Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
Під чисельним інтегруванням розуміють наближене обчислення визначених інтегралів.
Якщо для функції , визначеної на відрізку , можно знайти первісну функцію, то визначений інтеграл розраховується за формулою функціонального інтегрування (1.1) [6]:
(1.1)
Якщо підінтегральна функція має складний аналітичний вираз, або задана таблично, то звичайні методи інтегрування, які вивчаються в математичному аналізі, непридатні, оскільки неможливо побудувати первісну. Тому доводиться обчислювати інтеграли наближено. Формули наближеного обчислення інтегралів називаються квадратурними формулами. Ці формули міняють оператор інтегрування на оператор сумування. Виникаюча при такій заміні похибка називається похибкою квадратурної формули.
Задача чисельного інтегрування функцій полягає в обчисленні визначеного інтеграла за значеннями інтегруємої функції в ряді точок відрізка інтегрування. Функцію заміняємо інтерполюємою функцією , а потім приблизно припускаємо [4]:
(1.2)
Функція повинна бути такою, щоб інтеграл обчислювався безпосередньо. Якщо задана аналітично, то ставимо питання про оцінку похибки формули (1.2).
В загальному вигляді задача чисельного інтегрування може бути викладена наступним чином [1]. Нехай інтеграл, який потрібно визначити, представлено у вигляді
(1.3)
Підінтегральна функція в формулі (1.3) є такою, що не дозволяє в функціональному вигляді отримати первісну функцію.
Цей інтеграл обчислюємо за наближеною квадратурною формулою:
(1.4)
де: функція - визначена і неперервна на інтервалі ;
- вагова функція, яка може мати якісь особливості на відрізку
інтегрування, наприклад, перетворюватись у нескінченість в
деяких точках цього відрізка.
- квадратурні коефіцієнти;
- квадратурні вузли ();
n - довільне число інтервалів всередині відрізку [a,b].
Сума, що стоїть у правій частині наближеної рівності (1.4), називається квадратурною сумою.
Параметри , вибирають так, щоб або похибка квадратурної формули була по можливості мінімальною, або обчислення за формулою (1.4) були достатньо простими. Різні квадратурні формули відрізняються одна від одної способами вибору параметрів ,.
Більшість квадратурних формул базується на заміні підінтегральної функції алгебраїчними багаточленами різного степеня.
Означення: Кажуть, що квадратурна формула (1.4) має алгебраїчний степінь точності , якщо ця наближена формула стає точною на множині всіх алгебраїчних багаточленів не вище -ого степеня.
Це означає, що якщо до наближеної формули (1.4) замість функції підставити будь-який алгебраїчний багаточлен -ого степеня, то наближена рівність (1.4) стає точною, тобто
(1.5)
Але при цьому наближена рівність (1.4) не для всіх багаточленів степеня буде точною.
Алгебраїчний степінь точності квадратурної формули є мірою точності цієї формули. Оскільки будь-яку неперервну функцію можна як завгодно точно наблизити алгебраїчними багаточленами (за рахунок збільшення степеня багаточлена), то слід очікувати, що квадратурні формули, які мають високий алгебраїчний ступінь точності, будуть мати високу точність для будь-яких неперервних функцій .
Параметри , можна вибрати так. щоб зробити алгебраїчний ступінь точності квадратурної формули якомога вищим. Такі формули називаються квадратурними формулами найвищого степеня точності. Вперше вони були розглянуті Гауссом і тому їх часто називають формулами гауссового типу.
Якщо вузли вибрати з міркувань зручності (рівномірно розташованими ,), а коефіцієнти - з міркувань точності, то у випадку отримаємо квадратурні формули Ньютона - Котеса [2].
Якщо вузли вибрати з міркувань точності, а коефіцієнти - з міркувань зручності (всі коефіцієнти однакові), то добудемо квадратурні формули, що носять ім’я Чебишова [2].
Обгрунтування інтерполяційних квадратурних формул будується на наступних висновках [1].
Нехай на відрізку інтегрування якось зафіксовані різні між собою вузли , і будемо вибирати лише коефіцієнти () так, щоб формула (1.4) була якомога точнішою. Припускаємо, , тобто функія і всі її похідні до порядку включно є неперервними на відрізку . Візьмемо квадратурні вузли як вузли інтерполяції (оскільки вони всі з відрізку інтегрування та всі різні між собою), та побудуємо інтерполяційний багаточлен для функції . Будемо мати таку рівність
(1.5)
(1.6)
(1.7)
(1.8)
Розглянемо тепер інтеграл від функції
(1.9)
підставимо (1.6), (1.7), (1,8) до формули (1.9)
(1.10)
Якщо позначити
(1.11)
(1.12)
то інтеграл (1.10) можна переписати у вигляді
(1.13)
Відкинувши у (1.13) похибку , добудемо наближену формулу (1.4).
Означення. Квадратурна формула (1.4) будемо називати інтерполяційною, якщо квадратурні коефіцієнти , визначаються формулами (1.11). Нагадаємо, що квадратурні вузли при цьому всі різні та всі розташовані на відрізку інтегрування, в усьому іншому вони довільні.
Формула (1.12) визначає похибку інтерполяційної квадратурної формули. З похибки видно, що алгебраїчний степінь точності інтерполяційної квадратурної формули дорівнює . Збільшити степінь точності можна лише за рахунок вибору вузлів .
Квадратурні формули при сталій ваговій функції та з рівновіддаленими вузлами називають формулами Ньютона-Котеса у пам’ять того, що вперше вони в достатньому загальному вигляді були розглянуті Ньютоном, коефіцієнти вперше були добуті Котесом [4].
Кінечний відрізок інтегрування ділимо на рівних частин довжини , точки ділення беремо за вузли інтерполяційної формули. Спростимо вигляд квадратурних коефіцієнтів ,, які визначаються формулою (1.11), підставивши туди
,.
Крім того перейдемо до нової змінної інтегрування , де
Для виконання всіх цих дій спочатку розглянемо добуток у формулі (1.11)
(1.14)
Підставимо добуток (1.14) до формули (1.11) та перейдемо до нової змінної, будемо мати
(1.15)
Де
(1.16)
Квадратурна формула Ньютона-Котеса приймає вигляд
(1.17)
Алгебраїчна степінь точності формули (1.17) дорівнює . Коефіцієнти (1.16) називаються коефіцієнтами Котеса. Вони мають властивості:
. Дійсно, підставимо до формули (1.17) , тоді , при цьому наближена формула стає точною. Виконуємо інтегрування властивість доведена.
, тобто рівновіддалені від кінців коефіцієнти формули Ньютона -Котеса є однаковими. Дійсно, маємо з формули (1.16)
Зробимо заміну змінної інтегрування тоді
В добутку перейдемо до нового індексу і властивість доведена
3. Коефіцієнти не залежать від довжини відрізка інтегрування та підінтегральної функції, тому вони можуть бути обчислені раз і назавжди
В залежності від вибраного параметра n отримана загальна форма квадратурних рівнянь розподіляється на випадки [6]:
1) Коли , то застосовуєма форма квадратурних рівнянь називається - „квадратурна формула трапеції”;
2) Коли , то застосовуєма форма квадратурних рівнянь називається - „квадратурна формула Симпсона”;
3) Коли , формула (1.19) не застосовується, оскільки значення не визначені, тому застосовується особливий випадок „квадратурної формули прямокутників (ліві, праві, центральні) ".