У вас вопросы?
У нас ответы:) SamZan.net

Если во всех точках интервала b вторая производная функции fx отрицательна то кривая y fx обращена в

Работа добавлена на сайт samzan.net: 2015-07-10

Поможем написать учебную работу

Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.

Предоплата всего

от 25%

Подписываем

договор

Выберите тип работы:

Скидка 25% при заказе до 6.4.2025

Определение. Кривая обращена выпуклостью вверх на интервале (а, b), если все ее точки лежат ниже любой ее касательной на этом интервале. Кривая, обращенная выпуклостью вверх, называется выпуклой, а кривая, обращенная выпуклостью вниз – называется вогнутой.

 Теорема 1.  Если во всех точках интервала (ab) вторая производная функции f(x) отрицательна, то кривая y = f(x) обращена выпуклостью вверх (выпукла).

 Доказательство. Пусть х0  (ab). Проведем касательную к кривой в этой точке.

            Уравнение кривой: y = f(x);

            Уравнение касательной: 

Следует доказать, что .

 

По теореме Лагранжа для f(x) – f(x0):     x0 < c < x.

 

 

По теореме Лагранжа для   

 

Пусть х > x0 тогда x0 < c1 < c < x. Т.к. x – x0 > 0 и c – x0 > 0, и кроме того по условию

,  следовательно,    .

 

Пусть x < x0 тогда x < c < c1 < x0 и x – x0 < 0,   c – x0 < 0, т.к. по условию то

.

 Аналогично доказывается, что если f(x) > 0 на интервале (ab), то кривая y=f(x) вогнута на интервале (ab).

 Теорема доказана.

 Определение. Точка, отделяющая выпуклую часть кривой от вогнутой, называется точкой перегиба.

 Очевидно, что в точке перегиба касательная пересекает кривую.

 Теорема 2. Пусть кривая определяется уравнением y = f(x). Если  вторая производная f(a) = 0 или f(a) не существует и при переходе через точку х = а  f(x) меняет знак, то точка кривой с абсциссой х = а является точкой перегиба.

 

            Доказательство. 1) Пусть f(x) < 0 при х < и f(x) > 0 при x > a. Тогда при

x < кривая выпукла, а при x > кривая вогнута, т.е. точка х = а – точка перегиба.

 

1)      Пусть f(x) > 0 при x < и f(x) < 0 при x < b. Тогда  при x < кривая обращена выпуклостью вниз, а при x > b – выпуклостью вверх. Тогда x = – точка перегиба.

 

Теорема доказана.

Необходимое условие существования точки перегиба: если функция f(x), дважды дифференцируемая в некоторой окрестности точки x0, имеет в x0 точку перегиба, то .

 1. Если  меняет знак при переходе через точку x0, то x0 - точка перегиба.

     2. Если  то при n четном x0 - точка перегиба,




1. ВОЛНОВАЯ ОПТИКА. ТЕПЛОВОЕ ИЗЛУЧЕНИ
2. тема комплекс взаимосвязанная совокупность принципов и подходов исследовательской деятельности на котор
3. Г ЗУБЧАТЫЕ И ЧЕРВЯЧНЫЕ ПЕРЕДАЧИ Раздел 1- Прямозубые зубчатые передачи
4. Законодательство Российской Федерации гарантирует социальную защиту всем участникам боевых действий
5. этнических конфликтов
6. Команде пришедшей на матче меньше 4 человек засчтитываеться техническое поражение
7. это непосредственная обязанность каждого он не вправе перекладывать ее на окружающих
8. Реферат Возможные экологические последствия войн и военных конфликтов Выполнила- Студентка груп
9. вот основные составляющие воспитания любого лидера
10. Тема- Участники административного процесса