Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
Задание 4
Задача обратного интерполирования.
Нахождение производных таблично заданной функции по формулам численного дифференцирования.
Подготовительный этап:
Составить и вывести на печать таблицу из (m+1) значения функции f в равноотстоящих с шагом h=(b-a)/m точках (узлах) xi=a+i*h, где i=0,1,..m. Узлы xi – суть точки деления отрезка [a,b] на m частей. Здесь число значений в таблице, a, b – параметры задачи; формула для непрерывной функции f остается на усмотрение студента.
Решение задачи обратного интерполирования (двумя способами):
Найти значение аргумента, при котором таблично заданная функция f принимает значение F, здесь F – параметр задачи.
1 способ решения:
Если на рассматриваемом участке таблицы функция строго монотонна и непрерывна, то у нее существует обратная функция f-1, которая также строго монотонна и непрерывна. Следовательно, задача обратного интерполирования может быть сведена к задаче поиска значения f-1(F) для таблично заданной функции f-1 (при этом следует поменять местами столбцы исходной таблицы и далее трактовать значения f(xi) как аргументы для f-1). Это задача алгебраического интерполирования для f-1.
Решением задачи будет значение Qn(F) ≈ f-1(F). Степень интерполяционного многочлена n – параметр задачи (n≤m). При построении интерполяционного многочлена Qn(F) можно использовать программу из задания №2.
Результатом решения задачи обратного интерполирования является значение X=Qn(F). Указать модуль невязки rn(X)=|f(X) - F|.
2 способ решения:
Если мы не располагаем информацией, что на рассматриваемом участке таблицы функция строго монотонна и непрерывна, то возможно решение, приведенное ниже.
Результатом решения задачи обратного интерполирования будет (будут) корень (корни) уравнения Pn(x)=F, где Pn(x) – алгебраический интерполяционный полином функции f(x). При построении интерполяционного многочлена Pn(x) можно использовать материал из Задания №2. Последнее уравнение решить методом бисекции с точностью E=10-8 (смотри задание №1). Указать модуль невязки rn(x)=|f(x) - F| для каждого решения.
Формулы численного дифференцирования:
Для таблично заданной функции f найти значение ее первой и второй производной во всех узлах xi таблицы. Для этого воспользоваться известными простейшими формулами численного дифференцирования, имеющими погрешность порядка O(h2) (смотри конспект занятия).
Вывести на печать таблицу вида:
|
xi |
f(xi) |
f’(xi)ЧД |
f’(xi)Т |
|f’(xi)Т – f’(xi)ЧД| |
f’’(xi)ЧД |
f’’(xi)Т |
|f’’(xi)Т – f’’(xi)ЧД| |
Решение тестовой задачи: взять формулу из задания №2, a=0, b=1, m=10, E=10-8.