2Определители nпорядка
Работа добавлена на сайт samzan.net:
1)Определители 2 и 3 порядков. Определители 2 порядка на число, соответствующее квадратной таблице 2х2 и выполняющие по определению правила. det А = а11а22 - а12а21.
2)Определители n-порядка.Элементы главной и побочной диагоналей. Определителем или детерминантом n-го порядка называется число записываемое в виде
Диагональ, образованная элементами а11 и а22 называется главной.
Диагональ, образованная элементами а12 и а21 называется побочной.
3)Правила Саррюса, пример.
пример
4)Когда определитель равен 0. Если одна из строк определителя состоит из нулей, то определитель равен нулю. Определитель, содержащий две одинаковые строки или столбца, равен нулю. Определитель, содержащий две пропорциональные строки, равен нулю.
5)Основные свойства определителей. Величина определителя не изменится, если его строки и столбцы поменять местами. При перестановке двух строк (столбцов) его знак меняется на противоположный. Определитель равен нулю, если:а) все элементы какой-нибудь строки (столбца) равны нулю;б) элементы каких-либо двух строк (столбцов) пропорциональны;в) элементы каких-либо двух строк (столбцов) равны. Общий множитель элементов какой-нибудь строки (столбца) можно выносить за знак определителя. Если к элементам некоторой строки (столбца) определителя прибавить соответствующие элементы другой строки (столбца), умноженные на общий множитель , то величина определителя не изменится.
6)Минор и алгебраическое дополнения. Элементы определителей. Минором некоторого элемента aij определителя n-го порядка называется определитель (n-1)-го порядка, который получается, если в исходном определителе вычеркнуть строку и столбец, содержащие данный элемент. Алгебраическим дополнением элемента называется его минор, умноженный на (-1)i+k. Алгебраическое дополнение элемента aik обозначается Аik.
7)Сложение и умножение на число определителей. Тоже самое что и матрицы(см. 10 вопрос)
8) Разложение определителей по элементам строки и столбца. Алгебраическое дополнение Ai,j элемента ai j определяется формулой
.
Теорема о разложении определителя по элементам строки. Определитель матрицы A равен сумме произведений элементов строки на их алгебраические дополнения:
.
Теорема о разложении определителя по элементам столбца. Определитель матрицы A равен сумме произведений элементов столбца на их алгебраические дополнения:
.
9)Матрица m*x порядка; основные понятия.
Матрицей размера mxn называется прямоугольная таблица чисел, содержащая m
строк и n столбцов.где м- кол-во строк, н-кол-во столбцов.
Элементы матрицы, у которых номер строки и номер столбца
совпадает, называются диагональными и образуют главную диагональ матрицы.
Если все недиагональные элементы матрицы равны нулю, то матрицу называют
диагональной. Если у диагональной матрицы n-ого порядка на главной
диагонали все элементы равны 1, то матрица называется единичной и
обозначается Е. Матрица любого размера, все элементы которой равны 0,
называется нуль-матрицей.
10)Сложение матриц и умножение матриц. Сложение: операция сложения матрицы вводится только для матриц одинаковых размеров.
, ,.
к- любое чило =>( ka11 ka12, ka21 ka22)
11)Единичная и транспонированная матрица. Единичной матрицей называется диагональная матрица, у которой все диагональные элементы равны единице, Обозначается Е.
|
|
Формально, транспонированная матрица для матрицы размеров — матрица размеров , определённая как AT[i, j] = A[j, i].
Например,
и
12)Обратная матрица данной матрицы.
Обратной матрицей называется матрица, которая при умножении как справа, так и слева на данную матрицу дает единичную матрицу.
Обозначим обратную матрицу к матрице А через , тогда согласно определению получим:
где Е – единичная матрица.
13)СЛАУ n-го порядка. Основные понятия. Системой линейных алгебраических уравнений с неизвестными называется система уравнений вида
- неизвестные переменные, - коэффициенты (некоторые действительные или комплексные числа), - свободные члены (также действительные или комплексные числа).
14)Метод Крамера. способ решения систем линейных уравнений, у которых количество переменных равно количеству уравнений
15)Матричный метод.
В этой статье поговорим о матричном методе решения систем линейных алгебраических уравнений вида , которые в матричной форме записываются как , где - основная матрица системы, - матрица-столбец неизвестных переменных, - матрица свободных членов
18)Вектор его модуль, проекции на оси. Чтобы вычислить проекцию вектора на ось (например, ось X) надо из координаты точки его конца вычесть координату точки начала, то есть
аx = хк − xн.
Длина направленного отрезка определяет числовое значение вектора и называется длиной вектора или модулем вектора. Для обозначения модуля вектора используются две вертикальные линии слева и справа |AB|
Так в случае плоской задачи модуль вектора a→={x1;y1} можно найти по следующей формуле
|a→|=x21+y21корень квадратный
19)Сложение, вычитание, умножение вектора на число.
AC = AB + BC
с = а − b = а + (− b).
m (a + b) = ma + mb
20)Направляющие косинусы векторов.
это косинусы углов, которые вектор образует с положительными полуосями координат. Направляющие косинусы однозначно задают направление вектора. Если вектор имеет длину 1, то его направляющие косинусы равны его координатам. В общем случае для вектора с координатами (a; b; c) направляющие косинусы равны:
где a, b, g – углы, составляемые вектором с осями x, y, z соответственно.
21)Разложение вектора по ортам. Орт координатной оси обозначается через , оси - через , оси - через (рис. 1).
Для любого вектора , который лежит в плоскости , имеет место следующее разложение:
Если вектор расположен в пространстве, то разложение по ортам координатных осей имеет вид:
22)Скалярным произведением двух ненулевых векторов и называется число, равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними:
23)Угол между двумя векторами
, :
Если угол между двумя векторами острый, то их скалярное произведение положительно; если угол между векторами тупой, то скалярное произведение этих векторов отрицательно. Скалярное произведение двух ненулевых векторов равно нулю, тогда и только тогда, когда эти векторы ортогональны.
24)Условие параллельности и перпендикулярности двух векторов.
Условие перпендикулярности векторов
Векторы являются перпендикулярными тогда и только тогда, когда их скалярное произведение равно нулю.Даны два вектора a(xa;ya) и b(xb;yb). Эти векторы будут перпендикулярны, если выражение xaxb + yayb = 0.
25)Векторные произведение двух векторов.
Векторным произведением двух неколлинеарных векторов называется такой вектор c=a×b, который удовлетворяет следующим условиям: 1) |c|=|a|•|b|•sin(a^b) 2) c⊥a, c⊥b 3) Векторы a, b, с образуют правую тройку векторов.
26) Коллинеарные и компланарные вектора..
Векторы коллинеарные, если абсцисса первого вектора относится к абсциссе второго так же, как ордината первого — к ординате второго.Даны два вектора a(xa;ya) и b(xb;yb). Эти векторы коллинеарны, если xa = xb и ya = yb, где R.
Векторы −→a,−→b и −→c называются компланарными, если существует плоскость, которой они параллельны.
27) Смешанное произведение трех векторов. Смешанное произведение векторов — скалярное произведение вектора a на векторное произведение векторов b и c. Найти смешанное произведение векторов a = {1; 2; 3}, b = {1; 1; 1}, c = {1; 2; 1}.
Решение:
|
· [
|
1 |
2 |
3 |
= |
|
1 |
1 |
1 |
||
|
1 |
2 |
1 |
= 1·1·1 + 1·1·2 + 1·2·3 - 1·1·3 - 1·1·2 - 1·1·2 = 1 + 2 + 6 - 3 - 2 - 2 = 2
28)Расстояние между двумя точками на плоскости. Расстояние между двумя данными точками равно корню квадратному из суммы квадратов разностей одноименных координат этих точек.
29)Деление отрезка в данном отношении. Если точка М(x; y) лежит на прямой, проходящей через две данные точки (, ) и (, ), и дано отношение , в котором точка М делит отрезок , то координаты точки М определяются по формулам
, .
Если точка М является серединой отрезка , то ее координаты определяются по формулам
, .
30-31. Угловым коэффициентом прямой называется тангенс угла наклона этой прямой. Угловой коэффициент прямой обычно обозначают буквой k. Тогда по определению
Уравнение прямой с угловым коэффициентом имеет вид , где k - угловой коэффициент прямой, b – некоторое действительное число. Уравнением прямой с угловым коэффициентом можно задать любую прямую, не параллельную оси Oy (для прямой параллельно оси ординат угловой коэффициент не определен).
33.Общее уравнение прямой на плоскости. Уравнение вида есть общее уравнение прямой на плоскости в прямоугольной системе координат Oxy. В зависимости от значений постоянных А,В и С возможны следующие частные случаи:
• C = 0, А ≠0, В ≠ 0 – прямая проходит через начало координат
• А = 0, В ≠0, С ≠0 { By + C = 0}- прямая параллельна оси Ох
• В = 0, А ≠0, С ≠ 0 { Ax + C = 0} – прямая параллельна оси Оу
• В = С = 0, А ≠0 – прямая совпадает с осью Оу
• А = С = 0, В ≠0 – прямая совпадает с осью Ох
34.Уравнение прямой в отрезках на плоскости в прямоугольной системе координат Oxy имеет вид , где a и b - некоторые отличные от нуля действительные числа. Это название не случайно, так как абсолютные величины чисел а и b равны длинам отрезков, которые прямая отсекает на координатных осях Ox и Oy соответственно (отрезки отсчитываются от начала координат). Таким образом, уравнение прямой в отрезках позволяет легко строить эту прямую на чертеже. Для этого следует отметить в прямоугольной системе координат на плоскости точки с координатами и , и с помощью линейки соединить их прямой линией.
35.Нормальное уравнение прямой имеет вид
где – расстояние от прямой до начала координат; – угол между нормалью к прямой и осью .
Нормальное уравнение можно получить из общего уравнения (1), умножив его на нормирующий множитель , знак противоположен знаку , чтобы .
Косинусы углов между прямой и осями координат называют направляющими косинусами, – угол между прямой и осью , – между прямой и осью :
тем самым, нормальное уравнение можно записать в виде
Расстояние от точки до прямой определяется по формуле
36.Расстояние между точкой и прямой вычисляется по следующей формуле:
где x0 и y0 координаты точки, а A, B и С коэффициенты из общего уравнения прямой
37. Приведение общего уравнения прямой к нормальному. Уравнение и плоскость в данном контексте не отличаются друг от друга чем-то, кроме количества слагаемых в уравнениях и размерностью пространства. Поэтому сначала скажу все про плоскость, а в конце сделаю оговорку по поводу прямой.
Пусть дано общее уравнение плоскости: Ax + By + Cz + D = 0.
;. получаем систему:;Mc=cos, MB=cosПриведем его к нормальному виду. Для этого умножим обе части уравнения на нормирующий множитель М. Получаем: Мах+Мву+МСz+MD=0. При этом МА=cos;.;Mc=cos, MB=cos получаем систему:
М2 А2=cos2
M2 B2=cos2
M2 C2=cos2
Сложив все уравнения системы, получаем М*(А2 +В2+С2)=1 Теперь остается только выразить отсюда М, чтобы знать, на какой именно нормирующий множитель надо умножить исходное общее уравнение для приведения его к нормальному виду:
M=-+1/КОРЕНЬ КВ А2 +B2 +C2
MD должен быть всегда меньше нуля, следовательно знак числа М берется противоположный знаку числа D.
С уравнением прямой все то же самое, только из формулы для М следует просто убрать слагаемое С2.
|
Ax + By + Cz + D = 0, |
38. Общим уравнением плоскости в пространстве называется уравнение вида
где A2 + B2 + C2 ≠ 0 .
В трехмерном пространстве в декартовой системе координат любая плоскость описывается уравнением 1–ой степени (линейным уравнением). И обратно, любое линейное уравнение определяет плоскость.
40. Уравнение плоскости в отрезках. В прямоугольной системе координат Oxyz в трехмерном пространстве уравнение вида , где a, b и c – отличные от нуля действительные числа, называется уравнением плоскости в отрезках. Абсолютные величины чисел a, b и cравны длинам отрезков, которые плоскость отсекает на координатных осях Ox, Oy и Ozсоответственно, считая от начала координат. Знак чисел a, b и c показывает, в каком направлении (положительном или отрицательном) откладываются отрезки на координатных осях
41)Нормальное уравнение плоскости.
Нормальным уравнением плоскости называется ее уравнение, написанное в виде
, (1)
где , , - направляющие косинусы нормали плоскоти, э
p - расстояние от начала координат до плоскости. При вычислении направляющих косинусов нормали следует считать, что она направлена от начала координат к плоскости (если же плоскость проходит через начало координат, то выбор положительного направления нормали безразличен).
42)Расстояние от точки до плоскости. Пусть плоскость задана уравнением и дана точка . Тогда расстояние от точки до плоскости определяется по формуле
Доказательство. Расстояние от точки до плоскости -- это, по определению, длина перпендикуляра , опущенного из точки на плоскость
Угол между плоскостями
Пусть плоскости и заданы соответственно уравнениями и . Требуется найти угол между этими плоскостями.
Плоскости, пересекаясь, образуют четыре двугранных угла: два тупых и два острых или четыре прямых, причем оба тупых угла равны между собой, и оба острых тоже равны между собой. Мы всегда будем искать острый угол. Для определения его величины возьмем точку на линии пересечения плоскостей и в этой точке в каждой из
плоскостей проведем перпендикуляры и к линии пересечения.
43)Условия параллельности и перпендикулярности плоскостей.
|
Условия перпендикулярности 2х плоскостей. Ясно, что две плоскости перпендикулярны тогда и только тогда, когда их нормальные векторы перпендикулярны, а следовательно, или . Таким образом, . 3) Условия параллельности 2х плоскостей. Две плоскости α1 и α2 параллельны тогда и только тогда, когда их нормальные векторы и параллельны, а значит |
44)Приведение общего уравнения прямой к нормальному виду.
нормальное уравнение прямой можно получить из общего уравнения прямой. Если прямая на плоскости задана иным уравнением прямой, то это уравнение следует сначала привести к общему уравнению прямой, а уже после этого приводить общее уравнение прямой к нормальному виду.
Итак, покажем приведение общего уравнения прямой к нормальному уравнению прямой.
Чтобы привести общее уравнение прямой к нормальному виду нужно обе части равенства умножить на так называемый нормирующий множитель, который равен . Знак нормирующего множителя берется противоположным знаку слагаемого С. Если C = 0, то знак нормирующего множителя не имеет значения и может быть выбран произвольно.
45) Общее уравнение прямой в пространстве.
уравнение вида , где x, y и z – переменные, а A, B, C и D – некоторые действительные числа, причем А, В и С одновременно не равны нулю, представляет собой общее уравнение плоскости.
46)Каноническое и параметрическое уравнения прямой.
Параметрические уравнения прямой в пространстве.
Параметрические уравнения прямой в пространстве имеют вид , где x1,y1 и z1 – координаты некоторой точки прямой, ax, ay и az (ax, ay и az одновременно не равны нулю) - соответствующие координаты направляющего вектора прямой, а - некоторый параметр, который может принимать любые действительные значения.
При любом значении параметра по параметрическим уравнениям прямой в пространстве мы можем вычислить тройку чисел , она будет соответствовать некоторой точке прямой (отсюда и название этого вида уравнений прямой.
Канонические уравнения прямой в пространстве.
Разрешив каждое из параметрических уравнений прямой вида относительно параметра , легко перейти к каноническим уравнениям прямой в пространстве вида
.
Канонические уравнения прямой в пространстве определяют прямую, проходящую через точку, а направляющим вектором прямой является вектор .
47-)Угол между двумя прямыми. Условия параллельности и перпендикулярности прямых линий
Угол между двумя прямыми равен углу между их направляющими векторами. Таким образом, если вам удастся найти координаты направляющих векторов a = (x1; y1; z1) и b = (x2; y2; z2), то сможете найти угол. косинус угла по формуле:
Условия параллельности и перпендикулярности прямых лини.
Чтобы две прямые были параллельны необходимо и достаточно, чтобы направляющие векторы этих прямых были коллинеарны, т.е. их соответствующие координаты были пропорциональны.
Чтобы две прямые были перпендикулярны необходимо и достаточно, чтобы направляющие векторы этих прямых были перпендикулярны, т.е. косинус угла между ними равен нулю.
48)Уравнение линии второго порядка на плоскости. Общее уравнение кривой второго порядка имеет вид
Уравнение такого вида может определять: 1) эллипс (в частности, окружность), 2) гиперболу, 3) параболу, 4) пару прямых (параллельных, пересекающихся либо совпадающих), 5) точку или не определять никакой линии.
В простейшем случае, при В = 0, тип кривой можно определить, выделив полные квадраты переменных
49) Эллипс его параметры
Каноническое уравнение эллипса Эллипсом называется множество всех точек плоскости, сумма расстояний от каждой из которых до двух данных точек этой плоскости, называемых фокусами, есть величина постоянная, большая, чем расстояние между фокусами.
Оно называется каноническимуравнением эллипса.
50) Гипербола и его параметры. Гипербола
Гиперболой называется кривая второго порядка, которая в некоторой декартовой системе координат описывается уравнением. ,где a>0 , b>0 — параметры гиперболы. Это уравнение называется каноническим уравнением гиперболы, а система координат, в которой гипербола описывается каноническим уравнением, называется канонической.
51) Параболой называется кривая второго порядка, которая в некоторой декартовой системе координат описывается уравнением
|
y2 = 2px, |
(1) |
где p>0 — параметр параболы. Параметр параболы р есть расстояние от директрисы параболы до фокуса. Расстояние от фокуса до вершины равно половине параметра.
52)Постоянные и переменные величины. Переменные величины — это такие величины, которые в условиях данного вопроса могут принимать различные значения
Постоянные величины — это такие величины, которые в условиях данного вопроса сохраняют неизменные значения.
53) Множество. Множеством называется неупорядоченный набор различимых объектов, называемых элементами множества.
54)Числовые последовательности. Числовой последовательностью называется числовая функция, заданная на множестве натуральных чисел или на множестве первых натуральных чисел. Числовая последовательность называется возрастающей, если в ней каждый следующий член больше предыдущего.Числовая последовательность называется убывающей, если в ней каждый следующий член меньше предыдущего.Числовая последовательность называется ограниченной, если существует такое натуральное число , что для любого натурального .
55)Операции над сходящимся последовательности. Последовательность, у которой существует предел, именуется сходящейся. a1, a2, a3, ..., an, ..., {an}
и
b1, b2, b3, ..., bn, ..., {bn},
то получим их сумму в виде
(a1 + b1), (a2 + b2), (a3 + b3), ..., (an + bn), ..., {an} + {bn},
разность в виде
(a1 - b1), (a2 - b2), (a3 - b3), ..., (an - bn), ..., {an} - {bn},
а их произведение в виде
(a1 b1), (a2 b2), (a3 b3), ..., (an bn), ..., {an} {bn}.
Частное от деления двух последовательностей получим как частное от деления членов последовательности {an} на соответствующие члены последовательности {bn} при условии, что в последовательности {bn} нет членов равных нулю.
56)Экспоненте. Функция y = ex - это частный случай показательной функции. Основанием функции y = ex является иррациональное число e = 2.7182818284... Эта функция обладает характерной особенностью: касательная к графику функции y = ex в точке x = 0, y= 1 составляет угол 45 градусов с осью X.
57)Бесконечно малые и больше величины. Бесконечно малая
Последовательность называется бесконечно малой, если Например, последовательность чисел — бесконечно малая.
Бесконечно большая величина
Последовательность называется бесконечно большой, если : ..
Функция называется бесконечно большой в окресности точки , если . .
58)Функция одной переменной.Опреление… Пусть Х и Y — некоторые числовые множества и пусть каждому элементу x Х по какому-либо закону f поставлен в соответствие один элемент у Y. Тогда будем говорить, что определена функциональная зависимость у от x по закону у = f(x). При этом x называют независимой переменной (или аргументом), у — зависимой переменной, множество Х — областью определения (существования) функции, множество Y — областью значений (изменения) функции.
59) Способы задания функции.
Аналитический способ.
Аналитический способ - это наиболее часто встречающийся способ задания функции.
Заключается он в том, что функция задается формулой, устанавливающей, какие операции нужно произвести над х, чтобы найти у. Например. .
Рассмотрим первый пример - . Здесь значению x = 1 соответствует , , значению x = 3 соответствует и т. д.
Функция может быть задана на разных частях множества X разными функциями.
При графическом способе вводится прямоугольная система координат и в этой системе координат изображается множество точек с координатами (x,y). При этом .
Табличный способ.
Табличный способ наиболее удобен, когда множество Х конечно. При этом способе составляется таблица, в которой каждому элементу из множества Х, ставится в соответствие число Y. Основными элементарными функциями являются: постоянная функция (константа), корень n-ой степени, степенная функция, показательная, логарифмическая функция, тригонометрические и обратные тригонометрические функции. Постоянная функция (константа), ее график и свойства.
Корень n-ой степени, свойства и график.
Степенная функция, ее график и свойства.
Показательная функция, свойства, график.
Логарифмическая функция, ее свойства, графическая иллюстрация.
Свойства и графики тригонометрических функций.
Обратные тригонометрические функции (аркфункции), их свойства и графики.
60) Предел функции, определение, свойства. Точку (действительное число) a называют пределом (значений) функции f(x) x X, в точке х0 ; если для любой последовательности точек xn X ; n = 1,2,… , имеющей своим пределом точку x0 , последовательность значений функции в этих точках, т.е. { f(xn) }, имеет своим пределом точку a. Предел постоянной величины
Предел постоянной величины равен самой постоянной величине:
2) Предел суммы
Предел суммы двух функций равен сумме пределов этих функций:
Аналогично предел разности двух функций равен разности пределов этих функций.
Расширенное свойство предела суммы:
Предел суммы нескольких функций равен сумме пределов этих функций:
Аналогично предел разности нескольких функций равен разности пределов этих функций.
3) Предел произведения функции на постоянную величину
Постоянный коэффициэнт можно выносить за знак предела:
4) Предел произведения
Предел произведения двух функций равен произведению пределов этих функций:
Расширенное свойство предела произведения
Предел произведения нескольких функций равен произведению пределов этих функций:
5) Предел частного
Предел частного двух функций равен отношению пределов этих функций при условии, что предел знаменателя не равен нулю:
61) Бесконечно малые функции и их эквивалентные
Функции и называют эквивалентными бесконечно малыми при , если
62) первый и второй замечательные пределы.
; (Первый замечательный предел)
(Второй замечательный предел)
63) Непрерывность функции в точке,свойство.
Пусть функции и непрерывны в точке a. Тогда
Согласно свойству пределов функций существование пределов функций и гарантирует существование предела их суммы. При этом
что и требовалось доказать.
Свойство. Сумма конечного числа непрерывных функций есть функция непрерывная.
Произведение конечного числа непрерывных функций есть функция непрерывная.
Любая элементарная функция непрерывна в области своего определения.
Для доказательства этой теоремы нужно показать, что для любого числа a из области определения элементарной функции выполняется условие
68) Производная показательной и степенной функций.
Производные показательных функций:
Производные степенных функций:
69) Производные логарифмических и тригонометрических функций.
Производные логарифмических функций:
Производные тригонометрических функций:
70)Производная сложной функции.
Если y=f(u), где u=u(x), то есть y — сложная функция, то производная сложной функции находится по следующему правилу: y’=f’(u)·u’(x), то есть производную внешней функции f надо умножить на производную внутренней функции u.
y=sin(2x+3). Здесь внешняя функция синус: f=sinu, внутренняя — линейная: u=2x+3. Соответственно, производная данной сложной функции есть y’=cos(2x+3)·(2x+3)’=c0s(2x+3)·2=2c0s(2x+3).
71)Производная обратной функции.
2. Отчет по лабораторной работе 3 по дисциплине Метрология стандартизация и сертификация.
3. Границы и оборонное строительство Китая
4. на широкую публикув форме диалога
5. Производство керамической черепицы пластическим способом
6. Работы Вавилова Н.html
7. Об основах охраны труда в Российской Федерации
8. Современные педагогические технологии
9. .koob.ru Кречмер Эрнст Строение тела и характер Предисловие ко второму.
10. Лекция 3. Управление движением денежных средств
11. Тема- Учет готовой продукции 1
12. Ведение отчетности малого предприятия
13. Управление рекламой
14. НАЗНАЧЕНИЕ И ПРЕДМЕТ КУРСА ИГПЗС
15. При прочих равных условиях наибольшее текущее значение будет иметь ускоренный аннуитет
16. Дипломная работа- Договор аренды недвижимости
17. Планирование на перерабатывающих предприятиях и предприятиях торговли
18. а техногенна біосоціогенна соціальнополітична військова; від масштабу- глобальна національна загально
19. НА ТЕМУ О РАБОТЕ АКТЁРСКОГО ОТДЕЛЕНИЯ В НОВЫХ УСЛОВИЯХ В ДОМЕ МОЛОДЁЖИ КИНОТЕАТР МОДЕРН ВХОД СО ДВОРА
20. . ~ 80 с. Учебное пособие составлено в соответствии с рабочей программой лечебного и педиатрического факул.