Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
Следствие из преобразований Лоренца. Относительность одновременности. Длина движущегося тела. Темп хода движущихся часов. Сложение скоростей.
Следствия из преобразований Лоренца
1. Если в одной системе отсчета некоторые события происходят в точках x1 и x2 в один и тот же момент времени t, то в другой системе отсчета эти события происходят в точках x'1 и x'2 в разные моменты времени t'1 и t'2:
Понятие одновременности оказывается зависящим от выбора системы отсчета.
2. Если в одной системе отсчета между двумя событиями, происходящими в одной и той же точке, проходит время t, то в другой системе отсчета между этими же событиями проходит время
Это соотношение выражает релятивистский эффект замедления времени в движущихся объектах.
3. Если в одной системе отсчета покоящаяся линейка имеет длину l, то в системе отсчета, в которой линейка движется со скоростью u вдоль своей оси, ее длина
Этот эффект называется релятивистским сокращением продольных размеров тела. Поперечные размеры тела не изменяются при переходе в другие инерциальные системы отсчета.
4. Если в одной системе отсчета тело имеет скорость v = (vx, vy, vz), то его скорость v' = (v'x, v'y, v'z) в другой системе отсчета равна
или в трехмерной векторной форме
5. Из соотношений (n4), (n5) следует постоянство скорости c в различных системах отсчета. Действительно, если вычислить сумму квадратов левых частей этих равенств при условии
v2=(vx)2+(vy) 2+(vz) 2=c2, (n6)
получим
v'2=(v'x)2+ (v'y)2+(v'z) 2=c2. (n7)
Т. е. скорость c одинакова по величине во всех инерциальных системах отсчета (независимо от направления). Заметим, что направления скоростей v и v' в общем случае различны в разных системах отсчета.
До начала XX века никто не сомневался, что время абсолютно. Два события, одновременные для жителей Земли, одновременны для жителей любой космической цивилизации. Создание теории относительности показало, что это не так.
Причиной несостоятельности классических представлений о пространстве и времени является неправильное предположение о возможности мгновенной передачи взаимодействий и сигналов из одной точки пространства в другую. Существование предельной конечной скорости передачи взаимодействий вызывает необходимость глубокого изменения обычных представлений о пространстве и времени, основанных на повседневном опыте. Представление об абсолютном времени, которое течет раз и навсегда заданным темпом, совершенно независимо от материи и ее движения, оказывается неправильным.
Если допустить мгновенное распространение сигналов, то утверждение, что события в двух пространственно разделенных точках А и Впроизошли одновременно, будет иметь абсолютный смысл. Можно поместить в точки А и В часы и синхронизировать их с помощью мгновенных сигналив. Если такой сигнал отправлен из А, например, в 0 ч 45 мин и он в этот же момент времени по часам В пришел в точку В, то, значит, часы показывают одинаковое время, т. е. идут синхронно. Если же такого совпадения нет, то часы можно синхронизировать, подведя вперед те часы, которые показывают меньшее время в момент отправления сигнала.
Любые события, например два удара молнии, одновременны, если они происходят при одинаковых показаниях синхронизированных часов.
Только располагая в точках А и В синхронизированными часами, можно судить о том, произошли ли два каких-либо события в этих точках одновременно или нет. Но как можно синхронизировать часы, находящиеся на некотором расстоянии друг от друга, если скорость распространения сигналов не бесконечно велика?
Для синхронизации часов естественно прибегнуть к световым или вообще электромагнитным сигналам, так как скорость электромагнитных волн в вакууме является строго определенной, постоянной величиной.
Именно этот способ используют для проверки часов по радио. Сигналы времени позволяют синхронизировать ваши часы с точными эталонными часами. Зная расстояние от радиостанции до дома, можно вычислить поправку на запаздывание сигнала. Эта поправка, конечно, очень невелика. В повседневной жизни она не играет сколько-нибудь заметной роли. Но при огромных космических расстояниях она может оказаться весьма существенной.
Рассмотрим подробнее простой метод синхронизации часов, не требующий никаких вычислений. Допустим, что космонавт хочет узнать, одинаково ли идут часы А и В, установленные на противоположных концах космического корабля (рис. 40). Для этого с помощью источника, неподвижного относительно корабля и расположенного в его середине, космонавт и производит вспышку света. Свет одновременно достигает обоих часов. Если показания часов в этот момент одинаковы, то часы идут синхронно.
|
|
|
Рис. 40
Но так будет лишь относительно системы отсчета К1, связанной с кораблем. В системе же отсчета К, относительно которой корабль движется, положение иное. Часы на носу корабля удаляются от того места, где произошла вспышка света источника (точка с координатой ОС), и чтобы достигнуть часов А, свет должен преодолеть расстояние, большее половины длины корабля (рис. 41, а, 6). Напротив, часы В на корме приближаются к месту вспышки, и путь светового сигнала меньше половины длины корабля. (На рис. 41, а координаты х и х1 совпадают в момент вспышки; на рис. 41, б показано положение систем отсчета, когда свет достигает часов В.) Поэтому наблюдатель в системе К придет к выводу, что сигналы достигают обоих часов не одновременно.
|
|
|
Рис. 41
Два любых события в точках А и В, одновременные в системе К1 не одновременны в системе К. Но в силу принципа относительности системы К1 и К совершенно равноправны. Ни одной из этих систем нельзя отдать предпочтение. Поэтому мы вынуждены прийти к заключению, что одновременность пространственно разделенных событий относительна. Причиной относительности одновременности является, как мы видим, конечность скорости распространения сигналов.
Именно в относительности одновременности кроется решение парадокса со сферическими световыми сигналами. Свет одновременно достигает точек сферической поверхности с центром в точке О только с точки зрения наблюдателя, находящегося в покое относительно системыК. С точки зрения же наблюдателя, связанного с системой K1, свет достигает этих точек в разные моменты времени.
Разумеется, справедливо и обратное: в системе К свет достигает точек поверхности сферы с центром в O1 в различные моменты времени, а не одновременно, как это представляется наблюдателю в системе К1.
Отсюда следует, что никакого парадокса в действительности нет.
Одновременность событий относительна. Представить себе это наглядно, «почувствовать», мы не в состоянии из-за того, что скорость света много больше тех скоростей, с которыми движемся мы.
Длина движущегося тела.
Лоренцево сокращение, также называемое релятивистским сокращение длины движущегося тела или масштаба — предсказываемый релятивистской кинематикой эффект, заключающийся в том, что с точки зрения наблюдателя движущиеся относительно него предметы имеют меньшую длину (линейные размеры в направлении движения), чем их собственная длина. Множитель, выражающий кажущееся сжатие размеров, тем сильнее отличается от 1, чем больше скорость движения предмета.
Эффект значим только если скорость предмета по отношению к наблюдателю сравнима со скоростью света.
Пусть стержень длины l движется (вдоль своей длины) со скоростью v относительно некой системы отсчёта. В таком случае в фиксированный момент времени расстояние между концами стержня составит
, где c — скорость света.
Величина, обратная ко множителю с корнем называется также Лоренц-фактором. С её использованием эффект можно сформулировать и так: время пролёта стержня мимо фиксированной точки пространства составит
При этом, все размеры поперёк движения не меняются.
Сокращение длин возникает из-за свойств псевдоевклидовой геометрии пространства Минковского, аналогичных удлиннению сечения, например, цилиндра, когда оно проводится не строго поперёк оси, а косо. См. преобразования Лоренца.
Говоря иначе, «одинаковый момент времени» с точки зрения рассматриваемой системы отсчёта не будет являться одинаковым с точки зрения стержня.
Понятие «одинакового момента времени» с точки зрения теории относительности является неправильным. Поэтому, эффект в большинстве случаев можно понимать не как «изменение длины», а как отличие релятивистского понятия скорости от оного в галилеевой кинематике. Длинные предметы, разогнанные до околосветовых скоростей, пролетают намного быстрее, чем следовало бы ожидать, разделив их длину на величину v («скорость движения»). При неограниченном разгоне стержня время его пролёта будет стремиться к нулю, несмотря на то, что «скорость» ограничена постоянной c.
Или, если представить себе трубопровод с околосветовым движением, то он сможет перекачать в единицу времени больший объём жидкости, нежели скорость света, умноженная на сечение трубы (при устремлении скорости к световой — неограниченный).
Лоренцево сокращение лежит в основе таких эффектов как парадокс Эренфеста и парадокс Белла, показывающих непригодность понятий классической механики к СТО. Они показывают невозможность, соответственно, раскрутить и придать ускорение гипотетическому «абсолютно твёрдому телу».
Темп хода движущихся часов.
Часто говорят, что теория относительности основана на двух постулатах: что все инерцаильные системы равноправны и что свет движется с одной и той же скоростью во всех инерциальных системах. Однако в реальном мире предметы почти никогда не движутся с постоянными скоростями, а значит невозможно найти инерциальную систему отсчета, в которой один из таких объектов покоился бы. Чтобы иметь возможность предсказывать, как ведут себя предметы, движущиеся ускоренно, нам необходимо ввести третий постулат.
Его часто называют "постулат часов", но он относится, конечно, не только к часам. Кроме того, этот постулат открывает путь к дальнейшему развитию относительности, как частной, так и общей, а также приближает нас к понятию ковариантности (то есть, к записи законов физики в виде, не зависящем от систем отсчета).
Постулат часов можно сформулировать следующим образом. Сначала мы возьмем темп, в котором отсчитывают время наши часы и сравним его с темпом, в котором отсчитывают время часы движущиеся. Пока мы не ввели постулат часов, то всё, что мы знаем, заключается в том, что если скорость движущихся часов v (выразим ее в долях скорости света c) постоянна, то отношение темпов будет выражаться лоренцевским множителем
Греческая буква γ называется "гамма".
Постулат часов обощает эту формулу и утверждает, что даже, если движущиеся часы движутся ускоренно, то отношение темпа хода наших часов к их темпу хода остается таким же, выраженным вышенаписанной формулой. Иными словами, отношение темпов зависит только от скорости и не зависит от каки-либо производных скорости, навроде ускорения. То есть, постулат утверждает, что ускоряющиеся часы будут отсчитывать время так, что в каждый конкретный момент темп их хода будет замедлен множителем γ, который зависит только от текущей скорости и совсем не зависит от ускорения.
Наче говоря, скорость хода ускоряющихся часов совпадает со скоростью хода часов в так называемой мгновенно-сопутствующей инерциальной системе отсчета (МСИСО), которую мы можем представить так, будто в ней находятся часы, которые на краткий миг движутся бок о бок с ускоряющимися часами так, что их относительная скорость на мгновение становится равной нулю. В это мгновение они тикают синхронно. В следующий миг для ускоряющихся часов будет другая МСИСО, снова такая, скорость которой равна скорости ускоряющихся часов уже в новый момент, и в этой системе тоже есть свои инерциальные часы, которые на мгновение совпадают с ускоряющимися.
Так что постулат часов утверждает, что скорость хода ускоряющихся часов не зависит от их ускорения. Но обратите внимание: постулат не говорит, что ускорение не влияет на скорость хода часов! Конечно влияет! Ускорение влияет на скорость, а скорость влияет на темп, с которым часы отсчитывают время (множитель γ). Если это кажется не совсем понятным, то обратитесь к простой аналогии. Если Вы едете на велосипеде морозным утром, то Вас пронизывает холод, возникающий от холодного ветра. Чем быстрее Вы едете, тем сильнее мерзнут Ваши руки. Холодный ветер является функцией скорости, а не ускорения. Тем не менее, он естсественно зависит от ускорения, поскольку ускорение изменяет Вашу скорость. Но независимо от того, быстро Вы разгоняетесь или медленно, единственный фактор, влияющий на замерзание Ваших рук - это так скорость, которой Вы достигли к данному моменту. Так что получается, что замерзание рук велосипедиста не зависит напрямую от ускорения, но ускорение все-таки влияет на замерзание рук.
Из постулата часов также следует, что степень сокращения движущегося стержня также не зависит от ускорения. Кроме того, не зависит от ускорения и так называемая "релятивистская масса" (устаревший, но всё еще используемый термин).
Поскольку постулат часов - это всего-лишь постулат, то его проверяли экспериментально при высоких ускорениях, вплоть до 1016 g (Pound и Rebka, 1960 г.). Конечно, постулат говорит не только об ускорениях, но и об остальных производных скорости по времени, однако, он всё же является правдоподобным предположением, так как из него получены следствия, проверенные другим путём.
Иногда люди говорят, что раз темп хода часов не зависит от ускорения, то разве это не означает, что принцип эквивалентности (ПЭ) неверен? Если ПЭ утверждает, что гравитационное поле идентично ускорению, то получается, что гравитационное поле не влияет на темп хода часов, хотя во всех учебниках написано обратное!?
Нет, с ПЭ всё в порядке. Снова здесь проявляется та же ошибка, которую мы разбирали на примере велосипеда и холодного ветра. Давайте попробуем представить, что происходит. Пусть у нас есть ракета без горючего. Она находится на стартовой площадке, а внутри нее - два человека, космонавты, которые не могут выглянуть наружу и верять, что они ускоряются с ускорением 1 g в открытом космосе, вдали от всякого тяготения.
Один космонавт сидит в хвосте ракеты, а другой - в носовй части и они оба посылают друг другу световые импульсы. Теперь, общая относительность говорит нам, что свет теряет энергию в процессе того, как он "взбирается " вверх по гравитационному полю, так что мы знаем, что верхний космонавт получит сигнал с красным смещением. Аналогично, нижний космонавт получит сигнал с синим смещением, потому что идущий вниз свет падает в гравитационном поле и набирает по пути немного энергии.
Как космонавты интерпретируют то, что они наблюдают? Они будут верить, что они ускоряются в глубоком космосе. Верхний космонавт будет рассуждать так: "пока сигнал от нижнего космонавта летел до меня, я успел набрать еще немного скорости и буду убегать от луча быстрее, чем убегал, когда тот был испущен; так что луч должен быть с карсным смещением - и так оно и есть!". Нижний космонавт будет рассуждать аналогично: "за то время, пока луч от верхнего космонавта долетел до меня, я набрал немного скорости и стал двигаться навстречу лучу быстрее, чем раньше; поэтому луч должыен быть с синим смещением - и так оно и есть!".
Как видите, они оба получили ответ в соответствие с ПЭ. Но их рассуждения основывались только на анализе собственной скорости, а не ускорения, как такового. Так что, как и в случае с рассмотренным нами ранее холодным ветром, применение ПЭ к ракете не зависит от ускорения как такового, но он зависит от следствия ускорения - изменения скорости!
Сложение скоростей.
Преобразования Лоренца дают нам возможность вычислять изменение координат события при переходе от одной системы отсчета к другой. Поставим теперь вопрос о том, как при изменении системы отсчета будет меняться скорость одного и того же тела?
В классической механике, как известно, скорость тела просто складывается со скоростью системы отсчета. Сейчас мы убедимся, что в теории относительности скорость преобразуется по более сложному закону.
Мы снова ограничимся рассмотрением одномерного случая. Пусть две системы отсчета S и S` «наблюдают» за движением некоторого тела, которое перемещается равномерно и прямолинейно параллельно осям х и х` обеих систем отсчета. Пусть скорость тела, измеренная системой отсчета S, есть и;скорость того же тела, измеренную системой S`, обозначим через и` . Буквой vбудем по-прежнему обозначать скорость системы S` относительно S.
Допустим, что с нашим телом происходят два события, координаты которых в системе S суть x1,t1, и х2, t2. Координаты тех же событий в системе S` пусть будутх`1, t`1; x`2, t`2. Но скорость тела есть отнощение пройденного телом пути к соответствующему промежутку времени; поэтому, чтобы найти скорость тела в той и другой системах отсчета, нужно разность пространственных координат обоих событий разделить на разность временных координат
которую можно, как всегда, получить из релятивистской, если скорость света считать бесконечной. Ту же формулу можно записать в виде
Для небольших, «обычных» скоростей обе формулы— релятивистская и классическая — дают практически совпадающие результаты, в чем читатель при желании легко сможет убедиться. Но при скоростях, близких к скорости света, разница становится весьма ощутимой. Так, если v=150 000 км/сек, u`=200 000км/сек, то вместо классического результата u = 350 000 км/сек релятивистская формула дает u = 262 500 км/сек. Согласно смыслу формулы сложения скоростей, этот результат означает следующее.
Пусть система отсчета S` движется относительно системы отсчета S со скоростью v = 150 000 км/сек. Пусть в том же направлении движется тело, причем измерение его скорости системой отсчета S` дает результат u =200 000км/сек. Если теперь измерить скорость того же тела с помощью системы отсчета S то получится u=262 500 км/сек.
Следует подчеркнуть, что полученная нами формула предназначена именно для пересчета величины скорости одного и того же тела от одной системы отсчета к другой, а отнюдь не для вычисления «скорости сближения» или «удаления» двух тел. Если мы из одной и той же системы отсчета наблюдаем два движущихся навстречу друг другу тела, причем скорость одного тела равна 150 000 км/сек, а второго — 200 000 км/сек, то расстояние между этими телами каждую секунду будет уменьшаться на 350 000 км. Теория относительности не упраздняет законов арифметики.
Читатель уже понял, конечно, что, применяя эту формулу к скоростям, не превосходящим скорость света, мы снова получим скорость, не превосходящую с.Не представляет никакого труда доказать это утверждение вполне строго. Действительно, легко проверить.
Для небольших, «обычных» скоростей обе формулы— релятивистская и классическая — дают практически совпадающие результаты, в чем читатель при желании легко сможет убедиться. Но при скоростях, близких к скорости света, разница становится весьма ощутимой. Так, если v=150 000 км/сек, u`=200 000км/сек, то вместо классического результата u = 350 000 км/сек релятивистская формула дает u = 262 500 км/сек. Согласно смыслу формулы сложения скоростей, этот результат означает следующее.
Пусть система отсчета S` движется относительно системы отсчета S со скоростью v = 150 000 км/сек. Пусть в том же направлении движется тело, причем измерение его скорости системой отсчета S` дает результат u` =200 000км/сек. Если теперь измерить скорость того же тела с помощью системы отсчета S то получится u=262 500 км/сек.
Следует подчеркнуть, что полученная нами формула предназначена именно для пересчета величины скорости одного и того же тела от одной системы отсчета к другой, а отнюдь не для вычисления «скорости сближения» или «удаления» двух тел. Если мы из одной и той же системы отсчета наблюдаем два движущихся навстречу друг другу тела, причем скорость одного тела равна 150 000 км/сек, а второго — 200 000 км/сек, то расстояние между этими телами каждую секунду будет уменьшаться на 350 000 км. Теория относительности не упраздняет законов арифметики.
Читатель уже понял, конечно, что, применяя эту формулу к скоростям, не превосходящим скорость света, мы снова получим скорость, не превосходящую с.Не представляет никакого труда доказать это утверждение вполне строго. Действительно, легко проверить, что имеет место равенство
Так как и` ≤ с и v < c, то в правой части равенства числитель и знаменатель, а с ними и вся дробь, неотрицательны. Поэтому квадратная скобка меньше единицы, а потому и ≤ с .
Если и`=с, то и и=с. Это есть не что иное, как закон постоянства скорости света. Не следует, конечно, рассматривать этот вывод как «доказательство» или хотя бы «подтверждение» постулата постоянства скорости света. Ведь мы с самого начала исходили из этого постулата и неудивительно, что пришли к результату, который ему не противоречит, в противном случае этот постулат был бы опровергнут путем доказательства от противного. Вместе с тем мы видим, что закон сложения скоростей эквивалентен постулату постоянства скорости света, каждое из этих двух утверждений логически вытекает из другого (и остальных постулатов теории относительности).
При выводе закона сложения скоростей мы предполагали, что скорость тела параллельна относительной скорости систем отсчета. Этого предположения можно было ие делать, но тогда наша формула относилась бы лишь к той компоненте скорости, которая направлена по оси x, и формулу следовало бы записать в виде
С помощью этих формул мы разберем явление аберрации (см. § 3). Ограничимся лишь простейшим случаем. Пусть некоторое светило в системе отсчета S неподвижно, пусть, далее, система отсчета S` движется относительно системы S со скоростью v и пусть наблюдатель, движущийся вместе с S`, принимает лучи света от светила как раз в тот момент, когда оно находится у него точно над головой (рис. 21). Составляющие скорости этого луча в системе S будут
ux = 0, uy = 0, ux = -c.
Для системы отсчета S` наши формулы дают
u`x = -v, u`y = 0,
u`z = -c√(1 - v2/c2)
Мы получим тангенс угла наклона луча к оси z`, если разделим и`х наи`z:
tg α = и`х / и`z = (v/c) / √(1 - v2/c2)
Если скорость v не очень велика, то можно применить известную нам приближенную формулу, с помощью которой получаем
tg α = v/c + 1/2*v2/c2.
Первое слагаемое представляет собой хорошо известный классический результат; второе слагаемое есть релятивистская поправка.
Орбитальная скорость Земли равна примерно 30 км/сек, так что (v/c) = 10-4. Для малых углов тангенс равен самому углу, измеренному в радианах; так как радиан содержит круглым счетом 200 000 угловых секунд, то получаем для угла аберрации:
α = 20°
Релятивистская поправка в 20 000 000 раз меньше и лежит далеко за пределами точности астрономических измерений. Вследствие аберрации звезды описывают ежегодно на небе эллипсы с большой полуосью в 20".
Когда мы смотрим на движущееся тело, мы видим его не там, где оно находится в данный момент, а там, где оно было несколько раньше, ибо свету нужно некоторое время, чтобы Дойти от тела до наших глаз. Это явление с точки зрения теории относительности эквивалентно аберрации и сводится к ней при переходе к той системе отсчета, в которой рассматриваемое тело неподвижно. На основании этого простого соображения мы можем получить формулу аберрации совершенно элементарным путем, не прибегая к релятивистскому закону сложения скоростей.
Пусть наше светило движется параллельно земной поверхности справа налево (рис. 22). Когда оно прибывает в точку А, наблюдатель, находящийся точно под ним в точке С, видит его еще в точкеВ. Если скорость светила равна v, а промежуток времени, в течение которого оно проходит отрезок АВ, равен Δt, то
AB = Δt,
BC=cΔt,
sin α = AB/BC = v/c.
Но тогда, согласно формуле тригонометрии,
что и требовалось доказать. Заметим, что в классической кинематике эти две точки зрения не эквивалентны.
Интересен также следующий вопрос. Как известно, в классической кинематике скорости складываются по правилу параллелограмма. Мы заменили этот закон другим, более сложным. Значит ли это, что в теории относительности скорость уже не есть вектор?
Во-первых, то обстоятельство, что u ≠ u`+v (жирными буквами мы обозначаем векторы), само по себе не дает еще оснований отрицать векторную природу скорости. Из двух данных векторов третий вектор можно получить не только путем их сложения, а, например, путем векторного умножения, и вообще бесчисленным множеством способов. Ниоткуда не следует, что при перемене системы отсчета векторы и` и v обязаны именно складываться. И действительно, существует формула, выражающая и через и` и v с помощью операций векторного исчисления:
В связи с этим следует признать, что название «закон сложения скоростей» не совсем удачно; правильнее говорить, как это и делают некоторые авторы, не о сложении, а о преобразовании скорости при перемене системы отсчета.
Во-вторых, и в теории относительности можно указать случаи, когда скорости складываются по-прежнему векторно. Пусть, например, тело двигалось в течение некоторого промежутка времени Δt со скоростью u1, а затем — такой же отрезок времени со скоростью u2. Это сложное движение можно заменить движением с постоянной скоростью u = u1+ u2. Здесь скорости u1 и u2складываются, как векторы, по правилу параллелограмма; теория относительности не вносит здесь никаких изменений.
Следует вообще заметить, что большинство «парадоксов» теории относительности связано так или иначе с изменением системы отсчета. Если рассматривать явления в одной и той же системе отсчета, то вносимые теорией относительности изменения в их закономерности далеко не столь кардинальны, как часто думают.
Отметим еще, что естественным обобщением обычных трехмерных векторов в теории относительности являются векторы четырехмерные; при перемене системы отсчета они преобразуются по формулам Лоренца. Кроме трех пространственных компонент, они имеют компоненту временную. В частности, можно рассматривать четырехмерный вектор скорости. Пространственная «часть» этого вектора, однако, не совпадает с обычной трехмерной скоростью, и вообще четырехмерная скорость по своим свойствам заметно отличается от трехмерной. В частности, сумма двух четырехмерных скоростей не будет уже, вообще говоря, скоростью.