У вас вопросы?
У нас ответы:) SamZan.net

ции на выпуклость

Работа добавлена на сайт samzan.net: 2015-07-05

Поможем написать учебную работу

Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.

Предоплата всего

от 25%

Подписываем

договор

Выберите тип работы:

Скидка 25% при заказе до 4.2.2025

Исследование ф-ции на выпуклость.

График дифференцируемой функции у=ƒ(х) называется выпуклым вниз на интервале (а;b), если он расположен выше любой ее касательной на этом интервале. График функции у=ƒ(х) называется выпуклым вверх на интервале (а;b), если он расположен ниже любой ее касательной на этом интервале.

Точка графика непрерывной функции у=ƒ(х), отделяющая его части разной выпуклости, называется точкой перегиба.

На рисунке 154 кривая у=ƒ(х) выпукла вверх в интервале (а;с), выпукла вниз в интервале (с;b), точка М(с;ƒ(с)) — точка перегиба.

Интервалы выпуклости вниз и вверх находят с помощью следующей теоремы.

Теорема 25.11. Если функция у=ƒ(х) во всех точках интервала (а;b) имеет отрицательную вторую производную, т. е. ƒ"(х)<0, то график функции в этом интервале выпуклый вверх. Если же ƒ"(х)>0 " xє(а;b) — график выпуклый вниз.

▲Пусть ƒ"(х)<0 " xє(а;b). Возьмем на графике функции произвольную точку М с абсциссой х0є(а;b) и проведем через М касательную (см. рис. 155).

Покажем, что график функции расположен ниже этой касательной. Для этого сравним в точке хє(а; b) ординату у кривой у=ƒ(х) с ординатой укас ее касательной. Уравнение касательной, как известно, есть

Укас-ƒ(х0)=ƒ'(х0)(х-х0),      т.е.      Укас=ƒ(х0)+f(x0)(x-х0).

Тогда у-укас=ƒ(х)-ƒ(х0)-ƒ'(х0)(х-х0). По теореме Лагранжа, ƒ(х)-ƒ(х0)=ƒ'(с)(х-x0), где с лежит между х0 и х. Поэтому

У-Укас=ƒ'(с)(х-х0)-ƒ'(х0)(х-х0),

т. е.

У-Укас=(ƒ'(с)-ƒ'(х0))(х-х0).

Разность ƒ'(с)-ƒ'(х0) снова преобразуем по формуле Лагранжа:

ƒ'(с)-ƒ'(х0)=ƒ"(с1)(с-х0),

где с1 лежит между х0 и с. Таким образом, получаем

У-Укас=f"(c1)(c-х0)(х-х0).

Исследуем это равенство:

1)  если х>х0, то х-х0>0, с-х0>0 и f"(c1)<0. Следовательно, У-Укас<0, т. е. у<укас:   

2)  если х<х0, то х-х0<0, с-х0<0 и f"(c1)<0. Следовательно, У-Укас<0, т. е. у<укас:   

Итак, доказано, что во всех точках интервала (а;b) ордината касательной больше ординаты графика, т. е. график функции выпуклый вверх. Аналогично доказывается, что при ƒ"(х)>0 график выпуклый вниз. ▼

Для нахождения точек перегиба графика функции используется следующая теорема.

Теорема 25.12 (достаточное условие существования точек перегиба). Если вторая производная ƒ"(х) при переходе через точку х0, в которой она равна нулю или не существует, меняет знак, то точка графика с абсциссой х0 есть точка перегиба.

Пусть ƒ"(х)<0 при х<х0 и ƒ"(х)>0 при х>х0. Это значит, что слева от х=х0 график выпуклый вверх, а справа — выпуклый вниз. Следовательно, точка (х0;ƒ(х0)) графика функции является точкой перегиба.

Аналогично доказывается, что если ƒ"(х)>0 при х<x0 и ƒ"(х)<0 при х>х0, то точка (х0;ƒ(х0)) — точка перегиба графика функции у=ƒ(х).




1. Направление Фэн-шуй и его использовании в интерьере и экстерьере ресторана
2. Применение препарата Дюфастон в период после переноса эмбрионов в программе экстракорпорального оплодотворения
3. Причины нарушения здоровья профессионала
4. ОБ АВТОРЕ Роберт Линдон занимается соколиной охотой с детства
5. реферат дисертації на здобуття наукового ступеня доктора технічних наук Київ 1999 Дисертація є
6. это соглашение сторон по которому поставщик продавец осуществляющий предпринимательскую деятельность
7. Беспозвоночные черви
8. ТЕМАТИКА КОНТРОЛЬНЫХ РАБОТ- Анкетные методы оценки спроса
9. Лабораторная работа 39 ИССЛЕДОВАНИЕ ЗАТУХАЮЩИХ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ КОЛЕБАНИЙ В КОЛЕБАТЕЛЬНОМ RLCКОНТУ
10. Так и напиши ~ детективная история