Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ І НАУКИ, МОЛОДІ ТА СПОРТУ УКРАЇНИ
ГОРЛІВСЬКИЙ ТЕХНІКУМ ДОНЕЦЬКОГО НАЦІОНАЛЬНОГО УНІВЕРСИТЕТУ
ЛЕКЦІЯ № 7
з теми: «Інтегрування трансцендентних функцій.»
Модуль КЗН-02. ПР.О.03.07 Невизначений інтеграл.
Дисципліна: «Математичний аналіз»
|
Розглянуто та схвалено на засіданні циклової комісії інформаційних технологій та прикладної математики. Протокол № ____ від _______20__ р. Голова циклової комісії ПМ Велікодна О. В. |
Розробив викладач Велікодна О. В. |
ПЛАН ЗАНЯТТЯ
Дата: курс: ІІI
Викладач: Велікодна Ольга Володимирівна.
Тема: Інтегрування трансцендентних функцій.
Мета:
Тип: лекція
Вид: лекція – дослідження.
Методи та форми проведення заняття: словесні, наглядні, проблемно – пошукові.
Науково-методичне забезпечення:
Між предметні зв’язки:
Обладнання: зошити, ручки, крейда, дошка.
ХІД ЗАНЯТТЯ
Конспект лекції № 7.
Тема: Інтегрування трансцендентних функцій.
План лекції № 7.
До інтегралів від трансцендентних функцій, що обчислюються за допомогою інтегрування за частинами, відносяться багато різних інтегралів, наприклад такі: ; ; ;; . Показники n – ціле невід’ємне число. Для обчислення інтегралів потрібно двічі про інтегрувати їх за частинами – в результаті отримаємо для них лінійне рівняння, з якого відразу знайдуться інтеграли. Наприклад, І = = . Звідки маємо: І = .
В інтегралах ; після однократного інтегрування за частинами отримаємо інтеграли того ж типу, але з меншим показником ступеня.
В інтегралах ;; після однократного інтегрування за частинами пропаде трансцендентна функція, причому в інтегралах ; отримаємо інтеграл від ірраціональної функції, що виражається через елементарні функції, а в інтегралах ; - інтеграл від раціональної функції, що виражається через елементарні функції.
Вище ми розглядали інтеграли від раціональних функцій , де змінні були раціональні та ірраціональні вирази або функції. Важливим є клас інтегралів від раціональних функцій, змінними в яких є деякі трансцендентні функції. Розглянемо такі інтеграли.
1. . Цей інтеграл раціоналізується до алгебраїчного виду підстановкою . Звідси . Таким чином .
Приклад. Знайти інтеграл.
.
2. Інтеграл - зводиться до раціонального алгебраїчного виду підстановкою . Звідси , , . В результаті одержується .
Приклад. Знайти інтеграл.
=.
Зауваження. Підстановка дає можливість звести до раціонального алгебраїчного виду інтеграл у тому випадку, коли хоча б один, або обидва показники m і n від’ємні.
Приклад. Знайти інтеграл.
.
Інтеграл виду зводиться до раціонального алгебраїчного виду універсальною підстановкою . Звідси , , , .
Отже .
Назва універсальна підстановка говорить про те, що вона може бути застосована при знаходженні інтеграла від будь-яких співвідношень тригонометричних функцій і . Однако, найбільш ефективною вона є в тих випадках, коли функції і мають перші степені і представлені у вигляді суми чи різниці. Застосування цієї підстановки до випадків, коли і мають парні степені приводить до раціональних дробів з високими степенями. Тому, в таких випадках краще застосовувати підстановку , або якусь іншу.
Приклад. Знайти інтеграл.
.
4. Інтеграл виду підстановкою зводиться до одного із таких інтегралів:
а) ; б) ; в) які в свою чергу, підстановками відповідно , , зводиться до інтегралів виду .
Приклад. Знайти інтеграл.