Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
Рассмотрим ось l и отложим на ней единичный вектор (т.е. вектор, длина которого равна единице).
Под углом между вектором и осью l понимают угол между векторами и .
Итак, пусть l – некоторая ось и – вектор.
Обозначим через A1 и B1 проекции на ось lсоответственно точек A и B. Предположим, что A1 имеет координату x1, а B1 – координату x2 на оси l.
Тогда проекцией вектора на ось l называется разность x1 – x2 между координатами проекций конца и начала вектора на эту ось.
Проекцию вектора на ось l будем обозначать .
Ясно, что если угол между вектором и осью l острый, то x2> x1, и проекция x2 – x1> 0; если этот угол тупой, то x2< x1 и проекция x2 – x1< 0. Наконец, если вектор перпендикулярен оси l, то x2= x1 и x2– x1= 0.
Таким образом, проекция вектора на ось l – это длина отрезка A1B1, взятая с определённым знаком. Следовательно, проекция вектора на ось это число или скаляр.
Аналогично определяется проекция одного вектора на другой. В этом случае находятся проекции концов даного вектора на ту прямую, на которой лежит 2-ой вектор. Теорема (о проекции вектора на ось) : проекция вектора на ось равна длине этого вектора, умноженной на косинус угла между векторами и осью.
Следствие: Равные вектора имеют равные проекции на одну ось.
3. Скалярное произведение. Определение: Скалярным произведением двух векторов и называется ЧИСЛО, равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними:
Вот это вот уже вполне строгое определение.
Акцентируем внимание на существенной информации:
Обозначение: скалярное произведение обозначается через или просто .Результат операции является ЧИСЛОМ: Умножается вектор на вектор, а получается число. Действительно, если длины векторов – это числа, косинус угла – число, то их произведение тоже будет числом.Свойства скалярного произведения:
1. коммутативность: (a,b)=(b,a)
2. (а,а)= |а|2(в квадрате)
3. (a,b)=0 <=> a перпенд b
4. Дистрибутивность: (a1+а2,b)= (a1,b)+ (a2,b)
5. (а, λ·b)= λ·(a,b) λ R.
В любой прямоугольной системе координат можно ввести единичные попарно ортогональные векторы i, j и k, связанные с координатными осями: i – с осью Х, j – с осью Y и k – с осью Z. В соответствии с этим определением:
( i , j ) = ( i , k ) = ( j , k ) = 0,
| i | = | j | = | k | = 1.
Любой вектор a может быть выражен через эти векторы единственным образом: a = x i + y j + z k . Другая форма записи: a = ( x, y, z ). Здесь x, y, z - координаты вектора a в этой системе координат. В соответствии с последним соотношением и свойствами единичных ортогональных векторов i, j , k скалярное произведение двух векторов можно выразить иначе.
Пусть a = ( x, y, z ); b = ( u, v, w ). Тогда ( a , b ) = xu + yv + zw.
Скалярное произведение двух векторов равно сумме произведений соответствующих координат.
Длина (модуль) вектора a = ( x, y, z ) равна:
4. Рассмотрим различные виды уравнений прямой на плоскости.
Пусть прямая проходит через точку М0 (x0,y0) перпендикулярно вектору n = {A,B}. Тогда вектор , где М(х,у) – произвольная точка прямой, ортогонален n. Поэтому координаты любой точки данной прямой удовлетворяют уравнению
А(х – х0) + В(у – у0) = 0 - (7.3)
уравнение прямой, проходящей через данную точку перпендикулярно данному вектору.
Замечание. Вектор n называется нормалью к прямой.
Преобразуем уравнение (7.3) к виду:
Ах + Ву + (-Ах0 – Ву0) = 0.
Обозначив -Ах0 – Ву0 = С, получим общее уравнение прямой:
Ах + Ву + С = 0. (7.4)
Получим теперь уравнение прямой, проходящей через точку М0 (x0,y0) параллельно вектору q = {l,m}. Так как вектор , где М(х,у) – произвольная точка прямой, коллинеарен q, координаты любой точки данной прямой удовлетворяют уравнению
, (7.5)
называемому каноническим уравнением прямой. Вектор q при этом называется направляющим вектором прямой. В частности, если прямая проходит через точки М1(х1,у1) и М2(х2,у2), ее направляющим вектором можно считать , и из уравнения (7.5) следует:
- (7.6)
уравнение прямой, проходящей через две заданные точки.
Пример.
Составим уравнение прямой, проходящей через точки М(1,2) и N(5,-3). Уравнение (7.6) примет вид:
- общее уравнение данной прямой.
Обозначив за t значения равных дробей, стоящих в левой и правой частях уравнения (7.5),
можно преобразовать это уравнение к виду:
x = x0 + lt, y = y0 + mt - (7.7)
параметрические уравнения прямой.
Для прямой l, не параллельной оси Оу, можно ввести так называемый угловой коэффициент k – тангенс угла, образованного прямой и осью Ох, и записать уравнение
у l прямой в виде:
у = kx + b - (7.8)
b l1 уравнение прямой с угловым коэффициентом.
α α Действительно, все точки прямой l1, параллельной l и проходящей
х через начало координат, удовлетворяют уравнению у = kх, а
ординаты соответствующих точек на прямой l отличаются от них
на постоянную величину b.
Неполные уравнения прямой.
Уравнение (7.4) называется полным, если коэффициенты А,В и С не равны нулю, и неполным, если хотя бы одно из этих чисел равно нулю. Рассмотрим возможные виды неполных уравнений прямой.
1) С = 0 - прямая Ах + Ву = 0 проходит через начало координат.
2) В = 0 - прямая Ах + С = 0 параллельна оси Оу (так как нормаль к прямой {A,0} перпендикулярна оси Оу).
3) А = 0 - прямая Ву + С = 0 параллельна оси Ох.
4) В=С=0 – уравнение Ах = 0 определяет ось Оу.
5) А=С=0 – уравнение Ву = 0 определяет ось Ох.
Элементарные функции — функции, которые можно получить с помощью конечного числа арифметических действий и композиций из следующих основных элементарных функций: