Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
1.Теория подобия, как аппарат моделирования.
Теория подобия- основ. на подобии явлений кот. описывается одинаковыми уравнениями. Подобные явления, те явления для которых неизменно остаются отношения хар-ных исходных величин.
Рассмотрим на основе геометрии подобия мешалки:
, где Ke- константа подобия.
Но геометрично подобие обычно выражает через опред. геометрич. модель.
- инвариант подобия.
- идем.
Инварианты в подобиях системах хранят одно и тоже значение, но не равны между собой как const. Idem выражается отношениями однородных величин наз. Критериями или симплексами Q разновидных величин комплексами.
Idem физ. подобия- получ. путем преобразования диф. уравнений, кот. описываются варианты или процессы- наз. Критериями подобия.
Рассмотрим получ. критерий подобия из опред. уравн-й на примере гидродинамич. подобия.
Приним, что движение установившиеся, т.е . Запишем
диффиринциалы конечных величинами.
L- опр. линейный размер.
, ; .
Поскольку размерность левой и правой части одинаково, то разделив кадый член лев. части на правую, получим единицу, т.е. безрамерн. критерия подобия.
- критерий Фруда.
Он хар-ет отношение силы тяжести и инерции. .
- критерий Эйлера;
- критерий Рейнольдса. Хар-ет режим движения жидкости.
В разных сечениях соблюдены следующие условия:
, ,
(1)
А, m, k – эмпирич. коэф.
, где KN- коэф. Мощности мешалки.
2. Метод анализа размерности.
Часто для сложных процессов отсутствуют диф. урав-ия, кот. их описывает поэтому и критерии подобия получ. не возможно предыдущим способом. Поэтому и использ. метод анализа размерности павой и левой части любого ура-ия одинаковы.
Сначала устанавливаем все физ. параметры, кот. влияют на процесс и опр. сверх между ними( необх. Найти период давления при двумя в гориз. трубе).
Из условия размерного однообр. показателя степени для каждой ед. в лев. и прав. частях урав-ия должны быть равны.
кг с=-d
м b=1+d
с a=2+d
Разделим левую и правую часть на
Теория Бекингема: любую зав-ть, кот. связыв. между собой n – параметров при m основных единиц измерения можно представить в виде зависимости между n-m безразмерными комплексами этих велечин.
n=5 m=3 n-m=5-3=2.
3. Метод аналогий
Важным свойством многих явлений, процессов является то, что разные по своей физической сущности процессы описываются одинаковыми уравнениями. Так во многих разделах физики, встречаются процессы, которые записываются уравнениями след.вида:
Где q- течение вещества, a- коэффициент, - скалярная величина.
,изменение функции в направлении перпендикулярном поверхности уровня
Например: вязкое течение жидкости по закону Ньютона:
Где -касательное напряжение, - вязкость, - скорость.
Теплопроводность по уравнению Фурье:
Где - тепловой поток, - коэффициент теплопроводности, Т- температура.
Диффузия в уравнениях Филя:
Где - течение массы, D- коэффициент диффузии, с- концентрация.
Закон Ома:
Где - плотность тока, U- потенциал.
Для гидродинамического процесса фильтрования, Павловским была использована электрическая модель.
Где V- скорость фильтрования, к- коэффициент фильтрования, Р- разность давлений.
Метод электрогидродинамической аналогии заключается в том, что в емкость заливается электролиты разной проводимости. Меняются объем электролита, потенциал и замеряют плотность тока.
4. Составление и алгоритмизация математических моделей
Математическая модель – приближенное описание какого-либо процесса, выраженного с помощью математической символики.
Существует 3 этапа составления математических моделей:
Постановка задачи моделирования
|
Составление математического описания |
Составление алгоритма и его реализация |
|
Проверка адекватности модели |
|
Использование математической модели |
Составление математической модели начинается с физического описания объекта моделирования, при этом в объекте выделяют некоторые элементарные процессы.
Математические модели составляют для каждого элементарного процесса с некоторыми допущениями и упрощениями. Затем модели всех процессов сводят в единую систему математического описания объекта.
Составление мат. описания может осуществляться 3 методами:
Пример составления мат. модели рассмотрен на задаче по определению размера отверстия сита для надежного прохождения частиц.
Начальные условия:
Граничные условия: когда y=0, частица пройдет через отверстие и размер отверстия будет равен:
-интервал изменения параметров.
Расчет
Расчет
Ввод параметров
х0 , у0, , g, d,
начало
нет
стоп
да
5. Адекватность математической модели
Математическая модель – это аналог объекта с рядом допущений, значения переменных, полученных на моделях и реальных объектах всегда отличаются. Заключительной стадией моделирования определение адекватности. Проблемы Проблема сравнения возникает из-за неточности экспериментов на реальном объекте и большой разнице в экспериментальных данных. Экспериментальный параметр можно считать случайной величиной Весомым параметром который можно использовать является среднее значение случайной величины.
Оно называется математическим ожиданием:
N – количество параметров.
Обычно случайные величины распространяются по нармальному закону Гаусса.
Большое влияние оказывает откланение параметров X от среднего значения и этот факт необходимо учитывать. Учет осуществляеться таким параметром как дисперсией среднего откланения случайной величины от матиматического ожидания
Обычно используется выборочная дисперсия:
Где φ – число стипеней свободы, φ= n – p, p – количество предварительно посчитанных параметров p=1(X).
С учетом дисперсии критерием адекватности мадели обычно принимаеться критерий Фишера.
N – Количество по экспериментальных значений, взятых для сравнения с расчетными, n – количество всех экспериментов значений, взятых для определения X, xi, xj – экспериментальные параметры. Xp – расчетный параметр.N<n.
Далее расчетные значения критерия Фишера сравнивается с табличными. Если ϕp<ϕт, то Sад2 и Sвос2отличаються друг от друга и модель считается адекватной.
6.Метод наименьших квадратов
Этот метод используется для обратных задач моделирования, сущность его в том, что вид уравнения математического опи. Задаётся, а неизвестные коэффициенты уравнения определяются с использованием экспериментальных данных.
Например, мы задаем экспериментально функции yi в зависимости каждого от n значений параметров xi.
Связь между функцией и параметрами задаем линейным законам:
Тогда по экспериментальным данным можно записать уравнение.
Система условных уравнений.
Обычно m>n.
В дальнейшем принимаем грубо приближенные значения коэффициентов: а’, b’, k’.
A=a’+δ1
B=b’+δ2
K=k’+δn
Где δ – отклонение от средних значений.
Соответственно можно поминять расчетные значения y:
Метод наименьших квадратов заключается в том, что сумма квадратов разницы yi и y’ будем min.
yi – экспериментальное значение.
y’ – расчетное значение
Для поиска Sminопределяем частные производства приравниваем их к нулю.
После преобразования получаем систему нормальных уравнений.
Остальная часть формулы на бумажки у преподавателя.*******
|
x |
-3 |
-1 |
1 |
3 |
|
y |
5 |
1 |
-2 |
-3 |
Принимаем, что x0=1 при b0.Задаемся уравнением.
b0= - 0,69; b1= - 1,35; b2=0,19
Подставив в исходное уравнение;
7.Корелляция химической техники
В процессе экспериментов часто получается так.что функц. зависимости одному значению х соответствует несколько значений y. Распределение y изменяется в некотором соответствующим образом при изменении х. В этом случае говорят о корреляционной связи.
Есть некоторое поле распределения , причем каждому значению х не соответствующих конкретных значений у.
Силы нанести на график - среднее значение, то можно провести прямую АВ, которая наилучшим образом выравнивает среднее значение. Линия АВ называется линией регрессии у по х.
Для того, чтобы прямая АВ наилучшим образом выравнивала среднее значение у, необходимо чтобы выполнялось условие:
j-количество экспериментальных пунктов у.
Аналогично определяются линии регрессии х по у - среднее.
Они не совпадают (АВ и CD)
Наиболее важными показателями корреляции связи является коэффициент корреляции, который характеризует степень линейной связанности х и у.
Обычно r< 1. Когда r = 1 прямые регрессии совпадают и это значит, что х и у в равной мере связаны линейно. Когда r=0 линейной связи между х и у не существует.
Имеем хi и уi как набор экспериментальных значений и среднеарифметических значений . Тогда
- отклонение от средних значений
Тогда среднеквадратическое отклонение
Тогда коэффициент корреляции равен:
Приведем уравнение регрессии к следующему виду:
Порядок получения модели следующий:
8.Регрессионный анализ
Это проверка адекватности экспериментально статистические модели. Она проводиться по критериям Фишера.
m – количество точек у по вертикали
при х=const
Если, то дисперсии однородны и идем далее.
Если, то необходимо отбросить точки, которые наиболее выпадают.
,
- j-й коэффициент регрессии
- среднеквадратичное отклонение по j
если, то этот коэффициент незначительный и его исключают из уравнения
;
9. АЛГЕБРОИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ
- равновесная концентрация
х – концентрация какого то компонента
k – коэффициент распределения вещества
Рассмотрим момент отрыва
;
10. ИНТЕГРАЛТНЫЕ МОДЕЛИ
Интеграл - это сумма. Поэтому к интегральным моделям приводят те задачи которые которые рассматриваются на элементарном участке с последующим суммированием параметров по всему объему.
c - сопротивление среды
S – площадь лопасти
Движение жидкости в трубе
11. Дифференциальные модели
– это модели в виде дифференциальных уравнений которыми описывается кинетика (кинематика и динамика процесса)
Порядок ДУ – это порядок старшей производной. Степень ДУ – это высший показатель степени старшей производной.
Пример составления дифференциальной модели рассмотрим на примере истечения жидкости из ёмкости.
За время dτ уровень жидкости в сосуде понизиться на dH.
Пример: в газовый поток с постоянной скорость попадают частицы с диаметром d.
Такие уравнения (высших порядков) решаются численными методами или методами последовательных приблиений.
12. Кинетика измельчения
При измельчении материал делиться на 2 класса:
Скорость измельчения характеризуется уменьшением массы крупного класса, она пропорциональна массе неизмельчённого крупного класса который находиться в мельнице.
Эксперементально доказано(путём отбора проб), что масса крупного класса изменяется по гиперболичесской кривой.
m – масса остатка крупного класса,
m0 – масса всего материала.
к – эмпирический коэффициент который зависит от измельчения.
Разделим переменные и проинтегрируем:
Получили уравнение кинетики измельчения, по которому можно определить массу крупного класса в любой момент времени.
13. Высота падения мелющего тела в мельнице.
14.Модели движения жидкости технологических аппаратов.
В общем виде движ. газа описыв. уравнением Новье Стокса:
ρ ρg+
ρ ρg+
ρ ρg+
Для объема кубической формы
Слева в уравнении ускоренная, справа сила тяжести, давления, и сила вязкости трения.
Эти уравнения в общем виде не решаемые, но когда движение стационарно и не простое, то уравнение значительно упрощается:
ρ ρg+
ρ ρg+
Если жидкость течет самотеком, то пропадает , а если пластинки горизонтальные то ρg пропадают.
Если не учитывать вязкости трения для стационарного движения то получаем движение Эйлера, которое после интегрирования становиться уравнением Бернули:
Посмотрим модель пленочного движения жидкости.
Жидкость течет самотеком. Задача сост. определении распределение скорости по толщине пленки. Примем что V не изменяется по координате y и элементарного участка z, .
Рассмотрим движение в плоскости Z0X.Уравнение движения:
ρg+ . Рассмотрим условие динамического равновесия
проинтегрируем
еще раз проинтегрируем.
X=0 ; ; X=б ; следовательно трение на границе стенки отсутствует.
;
;
.
15 Движение твердых тел в жидкостях и газах.
Это движение рассматривается при моделировании таких процессов
как осаждение и т.д.
F=C∙Ɛ∙𝝆
Рассмотрим закрученный поток ,когда движение частиц с-ралевидное
Активными силами являются:
1. Cила тяжести
2. Сила аэродинамического воздействия
m
Основное влияние на движение материала в закрученном потоке оказывает сила аэродинамического воздействия.
=∙∙∙;
W-скорость газа в i-том сечении; V-скорость частицы, С-коэфициент аэродинамич.
сопр.
C=f (-формы частицы, которых учитываются коэфициентом формы; числа Рейнольдса)
С=(1+0,17Re2/3)
Re=
Движение закрученного газа в потоке носит сложный пространственый
характер. Частица попавшая в такой поток увлекается газом и начинает двигаться по спиральной траектории. Такое движение рассматривается в цилиндрической системе координат. Центр системы координат совместим с центром трубы. Текущими координатами будут r,ф,z. Полная скорость частицы будет характеризоваться 3-мя сстовляющими
Vr, VФ,VZ
Посклольку движение частиц носит сложный пространственный характер, то его необходимо представить в подвижной системе координат состоящего из переносного и относительного.
Переносным движением считают поворот системы координат вокруг пар.-ой оси. Тогда в проекциях на оси цилиндрической системы координат уравнение примет вид
………………………………………………………………………………….
Можно не писать……………………………
………………………………………………………………………………………….
16. Форма поверхности жидкости в вертикально вращ-ся цилиндре.
В проекте на оси координат осн. ур-ние примет вид
Fx,y,z- массовые силы.
Разложим левую и правую часть на , и сложим уравнения и получим:
Мы получили основное уравнение гидростатики, которое отобр. Закон Распределения давления внутри относительно неподвижной жидкости. Рассмотрим распределение жидкости во вращающемся цилиндре из условия, что она неподвижна относительно цилиндра
Fx=w2x;
Fy=w2y;
Fz= -g;
Домножаем на dx, dy, dz:
w2xdx+ w2ydy- gdz=0
=0
+
r=R; z=H
+ (1)
+ (2) Приравнивая (1) , (2) получаем z0
17.Массообменные процессы по своей сущности схожи на теплообменные и выражаются схожими кинетическими зависимостями
dm- изменение массы вещества;
k- коэффициентмассопередачи;
Основное уравнение массопередачи:
Су- концентрация компонента в газовой фазе;
Сх- концентрация компонентов в жидкости;
Су,х-равновесные концентрации в жидкой и газовой фазе.
Перенос вещества внутри фаз может осуществляться молекулярной и конвективной диффузией.
Молекулярная диффузия описывается законом Фика:
- градиент концентраций
В пограничном слоем преобладает молекулярная диффузия ,а в основной массе- конвективная диффузия.
Обобщенное уравнение конвективной диффузии:
Дополняем это уравнение законом Ньютона
- коэффициент массопередачи
в общем виде не решают
Переходят к критериям диффузии:
;
Рассмотрим диффузию газа в подвижную пленку жидкости
После интегрирования получаем:
18. Время охлаждения нагретого тела
Необходимо определить время через которое нагретый аппарат достигнет требуемой температуры. Тело нагрето до температуры , температура окружающей среды меньше и постоянна.
Скорость охлаждения
α-коэффициент теплоотдачи
Вместе с тем количество тепла, которое отдается телом или охлаждается от t до
При понижении температуры до
Отсюда можно определить через какое время тело изменит температуру:
23 Формулировка закона оптимизации
Итоговой целью моделирования является их наилучшая организация – оптимизация. Поиск оптимального решения любой задачи состоит из:
1. Формулировки задачи;
2. Поиска оптимальных условий на основе какого-либо алгоритма оптимизации;
3. Реализации оптимальных условий на практике.
Формулировка задачи включает:
- выбор критериев оптимизации;
- определение ограничений;
- выбор оптимальных факторов;
- математическая запись целевой функции.
Критерий оптимизации должен отвечать трём основным требованиям:
1. Должен быть единственным. Обычно наиболее обоснованно и более хорошо работают экономические критерии. Однако характер зависимости этих критериев от входных параметров системы сложен. Поэтому пользуются технологическими критериями (производительность, кач-во, продукции, энергозатраты). При оптимизации производства в целом или его крупных подразделений используются экономические критерии, технологические удобны при оптимизации более мелких объектов (узел аппарата, аппарат), т.е. при локальной оптимизации.
2. Критерий оптимизации должен выражаться числом.
3. Величина критерия оптимизации должна изм-ся монотонно при улучшении качества функционирования.
Как бы хорошо не был выбран критерий оптимизации, он не может учесть все условия, в которых должен проходить процесс. Условие которое необходимо соблюдать независимо от того как их соблюдение повлияет на величину оптимизации наз-ся ограничениями. Они чаще всего возникают по след. причинам:
Ограничения классифицируются по матем. признакам:
- в виде равенств;
- неравенств.
Оптимизирующие факторы – те из входа в систему, которые в процессе оптимизации относятся к управляющим.
24 Целевая функция и её свойства
R(x1, x2, x3) = f(x)
Ограничения
φ(x1, x2, x3) = 0
Задача оптимизации формулируется как задача отыскания экстремума, при этом в точке экстремума должны соблюдаться все ограничения.
Допустим, экстремум функции найден. Рассечём фигуру функции плоскостью Р. Тогда вокруг оптимального пункта в данной плоскости можно провести замкнутую линию с R=const – линия постоянного уровня. Этих линий можно провести несколько и на них показать ограничения. Необходимым условием для существования экстремума является , но это min условие, но не достаточное.
Допустим в некотором пункте по x1 – min, по х2 – лок. максимиз. Такие пункты наз-ся седловыми. Вдоль одной перем-й целевая ф-ция изм-ся не значительно, а вдоль другой – очень быстро (ров).
Ещё одной сложностью при определении экстремума является кроме наличия глобальных оптимизмов, ряда локальных.
25. Условие возникновения экстремума функции
Из математики известно, что необходимым условием экстремума R’=0 (для непрер-й функции).
Для определения настоящего наличия экстремума должны выполнятся условия:
1)исследование знаков высшей производной
2)Сравнение значений функций
A) Если Если
— есть min — есть max
Б) экстремум нет
3)сравнение знаков производных
если в пунктах и знаки производных разные то в п. есть экстремум, если одинаковы то нету.
26. Оптимальная высота падения мелющего тела
(*)
Приведем уравнения к центру координат в т.А и решим совместно с (*) и получим:
Целевая функция высоты , тогда αвеличина которой можно варьировать:
Отсюда следует, что
27. Оптимальная форма емкости.
Из прямоугольного листа необходимо изготовить прямоуг. емкость max объема .
Из треугольника ABC
28. Min расход м-ла на изготовление аппаратов.
Необходимо найти соотношение размеров при котором min расход при V=const
F-целевая ф-ия, r,h-переменые.
29 Постановка задач линейного програмирования.
Общая задача линейного програмирования заключается в минимизации (максимизации) линейной целевой функции вида
R= c1x1 + c2x2 +…+ cnxn =
xn – переменная; cn – заданные постоянные коэффециенты.
На независемые переменные накладываю линейные ограничения в виде равенств или неравенств.
30 Использование линейного програмирования для оптимизации технических объектов.
Задача: завод выпускает пластмассовые изделия 2-х типов А и Б, для изделия А требуется 3 кг. полиэтилена, для изделия Б 4 кг. полиэтилена. Завод на неделе может получать 1700 кг. полиэтилена. На изделие А требуется 12 мин. а для Б 30 мин. В неделю можно использовать 160 ч. суммарного времени. Изделие А приносит 2000 р. прибыли. Изделие Б 3000 р. Сколько надо выпускать изделий А и Б в неделю для получения max прибыли.
Пусть: х1 – выпуск изделия А; х2 – выпуск изделия Б.
R=2х1+4х2
Графический смысл
х1=300 х2=200
R=2х1+4х2=1400
Алгебраический смысл
(*) => х1=300 х2=200
Допполнительные ограничения х1<80, х2<100
Решение в Маткаде
Ввод целевой функции:
Присваивание:
Блок решений: Given……….
Ввод ограничений:
Функция оптимизации:
31. Cимплекс.
Этот алгебраический метод основан на использовании и преобразовании определений. Первая операция этого метода приведения задачи и стандартной формы, при которой ограничения в виде неравенства приводят к виду равенства с помощью переменных:
Полученную систему из двух уравнений с 4-мя неизвестными. Сначала приравниваем х1 и х2 к 0 и получим базисное решение.
Переменные прир. к 0 – небазисные, остальные базисные. Решение ур-я назыв. базисным. Далее меняем не базисные переменные:
(х1,х2),(х1,х3),(х1,х4),(х2,х4),(х2,х3),(х1,х3),(х3,х4)
Т.о. варианты 2 и 5 не удовлетворяют условию х≥0
|
X1 |
X2 |
X3 |
X4 |
||
|
1 |
0 |
0 |
1700 |
1600 |
0 |
|
2 |
0 |
425 |
0 |
525 |
– |
|
3 |
0 |
320 |
420 |
0 |
A |
|
4 |
566 |
0 |
0 |
466 |
C |
|
5 |
800 |
0 |
–700 |
0 |
– |
|
6 |
300 |
200 |
0 |
0 |
Б |
R=2x1+4x2
Графич. означает , что сначала мы перемещаемся по оси х2 от 0 да А, по х1 от 0 до С, от А и С→Б.
Если переменных n, а ограниченных m, то приравнивать к нулю необходимо n-m переменных и решать n уравнений. Графич. это многоугольник в n – мерном пр-ве, кот.имеет n+1 переменных и называемой симплексом.
Суть симплекс метода: по известным значениям целевой функции в вершинах многогранника находим напр-е, в кот. нужно сделать след. шаг, что бы получить наиболее увелич.(уменьш.) критерия оптимальности.
Основные свойства симплекса – напротив любой вершины распологается только одна грань, но кот.можно построить новый симплекс с новой вершиной, а ост-е его вершины совпадают с предыдущими.
Рассмотрим построение симплекса на примере комка Rmin 2-xпеременных. Рассчит. целевая ф-я в вершинах ∆ и выбир. max значение (R10), строится новый симплекс с вершинойR12путем проведения прямой через центр отрезка R20 ,R30 (R10A=R30A). Для R12рассчит. значение целевой ф-ции и сравнивают его R20 ,R30, Из max значений строим след.вершину.
Так и далее, отбрасывается maxзначение ф-ции, покацелевая ф-ция не станет min.
32. Градиентный метод
Основан на поиске производных целевой функции. Когда аналитический вид функции известен ,то производную найти легко лишь для функций с 1-ой и с 2-мя переменными.
Для сложной функции, при отсутствии аналитических зависимостей функций единственным способом определения производных являются числовые методы. Производные определяются по приближенным соотношениям:
К градиентным методам относят:
33. Использование золотой пропорции и чисел Фебоначи при конструировании МиА.
Анализируя золотую пропорцию и чисел Фебоначи, пришли к выводу о их взаимосвязи. Например, необходимо разместить в теплообменнике по концентрической окружности отверстия для трубок (или разместить пальцы дезинтегратора, дисмембратора на роторе)
Rn= 1,272ⁿ* Ro Кол-во отверстий по конц. окружности – Zn+1=1,6*Zn. Кол-во отверстий в первом ряду выбирается из ряда Фебоначи.
34. Безградиентные методы одной переменной
Общий недостаток всех градиентных методов – это большое число расчет. переменных. Безградиентные методы основаны на сравнении целевой функции. Эти методы используются тогда, когда ф-я единой переменной такая сложная, что нельзя найти оптимум методом дифференцирования. Безградиентные методы по хар-ру наиболее пригодны для оптимизации процессов при отсутствии математич. объекта управления для функции с одной переменной используются след. методы: метод локализации экстремума, метод золотого сечения, метод Фебоначи
Метод локализации экстремума
Интервал поиска [A,В] разбивается на 4 равные части и в точках разбиения и на границах интервала вычисляется значение целевой функции - в точках 0,1,2,3 и 4(рис.2). Локализуется положение экстремума (минимума) на интервале в два раза меньшем [2;4], чем предыдущий [0;4]. Полученный интервал снова делим на 4 равные части.
Локализация экстремума продолжается до тех пор, пока не будет достигнута заданная точность.
Метод "золотого сечения"
В основе этого метода лежит закон геометрического отношения или "золотого сечения". Пусть дан отрезок а, который разделен на две неравные части b и c так, что выполняется отношение:
a / b = b / c или a.c = b 2 (1)
В соответствии с этим законом определяются точки исследуемого интервала, в которых необходимо производить вычисление целевой функции. Поскольку с = а – b, то подставив выражение для с в (1) и введя новую переменную k = b / a, после преобразований получим:
k2 + k - 1 = 0 (2)
Решив (2), получим приближенное значение k=0.62.
Порядок поиска экстремума методом "золотого сечения" следующий. На исследуемом интервале определяются две точки X1 и X2:
X1 = Xmin + (1-k).a
X2 = Xmin + k.a
где а - длина интервала Xmax - Xmin.
В точках X1 и X2 рассчитывается целевая функция. По найденным значениям R(X1) и R(X2) с учетом R(Xmin) и R(Xmax) определяется подинтервал, в
котором локализован экстремум. В данном случае это –
[Xmin,X2]. Далее внутри подинтервала [Хmin,X2] находится точка Х3:
Х3 = Xmin + (1-k).a
где а - длина подинтервала [Xmin,X2]. Рис.4
Далее вычисляется значение целевой функции R(X3)и сравниваются значения R(X2),R(X1),R(X3). Находится минимальное значение (в данном случае R(X3) и процедура продолжается - определяется аналогично точка Х4 и т.д., пока не будет найден экстремум с заданной точностью.
Ещё один метод -- метод Фибоначчи -- применяется в тех случаях, когда заранее известно, сколько итераций мы собираемся совершить, и при этом хотим получить наибольшую возможную точность в определении точки минимума. При этом оказывается, что длины отрезков связаны с последовательностью чисел Фибоначчи , заданной начальными значениями и рекуррентной формулой
35. Безградиентные методы n-переменных
Эти методы используются для поиска оптимума как при наличии аналитического выражения функции п-переменных, так и без него.
1.Метод прямого поиска (метод последующего изменения переменных) он по сути аналогичен методу релаксации с разницей что в этом методе не определяется осевое напряжение вдоль которого значение целевой функции изменяется наиболее сильно ,а поочередно изменяются все независимые переменные( а не производные как в градиентных методах), так чтобы по каждой из них достигалось наименьшее или наибольшее значение целевой функции.
Очередность варьирования независимых переменных устанавливается произвольно в начале поиска и не изменяется. Изменение одной переменной варьируется до тех пор пока не будет найден минимум. Достоинства метода- простота и небольшой объем измерений.
Одним из наиболее эффективных методов оптимизации позволяющим решать задачи нелинейного программирования при наличии ограничений является
2. Метод Хука-Дживса при его использовании определяется каждая точка полученная а процессе поиска принадлежащей области ограничений. Если каждая ,то целевая функция рассчитывается обычным путем, если нет то целевой функции присваивается значение и поиск будет осуществляться снова в допустимой области по напряжению ,минимум точки в этой области.
Алгоритм поиска
Функция с наименьшим значением по 1-ой переменной, например R(b1-h1*e1) начинаем изменять другую переменную, и рассчитываем R(b1-h1*e1+ h2*e2)
Когда не один из пунктов по 1-ой функции не уменьшил R, то базовым останется пункт b1.Перебрав таким образом все переменные определяем новый базовый пункт b2 и так далее.
С помощью этого метода невозможно двигаться вдоль границы области ограничений, та как сходимость достигается в 1-ой же точке границы где и находится решение
36. Методы случайного поиска
Эти методы основаны на переборе случайных значений переменных. Существует несколько методов случайного поиска общим для которых является –использование случайных чисел .Перебор идет не хаотически, а по некоторому правилу (числа Фибоначчи). Обычно при выборе случайных чисел каждое последующее число получается из предыдущего. Кроме чисел Фибоначчи для получения последовательности случайных чисел можно использовать метод произведения.
Метод произведения –выбирается 2 числа с одинаковым количеством определяющих чисел(11 , 15) и находим их произведение (165) далее из произведения выбираем m чисел(m=2) находящихся в середине произведения(82,83) эти числа и будут следующими случайными и так далее.
К методам случайного поиска можно отнести 2 метода –это метод слепого поиска и метод случайных направлений.
Метод слепого поиска случайно выбирается пункт где рассчитывается целевая функция R(Xk), с использованием случайных чисел выбираются координаты другого пункта и рассчитывается R(Xk+1).
Если R(Xk+1)< R(Xk), то это пункт запоминается и делается новый шаг. Рассчитываются целевые функции в новых пунктах и сравнивается R(Xk+2) и так далее.Расчет идет до тех пор пока не будет найдено Rmin.
Метод случайных направлений –из пунктов где рассчитывается целевая функция делается шаг h в случайном направлении. Направление вектора поиска Ak, выбирается по случайным числам. В итоге находится пункт Xk+1=Xk+h*Ak.
Если R(Xk+1)< R(Xk) , то пункт Xk+1 принимается за базовый и из него делается новый шаг.
Если R(Xk+1)> R(Xk) , то новый шаг делается из пункта Xk пока не будет найдено значение при котором R(Xk+1)< R(Xk)