ом столбце.
Таким образом, матрица размера имеет вид
.
Определение. Матрица называется квадратной, если число строк равно числу столбцов: . В этом случае число называют порядком квадратной матрицы.
Определение. Матрицы называются равными, если они имеют одинаковое количество строк и столбцов и на одинаковых местах стоят равные элементы.
Определение. Матрицей строкой называется матрица, имеющая одну строку. Матрицей столбцом называется матрица, имеющая один столбец. Матрица, все элементы которой равны нулю, называется нулевой.
Определение. Элементы квадратной матрицы, у которых номера строк и столбцов совпадают, называются диагональными элементами.
Для квадратной матрицы порядка диагональными элементами будут , ,…,.
Определение. Все диагональные элементы квадратной матрицы образуют главную диагональ матрицы. Диагональной называют такую квадратную матрицу, у которой вне главной диагонали стоят только нули. Единичной называется такая диагональная матрица, у которой все диагональные элементы равны 1. Единичную матрицу обозначают буквой .
Пример. - диагональная матрица 3-го порядка, - единичная матрица 2-го порядка.
Произведение матрицы на число.
Определение. При произведении матрицы на число все элементы матрицы умножаются на данное число.
Сумма и разность матриц.
Складывать и вычитать можно только матрицы одинакового размера.
Определение. Суммой или разностью двух матриц одинакового размера называют третью матрицу, полученную путем сложения или вычитания соответствующих элементов данных матриц.
Произведение матриц.
Умножение двух матриц определено, если число столбцов первой матрицы равно числу строк второй матрицы.
Определение. Произведением матрицы размера на матрицу размера называется матрица размера такая, что каждый элемент матрицы равен сумме произведений элементов -ой строки матрицы на соответствующие элементы -го столбца матрицы :
=
Произведение матрицы на матрицу обозначается , то есть .
Пример. Пусть , . Тогда
.
Задача. Доказать что для любой матрицы порядка и единичных матриц порядков и соответственно имеют место равенства
.
Транспонирование матриц.
Матрица , которая получается из матрицы заменой в ней местами строк и столбцов называется транспонированной относительно матрицы .
Пример. Пусть . Тогда .
Каждой квадратной матрице порядка ставится в соответствие число , которое называется определителем матрицы порядка .
Определение. Определителем первого порядка квадратной матрицы первого порядка называется само число : . Определителем второго порядка матрицы называется число . Определителем третьего порядка матрицы = называется число
.
Для вычисления определителей порядка большего трех вводят понятие алгебраического дополнения для элемента .
Определение. Алгебраическим дополнением элемента квадратной матрицы -го порядка называется произведение числа на определитель -го порядка, получающийся вычеркиванием в матрице строки и столбца в которых расположен элемент (-ой строки и -го столбца).
Пример. Вычислим алгебраические дополнения элементов и матрицы . По определению ;
Определение. Определителем матрицы -го порядка называется сумма произведений элементов первой строки матрицы на их алгебраические дополнения: .
Квадратная матрица называется неособенной (невырожденной), если ее определитель не равен нулю, и особенной (вырожденной), если ее определитель равен нулю.
Замечание. Из определения следует, что при определитель -го порядка сводится к вычислению определителей -го порядка, которые в свою очередь последовательно сводятся к определителям 3-го порядка.
Теорема (Лапласа). Определитель матрицы -го порядка равен сумме произведений элементов любой строки (столбца) на их алгебраические дополнения:
.
Задача. Доказать, что определитель единичной матрицы любого порядка равен 1.
Задача. Доказать, что определитель диагональной матрицы равен произведению чисел на главной диагонали.
Для квадратной матрицы
(1)
составим матрицу из алгебраических дополнений матрицы :
.
Определение. Матрица (транспонированная матрица ) называется присоединенной для квадратной матрицы .
Теорема. Определитель произведения двух квадратных матриц равен произведению определителей, то есть, если , то .
Определение. Обратной для квадратной матрицы называется такая матрица , что , где есть единичная матрица.
Теорема. Для квадратной матрицы существует обратная матрица тогда и только тогда, когда ее определитель . При этом, где есть присоединенная матрица для матрицы .
Пример. Найти матрицу обратную для матрицы .
Решение. Найдем определитель =. Поэтому обратная матрица существует. Для вычисления присоединенной матрицы, найдем алгебраические дополнения , , . Присоединенная матрица равна . Поэтому
=.
Проверка: =, ,
.
При умножении квадратной матрицы размера на матрицу-столбец, имеющую строк, получается так же матрица столбец.
Определение. Число называется собственным значением квадратной матрицы порядка , если существует ненулевая матрица-столбец , имеющая строк, такая что
. (1)
Матрица столбец с такими свойствами называется собственным вектором матрицы .
Уравнение (1) равносильно соотношению
, (2)
в котором есть единичная матрица, а 0 справа в (2) обозначает нулевую матрицу.
Пусть есть собственное число матрицы . Тогда если система (2) имеет ненулевое решение относительно , то
. (3)
Действительно если то существует обратная матрица и (2) имеет единственное нулевое решение. Таким образом, доказана следующая теорема.
Теорема. Собственные значения матрицы удовлетворяют уравнению (3).
Определение. Уравнение (3) называется характеристическим.
Если раскрыть определитель , то получим многочлен степени относительно (-порядок матрицы ). Следовательно (3) есть алгебраическое уравнение -ой степени относительно . Если есть какой-нибудь корень уравнения (3) то соответствующий ему собственный вектор может быть найден как ненулевое решение системы (2), например, с помощью метода Гаусса.
Пример. Найти собственные значения и собственные векторы матрицы
.
Решение. Вычислим определитель
.
Характеристическое уравнение (3) примет вид =0. Его корнями будут числа . Обозначим . При система (2) примет вид ; , . Таким образом, система имеет бесконечное число решений вида , , . Положим . Тогда есть собственное значение матрицы , а соответствующие собственные векторы имеют вид где . Аналогично доказываются, что есть второе собственное значение матрицы и соответствующие ему собственные векторы имеют вид , где .
Рассмотрим систему из линейных уравнений с неизвестными.
(1)
Здесь , есть известные числа, которые называются соответственно коэффициентами при неизвестных и свободными членами.
Систему (1) можно записать компактнее. Для этого рассмотрим матрицы
, , .
Используя эти обозначения, систему (1) можно записать так
. (2)
Определение. Уравнение (2) называется матричной формой записи системы (1). Матрицу называют матрицей системы (1), матрицы , называют столбцами неизвестных и свободных членов соответственно.
Кроме матрицы удобно рассматривать матрицу , которая называется расширенной матрицей системы (1).
Определение. Система (1) называется совместной, если она имеет решение В противном случае система называется несовместной. Система (1) называется определенной, если она имеет единственное решение. Система (1) называется неопределенной, если решений бесконечно много.
Определение. Если , то система (1) называется однородной. В противном случае - неоднородной.
Заметим, что однородная система (1) всегда совместна, поскольку числа являются ее решениями.
Определение. Равносильными или эквивалентными называются системы, имеющие одно и то же множество решений.
Метод Крамера решения системы линейных уравнений
Пусть в системе (1) , то есть число уравнений равно числу неизвестных.
Обозначим определитель матрицы системы (1). Пусть есть определитель матрицы, полученной из матрицы заменой го столбца столбцом свободных членов .
Теорема (Крамера). Если в системе (1) и определитель то система (1) имеет единственное решение .
Пример. Решить систему:
(3)
Найдем , , ,
Тогда , , .
Пусть в системе (1) также .
Теорема. Если определитель матрицы системы (1) не равен 0, то есть , то система (1) имеет единственное решение . Здесь - матрицы столбцы неизвестных и свободных членов соответственно.
Доказательство. Так как , то существует обратная матрица . Умножим равенство (2) слева на матрицу : , , , . Теорема доказана.
Задача. Доказать что для любой матрицы порядка и единичных матриц порядков и соответственно имеют место равенства .
Пример. Решим систему (3) матричным методом. Для этой системы выпишем матрицы
, , .
По формуле найдем обратную матрицу .
Из теоремы следует . Следовательно .
Матричным методом и методом Крамера можно решать только такие системы, в которых число уравнений равно числу неизвестных и определитель матрицы системы не равен 0. В этом пункте будет рассмотрен метод, с помощью которого решается произвольная система.
Суть метода Гаусса состоит в том, что с помощью специальных преобразований система (1) заменяется на равносильную систему, матрица которой является ступенчатой.
Определение. Матрица называется ступенчатой или треугольной, если ее нулевые строки лежат ниже всех ненулевых строк, и если первый не равный нулю элемент ее любой ненулевой строки, начиная со второй, расположен правее первого не равного нулю элемента предыдущей строки.
Пример. Ступенчатыми являются следующие матрицы
, , , .
Систему, матрица которой является ступенчатой, также будем называть ступенчатой или треугольной.
Систему уравнений (1) будем приводить к ступенчатому виду с помощью элементарных преобразований 1 и 2-го типа.
Определение. Элементарным преобразованием 1-го типа называется преобразование, состоящее в том, что в системе (1) меняются местами два уравнения. Элементарным преобразованием 2-го типа называется такое преобразование системы (1), при котором все уравнения системы (1), кроме некоторого -го уравнения , не меняются а вместо -го уравнения записывается уравнение , где , .
Заметим, что элементарное преобразование 2-го типа состоит в том, что к -му уравнению прибавляется -е уравнение, умноженное на число .
Теорема. Две системы линейных уравнений равносильны, если одна получается из другой путем применения конечной последовательности элементарных преобразований 1-го и 2-го типов.
Опишем метод Гаусса приведения системы (1) к ступенчатому виду
Пусть в системе (1) коэффициент при в первом уравнении . Если это не так, то этого можно добиться перестановкой уравнений, то есть с помощью элементарного преобразования 1-го типа. Для этого нужно выбрать в системе (1) уравнение в котором коэффициент при не равен 0 и поменять его местами с первым уравнением.
Прибавим ко второму уравнению первое, умноженное на , к третьему уравнению прибавим первое, умноженное на и так далее, к последнему уравнению прибавим первое, умноженное на . Легко видеть, что в результате этих элементарных преобразований 2-го типа во всех уравнениях, начиная со второго, коэффициенты при станут, равными нулю. Для упрощения записи будем обозначать коэффициенты и свободные члены, полученной системы (эквивалентной системе(1)) также , , как и системы (1).
Пусть есть наименьший номер такой, что в уравнении, начиная со 2-го, имеется ненулевой коэффициент при неизвестной . Также как и выше, путем перестановки уравнений можно добиться того, чтобы .
Прибавим к третьему уравнению второе, умноженное на и так далее. К последнему уравнению прибавим второе уравнение, умноженное на .
В результате данных элементарных преобразований 2-го типа во всех уравнениях начиная с 3-го коэффициенты при станут равными нулю и первые три уравнения системы примут ступенчатый вид.
Проделав аналогичные выкладки далее, всю систему приведем к ступенчатому виду. Коэффициенты полученной системы обозначим так же , как и у системы (1). Если в системе образовались строки или столбцы, состоящие из одних нулей, то мы их отбросим.
Далее возможны три случая.
Первый случай. Последнее уравнение системы имеет вид , где , . Данное равенство неверно. Поэтому система решений не имеет.
Второй случай. Число уравнений в полученной системе равно числу неизвестных. В этом случае матрица системы является квадратной, на главной диагонали которой стоят ненулевые элементы, а под главной диагональю стоят нули. Данная система легко решается, начиная с последнего уравнения. Очевидно, что полученное решение единственное.
Третий случай. Число уравнений в последней системе меньше числа неизвестных .
Пусть есть первый слева ненулевой коэффициент в -ой строке матрицы последней системы. Здесь .
Определение. Неизвестные называются базисными. Остальные неизвестные называются свободными.
В третьем случае ступенчатая система решается следующим образом. Перенесем, все свободные неизвестные с их коэффициентами в правые части уравнений системы.
Решим полученную систему относительно базисных неизвестных так же, как во втором случае. Таким образом, решения исходной системы получаются следующим образом. Свободные неизвестные принимают произвольные действительные значения независимо друг от друга, а базисные выражены через свободные.
Как видим, в третьем случае система (1) имеет бесконечное число решений. Нами доказана следующая теорема.
Теорема. Система уравнений (1) либо несовместна (случай 1), либо имеет единственное решение (случай 2), либо имеет бесконечное множество решений.
Пример 1. Решить систему:
Решение. В соответствии с методом Гаусса обнулим коэффициенты при во втором и третьем уравнениях. Для этого вычтем из второго уравнения первое, а к третьему уравнению прибавим первое, умноженное на число :
Обнулим коэффициент при в третьем уравнении. Для этого прибавим к третьему уравнению второе, умноженное на :
Данная система имеет ступенчатый вид и легко решается. Из последнего уравнения найдем и подставим его во второе уравнение: . Подставим , в первое уравнение . Ответ: .
Замечание. При решении конкретных систем часто удобно использовать элементарное преобразование 3-го типа, состоящее в умножении какого-нибудь уравнения на число . Очевидно, что после этого преобразования получается равносильная система.
Пример 2. Решить систему:
Решение. Поменяем местами первое и второе уравнения
Прибавим ко второму уравнению первое, умноженное на 2, а к третьему уравнению прибавим первое, умноженное на 3:
Данная система примет ступенчатый вид, если поменять местами второе и третье уравнения. Система несовместна, поскольку второе равенство неверно.
Ответ: решений нет.
Пример 3. Решить систему.
Решение. Для сокращения записи все преобразования метода Гаусса будем записывать в расширенной матрице. Составим расширенную матрицу систему и приведем ее к ступенчатому виду методом Гаусса:
Этой расширенной матрице соответствует система
Данная система соответствует третьему случаю, когда число уравнений меньше числа неизвестных. В соответствие с определением свободными будут являться неизвестные . Перенесем в первом и втором уравнениях свободные переменные в правую часть:
Выражая из этой системы последовательно получим ответ.
Ответ: .
Таким образом, система в примере 3 имеет бесконечное число решений, то есть эта система является неопределенной.
Будем предполагать, что из школьного курса математики нам известны такие понятия, как прямая, плоскость и пространство.
Определение. Вектором называется направленный
отрезок, на котором заданы начало и конец.
Вектор обозначают либо одной строчной буквой
со стрелкой наверху , либо двумя заглавными буквами, обозначающими начало и конец вектора, и стрелкой наверху (, …). Длиной вектора называется длина отрезка . Длина вектора обозначается .
Определение. Вектор, имеющий нулевую длину, обозначается и называется нулевым. Нулевой вектор не имеет длины и направления.
Определение. Ненулевые векторы и называются коллинеарными, или параллельными и пишут , если эти векторы лежат на одной прямой или на параллельных прямых. Считается, что нулевой вектор коллинеарен любому вектору.
Определение. Ненулевые векторы и называют сонаправленными и пишут , если они коллинеарны и имеют одинаковые направления.
Определение. Ненулевые векторы и называют равными и пишут
=, если 1) , 2) и .
Определение. Ненулевые векторы и называют противоположными и пишут (или ), если 1) , 2) , 3) и имеют противоположное направление.
Определение. Три вектора называют компланарными, если они параллельны одной плоскости.
Произведение вектора на число.
Определение. Произведением ненулевого вектора на действительное число называется вектор, длина которого равна , а направление совпадает с направлением вектора , если , и противоположно ему, если . Для любого вектора и действительного числа по определению считаем, что .
Пример. Если
Сумма векторов.
Определение. Суммой двух векторов и называют вектор (и пишут ), который находят по следующему правилу: сохраняя первоначальное направление, начало вектора совмещают с концом вектора . Тогда начало вектора совпадает с началом вектора , а конец вектора совпадает с концом вектора (см. рис. 1). Данное правило называется правилом треугольника.
Упражнение. Доказать, что сумма векторов и может быть найдена по правилу параллелограмма: сохраняя первоначальное направление, начало вектора совмещаем с началом вектора . Тогда вектор , равный сумме векторов и , имеет начало в точке совмещения векторов и , а конец совпадает с противоположной вершиной параллелограмма, построенного на векторах и (см. рис. 2).
Упражнение. Доказать, что операция сложения векторов обладает свойствами коммутативности: и ассоциативности: ().
Разность векторов.
Операция вычитания векторов определяется как обратная к операции сложения.
Определение. Разностью векторов и называют третий вектор (и пишут ) такой, что .
Упражнение. Доказать, что
Теорема 1. Вектор коллинеарен ненулевому вектору () тогда и только тогда, когда существует действительное число такое, что
. (1)
Доказательство.
Достаточность очевидна. Если , то согласно определений коллинеарности и умножения вектора на число.
Необходимость. Если , то положим . Тогда . Пусть . Если и векторы , сонаправлены, то положим . Тогда (1) выполняется поскольку . Если и векторы , имеют противоположные направления, то положим . Тогда (1) выполнено, поскольку векторы и сонаправлены и . Теорема доказана.
Угол между векторами.
Отложим векторы , из общей точки: . По определению углом между векторами и называется угол между прямыми и , лежащий в промежутке . Если , то , если векторы , коллинеарны и направлены в противоположные стороны, то Если , то векторы и называют перпендикулярными, или ортогональными и пишут .
Система координат на плоскости и в пространстве.
Пусть есть прямоугольная система координат на плоскости. Обозначим такие векторы, что и , Векторы называются базисными или координатными векторами.
Рассмотрим в плоскости вектор (см. рис.). Пусть есть угол между положительными направлениями оси и векторам , отсчитанным против часовой стрелки. Обозначим . Тогда очевидно, и . Аналогично, обозначим , где угол между положительным направлением оси и вектором . Тогда и . Следовательно, . Это соотношение символически записывают следующим образом: , или . Таким образом, запись означает, что . Числа называются координатами вектора .
Пусть есть прямоугольная система координат в пространстве. Обозначим через вектор единичной длины, сонаправленный с осью и пусть векторы и числа определены также, как и выше. Векторы называются базисными или координатными векторами в пространстве. Обозначим через угол между положительным направлением оси и вектором и пусть .
Упражнение. Доказать, что .
Последнюю формулу записывают так: , или .
Теорема 2. Если то и для любого действительного числа имеет место равенство .
Таким образом, при сложении и вычитании векторов, соответствующие их координаты складываются или вычитаются, при умножении вектора на число все координаты вектора умножаются на это число.
Координаты точки.
Если в пространстве имеется прямоугольная система координат , то для любой точки пространства координатами точки называют координаты вектора . Таким образом, если , то говорят, что точка имеет координаты и записывают или . Числа называют соответственно абсциссой, ординатой и аппликатой точки Аналогично определяют координаты точки на координатной плоскости . Если , то или
Теорема 3. Если то .
Доказательство.
. (см. рис.). Теорема доказана.
Следствие. Если и , то
.
Теорема 4. Если , и точка есть середина отрезка , то .
Доказательство.
Из теоремы 3 следует, что . Тогда
и из следствия к теореме 3 выведем:
.Теорема доказана.
Задача. Если и точка делит отрезок в отношении (то есть ), то
.
Определение. Скалярным произведением двух векторов , называется число
,
где есть угол между векторами , .
Скалярное произведение обозначается также . Если , то скалярное произведение принимает вид и называется скалярным квадратом вектора и обозначается . Легко видеть, что .
Свойства скалярного произведения векторов.
1. Коммутативность: для любых векторов , .
2. для любых векторов , и любого действительного числа .
3. Дистрибутивность: для любых векторов , , .
Утверждение 1. Пусть , есть ненулевые векторы. Векторы , перпендикулярны тогда и только тогда, когда .
Задача. Доказать утверждение 1 и свойства 1-3 скалярного произведения.
Скалярное произведение векторов, заданных своими координатами.
Пусть в пространстве имеется прямоугольная система координат с базисными векторами .
Утверждение 2. Если , , то .
Доказательство.
Поскольку и , то из свойств 1-3 скалярного произведения следует
.
Так как векторы попарно ортогональны и имеют единичную длину, то . Лемма доказана.
Следствие. Если , то .
Доказательство. Если положить , то из утверждения 2 выведем:
. Следствие доказано.
Замечание. Аналогичные формулы справедливы для векторов на плоскости. Если , , то и , если .
Векторное произведение
Определение.1. Три некомпланарных вектора , , , взятые в указанном порядке, образуют правую тройку, если после приведения их к общему началу, вектор расположен по ту сторону от плоскости, содержащей векторы и , откуда кратчайший поворот от к виден против часовой стрелки. В противном случае тройка векторов называется левой.
Пример. -правая тройка, -левая тройка, - правая тройка.
Замечание 1. Если тройка векторов является правой, то, очевидно, тройки и являются левыми.
Определение 2. Векторным произведением вектора на неколлинеарный ему вектор называется такой вектор , который удовлетворяет следующим трем условиям:
Если векторы и коллинеарны, то их векторное произведение считается равным .
Векторное произведение векторов и обозначается или .
Замечание 2. Условия 1), 2) определения 2 определяют вектор с точностью до двух взаимно противоположных направлений. Условие 3) позволяет выбрать одно из этих двух направлений.
Замечание 3. С геометрической точки зрения условие 1) равносильно тому, что длина вектора равна площади параллелограмма, построенного на векторах и .
Для любых векторов , , и любого действительного числа справедливы следующие свойства векторного произведения:
1. (антикоммутативность);
2. ;
3. .
Вычисление векторного произведения.
Пусть в пространстве определена декартова система координат , причем координатные векторы образуют правую тройку.
Теорема 1. Если , , то
(1)
Доказательство.
Из определения векторного произведения следуют следующие соотношения
, , , , , .
Отсюда, используя свойства 1-3 векторного произведения выведем
.
Теорема доказана.
Замечание 4. Используя определение определителя 3го порядка, равенство 1 можно представить в следующей символической форме
.
Пример. Вычислить координаты вектора , если , .
Решение.
.
Определение. Смешанным произведением векторов , , называется скалярное произведение вектора на вектор :
.
Смешанное произведение обозначается также следующим образом:
.
Теорема 1. Абсолютная величина смешанного произведения некомпланарных векторов равна объему параллелепипеда, построенного на данных векторах (см.рис.). Тройка является правой тогда и только тогда, когда .
Доказательство.
Из пункта 1 определения следует, что длина вектора равна площади параллелограмма, построенного на векторах , . Поэтому , где есть угол между векторами и . Если правая тройка, то угол острый и , если , , - левая тройка, то тупой и . Отсюда вытекает второе утверждение теоремы. Высота параллелепипеда вычисляется по формуле . Поэтому его объем вычисляется по формуле . Следовательно, . Теорема доказана.
Вычисление смешанного произведения.
Теорема 2. Пусть , , . Тогда
.
Доказательство.
Из формулы (1) и утверждения 2 пункта 4 выведем
.
Теорема доказана.
Замечание 2. Из определения смешанного произведения и теоремы 2 следует, что три вектора , , компланарны тогда и только тогда, когда , то есть .
Пусть на плоскости задана прямоугольная система координат. Составим уравнение прямой , проходящей через две заданные различные точки и . Пусть есть произвольная точка. Рассмотрим векторы и . Легко видеть, что тогда и только тогда, когда , то есть, согласно теоремы 1 пункта 2 § 1, , где . Приравняв координаты, получим соотношения , . Из этих соотношений выведем уравнение прямой :
. (1)
Уравнение (1) называется уравнением прямой, проходящей через заданные точки и . Равенство (1) можно преобразовывать к следующему виду:
, (2)
в котором , , .
Соотношение (2) называется общим уравнением прямой. Если , то из (2) можно выразить : , где , . Число называется угловым коэффициентом прямой и , где угол между положительным направлением оси и данной прямой. Из (1) можно вывести также следующее соотношение
.
Данное равенство называется уравнением прямой, проходящей через точку и имеющей заданный угловой коэффициент .
Если прямая проходит через точки и , лежащих на осях и , то из (1) выведем соотношение , которое называется уравнением прямой в отрезках.
Теорема 1. Если (2) есть уравнение прямой , то .
Доказательство.
Возьмет две различные точки , . Тогда и , . Вычтем из второго равенства первое:
. Теорема доказана.
Любой вектор, перпендикулярный к прямой , называется вектором нормали к . Из (1) можно вывести еще одно соотношение:
,
которое называется уравнением прямой, проходящей через точку перпендикулярно вектору .
Обозначим , , . Любой вектор, параллельный прямой или принадлежащий прямой, называется направляющим вектором прямой. Используя данные обозначения, перепишем уравнение (1):
,
которое называется уравнением прямой, проходящей через точку параллельно вектору .
Задача 1. Доказать, что вектор является направляющим вектором прямой, заданной уравнением (2).
Задача 2. Доказать, что если прямая задана уравнением (2) и , то проходит через начало координат, если , то , если , то .
Теорема 2. Пусть прямые , заданы уравнениями и и пусть есть угол между и . Тогда
. (3)
Прямая || тогда и только тогда, когда . Прямая тогда и только тогда, когда .
Доказательство.
Из теоремы 1 следует , . Пусть есть угол между и . Легко видеть, что если , то , если есть тупой угол, то . В первом случае . Во втором случае . Отсюда следует (3). Далее || ; . Теорема доказана.
Теорема 3. Пусть прямая задана уравнением (2). Расстояние от точки до прямой равно .
При решении многих задач на плоскости вместо декартовых прямоугольных координат вводят другие координаты. Одной из таких систем является полярная система координат.
Пусть на плоскости задана прямая с отмеченной точкой и выбранным направлением . Ось называется полярной осью. Положение любой точки плоскости однозначно определяется парой чисел и , где , а есть угол, на который нужно повернуть против часовой стрелки ось до совпадения с вектором . Числа , называют полярными координатами точки и пишут . Число называют полярным радиусом, а - полярным углом точки .
Пусть на плоскости имеется также декартова система координат . Тогда точка имеет еще декартовы координаты . Связь полярных и декартовых координат задается формулами:
, , , , . (4)
Задача. Доказать формулы (4).
Приведем примеры линий, уравнения которых записаны в полярных координатах:
- окружность ; - луч ; - прямая , - спираль Архимеда (см. рис.).
Известно, что через три точки в пространстве, не лежащие на одной прямой, проходит единственная плоскость. Пусть в пространстве задана прямоугольная система координат . Составим уравнение плоскости , проходящей через три заданные точки , ,.
Возьмем произвольную точку и рассмотрим векторы
, , .
Легко видеть, что тогда и только тогда, когда векторы , , компланарны, то есть когда равно нулю их смешанное произведение: (, , ) (см. замечание 2, пункта 5, §1). Из теоремы 1, пункта 5, §1 следует, что это равносильно уравнению
. (1)
Равенство (1) называется уравнением плоскости, проходящей через три заданные точки. Вычислив определитель, придем к соотношению:
, (2)
где , , .
Если обозначить , то получим ещё одно равенство
. (3)
Уравнение (3) называется общим уравнением плоскости.
Геометрический смысл коэффициентов уравнения (3).
Теорема 1. Если плоскость определяется уравнением (3), то .
Доказательство.
Возьмем произвольные точки . Точно так же, как в теореме 1, пункта 1, §2 доказывается, что . Следовательно, перпендикулярен любой прямой в плоскости и, значит, . Теорема доказана.
Любой вектор перпендикулярный плоскости называется вектором нормали к этой плоскости.
Из теоремы 1 следует, что если плоскость проходит через точку и вектор (то есть есть вектор нормали к ), то уравнением плоскости является соотношение (2).
Теорема 2. Пусть плоскости , заданы уравнениями
(4)
и
(5)
соответственно. Плоскость тогда и только тогда, когда . Плоскость тогда и только тогда, когда .
Доказывается эта теорема точно так же, как теорема 1, пункта 2, §2.
Угол между плоскостями.
Теорема 3. Если плоскости , заданы уравнениями (4), (5) соответственно и есть угол между и , то
. (6)
Здесь , .
Доказательство.
Пусть есть угол между векторами , . Из теоремы 1 следует и . Отсюда следует, что если острый угол, то и , если - тупой угол, то , и . Таким образом, в обоих случаях справедлива формула (6). Теорема доказана.
Задача 1. Пусть плоскость задана уравнением (3). Доказать, что
Расстояние от точки до плоскости.
Теорема 4. Если плоскость задана уравнением (3), то расстояние от точки до плоскости равно
. (7)
Доказательство.
Проведем через точку прямую . Тогда . Обозначим . Поскольку , то из теоремы 1, §1 вытекает существование такого действительного числа , что и, следовательно (следствие к теореме 3, § 1), . Точка . Поэтому
.
Выразим отсюда : . Следовательно, . Теорема доказана.
Пусть прямая находится в пространстве.
Определение. Любой ненулевой вектор такой, что , называется направляющим вектором прямой .
Предположим, в пространстве задана прямоугольная систем координат и пусть прямая проходит через точку и имеет направляющий вектор . Возьмем произвольную точку . Тогда . Точка тогда и только тогда, когда , то есть (теорема 1, §1) существует такое, что . Приравняв три координаты, выведем следующие соотношения:
, . (8)
Уравнения системы (8) называются параметрическими уравнениями прямой с направляющим вектором и проходящей через точку .
Если в каждом из равенств (8) выразить , то придем к каноническому уравнению прямой в пространстве
. (9)
Замечание 1. Соотношения (9) представляют собой два уравнения и . Первое равенство представляет собой уравнение плоскости, параллельной оси , второе равенство является уравнением плоскости, параллельной оси . Таким образом, уравнения (9) задают прямую, как линию пересечения двух плоскостей.
Уравнение прямой, проходящей через две заданные точки.
Пусть прямая проходит через две точки , . Тогда вектор является направляющим вектором прямой и из (9) выведем уравнение прямой, проходящей через заданные точки
.
Расположение прямой и плоскости.
Теорема 5. Пусть прямая задана уравнениями (8) (или (9)), плоскость задана уравнением (3) и пусть есть угол между и . Тогда
. (10)
Прямая тогда и только тогда, когда
. (11)
Доказательство.
Из условия вытекает, что , . Пусть есть угол между и . Легко видеть, что если - острый угол, то , если , то и . В первом случае . Во втором случае . Формула (10) доказана.
Прямая и плоскость перпендикулярны тогда и только тогда, когда . Отсюда вытекает (11). Теорема доказана.
Следствие. Прямая тогда и только тогда, когда .
Действительно, тогда и только тогда, когда .
Расстояние от точки до прямой.
Теорема 6. Если прямая задана уравнениями (8), то расстояние от точки до прямой вычисляется по формуле
. (12)
Здесь .
Доказательство. Площадь параллелограмма, построенного на векторах и , равна (замечание 3, п. 5, § 1). С другой стороны, . Из этих равенств следует (12). Теорема доказана.
Пусть на плоскости имеется прямоугольная система координат.
Определение. Линией второго порядка называется кривая на плоскости, координаты точек которой удовлетворяют уравнению
. (1)
Здесь есть константы такие, что 0
Рассмотрим различные частные случаи кривых второго порядка.
Если в уравнении (1) положить, , , где >0, то получится уравнение . Как известно, данное соотношение является уравнением окружности с центром в начале координат радиуса .
Замечание 1. Уравнение (1) задает окружность, если , и принимает подходящее значение.
Если , , , , где , >0, , то из соотношения (1) получается уравнение
. (2)
Равенство (2) называется каноническим уравнением эллипса. Числа называют полуосями эллипса. Заметим, что из (2) вытекает оценка , то есть . Аналогично доказывается неравенство .
Таким образом, точки кривой (2) лежат в прямоугольнике
.
Рассмотрим случай, когда . Обозначим через отображение плоскости в себя такое, что
(, ). (3)
Отображение является сжатием вдоль оси с коэффициентом <1.
Задача 1. Доказать что при отображении (3) квадрат переходит в прямоугольник .
Задача 2. Доказать что кривая (2) является образом окружности при отображении (3).
Из задачи 2 следует, что эллипс (2) получается из окружности после сжатия ( при ) вдоль оси .
Обозначим =.
Определение 1. Фокусом эллипса (2) называются точки .
Число называется эксцентриситетом эллипса.
В следующей теореме сформулировано характеристическое свойство эллипса.
Теорема 1. Для любой точки эллипса (2) сумма расстояний от точки до фокусов постоянна и равна : .
Данное свойство может быть использовано при построении эллипса.
Если , то эллипс (2) получается из окружности с помощью отображения (3), которое в данном случае представляет собой растяжение вдоль оси с коэффициентом >1 (эллипс вытянут). В этом случае = и фокусы эллипса лежат на оси : .
Возьмем в уравнении (1): , , -, , , где , . Тогда (1) равносильно уравнению
. (4)
Определение 2. Уравнение (4) называется каноническим уравнением гиперболы.
Из уравнения (4) следует . Поэтому точки кривой (4) лежат вне прямоугольника . Выразим y из (4):
. (5)
Задача 3. Доказать что две функции (5) имеют асимптоты .
Из этой задачи следует, что прямые содержащие диагонали прямоугольника являются асимптотами гиперболы (1).
Обозначим
Определение 3. Точки называются фокусами гиперболы. Число называется эксцентриситетом гиперболы. Точки называются вершинами гиперболы.
Характеристическое свойство гиперболы аналогично характеристическому свойству эллипса.
Теорема 2. Для любой точки гиперболы (4) имеет место равенство
.
Замечание 2. Известная из школьного курса гипербола будет иметь уравнение (4) (с ) в новой системе координат , у которой оси координат получены поворотом осей на относительно точки 0.
Положим в уравнении (1) , , , где . Тогда из (1) выведем соотношение
. (5)
Как известно, уравнение (5) задает кривую, называемую параболой.
Определение 4. Фокусом параболы (5) называется точка . Директрисой параболы называется прямая .
В следующей теореме сформулировано характеристическое свойство параболы.
Теорема 3. Для произвольной точки , лежащей на параболе (5) расстояние между точкой и фокусом равно расстоянию от точки до директрисы.
Рассмотрим еще некоторые частные случаи коэффициентов уравнения (1). Если , то получится уравнение которое задает пару пересекающихся прямых , то есть оси и .
Если , , то получится уравнение, , которое определяет одну прямую (ось ).
Если , , то уравнение (1) определяет пару параллельных прямых 1.
Уравнение (1) может задавать и одну точку (например, при ) и пустое множество (например, при , ).
Вышеперечисленные частные случаи охватывают все возможные линии, которые может определить уравнение (1). А именно справедлива следующая теорема.
Теорема 4. Уравнение второго порядка (1) определяет либо окружность, либо эллипс, либо гиперболу, либо параболу, либо пару пересекающихся прямых, либо пару параллельных прямых, либо одну прямую, либо точку, либо пустое множество.
Раздел 5: Комплексные числа в алгебраической форме
Определение 1
Комплексными числами называются упорядоченные пары действи-тельных чисел , которые принято записывать в виде . Разделительный символ называют мнимой единицей.
Определение 2
Числа называются соответственно действительной и мнимой частью комплексного числа и обозначают . Множество комплексных чисел обозначается , а элемент множества. Таким образом
.
Выражение называется алгебраической формой комплексного числа .
Определение 3
Комплексные числа вида называются чисто мнимыми. Комплексное число обозначают символом , то есть (этим объясняется название мнимая единица). Комплексное число вида считают совпадающим с его действительной частью и пишут .
Из определения 3 следует, что действительные числа являются частным случаем комплексного числа, то есть .
Определение 4
Комплексные числа называются равными, если у них соответственно равны действительные и мнимые части:
Определение 5
Комплексные числа называются сопряжёнными, если у них равны действительные части, а мнимые противоположны по знаку:
Число, сопряжённое числу , обозначается .
Из определения комплексного числа как упорядоченной пары действительных чисел получаем, что комплексное число можно изображать точкой плоскости .
Определение 6
Между множеством точек плоскости и множеством комплексных чисел (множество ) устанавливается взаимно однозначное соответствие:
каждой точке соответствует единственное число ; каждому числу соответствует единственная точка с координатами .
Плоскость , на которой изображены комплексные числа, называется комплексной плоскостью. Комплексная плоскость, как и множество комплексных чисел обозначается буквой . Говорят, что точки плоскости имеют либо две действительные координаты: , либо одну комплексную координату: , где .
Рис.1.1
Действия над комплексными числами, заданными
в алгебраической форме
Определение 7
Суммой двух комплексных чисел и называется число такое, что справедливы равенства , то есть
.
Обозначение: .
Правило сложения
При сложении комплексных чисел складываются действительные и мнимые части соответственно.
Определение 8
Разностью чисел называется число такое, что .
Обозначение: . Используя правило сложения, получаем для нахождения разности , равенства .
Правило вычитания
При нахождении разности из действительной и мнимой частей уменьшаемого вычитаются соответственно действительная и мнимая части вычитаемого: .
Определение 9
Произведением чисел и называется число такое, что выполняются равенства . Таким образом, 0бозначение: .
Правило умножения
Комплексные числа перемножаются, как двучлены, при этом учитывается, что .
Определение 10
Частным от деления числа на называется число такое, что справедливо равенство . Обозначение: .
Правило деления
Чтобы разделить число на , следует числитель и знаменатель дроби умножить на число , сопряжённое знаменателю.
.
Определение 11
Возведение комплексного числа в степень - это нахождение произведения сомножителей, каждый из которых равен , т.е. .
Правило возведения в степень
При возведении в степень числа (нахождении ) используется правило возведения в степень двучлена , в общем случае применяется формула бинома Ньютона:
.
Определение 12
Корнем степени из комплексного числа называется число , такое, что . Обозначение: .
Правило извлечения корня
Для извлечения корня (нахождения ) следует, используя определение корня и правило возведения в степень, составить и решить систему уравнений относительно искомых :
Свойства операции комплексного сопряжения:
1),
2),
3),
4),
5).
В двух последних равенствах - многочлены с действительными коэффициентами степени соответственно.
Комплексные числа в тригонометрической и показательной формах
Основные определения
Каждому комплексному числу геометрически соответствует точка на плоскости . Но положение точки на плоскости, кроме декартовых координат , можно зафиксировать другой парой – её полярных координат в полярной системе:
Рис.1.2
Величина , называемая полярным радиусом, является неотрицательной и для данной точки определяется единственным образом, а полярный угол при может принимать бесчисленное множество значений: если есть полярный угол точки , то величины также являются полярными углами точки .
Например, если для точки (см. рис. 1.1) выбрать , то ей соответствует любое , в частности при . Если же выбрать , то , а при получаем .
Используя связь декартовых и полярных координат точки , из алгебраической формы комплексного числа получаем тригонометрическую форму:
(*).
Определение 1
Для любого действительного числа обозначим
.
Равенство называется формулой Эйлера.
Из формулы Эйлера и (*) получим показательную форму записи комплексного числа:
.
Здесь
Заметим, что геометрически задание комплексного числа равносильно заданию вектора , длина которого равна , т.е. , а направление – под углом к оси (рис. 1.2).
Определение 2
Число , равное длине радиус-вектора точки называется модулем комплексного числа . Обозначение: .
Из рис. 1.2 получаем формулу для нахождения модуля числа, заданного в алгебраической форме :
.
Очевидно, что только для числа .
С помощью правила вычитания запишем модуль числа , где и : . А это, как известно, есть формула для расстояния между точками и .
Таким образом, число есть расстояние между точками на комплексной плоскости.
Определение 3
Множество значений полярного угла точки называется аргументом комплексного числа и обозначается . Если есть полярный угол точки , то пишут . Значение полярного угла точки , лежащее на промежутке , называется главным значением аргумента комплексного числа и обозначается .
Из определения 3 следует, что если , то и
.
Формулу для нахождения аргумента комплексного числа , заданного в алгебраической форме, получаем, используя связь декартовых и полярных координат точки (см. рис. 1.2). Для точек, не лежащих на мнимой оси, т.е. для , у которых , получаем , для точек мнимой положительной полуоси, то есть для , у которых , имеем , для точек мнимой отрицательной полуоси, то есть для , у которых , соответственно .
Для числа - аргумент не определён.
Нахождение аргумента при сводится к решению тригонометрического уравнения . При , то есть когда - число действительное, имеем при при . При решение уравнения зависит от четверти плоскости . Четверть, в которой расположена точка , определяется по знакам .
Не трудно вывести:
При решении примеров удобно пользоваться схемой, которая изображена на рисунке 1.4.
Действия над комплексными числами, заданными
в тригонометрической форме
Перемножим два комплексных числа , , записанных в тригонометрической форме:
.
Получили новое число , записанное в тригонометрической форме: , для которого .
Правило умножения
При умножении комплексных чисел, заданных в тригонометрической форме, их модули перемножаются, а аргументы складываются.
Заметим, что в результате умножения чисел может получиться аргумент произведения, не являющийся главным значением.
Утверждение.
Частным деления комплексных чисел , , записанных в тригонометрической форме является число
.
Правило деления
Модуль частного, полученного в результате деления чисел, заданных в тригонометрической форме, равен частному от деления модуля числителя на модуль знаменателя, а аргумент частного равен разности аргументов делимого и делителя:
.
В результате деления чисел может получиться аргумент частного, не являющийся главным значением.
Правило возведения в степень
При возведении в степень комплексного числа в эту степень возводится модуль числа, а аргумент умножается на показатель степени:
.
При равенство принимает вид
.
Данное равенство называется формулой Муавра.
PAGE 3
B
A
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
, то
и
.
Рис. 1
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
Рис. 2
A
B
0
O
C
x
y
A
B
O
A
y
z
z
O
A
y
A
A2
D
[,]
A1
B1
C1
B
C
М
1
1
1
b
a
F1
F2
x
y