Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
Севастопольский национальный университет ядерной энергии и промышленности
Расчётно-графическая работа
по вычислительной математике
на тему: «Применение производных к исследованию функций и решению задач. Комплексные числа»
Вариант №17
Выполнил: студент 211 класса
Пидгорный Валерий
Проверила: Деркач С. И.
Севастополь 2012
Задание №1. Исследовать функцию и построить график.
y=2*x+1/x^2;
>> syms x
>> y=2*x+1/x^2;
% D(f) є R, при х≠0
Определяем ВАС и НАС
% Находим право и лево сторонние пределы.
>> limit(y,x,0,'right')
ans =
Inf
>> limit(y,x,0,'left')
ans =
Inf
% x=0 % это ВАС.
%Находим угловой коэффициент прямой у.
>> k=limit(y/x,x,inf)
k =2
% Находим свободный множитель.
>> b=limit(y-k*x,x,inf)
b =0
прямая у=2*x является горизонтальной асимптотой.
% Проверяем на чотность.
>> subs(y,x,-x)
ans =1/x^2 - 2*x
функция общего вида.
% Находим I и II производную функции.
>> y1=diff(y,x,1)
y1 = 2 - 2/x^3
>> y2=diff(y,x,2)
y2 = 6/x^4
%Определяем промежутки монотонности и точки экстремума функции.
>> X=solve('y1')
X =0
% y1 не существует при х=0, имеем критическую точку х=0.
% Выясним знак у1 в каждом интервале.
>> subs(y1,x,-1)
ans = 4
>> subs(y1,x,3)
ans = 1.9259
%Функция возростает на интервале (-inf;0) u (0;inf);
%Определяем интервали выпуклости и вогнутости функии, и точки перегиба.
%Определяем критичекие точки.
>> X=solve('y2')
X =0
% у2 существует при х=0, имеем критическую точку х=0.
% Выясним знак у2 в каждом интервале.
>> subs(y2,x,1)
ans = 6
>> subs(y2,x,-1)
ans = 6
% На интервале (-inf;inf) – вогнута вверьх.
% Строим график функции.
>> hold on; grid on
>> ezplot(y)
>>plot([0 0], [-100 100],'r') – строим ВАС.
>>ezplot('2*x')-строим НАС.
№2 Вычислить пределы, используя правило Лопиталя
1) (x+1) === []
>> syms x
>> s=diff(1+x)
s =1
>> d=diff(1/log(x)^2)
d = -2/(x*log(x)^3)
>> limit(s/d,x,0)
ans = 0
e^0=1
2) = []
>> syms x a n
>> s=diff(sin(a/x))
s = -(a*cos(a/x))/x^2
>> d=diff(1/x^n)
d = -n/x^(n + 1)
>> limit(s/d,x,inf)
ans = a
Задание №3.Решить задачу. Привести все необходимые выкладки и рисунки. Нахождение наибольшего и наименьшего значений проводить средствами среды Matlab.
Лампа висит над центром круглого стола радиусом r. При какой высоте лампы над столом освещенность предмета на краю стола будет наилутшая? (Освещенность прямо пропорциональна косинусу угла падения лучей света и обратно пропорциональна квадрату расстояния от источника света.)
Поскольку нам дано освещение то пусть освещение – s и оно ровняется
S=, с этого выражения находим х и он равен , h=sqrt(((cos(phi))/s)-r^2)= cos(phi)/r^2.
>> syms r s phi
>> h=sqrt(((cos(phi))/s)-r^2);
>> solve(h)
ans =
cos(phi)/r^2
№4 Выполнить следующие дейстия:
А)Возвести в степень. Изображить результат на комплексной плоскости
>> z=(11*i+3)^3
z = -1.0620e+003 -1.0340e+003i
% Изображаем на комплексной плоскости
>> compass(z)
Б) Извлечь из под. корня. Изобразить их на комплексной плоскости.
% Задаем комплексное число
>> z=6*i;
>> k=0:8;
>> z1=abs(z)^(1/9)*(cos((angle(z)+2*k*pi)/9)+i*sin((angle(z)+2*k*pi)/9));
>> [k;z1]'
ans =
0 1.2017 - 0.2119i
1.0000 0.7844 - 0.9348i
2.0000 0.0000 - 1.2203i
3.0000 -0.7844 - 0.9348i
4.0000 -1.2017 - 0.2119i
5.0000 -1.0568 + 0.6101i
6.0000 -0.4174 + 1.1467i
7.0000 0.4174 + 1.1467i
8.0000 1.0568 + 0.6101i
>> compass(z1) -% изображаем комплексные числа на комплексной плоскости.
В) Найти все корни уравнения. Изобразить их на комплексной плоскости.
>> syms z
>> y=z^2-0.5i-16;
>> solve(y)
ans =
- ((5*41^(1/2))/4 + 8)^(1/2) - ((5*41^(1/2))/4 - 8)^(1/2)*i
((5*41^(1/2))/4 + 8)^(1/2) + ((5*41^(1/2))/4 - 8)^(1/2)*i
>> z1= - ((5*41^(1/2))/4 + 8)^(1/2) - ((5*41^(1/2))/4 - 8)^(1/2)*i;
>> z2=((5*41^(1/2))/4 + 8)^(1/2) + ((5*41^(1/2))/4 - 8)^(1/2)*i;
>> compass(z1)
hold on
compass(z2)
№5. Составить уравнение касательной и нормали к графику функции y в точке с абсциссой, равной x0.Построить график.
>> syms x
>> y=x^3-2*x^2+4*x-7;x0=2;
>> y0=subs(y,x,x0)
y0 = 1
fpr=subs(diff(y,x),x,x0)-%находим производную
fpr = 8
y1=fpr*(x-x0)+y0--% находим уравнения касательной
y1 = 8*x - 15
y2=(-1/fpr)*(x-x0)+y0--% находим уравнения нормали
y2 = 5/4 - x/8
%Построения
>> ezplot(y)
>> hold on
>> ezplot(y1)
>> ezplot(y2)
>> plot(x0,y0,'*')
№6.Решить задачу
3 2
Материальная точка движется прямолинейно по закону S=6t+2t+2 начиная с момента времени t0=0.Найти скорость и ускорение в конце второй секунды.
>> syms t
>> s=6*t^3+2*t^2+2;
v=diff(S,t)-%Находим скорость по первой проиводной от пути по времени
v =
18*t^2 + 4*t
>> subs(v,t,2)
ans =80
>> a=diff(v,t)-%Находим ускорение по первой производной от скорости по времени
a =36*t + 4
>> subs(a,t,2)
ans =76.