Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
25. Нормальное распределение НСВ. Вероятность попадания нормально распределенной СВ в заданный интервал.
Нормальным называют распределение вероятностей непрерывной случайной величины, которое описывается плотностью
Мы видим, что нормальное распределение определяется двумя параметрами: а и . Покажем, что вероятностный смысл этих параметров таков: а есть математическое ожидание, —среднее квадратическое отклонение нормального распределения.
а) По определению математического ожидания непрерывной случайной величины,M(X)=
Введем новую переменную z = (x—а)/. Отсюда x=z+a, dx=dz. Приняв во внимание, что новые пределы интегрирования равны старым, получим M(X)=
Первое из слагаемых равно нулю (под знаком интеграла нечетная функция; пределы интегрирования симметричны относительно начала координат). Второе из слагаемых равно a ( интеграл Пуассона ).
Итак, М(Х) = а, т. е. математическое ожидание нормального распределения равно параметру а.
б) По определению дисперсии непрерывной случайной величины, учитывая, что М(Х) = а, имеем D(X)=
Введем новую переменную z = (x—а)/. Отсюда х—a = z, dx = dz. Приняв во внимание, что новые пределы интегрирования равны старым, получим D(X)=
Интегрируя по частям, положив u = z, dv=, найдем D(X)=
Следовательно, (X)=.среднее квадратическое отклонение нормального распределения равно параметру .Замечание 1. Общим называют нормальное распределение с произвольными параметрами а и ( > 0).
Нормированным называют нормальное распределение с параметрами а = 0 и =1.
.. Функция F(х) общего нормального распределения
а функция нормированного распределения
2.Вероятность попадания нормированной нормальной величины X в интервал (0, х) можно найти, пользуясь функцией Лапласа P(0<X<x)=
Вероятность попадания в заданный интервал нормальной случайной величины
Если случайная величина X задана плотностью распределения f (х), то вероятность того, что X примет значение, принадлежащее интервалу (), такова:P(X)=
Пусть случайная величина X распределена по нормальному закону. Тогда вероятность того, что X примет значение, принадлежащее интервалу (), равна P(X)=
Преобразуем эту формулу так, чтобы можно было пользоваться готовыми таблицами. Введем новую переменную z = (x—а)/. Отсюда x = z+a, dx = dz . Найдем новые пределы интегрирования. Если х= , то z=( a)/; если х = , то z = (а)/.
Таким образом
Пользуясь функцией Лапласа (*)
Пример. Случайная величина X распределена по нормальному закону. Математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение этой величины соответственно равны 30 и 10. Найти вероятность, того, что X примет значение, принадлежащее интервалу (10, 50).
Решение. Воспользуемся формулой (*). По условию, =10, =50, а = 30, =10, следовательно,P(10<X<50)=
По таблице приложения 2 находим Ф (2) = 0,4772. =>Р(10< X < 50) =2*0,4772 = 0,9544.