Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
Министерство образования и науки Республики Казахстан
|
РГП «Костанайский государственный университет имени А. Байтурсынова» Факультет информационных технологий |
Утверждаю Проректор по учебной работе и новым технологиям обучения ___________________Ф.Майер _____._________2013 г. |
Кафедра информатики и математики
Костанай, 2013
_27__._05__ . 2013 г. ______________________
Рассмотрена и рекомендована на заседании кафедры информатики и математики от _30__._05__ . 2013 г. протокол № _5__
Зав. кафедрой ________________ С Кудубаева
Одобрена методическим советом факультета информационных технологий от _18__.06___. 2013 г. протокол № _10___
Председатель методического совета _________________ В.Синицына
1 Описание дисциплины:
Дисциплина «Математика» является обязательной базовой дисциплиной. Данная дисциплина формирует профессиональные знания и умения при освоении специальности. Основные разделы: линейная и векторная алгебра, аналитическая геометрия, дифференциальное и интегральное исчисление, теория вероятностей и математическая статистика
Важное значение в курсе «Математики» отводится изучению дифференциального исчисления функции одной переменной – математическому аппарату, широко используемому для нахождения оптимальных значений различных показателей.
Пререквизиты:
Для успешного освоения дисциплины Математика необходимо знание школьного курса математики
Постреквизиты:
Освоение курса «Математика » в дальнейшем способствует успешному освоению таких дисциплин обязательного компонента, как: физика, теоретическая и прикладная механика, надежность машин.
Цель дисциплины:
Целью преподавания курса математики является выработка у студентов умения проводить математический анализ прикладных задач и овладение основными математическими методами исследования и решения таких задач.
Задачи:
После окончания курса студенты должны
знать курс высшей математики в объеме часов учебной программы.
уметь проводить математический анализ прикладных (инженерных) задач;
владеть навыками составления моделей для прикладных задач курса
быть компетентными
-использовать полученные знания в соответствии со специальностью,
-использовать методы познания на уровне , необходимом для решения задач, возникающих при исполнении профессиональны функций
2 Содержание дисциплины
1. Элементы линейной алгебры и аналитической геометрии.
Система двух линейных уравнений с двумя неизвестными и понятие определителя 2-го порядка. Система двух линейных уравнений с тремя неизвестными. Определители 3-го порядка, вычисление и свойства. Система трех однородных линейных уравнений с тремя неизвестными. Правило Крамера. Понятие определителя п-го порядка. Обобщение формулы Крамера на случай, системы п-линейных уравнений. Понятие матрицы. Размеры матрицы. Равенство матриц. Квадратная матрица. Линейные операции над матрицами. Обратная матрица. Решение системы линейных уравнений матричным способом. Ранг матрицы. Теорема Кронеккера-Капелли. Решение систем линейных уравнений методом Гаусса.Векторные и скалярные величины. Линейные операции над векторами. Линейная зависимость и линейная независимость векторов. Размерность пространства.Координаты векторов. Скалярное произведение векторов, его механический смысл и свойства.Скалярное произведение векторов в координатной форме.Условие ортогональности двух векторов. Векторное произведение векторов его геометрический и механический смысл,свойства. Векторное произведение векторов в координатной форме.Компланарность векторов.Условие компланарности трех векторов.Различные виды уравнения прямой на плоскости. Различные уравнения плоскости в пространстве. Различные уравнения прямой в пространстве. Прямая и плоскость. Канонические уравнения кривых 2-го порядка на плоскости.Преобразования декартовых координат на плоскости: параллельный перенос и поворот осей координат. Общее уравнение кривой 2-го порядка. Полярная система координат. Канонические уравнения поверхностей 2-го порядка.
2.Введение в математический анализ. Множество действительных чисел. Числовые поверхности. Предел. Существование предела монотонной ограниченной последовательности. Число е. Натуральны логарифмы. Функция, предел функции. Бесконечно большая функция. Бесконечно малые функции и их свойства. Связь между бесконечно большими и бесконечно малыми функциями. Основные теоремы о пределах. Первый и второй замечательные пределы. Сравнение бесконечно малых. Эквивалентные бесконечно малые, их использование при вычислении пределов. Непрерывность функции. Непрерывность основных элементарных функций. Свойства непрерывных в точке функций. Непрерывность суммы, произведения и частного. Предел и непрерывность сложной функции. Односторонние пределы. Односторонняя непрерывность. Точки разрыва функции и их классификация.
3. Дифференциальное исчисление функций одной переменной Производная функции, ее геометрический и механический смысл. Производная суммы, произведения и частного. Производная сложной функции. Производная обратной функции. Производные обратных тригонометрических функций. Функции, заданные параметрически, их дифференцирование. Дифференцируемость функции. Дифференциал функции. Связь дифференциала с производной. Геометрический смысл дифференциала. Дифференциал суммы, произведения и частного. Инвариантность формы дифференциала. Применение дифференциала в приближенных вычислениях. Производные и дифференциалы высших порядков. Теоремы Ферма, Роля, Лагранжа, Коши их применение. Правило Лопиталя. Формула Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа. Представление элементарных функций по формуле Тейлора. Приложения формулы Тейлора.
4.Исследование функций с помощью производных. Условия возрастания и убывания функции. Точки экстремума. Необходимые условия экстремума. Достаточные условия( признаки) существования экстремума. Отыскание наибольшего и наименьшего значений непрерывной на отрезке функции Исследование функций на экстремум с помощью производных высшего порядка. Исследование функций на выпуклость и вогнутость. Точки перегиба. Асимптоты кривых. Общая схема построения графиков функций.
5.Неопределенный и определенный интеграл. Первообразная. Неопределенный интеграл, его свойства. Таблица основных интегралов. Непосредственное интегрирование. Методы интегрирования (метод интегрирования по частям, метод подстановки).. Интегрирование рациональных выражений путем разложения на простейшие множители.. Интегрирование выражений, содержащих тригонометрические функции. Интегрирование иррациональных выражений. Тригонометрические подстановки.
Задачи, приводящие к понятию определенного интеграла. Определенный интеграл как предел интегральных сумм. Основные свойства определенного интеграла. Производная интеграла по верхнему пределу. Формула Ньютона-Лейбница. Вычисление определенного интеграла: интегрирование по частям и подстановкой. Приложения интегралов к вычислению площадей плоских фигур, длин дуг кривых, объемов тел и поверхностей тел вращения. Физическое приложение определенного интеграла. Несобственные интегралы с бесконечными пределами интегрирования. Несобственные интегралы от неограниченных функций. Основные свойства. Абсолютная и условная сходимость. Признаки сходимости.
6. Комплексные числа. Многочлены. Комплексные числа. Геометрическое изображение комплексного числа. Тригонометрическая и показательная форма комплексного числа. Операции над комплексными числами. Возведение в степень. Формула Муавра. Извлечение корня из комплексного числа. Многочлены. Корни многочлена. Разложение многочлена на множители.
7. Функции нескольких переменных. Функции нескольких перем енных. Область определения. Предел и непрерывность функции двух переменных. Частные производные. Дифференцируемость и полный дифференциал функции. Применение полного дифференциала в приближенных вычислениях. Производная сложной функции. Инвариантность формы полного дифференциала. Касательная плоскость и нормаль к поверхности. Геометрический смысл частных производных и полного дифференциала. Производная по направлению. Градиент функции. Частные производные и полные дифференциалы высших порядков. Неявные функции. Теоремы существования. Дифференцирование неявных функций. Экстремумы функции двух переменных. Необходимые и достаточные. Условия экстремума.
8.Ряды. Числовые ряды. Сходимость и сумма ряда. Необходимое условие сходимости ряда. Свойства сходящихся рядов. Ряды с положительными членами. Достаточные признаки сходимости. Знакочередующиеся ряды. Признак Лейбница. Знакопеременные ряды. Достаточный признак сходимости знакопеременных рядов. Абсолютная и условная сходимости числовых рядов.
Функциональные ряды. Область сходимости функционального ряда. Степенные ряды. Теорема Абеля. Радиус сходимости. Свойства степенных рядов. Разложение функций в степенные ряды. Ряды Тейлора и Маклорена. Применение степенных рядов в приближенных вычислениях.
Ряды Фурье. Тригонометрический ряд и его основные свойства. Ряд Фурье. Разложение в ряд Фурье 2п-периодических функций. Теорема Дирихле. Ряды Фурье для четных и нечетных функций. Разложение в ряд Фурье функций произвольного периода. Интегралы, зависящие от параметра. Непрерывность. Дифференцирование и интегрирование по параметру. Интеграл Фурье. Преобразование Фурье, его свойства и применения.
9.Дифференциальные уравнения. Задачи, приводящие к дифференциальным уравнениям. Дифференциальные уравнения первого порядка. Задача Коши. Теорема существования и единственности решения задачи Коши. Понятие об особых решениях дифференциальных уравнений. Уравнения с разделяющимися переменными. Однородные и линейные дифференциальные уравнения первого порядка. Дифференциальные уравнения высших порядков. Задача Коши. Уравнения. допускающие понижение порядка. Линейные дифференциальные уравнения. Однородные и неоднородные. Структура общего решения. Метод Лагранжа вариации произвольных постоянных. Линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами. Уравнения с правой частью специального вида. Системы дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами.
10.Кратные и криволинейные интегралы. Задачи, приводящие к понятию двойного интеграла. Основные свойства двойного интеграла. Вычисление двойного интеграла в декартовых координатах. Вычисление двойного в полярных координатах. Применение двойных интегралов для вычисления объемов и площадей, для решения задач механики и физики. Тройной интеграл. Вычисление тройного интеграла в декартовых координатах. Применение тройного интеграла для вычисления объемов тел.
Задачи, приводящие к криволинейным интегралам. Определения криволинейных интегралов первого и второго рода, их основные свойства и вычисления. Геометрические и механические приложения криволинейных интегралов. Формула Грина.
11. Теория вероятностей и математическая статистика. Случайные события. Классификация событий. Классическое и статистическое определения вероятности. Элементы комбинаторики. Непосредственное вычисление вероятностей. Действия над событиями. Теорема сложения вероятностей. Условная вероятность события. Теорема умножения вероятностей. Независимые события. Теорема о полной вероятности. Формула Байеса. Повторные независимые испытания. Формула Бернулли. Формула Пуассона. Локальная и интегральная формула Муавра- Лапласа. Случайные величины. Дискретные и непрерывные случайные величины. Числовые характеристики случайных величин. Непрерывные и дискретные распределения. Примеры распределений: биноминальное, пуассоновские, равномерное, показательное, нормальное. Правило трех сигм. Понятие выборки. Точечные оценки неизвестных параметров распределения по выборке. Понятие несмещенности, эффективности, состоятельности оценок. Принцип наибольшего правдоподобия. Метод наименьших квадратов. Понятие о доверительных интервалах. Доверительный интервал для неизвестного математического ожидания нормально распределенной случайной величины. Статистическая проверка гипотез. Критерий согласия.
3 Список рекомендуемой литературы
Основная:
1 Лунгу К.Н., Норин В.П. Сборник задач по высшей математике, М,2004
2 Демидович Б.П. Сборник задач по математике для втузов . – М.: Издательство физико-математической литературы, 2002. – 464 с
3 Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисление. - М.: Наука, 1985. – 432 с
4 Хасеинов К.А. Каноны математики, Алматы,2003,686с.
5 Данко П.Е, Попов А.Г, Кожевникова Т.Н. Высшая математика в упражнениях и задачах, ч.1,ч.2, М. Оникс, 2003
Дополнительная:
6 Позняк В.А., Э.Г.Ильин. Линейная алгебра.
7 Минорский В.П. Сборник задач по высшей математике. М. 2004.
8 Клетеник Д.В. Сборник задач по аналитической геометрии. – М: Наука,
1965-80.
9 Курош.А.Г. Курс высшей алгебры. М., Наука, 1968
4 Приложение
Программы дисциплины для обучающихся (Syllabus)