Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
Государственное образовательное учреждение высшего
профессионального образования
Академия
сервиса и экономики
Н.Ю. Кропачева
Г.А. Петросян
Элементы математической статистики
Учебное пособие
по изучению курса высшей математики
Санкт-Петербург
2004
Одобрено на заседании кафедры «Высшая математика», протокол №2 от 05.10.2003 г.
Утверждены Методическим советом ИЭУПС, протокол №3 от 03.11.2003 г.
Кропачева Н.Ю., Петросян Г.А. Элементы математической статистики. Учебное пособие по изучению курса высшей математики. – СПб.: Изд-во СПбГАСЭ, 2004. – 79 с.
Учебное пособие охватывает основные разделы курса математической статистики, который читается студентам Академии Сервиса и Экономики. Данное пособие соответствует требованиям Государственного образовательного стандарта к профессиональным образовательным программам по всем специальностям дневной и заочной форм обучения Академии. В учебном пособии излагаются основные понятия и методы, необходимые для анализа данных; на отдельных примерах рассматриваются постановки задач и их решение. Учебное пособие может быть использовано для первого знакомства с методами математической статистики, оно дает представление об основных статистических методах, их возможностях и границах применения.
Внимательное ознакомление с данным учебным пособием поможет при самостоятельной работе по изучению данного курса, а также при выполнении контрольных заданий по математической статистике. Разнообразные примеры решения задач, иллюстрирующие теоретический материал, аналогичны задачам контрольных работ. В конце пособия представлены задания для контрольной работы, многие из которых имеют содержательное описание. В приложении к пособию приведен ряд таблиц, необходимых для выполнения контрольных работ.
Составители: канд. физ.-мат. наук, доц. Н.Ю. Кропачева;
ст. преп. Г.А. Петросян
Рецензенты: д-р экон. наук, проф. В.А. Черненко;
канд. физ.-мат. наук В.Г. Сережина
Редакционно-издательский отдел
Санкт-Петербургская государственная академия сервиса и экономики
2004 г.
§
|
[0.0.1] Кафедра «Высшая математика» [1] Содержание [2] §1. Предмет математической статистики [2.0.0.1] Теория вероятностей
[3] [4] §3. Законы распределения выборочных характеристик
[5] §4. Статистическое оценивание числовых характеристик случайной величины и [6] §5. Статистические гипотезы
[7] §6. Методы регрессионного и
[8] [8.0.1] Вариант 1
[8.0.2] [8.0.3] Вариант 3 [8.0.4] Вариант 4 [8.0.5] Вариант 5 [8.0.6] Вариант 6 [8.0.7] Вариант 7 [8.0.8] Вариант 8 [8.0.9] Вариант 9 [8.0.10] Вариант 10 [8.0.11] Вариант 11 [8.0.12] Вариант 12 [8.0.13] Вариант 13 [8.0.14] Вариант 14 [8.0.15] Вариант 15 [8.0.16] Вариант 16 [8.0.17] Вариант 17 [8.0.18] Вариант 18 [8.0.19] Вариант 19 [8.0.20] Вариант 21 [8.0.21] Вариант 22 [8.0.22] Вариант 23 [8.0.23] Вариант 24 [8.0.24] Вариант 25 [8.0.25] Вариант 26 [8.0.26] Вариант 27 [8.0.27] Вариант 28 [8.0.28] Вариант 29 [8.0.29] Вариант 30 [9] Рекомендуемая литература |
«Совокупное действие большого числа случайных факторов приводит при некоторых общих условиях к результату почти независящему от случая».
А.Н. Колмогоров (1903-1987)
Для решения задач, связанных с анализом информации при наличии фактора случайности, разработана совокупность методов, которая носит название математической статистики. Математическая статистика – это раздел математики, занимающийся разработкой методов сбора, регистрации, систематизации результатов многократных наблюдений с целью познания массовых явлений и процессов. Методы математической статистики позволяют анализировать результаты опытов (наблюдений) и на основе анализа строить оптимальные математико-статистические модели изучаемых явлений и процессов. Исследование математико-статистических моделей позволяет делать обоснованные выводы и прогнозы, решать задачи прогнозирования в различных сферах человеческой деятельности.
Математическая статистика возникла в 17 веке и развивалась параллельно с теорией вероятностей. Между основными понятиями в математической статистике и теории вероятностей существует тесная взаимосвязь, которая обосновывает практическую ценность теории вероятностей и подтверждает теоретическую основу математической статистики.
Общим для статистических и вероятностных характеристик является техника их вычислений. Главное различие между ними состоит в том, что статистические характеристики относятся к эмпирическим, а вероятностные к теоретическим понятиям. Статистические характеристики - это величины, которые при соблюдении определенных условий стремятся к вероятностным. Вероятностные характеристики можно рассматривать как предельные значения сопоставимых им характеристик математической статистики при возрастании числа наблюдений или опытов.
Закономерность, проявившаяся лишь в большой массе явлений через преодоление свойственной ее единичным элементам случайности, называется статистической закономерностью.
Первая теорема, установившая связь между теорией (теория вероятностей) и ее практической стороной (математическая статистика), была доказана в конце 17 века Якобом Бернулли (При соединении большого числа случайных явлений в общих характеристиках всей массы случайность исчезает в тем большей мере, чем больше соединено единичных явлений). Эта теорема дала начало развитию предельных теорем. Несмотря на колебания отдельных результатов наблюдений при повторных измерениях проявляется определенная закономерность (устойчивость). Она состоит в том, что средний результат при большом числе наблюдений не зависит от отдельных наблюдений.
Основные понятия теории вероятностей и математической статистики тождественны, но не равны в смысле их количественного выражения. Их можно сопоставить следующим образом:
|
Теория вероятностей |
Математическая статистика |
|
Генеральная совокупность |
Выборочная совокупность |
|
Вероятность |
Частость |
|
Математическое ожидание |
Средняя арифметическая |
|
Закон распределения и |
Вариационный ряд распределения |
Задачи математической статистики можно разбить на три типа:
Математическая статистика указывает, как наилучшим способом использовать имеющуюся информацию для получения по возможности более точных характеристик массового явления. Методы статистического анализа являются универсальными и могут применяться в самых различных областях человеческой деятельности.
Перед построением и анализом модели, описывающей исследуемое массовое явление или некоторый процесс, необходим сбор опытных данных результатов обследования объектов, отображающих массовое явление. Пусть произведено n независимых испытаний, в результате которых получены некоторые значения X1, X2, X3,………Xn. Совокупность, состоящая из всех возможных в данных условиях наблюдений, обладающих качественной общностью и подлежащих исследованию, называется генеральной совокупностью. Генеральная совокупность содержит достаточно большое количество элементов, поэтому обычно производится анализ некоторого ограниченного количества элементов взятых из генеральной совокупности. На основе анализа делаются выводы о генеральной совокупности или, другими словами, о всей вероятной ситуации. Таким образом, задачи математической статистики практически сводятся к обоснованному суждению об объективных свойствах генеральной совокупности по результатам случайной выборки.
Выборочной совокупностью (выборкой) называется множество наблюдений, отобранных из генеральной совокупности.
Выборка должна правильно отражать пропорции генеральной совокупности (быть репрезентативной), то есть все объекты генеральной совокупности должны иметь одинаковую вероятность попасть в выборку. Репрезентативность выборки обеспечивается случайностью отбора объектов. Принципиально, что при отборе объектов в выборочную совокупность возможны два варианта.
Очевидно, что в повторной выборке возможна ситуация, когда один и тот же объект будет обследован несколько раз. Если объем генеральной совокупности велик, то различие между повторной и бесповторной выборками (которые составляют небольшую часть генеральной совокупности) незначительно, что практически не сказывается на результатах. В таких случаях, как правило, используют выборку без возврата. Если генеральная совокупность имеет не очень большой объем, то различие между указанными выборками будет существенным.
Отдельные значения генеральной совокупности X1, X2, X3, ………Xn называются вариантами признака. Если – функция распределения генеральной совокупности X, то у каждой случайной величины Xi функция распределения также равна . Понятно, что получить значений случайной величины X все равно, что получить одно значение -мерной случайной величины (X1, X2, X3,………Xn). Поэтому каждую выборку x1, x2, x3,………xn объема мы можем рассматривать как одно значение -мерной случайной величины (X1, X2, X3,………Xn).
Числа, показывающие сколько раз наблюдается определенная варианта, называют частотами (m1, m2……..mn). Расположив варианты в возрастающем или убывающем порядке (ранжирование ряда) и поставив в соответствии с этими вариантами их частоты, получим упорядоченный ряд. Такой ряд называется вариационным рядом.
Все возможные значения признака, принимающие изолированные значения, отличающиеся на некоторую конечную величину, называются дискретными. Значения признака, принимаемые в некотором числовом интервале, называют непрерывными. Помимо частоты в статистике используется понятие накопленной частоты, показывающей, сколько наблюдалось элементов со значением признака меньшим или равным Xi. . Отношение частоты (накопленной частоты) к общему числу наблюдений называется частостью (накопленной частостью) и обозначается , , т.е.
.
Накопленные частоты выражаются в относительных числах или в процентах. В дискретном вариационном ряду накопленные частоты и частости являются результатом последовательного суммирования частот и частостей, начиная от первой варианты.
Пример 2.1. [2] На телефонной станции проводились исследование качества ее работы. Для исследования измеряли число неправильных соединений в минуту. В течение часа были получены следующие 60 значений наблюдаемого признака:
|
3 |
1 |
3 |
1 |
4 |
2 |
2 |
4 |
0 |
3 |
0 |
2 |
|
2 |
0 |
2 |
1 |
4 |
3 |
3 |
1 |
4 |
2 |
2 |
1 |
|
1 |
2 |
1 |
0 |
3 |
4 |
1 |
3 |
2 |
7 |
2 |
0 |
|
0 |
1 |
3 |
3 |
1 |
2 |
4 |
2 |
0 |
2 |
3 |
1 |
|
2 |
5 |
1 |
2 |
4 |
2 |
0 |
2 |
3 |
1 |
2 |
5 |
Очевидно, что X является дискретной случайной величиной, и полученные данные являются значениями этой случайной величины.
В результате группировки получено семь значений случайной величины (варианты): 0; 1; 2; 3; 4; 5; 7. При этом значение 0 в этой группе встречается 8 раз, значение 1 – 17 раз, значение 2 – 16 раз, значение 3 – 10 раз, значение 4 – 6 раз, значение 5 – 2 раза, значение
7 – 1 раз. Вычисленные значения частот и частостей приведены в табл. 2.1.
Таблица 2.1
|
Индекс |
1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 |
|
|
Варианта |
0, 1, 2, 3, 4, 5, 7 |
|
|
Частота |
8, 17, 16, 10, 6, 2, 1 |
|
|
Частость |
Полученный дискретный ряд представлен в таблице 2.2.
Таблица 2.2
|
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
7 |
|
8 |
17 |
16 |
10 |
6 |
2 |
1 |
где во второй строке указаны соответствующие частоты. В отличие от исходных данных этот ряд позволяет делать некоторые выводы о статистических закономерностях.
Если число возможных значений дискретной случайной величины достаточно велико или наблюдаемая случайная величина является непрерывной, то строят интервальный вариационный ряд. Под интервальным вариационным рядом понимают упорядоченную совокупность интервалов варьирования значений случайной величины и соответствующие частоты или частости попаданий в каждый интервал значений случайной величины.
Как правило, частичные интервалы, на которые разбивается весь интервал варьирования, имеют одинаковую длину и представимы в виде
,
где L число интервалов, h – длина интервала.
Длину h следует выбирать так, чтобы построенный ряд не был громоздким, но в то же время позволял выявлять характерные изменения случайной величины. Рекомендуется для h использовать формулу Стерджеса:
,
где – наибольшее и наименьшее значения случайной величины. Величина ()- называется размахом ряда. Если при вычислении h необходимо округлить результат, следует помнить, что последний интервал группирования будет меньше ширины h при округлении в большую сторону и больше h при округлении в меньшую сторону. При этом необходимо выполнение условий:
.
После нахождения частичных интервалов определяется сколько значений случайной величины попадает в каждый конкретный интервал. При этом в интервал включают значения большие или равные нижней границе и меньшие верхней границы.
Одной из основных характеристик выборки является выборочная (эмпирическая) функция распределения:
,
где – количество элементов выборки меньших . Другими словами, есть относительная частота появления события в независимых испытаниях. По теореме Бернулли относительная частота появления события в независимых испытаниях сходится при увеличении к вероятности этого события. Следовательно, при больших объемах выборки выборочная функция распределения близка к теоретической функции . Главное различие между и состоит в том, что определяет вероятность события , а выборочная функция распределения – относительную частоту этого события.
Из определения следует, что функция обладает следующими свойствами:
1. ;
2. – неубывающая функция;
3.
Как известно, аналогичными свойствами обладает и функция распределения .
Для приближенного представления теоретической функции распределения случайной величины X, которую наблюдаем в эксперименте, целесообразно использовать эмпирическую функцию распределения выборки .
Пример 2.2. Используя дискретный вариационный ряд, полученный в примере 2.1, вычислим значения . Результаты представлены в таблице 2.2.
Таблица 2.2.
|
Значения x |
Накопленная частость |
|
x 0 |
0 |
|
0 < x 1 |
|
|
1 < x 2 |
|
|
2 < x 3 |
|
|
3 < x 4 |
|
|
4 < x 5 |
|
|
5 < x 7 |
|
|
x > 7 |
Графическое изображение вариационных рядов дает наглядное представление о распределении.
По данным таблицы 2.2 построим график выборочной функции распределения (рис. 2.1).
Рис. 2.1. График выборочной функции распределения
(накопленных частот).
Характер изменения значений частот (частостей) наглядно представляется в виде графического изображения вариационных рядов. Наиболее простым способом графического изображения вариационных рядов является точечная диаграмма. Кроме точечной диаграммы применяются следующие формы: полигон, гистограмма, кумулята, огива.
Полигон - графическое изображение вариационного ряда в виде многоугольника, при этом по горизонтальной оси откладываются значения признака, а по вертикальной - частота встречаемости соответствующего значения признака.
Гистограмма - ряд прямоугольников, основания которых равны ширине интервала, а высоты частоте или частости. Гистограмма позволяет "зрительно" определить нормальность эмпирического распределения. Гистограмма позволяет качественно оценить различные характеристики распределения. Например, на ней можно увидеть, что распределение бимодально (имеет 2 пика). Это может быть вызвано, например, тем, что выборка неоднородна, возможно, извлечена из двух разных генеральных совокупностей, каждая из которых более или менее нормальна.
Кумулята – графическое изображение вариационного ряда с накопленными частотами.
Огива – графическое изображение вариационного ряда с накопленными частотами, но в отличие от кумуляты по вертикальной оси откладываются значения признака, а по горизонтальной накопленные частоты (частости).
Пример 2.3. [8]. Распределение предприятий по издержкам обращения (млн руб.), полученным в отчетном периоде, представлено в ранжированном виде интервалами объема издержек обращения xj и количеством nj предприятий, издержки которых попадают в j интервал.
Таблица 2.3.
|
xj -xj+1 |
2-6 |
6-10 |
10-14 |
|
nj |
3 |
10 |
7 |
|
nx |
3 |
13 |
20 |
|
3/20 = 0.15 |
13/20 = 0.65 |
20/20 = 1 |
Общее количество предприятий .
По данным таблицы 2.3 построим график выборочной функции распределения или график накопленных частот (рис. 2.2) и полигон частот (рис. 2.3).
Рис. 2.2. График выборочной функции распределения
(накопленных частот).
Рис. 2.3. Полигон частот случайной величины.
Также для данных примера 2.3
|
xj-xj+1 |
2-6 |
6-10 |
10-14 |
|
ωi |
¾=0,75 |
10/4=2,5 |
7/4=1,75 |
построим гистограмму частот (рис. 2.4).
Рис. 2.4. Гистограмма частот случайной величины.
Рассмотренная выборочная функция распределения и гистограмма позволяют делать выводы о закономерностях исследуемого массового явления, но при анализе данных возникает вопрос об описании их положения, разброса, характере разброса. Для этого используются числовые характеристики выборочной совокупности, из которых сначала рассмотрим выборочное среднее и выборочную дисперсию.
Выборочным средним называется случайная величина, определяемая формулой
.
Выборочное среднее называют также выборочным математическим ожиданием. Оно характеризует положение распределения случайной величины на оси x.
Если данные представлены в виде вариационного ряда, то целесообразно для вычисления выборочного среднего использовать одно из следующих соотношений:
;
,
где – частость (относительная частота), соответствующая i-й варианте или i-му частичному интервалу; – середина i-го частичного интервала, т.е.
Пример 2.4. Вычислим значение выборочного среднего по выборке примера 2.1 (табл. 2.1).
.
К другим характеристикам положения распределения случайной величины относятся медиана Ме и мода Мo.
Медиана (Ме) - среднее (серединное) значение вариационного ряда.
где и средние значения.
Медиана делит совокупность на две равные части. Ее приближенное значение можно получить по графику распределения.
Мода (Мo) - наиболее часто встречающееся значение наблюдения. Мода имеет большое практическое значение. Она находит отражение при планировании производства товаров, при их распределении, при определении часов пик на станциях для оптимального планирования работы транспорта и т.д.
В вариационных рядах близких к нормальному закону распределения медиана (Мe), мода (Мо), математическое ожидание М(х) (среднее арифметическое) практически совпадают по своим численным значениям.
Рис. 2.5. Соотношение характеристик медиана Ме и мода Мo
на графике плотности распределения вероятностей.
Для характеристики совокупности признака по необходимости применяют ряд других характеристик: квартили, децили, перцентили. Квартили – значение изучаемой величины, полученное при делении совокупности на четыре части, децили - на десять, перцентили - на сто частей.
Дисперсия и среднеквадратическое отклонение являются характеристиками рассеяния или разброса распределения случайной величины, и чем больше разброс, тем сильнее варьируются значения случайной величины:
.
Число полученное для отдельной выборки является одним из значений случайной величины
,
которая называется выборочной дисперсией.
Если данные представлены в виде вариационного ряда, то целесообразно для вычислений использовать одно из следующих соотношений:
;
,
где – те же, что и в предыдущих формулах.
Рис. 2.6. Графики плотности распределения вероятностей с различными значениями дисперсии и одинаковыми
математическими ожиданиями.
Выборочная дисперсия обладает одним существенным недостатком: если среднее арифметическое выражается в тех же единицах, что и значения случайной величины, то, как следует из формул, задающих дисперсию, последняя выражается уже в квадратных единицах. Этого недостатка можно избежать, взяв в качестве меры рассеивания арифметический квадратный корень из дисперсии. Выборочным средним квадратическим отклонением называется арифметический квадратный корень из выборочной дисперсии (σв).
Пример 2.5. Используя выборку примера 2.1. вычислить значение выборочной дисперсии.
Используя дискретный вариационный ряд (табл. 2.1), получим
.
Так как значение было вычислено в примере 2.4 (), то по формуле для вычисления дисперсии получим
.
В качестве характеристики формы распределения, отражающей его асимметрию, служит коэффициент асимметрии Аs (иногда обозначается βi), который рассчитывается по формуле:
.
Коэффициент асимметрии Аs изменяется в пределах (). Для симметричного распределения Аs равен 0. Например, для модели нормального распределения Аs = 0. При Аs < 0 распределение имеет левостороннюю асимметрию, при Аs > 0 - правостороннюю. Например, правосторонняя асимметрия характеризуется тем, что середина ряда сдвинута влево от вершины распределения, т.е. частоты сначала быстро возрастают, а достигнув наибольшего значения, в дальнейшем убывают значительно медленнее. Аналогично определяется левосторонняя асимметрия.
Рис. 2.7. Зависимость формы плотности распределения вероятности
от коэффициента асимметрии (Аs =βi).
Неприведенный коэффициент эксцесса Ех также является характеристикой формы распределения, а именно его островершинности, и определяется из выражения:
.
Неприведенный коэффициент эксцесса Ех изменяется в пределах . Для нормального распределения Ех=0. Величина γ = Ех -3 называется приведенным коэффициентом эксцесса. На рисунке 2.8. приводятся графики плотности распределения в зависимости от различных значений γ.
Рис. 2.8. Зависимость формы плотности распределений
вероятности от приведенного коэффициента эксцесса.
После получения вариационного ряда как выборочного распределения возникает первая задача – найти на основе этого распределения общий закон распределения для данного признака. На основе всестороннего анализа имеющегося распределения и изучения рассматриваемого признака выбирают из известных распределений определенный закон распределения в качестве предполагаемого теоретического закона распределения для рассматриваемого признака в генеральной совокупности.
Рассмотрим несколько распределений, которые имеют важные статистические приложения:
а) Нормальный закон распределения случайной величины. Нормальное распределение рассмотрено впервые А. Муавром в I733 г., а в I809 г. открыто независимо от исследований А. Муавра К. Гауссом. Распределение Муавра - Лапласа - Гаусса занимает ведущее место в теории и практике вероятностно-статистических исследований, в частности, в экономике, социологии, технике, медицине, биологии и пр.
Как известно, нормальным называется распределение, имеющее вид:
.
По этой формуле при различных значениях среднего арифметического () и среднеквадратичного отклонения () получается семейство нормальных кривых. Нормальное распределение симметрично относительно и имеет следующие числовые характеристики: математическое ожидание a=, дисперсия , коэффициент асимметрии Аs=0, неприведенный коэффициент эксцесса Ех = 3, приведенный коэффициент эксцесса γ = 0.
Для нормального распределения значения моды, медианы и среднего арифметического равны между собой.
При решении статистических задач во многих случаях применяется стандартное нормальное распределение (единичное, нормальное). Оно получается при условии, что и , т.е. имеет параметры (0,1). Использование стандартного нормального распределения позволяет анализировать любое нормальное распределение на основе характеристик единичного нормального распределения.
б) Распределение (распределение К. Пирсона). Пусть – независимые нормально распределенные случайные величины с параметрами (0,1). Распределение случайной величины
называется распределением хи-квадрат с п степенями свободы, а сама величина – случайной величиной хи-квадрат с п степенями свободы.
Заметим, что количество степеней свободы п является единственным параметром хи-квадрат распределения и значения неотрицательны, т.е. .
При больших значениях п распределение случайной величины близко к нормальному распределению с параметрами . Однако при малых значениях п функция плотности случайной величины значительно отличается от кривой нормального распределения.
На рис. 3.1 показаны плотности распределения случайной величины при и . Видно, что при увеличении плотность «приближается» к плотности нормального распределения.
Рис. 3.1. Плотность распределения хи-квадрат.
Сумма независимых случайных величин также распределена по закону хи-квадрат с степенями свободы.
в) Распределение Стьюдента (t-распределение). Если случайная величина z – нормально распределена с параметрами , а величина ω имеет –распределение с к степенями свободы, то величина
распределена по закону Стьюдента с k степенями свободы и называется t-распределением. Это распределение впервые в 1908 году было использовано английским математиком В.Госсетом, который подписывал свои работы псевдонимом Стьюдент (Студент).
Распределение Стьюдента симметрично относительно нуля (рис. 3.2.), и значения t табулированы в зависимости от степеней свободы k и вероятности α.
Рис. 3.2. Плотность распределения Стьюдента.
При больших значениях k кривая плотности близка к кривой нормального распределения . Поэтому в практических расчетах при k>30 часто считают, что
.
г) Распределение Фишера (-распределение). Пусть и – независимые случайные величины, имеющие хи-квадрат распределения с п и m степенями свободы, соответственно. Распределение случайной величины
называется F-распределением или распределением Фишера с п и m степенями свободы. Так как случайные величины и то .
Дальнейшие рассуждения будут базироваться на теореме о распределении выборочных характеристик и доказанную Р.Фишером.
Теорема (о распределении выборочных характеристик).
Если генеральная совокупность Х распределена по нормальному закону с параметрами и , то:
а) случайная величина распределена нормально с параметрами ;
б) случайная величина имеет распределение ;
в) случайные величины и независимы.
Пусть из генеральной совокупности Х, имеющей нормальный закон распределения с математическим ожиданием и дисперсией , взята случайная выборка объемом n, тогда выборочные характеристики (статистики) будут представлены следующим образом:
1) - имеет нормированный нормальный закон распределения N(0,1) с математическим ожиданием, равным нулю, и дисперсией, равной единице, где - выборочная средняя арифметическая, - среднее квадратическое отклонение;
2) - имеет распределение Стьюдента (t - распределение) с n-1 степенями свободы, где S - выборочное среднее квадратическое отклонение, равное ;
3) - имеет нормированное нормальное распределение N(0,1);
4) - имеет распределение Стьюдента
(t-распределение) с n-1 степенями свободы;
5) - имеет распределение (хи-квадрат) с n-1 степенями свободы;
6) В случае двух независимых выборок их нормальных генеральных совокупностей Х и Y c одинаковыми математическими ожиданиями μх=μу=μ и дисперсиями статистика
- имеет распределение Стьюдента (t - распределение) с nх + nу -2 степенями свободы, где - выборочные средние двух независимых выборок х и у из генеральных совокупностей с одинаковыми, но неизвестными параметрами a и σ, - выборочные дисперсии соответственно первой и второй выборок.
После получения распределения выборки приходим к необходимости рассмотрения двух вопросов:
1) выбрать вид теоретического распределения в качестве предполагаемого для рассматриваемого признака, а затем найти его параметры;
2) доказать правильность сделанного выбора, проверить согласованность имеющегося эмпирического материала с предполагаемым теоретическим распределением признака в генеральной совокупности.
В связи с тем, что состав выборки может быть различным, выводы, сделанные относительно генеральной совокупности по выборочным значениям могут быть различными, а иногда и ложными. Решение этой проблемы приводит к рассмотрению критериев согласия, анализ которых позволяет сделать вывод:
Статистической оценкой неизвестного параметра генеральной совокупности называется любая функция вариант выборки, которая дает представление о значении неизвестного параметра. Основной задачей статистического оценивания является получение значений неизвестных параметров на основе выборки из генеральной совокупности. Так, например, если случайная величина распределена по нормальному закону, то по выборке необходимо оценить математическое ожидание и среднеквадратическое отклонение.
Выборочная характеристика, используемая в качестве приближенного значения неизвестной генеральной характеристики, называется ее точечной статистической оценкой. Она определяется одним числом. Ранее были рассмотрены выборочные среднее и дисперсия , которые интерпретировались как приближенные значения неизвестных математического ожидания и дисперсии изучаемой случайной величины , т.е. являлись точечными оценками этих неизвестных характеристик.
Обозначим через некоторый неизвестный параметр генеральной совокупности, а через – точечную оценку этого параметра. Оценка есть функция от независимых элементов генеральной совокупности, где – объем выборки. Поэтому оценка , как функция случайных величин, также является случайной и свойства можно исследовать с использованием понятий теории вероятностей.
В общем случае точечная оценка не связана с оцениваемым параметром . Поэтому естественно потребовать, чтобы была близка к . Это требование формируется в терминах несмещенности, состоятельности и эффективности.
Статистическая оценка неизвестного параметра называется несмещенной, если математическое ожидание равно самому параметру:
.
Статистическая оценка неизвестного параметра называется эффективной, если она имеет минимальную дисперсию среди остальных оценок параметра .
Статистическая оценка называется состоятельной, если для нее соблюдается условие:
для любого .
Это означает, что чем больше число наблюдений , тем больше уверенность (вероятность стремится к 1) в незначительном отклонении от неизвестного параметра . Очевидно, что «хорошая оценка» должна быть состоятельной, иначе эта оценка не имеет практического смысла, так как увеличение объема исходной информации не будет приближать оценку к «истинному» значению .
Теорема 4.1. Выборочное среднее есть состоятельная и несмещенная оценка генеральной средней .
Теорема 4.2. Выборочное среднее является эффективной несмещенной оценкой для , если случайная величина имеет нормальное распределение , где – математическое ожидание, – дисперсия случайной величины .
Теорема 4.3. Выборочная дисперсия является состоятельной, но смещенной оценкой генеральной дисперсии .
Таким образом, если в качестве оценки генеральной дисперсии принимать выборочную дисперсию, то эта оценка будет приводить к систематическим ошибкам. В результате значение генеральной дисперсии будет занижаться. Легко «исправить» выборочную дисперсию так, чтобы ее математическое ожидание было равно генеральной дисперсии. Для этого достаточно умножить на дробь
п/(п—1). Сделав это, получим «исправленную» дисперсию, которую обычно обозначают через :
.
Теорема 4.4. Исправленная дисперсия является состоятельной и несмещенной оценкой для дисперсии генеральной .
Замечание: На практике пользуются исправленной дисперсией, если примерно п < 30.
Теорема 4.5. Относительная частота появления события в испытаниях является состоятельной оценкой вероятности .
Одним из первых приемов оценивания параметров является метод моментов, разработанный Пирсоном (подробно см. работу №4). На практике этот метод сравнительно прост в вычислениях, но иногда приводит к малоэффективным оценкам.
Исследуя свойства оценок, получаемых с помощью метода моментов, английский математик Р. Фишер предложил более надежный метод оценивания параметров распределения по данным выборки случайной величины X — метод максимального правдоподобия. Метод максимального правдоподобия приводит к более сложным вычислениям, но оценки, получаемые с его помощью, как правило, оказываются более надежными. Этот метод наиболее полно использует данные выборки об оцениваемом параметре, поэтому он особенно эффективен в случае малых выборок.
Пусть X — случайная величина, которая в результате n испытаний приняла значения х1,x2,…, хn c распределением, зависящим от параметра θ. Требуется найти его точечную оценку.
Функцией правдоподобия случайной величины X называют функцию аргумента θ:
а) ,
если X — непрерывная случайная величина с плотностью распределения ,
б)
если X — дискретная случайная величина, - вероятность того, что в результате испытания величина X примет значение xi .
В качестве точечной оценки параметра θ принимают такое его значение θ*=θ*(х1,x2,…, хn), при котором функция правдоподобия достигает максимума. Оценку θ* называют оценкой наибольшего правдоподобия. Функции L и LnL достигают максимума при одном и том же значении θ, поэтому вместо максимума функции L целесообразно находить максимум функции LnL, которую называют логарифмической функцией правдоподобия. Точку максимума функции LnL, аргумента θ можно найти, например, следующим образом:
3) найти вторую производную: ; при этом если вторая производная при θ=θ* отрицательна, то θ* является точкой максимума.
Найденную точку максимума θ* принимают в качестве оценки наибольшего правдоподобия параметра θ.
Пример 4.1. Найти оценку максимального правдоподобия для параметра распределения Пуассона.
Распределение Пуассона имеет вид
,
где принимает любые целые неотрицательные значения.
Пусть – выборка из генеральной совокупности . Тогда
.
Преобразовав произведение, получим
.
Поэтому логарифмическая функция максимального правдоподобия имеет вид
.
Находим критическую точку, решая уравнение
.
Получим
Отсюда
.
Так как
при , то найденная критическая точка есть точка максимума. Поэтому оценкой максимального правдоподобия для параметра является случайная величина
т.е. .
Для выборок малого объема точечные оценки могут значительно отличаться от оцениваемого параметра, и вопрос о точности получаемых оценок становится очень важным. В математической статистике он решается введением интервальных оценок. Общая теория построения интервальных оценок заключается в определении случайной величины, зависящей от оцениваемого параметра. Зная распределение этой случайной величины, находят соответствующие доверительные границы и сам доверительный интервал с требуемой точностью.
Интервальной оценкой для параметра θ называется такой интервал со случайными границами, что .
Вероятность называется надежностью интервальной оценки или доверительной вероятностью, случайные величины – доверительными границами, а сам интервал называют доверительным интервалом. Центром этого интервала является значение точечной оценки .
Надежность принято выбирать равной 0.95, 0.99, в этом случае событие, состоящее в том, что интервал покроет параметр , будет практически достоверным.
Например, для оценки математического ожидания генеральной совокупности нормально распределенного признака по выборочной средней и известном среднем квадратическом отклонении генеральной совокупности применяется формула:
.
Таблица 4.1.
Таблица доверительных интервалов для параметров
нормального распределения
|
Параметр |
Доверительный интервал |
Статистическая |
|
Математическое ожидание а) при известном σ |
, где - точность оценки n объем выборки t - значение аргумента функции Лапласа Ф(t) а - математическое ожидание σ-среднеквадратическое отклонение |
|
|
Математическое ожидание б) при неизвестном σ |
- выборочная средняя S - исправленное средне-квадратическое отклонение n -объем выборки |
распределение Стьюдента, степень свободы k = n - 1 |
|
Дисперсия (среднеквадратическое отклонение) |
границы (), соответствующие надежности γ находят по таблице: (распределение Пирсона) из условия , где- случайна величина имеющая распределение Пирсона. |
имеет распределение -хи-квадрат с n-1 степенями свободы. |
При этом t определяется по таблицам функции Лапласа из соотношения
,
где - среднеквадратическое отклонение; n - объем выборки.
Замечание 1. Оценку называют классической. Из формулы , определяющей точность классической оценки, можно сделать следующие выводы:
Замечание 2. Если требуется оценить математическое ожида ние с наперед заданной точностью и надежностью γ, то минимальный объем выборки, который обеспечит эту точность, находят по формуле
(следствие равенства ).
Пример 4.2. Найти доверительный интервал для оценки математического ожидания нормального распределения с надежностью 0,95, зная выборочную среднюю , объем выборки n=100 и среднеквадратическое отклонение .
Решение:
Воспользуемся данными из таблицы приложения 2. Для этого из выражения где Ф - функция Лапласа, n = 100, σ = 4, δ - точность оценки, γ=0,95, найдем t. Получаем t=1,96, тогда . доверительный интервал будет равен .
Пример 4.3.
На контрольных испытаниях n=15 ламп была определена средняя продолжительность горения лампы, =3000ч. Считая, что срок службы лампы распределен нормально с =16ч, определить доверительную вероятность того, что точность средней равна 10ч.
Решение:
Подставляя числовые данные в формулу .
По таблице приложения 2 найдем вероятность Ф(2,4)=0,9836; это и есть доверительная вероятность γ.
Пример 4.4.
На контрольных испытаниях 16 осветительных ламп были определены: средняя продолжительность работы лампы =3000ч и исправленное среднее квадратическое отклонение .S=20ч. Считая, что срок службы каждой лампы является нормально распределенной случайной величиной, определить с надежностью 0,9 доверительный интервал для математического ожидания.
Решение:
Так как γ=0,9, k=16-1 в соответствии с формулой находим =1,753 .
Таким образом, с вероятностью 0,9 можно быть уверенным в том, что доверительный интервал (2991,235; 3008,765) покроет неизвестное математическое ожидание, а среднее =3000ч определяет значение математического ожидания с точностью 8,765.
Пример 4.5.
По результатам измерения диаметра 25 корпусов электродвигателей было получено, что =100мм, S=16 мм. Предполагая нормальное распределение результата измерения, найти вероятность того, что (0,9;1,1) накроет математическое ожидание.
Решение:
Приравнивая нижнюю границу, равную 0,9, нижней границе , получаем 0,9=. Отсюда . Такой же результат имеем, если приравнять 1,1 верхней границе, равной .
Подставляем числовые данные в формулу
Зная и число степеней свободы k=n—1==24, по таблице приложения 3 находим, что γ = 0,99. Таким образом, вероятность Р(0,9<МХ<1,1) = 0,99.
При статистическом анализе в технике, экономике, социологии для выявления какого-либо факта часто прибегают к выдвижению гипотез (умозаключений) и последующей их проверке.
Статистическими гипотезами называют предположения относительно вида распределения случайной величины или его отдельных параметров. Так, например, гипотеза о нормальном законе распределения производительности труда рабочих, гипотеза о равенстве средних размеров деталей, производимых на одинаковых по техническим свойствам станках и т.д.
Сопоставление выдвигаемой гипотезы относительно генеральной совокупности, осуществляемое на основании анализа выборки, называется проверкой статистической гипотезы.
Статистические гипотезы можно классифицировать как гипотезы о законах распределения и гипотезы о параметрах распределения.
Виды задач, решаемых с помощью гипотез, делятся на 4 группы:
На рис. 5.1 приведена классификация гипотез отличающихся по характеру решаемых задач.
Любая статистическая гипотеза проверяется на основе статистического критерия - формулы (правила) с помощью которого определяется мера расхождения результатов выборочного наблюдения с высказанной гипотезой. В результате этой проверки выдвигаемая гипотеза либо отвергается, либо принимается.
Статистических гипотез всегда две и они взаимоисключающие. Выдвигаемую на проверку гипотезу называют нулевой (Н0), противоположную ей гипотезу называют конкурирующей, альтернативной (Н1).
Пусть проводится исследование игральной кости – “проверяется” ее симметричность. Ясно, что в качестве нулевой гипотезы надо считать предположение о полной симметрии кости. Ведь если Н0 верна, то вероятности выпадения всех шести цифр на гранях будут одинаковы – по 1/6. А вот выдвижение в качестве нулевой гипотезы предположения об асимметрии кости ничего бы не дало – в этом случае ничего нельзя сказать о вероятностях выпадения цифр.
Выбор критерия для проверки статистических гипотез производят на основании различных принципов. В основном используется принцип отношения правдоподобия. Суть его сводится к выбору такого критерия (К), чтобы при заданном уровне значимости α, можно было найти критическую точку Ккр, которая разделила бы область значений на 2 части на более или менее правдоподобные в отношении нулевой гипотезы Н0. К сожалению, не существует единого, универсального критерия значимости – их приходится разрабатывать в теории и использовать на практике применительно к особенностям конкретных задач. В результате применения критерия возможны 4 случая:
Рис.5.1. Классификация гипотез.
С процедурами проверки статистических гипотез связано понятие уровня значимости результатов наблюдений. Уровнем значимости α называется вероятность совершить ошибку I-го рода, т.е. отвергнуть верную гипотезу. Вероятность совершить ошибку II-го рода - обозначается β. С уменьшением α возрастает вероятность ошибки β.
Мощностью критерия называется выражение (1-β) - вероятность того, что нулевая гипотеза (Н0) будет отвергнута, если верна конкурирующая (Н1), т.е. вероятность не допустить ошибку II-го рода. При расчетах принято задавать вероятность ошибки I-го рода (уровень значимости α). Для этого используют следующие значения: 0,1; 0,05; 0,025; 0,01; 0,001; 0,005.
Множество значений критерия К разбивается на 2 части, при этом одна из них содержит значения при которых нулевая гипотеза отвергается, а другая - принимается.
Критической называется область значений, при которых нулевая гипотеза отвергается. Областью принятия гипотезы является совокупность значений критерия при которых нулевая гипотеза принимается.
Различают одностороннюю (правостороннюю или левостороннюю) и двустороннюю критические области (т.е. области, где нулевая гипотеза отвергается). Правосторонней называется критическая область (нулевая гипотеза отвергается), если К > Ккр, где Ккр > 0. Левосторонней называется критическая область, если К < Ккр, где Ккр < 0. Двусторонней называется критическая область, которая определяется следующими неравенствами: К < К1кр; К > К2кр.. Для каждого критерия имеются соответствующие таблицы, по которым и находят критическую точку.
Пример 5.1.
Предположим, что если верна гипотеза , то критерий распределен по нормальному закону N(5,3)(т.е. математическое ожидание , дисперсия ), а если верна конкурирующая гипотеза , то критерий распределен по закону N(15,3). Требуется вычислить мощность критерия, когда в качестве критической рассматривается область больших значений, и мощность, когда в качестве критической рассматривается область больших по модулю значений. Уровень значимости возьмем 0.05.
Решение:
В первом случае границу правосторонней критической области найдем из условия
,
поэтому
Значит, . По таблицам значений функции находим, что
.
Поэтому границы правосторонней критической области . Чтобы вычислить ошибку второго рода , нужно найти вероятность попадания в область допустимых значений при условии, что гипотеза неверна. В этом случае считается справедливой гипотеза , а критерий будет распределен по закону N(15,3). Значит,
и мощность критерия .
Во втором случае правая граница критической области вычисляется из условия
Поэтому
.
Значит, . Левая граница критической области симметрична с точкой относительно точки , т.е. левая граница . Тогда вероятность ошибки составит
Поэтому мощность критерия во втором случае равна . Значит, односторонняя критическая область больших значений является предпочтительной.
На основе вышеизложенного сформулируем основные этапы проверки статистической гипотезы:
Рассмотрим более подробно задачу проверки гипотез о законе распределения, так как во многих практических задачах возникает необходимость определения закона распределения исследуемой случайной величины, проверка согласованности теоретических и эмпирических функций распределения.
В этом случае прежде всего ставится нулевая гипотеза H0 о том, что случайная величина подчиняется конкретному теоретическому закону распределения F(х). Выдвинутая для проверки гипотеза проверяется по выборке из генеральной совокупности. Предварительно по выборке строится эмпирическая функция распределения исследуемой величины. Затем производится сравнение эмпирического и теоретического распределения с помощью специально подобранных, так называемых, критериев согласия. Различают несколько критериев согласия: χ 2 Пирсона, Колмогорова, Смирнова и др. Наиболее часто употребляется критерий согласия χ2 Пирсона (хи квадрат).
Критерий χ 2 (хи квадрат - критерий К.Пирсона).
Правило применения критерия χ 2 сводится к следующему алгоритму:
Согласно критерию χ 2
, где .
Распределение χ 2 зависит от числа степеней свободы. При применении критерия Пирсона оно равно: - где r - число параметров предлагаемого теоретического закона, использованных для вычисления теоретических частот.
Критерий имеет ряд ограничений: он применим для рядов: имеющих большой объем выборки, достаточную величину частот в крайних интервалах, количество интервалов должно быть не менее пяти.
Критерий Колмогорова.
В качестве меры расхождения между теоретическим и статистическим распределением рассматривается максимальное значение модуля разности между статистической и соответствующей ей теоретической функцией распределения. В качества критерия берется следующее выражение
Алгоритм критерия Колмогорова применяется следующим образом:
Рассуждая аналогичным образом, можно получить статистики и для других задач проверки гипотез (см. таблицу 5.1).
Пример 5.2.
По результатам п = 9 замеров установлено, что среднее время изготовления детали . Предполагая, что время изготовления подчиняется нормальному распределению с дисперсией на уровне значимости , решить:
а) можно ли принять 50с в качестве нормативного времени (математического ожидания) изготовления детали;
б) можно ли принять за норматив 49с?
Решение: (Эта задача о проверке гипотезы о числовом значении математического ожидания при известной дисперсии)
а) по условию задачи нулевая гипотеза с. Так как , то в качестве альтернативной возьмем гипотезу , т.е. имеем случай 2 при . По изложенной схеме получаем . Подставив исходные данные , получаем . Так как число –2 попадает в критическую область , то гипотеза с отвергается и принимается ;
б) здесь нулевая гипотеза с, альтернативная . Снова имеет место случай 2 при . Так как не попадает в критическую область, то гипотеза с не отвергается и в качестве норматива времени изготавления детали берем 49 с.
Таблица 5.1.
Статистики для задач проверки гипотез
|
Гипотеза |
Статистика |
Границы |
Критерий |
|
Гипотеза о значении генеральной средней нормальной совокупности: а) при известной генеральной дисперсии: |
tнабл= при - правосторонняя критическая область при - левосторонняя критическая область при -двусторонняя критическая область (нормированный закон распределения) |
границы находят из условий Ф(tкр)=1-2α Ф(tкр)=1-α |
если │tнабл│> tкр то гипотеза отвергается если │tнабл│≤ tкр гипотеза не противоречит опытным данным |
|
б) при неизвестной генеральной дисперсии: |
tнабл= при - правосторонняя при - левосторонняя при - двусторонняя критическая область (распределение Стюдента) |
определяются по таблице t - распре-деления (уровень значимости = α; число степеней свободы n - 1 при односторонней области St = 2α при двухсторонней St= |
│t│> tкр |
|
Гипотеза о равенстве генеральных средних двух нормальных совокупностей: а) при известных генеральных дисперсиях: |
tнабл= (распределение Стюдента) |
границ находятся по таблице Ф(t) |
|
|
б) при неизвестных генеральных дисперсиях: |
tнабл= (распр.Стюдента) |
имеет распределение Стюдента (степень свободы) |
Если │tнабл│> tкр то гипотеза отвергается, При │tнабл│≤ tкр гипотеза не противоречит опытным данным |
|
Гипотеза о значении дисперсии генеральной совокупности (значения признака распределены по нормальному закону) Н1: |
распределение xu-квадрат (n-1) степень свободы |
если , то нулевая гипотеза H0: отвергается |
|
|
Гипотеза о равенстве дисперсий двух генеральных совокупностей |
, гдеисправление дисперсии (распределение Фишнра-Снедекора(F - распределение)) |
границы ( определяют по таблице F |
если , то гипотеза не противоречит опытным данным; если , то гипотезу отвергают. |
|
Гипотеза об однородности ряда дисперсий. |
здесь
- число степеней свободы i - той выборки , l - кол-во нормальных генеральных совокупностей из которых извлечены выборки. При выполнении нулевой гипотезы и при имеет распределение с степенью свободы. имеет распределение G с и lстепенями свободы, где - наибольшая из исправленных выборочных дисперсий. |
Границы определяют по таблице распределения х2 для уровня значимости и числа степеней свободы . При выполнении и при , х2 имеет вид распределения с степенью свободы. Применяется, когда объемы выборок извлеченных из генеральных совокупностей равны. |
Критерий Батлета: Критерий Кохрана, если , то гипотезу отвергают, если , то считают, что гипотеза не противоречит опытным значениям. |
Пример 5.3.
Хронометраж затрат времени на сборку узла машины п=21 слесарей показал, что мин, а мин2. В предложении о нормальности распределения решить вопрос: можно ли на уровне значимости считать мин нормативом (математическим ожиданием) трудоемкости.
Решение: (Эта задача о проверке гипотезы о числовом значении математического ожидания при неизвестной дисперсии)
В качестве основной гипотезы принимается мин, в качестве альтернативной мин, при этом . Используя таблицу приложения 5 при , находим
;
.
Вычисляем . Так как число попадает в критическую область (конкретно в интервал , то гипотеза мин отвергается.
Пример 5.4.
По результатам n=4 измерений в печи найдено =254C. Предполагается, что ошибка измерения есть нормальная случайная величина с = 6C. На уровне значимости =0.05 проверить гипотезу H0: =250C против гипотезы H1: =260C. В ответе записать разность между абсолютными величинами табличного и фактического значений выборочной характеристики.
Решение:
1>0 выберем правостороннюю критическую область.
Так как используем правостороннюю критическую область, и tкр>tнабл, то на данном уровне значимости нулевая гипотеза не отвергается (|tкр|-|tнабл|=0,98).
Пример 5.5.
На основание n=5 измерений найдено, что средняя высота сальниковой камеры равна мм, а S=1,2мм. В предположение о нормальном распределение вычислить на уровне значимости =0,01 мощность критерия при гипотезе H0 :50 и H1 : 53.
Решение:
Вычислим мощность критерия по формуле:
где .
Пример 5.6.
На основании n = 15 измерений найдено, что средняя высота сальниковой камеры равна =70мм и S=3. Допустив, что ошибка изготовления есть нормальная случайная величина на уровне значимости =0.1 проверить гипотезу H0: мм2 при конкурирующей гипотезе . В ответе записать разность между абсолютными величинами табличного и фактического значений выборочной характеристики.
Решение:
построим левостороннюю критическую область.
Вывод: на данном уровне значимости нулевая гипотеза не отвергается ().
Основной целью изучения причинно-следственной зависимости является выявление связей, закономерностей и тенденций развития. Причинно-следственная зависимость выражает соотношение между функцией (следствием) и аргументом (причиной).
Различают две основные формы причинных зависимостей: статистическую и функциональную. При функциональной зависимости каждому возможному значению аргумента поставлено в однозначное соответствие определенное значение функции, т.е. Y = f(X).
Но такого рода однозначные (функциональные) связи между переменными величинами встречаются не всегда. Известно, например, что между ростом (длиной тела) и массой человека существует положительная связь: более высокие индивиды имеют обычно и большую массу, чем индивиды низкого роста. То же наблюдается и в отношении качественных признаков: блондины, как правило, имеют голубые, а брюнеты — карие глаза. Однако из этого правила имеются исключения, когда сравнительно низкорослые индивиды оказываются тяжелее высокорослых, и среди населения хотя и нечасто, но встречаются кареглазые блондины и голубоглазые брюнеты. Причина таких “исключений” в том, что каждый биологический признак, выражаясь математическим языком, является функцией многих переменных; на его величине сказывается влияние и генетических и средовых факторов, в том числе и случайных, что вызывает варьирование признаков, т.е. в реальности на производимые наблюдения (признаки) действуют многочисленные факторы. В этом случае связи теряют свою однозначность и речь при этом идет о статистических связях. Отсюда зависимость между признаками приобретает не функциональный, а статистический характер. Статистическая связь состоит в том, что одна случайная переменная реагирует на изменение другой изменением своего закона распределения. Такого рода зависимость между переменными величинами называется корреляционной или корреляцией (термин “корреляция” происходит от лат. correlatio — соотношение, связь).
Статистические связи между переменными можно изучать методами корреляционного и регрессионного анализа. Корреляционный анализ, как и другие статистические методы, основан на использовании вероятностных моделей, описывающих поведение исследуемых признаков в некоторой генеральной совокупности, из которой получены экспериментальные значения xi и yi. Регрессионный анализ заключается в определении аналитического выражения связи, в котором изменение результативного признака обуславливается влиянием одного или нескольких факторных признаков, а множество всех прочих факторов применяется за постоянные (или усредненные) величины.
Основная задача корреляционного анализа - выявление связи между случайными переменными путем точечной и интервальных оценок. Метод корреляции применяется для того, чтобы при сложном взаимодействии посторонних влияний выяснить какой должна была быть зависимость между величинами, если бы посторонние факторы не изменялись и своим изменением не искажали основную зависимость.
Теория корреляции решает три основные задачи:
Показателем тесноты между двумя случайными наблюдениями х и y являются коэффициент корреляции:
N - количество независимых наблюдений. Коэффициент корреляции не изменяется при изменении начала отсчета и масштаба измерения величин х и y. Он удовлетворяет неравенству Если r = ±1, то между величинами существует тесная линейная связь, если r=0, нет линейной корреляционной зависимости (но может быть нелинейная).
Таблица 6.1.
Количественные критерии оценки тесноты связи
(шкала Чеддока)
Для оценки значимости r применяется t-критерий Стьюдента. При этом определяется фактическое значение критерия tr:
.
Исчисленное tr сравнивается с критерием tк, которое берется из таблицы значений t-Стьюдента с учетом заданного уровня значения и числа степеней свободы k (см. прил. 5). Если tr>tк, то величина коэффициента корреляции признается существенной.
К уравнениям регрессионного анализа относятся прямая, гипербола, парабола, экспонента, логарифмическая функция и др.
Применение метода наименьших квадратов позволяет получить достаточно точные теоретические значения линии однофакторной регрессии и, соответственно, ее графическое изображение. Подобранной считается та модель расчетов теоретической линии, для которой квадрат отклонений эмпирических данных у от теоретической линии регрессии минимальный, т.е. . Для определения параметров уравнения на основе требований метода наименьших квадратов составляется система нормальных уравнений:
.
Решая систему линейных уравнений получим:
,
.
Множественные уравнения регрессии позволяют вычислить теоретические значения результативного признака в зависимости от всех включенных в множественное уравнение факторов (без графического его изображения одной теоретической линией).
Различный подход к истолкованию результатов регрессионного анализа исходит из разного понимания смысла параметров уравнений регрессии, полученных методом наименьших квадратов. Например считается, что в уравнении однофакторной линейной регрессии , параметр b означает среднее изменение величины результативного признака у, в зависимости от изменения значений факторного признака х, если все остальные факторы, влияющие на результативный признак у и не связанные с факторным, рассматриваются как неизменные (т.е. этот параметр показывает, насколько в среднем величина одного признака (Y) изменяется при изменении на единицу меры другого корреляционно связанного с Y признака X). При исследованиях это требование трудно учесть. Параметр а (свободный член) отражает усредненное влияние всех неучтенных факторов. Если первое требование трудно учесть, то второе - истолковать, особенно в тех случаях, когда он имеет отрицательное значение.
Критерием правильного применения регрессионного и корреляционного анализа при изучении взаимосвязей между наблюдениями является наличие нормального распределения совокупности, которое наблюдается только в том случае, если на эту взаимосвязь действует множество случайных, независимых или же слабо зависимых факторов и отсутствуют факторы, играющие в общем итоге преобладающую роль.
При исследовании корреляции между количественными признаками, значения которых можно точно измерить в единицах метрических шкал (рубли, секунды, килограммы и т.д.) очень часто принимается модель двумерной нормально распределенной генеральной совокупности. Такая модель графически отображает зависимость между переменными величинами xi и yi в системе прямоугольных координат. Эту графическую зависимость называют также диаграммой рассеивания или корреляционным полем.
Пример 6.1. [10]
В результате комбинационной группировки 100 рабочих по общему стажу работы и месячной заработной плате получена следующая корреляционная таблица:
|
Группы рабочих по общему стажу работы (лет) |
Группы рабочих по размеру заработной платы (руб.) |
|||||||
|
100-120 |
120-140 |
140-160 |
160-180 |
180-200 |
200-220 |
220-240 |
Итого |
|
|
0-5 |
5 |
6 |
14 |
7 |
32 |
|||
|
5-10 |
3 |
4 |
7 |
10 |
2 |
26 |
||
|
10—15 |
1 |
2 |
6 |
5 |
4 |
18 |
||
|
15-20 |
4 |
1 |
6 |
1 |
12 |
|||
|
20—25 |
1 |
3 |
1 |
3 |
8 |
|||
|
25—30 |
1 |
2 |
1 |
4 |
||||
|
Итого |
5 |
10 |
20 |
25 |
20 |
15 |
5 |
100 |
Для характеристики связи между рассматриваемыми показателями необходимо вычислить:
1) уравнение прямой регрессии между заработной платой и трудовым стажем рабочих;
2) коэффициент корреляции;
3) среднюю ошибку коэффициента корреляции.
Решение.
Обозначим общий производственный стаж рабочих через х, а их месячную заработную плату — через у. Тогда уравнение прямой регрессии между заработной платой и стажем рабочих будет:
.
Для нахождения параметров этого уравнения необходимо решение следующей системы линейных уравнений:
Для выполнения вычислений составим расчетную таблицу:
|
y\x |
110 |
130 |
150 |
170 |
190 |
210 |
230 |
Итого |
|
2,5 |
275 1375 5 |
325 1950 6 |
375 5250 14 |
425 2975 7 |
11550 32 |
|||
|
7,5 |
975 2925 3 |
1125 4500 4 |
1275 8925 7 |
1425 14250 10 |
1575 3150 2 |
33750 26 |
||
|
12,5 |
1625 1 |
1875 3750 2 |
2125 12750 6 |
2375 11875 5 |
2625 10500 4 |
40500 18 |
||
|
17,5 |
2975 11900 4 |
3325 1 |
3675 22050 6 |
4025 1 |
41300 12 |
|||
|
22,5 |
3825 1 |
4275 12825 3 |
4725 1 |
5175 15525 3 |
36900 8 |
|||
|
27,5 |
5225 1 |
5775 11550 2 |
6325 1 |
23100 4 |
||||
|
Итого |
1375 5 |
6500 10 |
13500 20 |
40375 25 |
47500 20 |
51975 15 |
25875 5 |
187100 100 |
Замечание. В левом верхнем углу каждой клеточки таблицы показано произведение ху, в нижнем правом углу m — частота такого сочетания, в середине — произведение ху на частоту т (при значении частоты, равном единице, произведение ху=тху, и поэтому произведение тху не показывается).
Из этой таблицы определяется величина ∑тху, равная 187100. Для получения остальных величин, входящих в систему нормальных уравнений, составим расчетные таблицы, введя в них одновременно и величины, необходимые для расчета коэффициента корреляции. Произведем расчет вспомогательных величин по факторному признаку.
|
x |
2,5 |
7,5 |
12,5 |
17,5 |
22,5 |
27,5 |
Итого |
|
тх |
32 |
26 |
18 |
12 |
8 |
4 |
100 |
|
тх x |
80 |
195 |
225 |
210 |
180 |
110 |
1000 |
|
тхх2 |
200 |
1462,5 |
2812,5 |
3675 |
4050 |
3025 |
15225 |
Затем рассчитаем вспомогательные величины по результативному признаку:
|
y |
110 |
130 |
150 |
170 |
190 |
210 |
230 |
Итого |
|
ту |
5 |
10 |
20 |
25 |
20 |
15 |
5 |
100 |
|
ту y |
550 |
1310 |
3000 |
4250 |
3800 |
3150 |
1150 |
17200 |
|
ту y2 |
60500 |
169000 |
450000 |
722500 |
722000 |
661500 |
264500 |
3050000 |
Подставим найденные значения в систему уравнений и получим:
100а0+1000a1=17200;
1000а0+15225а1=187100.
В результате совместного решения уравнений находим: a0=143,1 и a1=2,89. Искомое уравнение прямой регрессии примет вид
.
Это уравнение показывает, что между общим производственным стажем и заработной платой рабочих имеется прямая связь: с увеличением стажа на один год размер месячной заработной платы возрастает в среднем на 2р. 89к. (а1).
Коэффициент корреляции исчисляется по формуле:
Для нахождения значения знаменателя в формуле коэффициента корреляции вычислим среднее квадратическое отклонение величин факторного признака по формуле:
где ,
а результативного — соответственно по формуле:
где .
Подставим найденные величины в формулу коэффициента корреляции и получим:
Полученное значение коэффициента корреляции указывает на наличие достаточно тесной линейной связи между общим производственным стажем и заработной платой рабочих.
Если имеются равные интервалы отдельно по факторному и по результативному признакам, как, например, в данной задаче, нахождение коэффициента корреляции целесообразно производить с помощью следующей формулы:
,
где и условные варианты признаков при равных интервалах;
тх, ту, и тху—частоты групп и подгрупп по х и у.
Так, для рассматриваемой задачи: х0=12,5, hх=5, y0=170 и hv = 20. Тогда корреляционная таблица будет иметь следующий вид:
|
-3 |
-2 |
-1 |
0 |
+1 |
+2 |
+3 |
mx |
mx x’ |
mx (x’)2 |
mxyx’y’ |
|
|
-2 |
6 30 5 |
4 24 6 |
2 28 14 |
7 |
32 |
-64 |
128 |
82 |
|||
|
-1 |
2 6 3 |
1 4 |
7 |
-1 10 |
-2 -4 2 |
26 |
-26 |
26 |
-4 |
||
|
0 |
1 |
2 |
6 |
5 |
4 |
18 |
0 |
0 |
0 |
||
|
+1 |
4 |
1 1 |
2 12 6 |
3 1 |
12 |
12 |
12 |
16 |
|||
|
+2 |
2 6 3 |
4 1 |
6 18 3 |
8 |
16 |
32 |
28 |
||||
|
+3 |
3 1 |
6 12 2 |
9 1 |
4 |
12 |
36 |
24 |
||||
|
my |
5 |
10 |
20 |
25 |
20 |
15 |
5 |
100 |
-50 |
234 |
146 |
|
туу' |
-15 |
-20 |
-20 |
0 |
20 |
30 |
15 |
10 |
|||
|
my(y’)2 |
45 |
40 |
20 |
0 |
20 |
60 |
45 |
230 |
Искомый коэффициент корреляции составит:
Средняя ошибка коэффициента корреляции определяется по формуле:
где r — коэффициент корреляции;
n — объем совокупности.
Подставим в эту формулу полученные данные:
Отношение коэффициента корреляции к его погрешности равно 13 (0,69:0,052), следовательно, можно считать, что полученный коэффициент корреляции достаточно точно выражает степень связи рассматриваемых показателей.
Коэффициент корреляции, уменьшенный на трехкратную величину погрешности, дает гарантийный минимум, а увеличенный на трехкратную величину погрешности — соответственно гарантийный максимум. Так, в данной задаче гарантийный минимум составляет 0,534-(0,69—3x0,052), а гарантийный максимум равен 0,846 (0,69+Зx0.052). Это означает, что для рассматриваемого примера можно ожидать, что не меньше 28,5% (0,534x0,534x100) вариации месячной заработной платы рабочих вызвано вариацией величины общего производственного стажа.
|
789 |
965 |
700 |
879 |
986 |
|
704 |
1667 |
897 |
700 |
999 |
|
742 |
1300 |
1401 |
825 |
1500 |
|
1600 |
1800 |
948 |
900 |
1000 |
|
1201 |
1403 |
750 |
810 |
735 |
|
901 |
897 |
867 |
900 |
700 |
|
786 |
1999 |
2000 |
925 |
706 |
|
754 |
1200 |
1567 |
876 |
908 |
|
908 |
1786 |
1487 |
790 |
798 |
|
8061 |
697 |
1390 |
909 |
809 |
Составить вариационный ряд, определить статистические характеристики ряда, построить полигон, гистограмму, огиву, кумуляту ряда. Дать объяснения характеристикам.
|
у х |
0,5 |
0,7 |
0,9 |
1,1 |
1,3 |
1,5 |
mxi |
|
0,2 |
2 |
3 |
5 |
||||
|
0,5 |
3 |
8 |
2 |
13 |
|||
|
0,8 |
9 |
13 |
22 |
||||
|
1,1 |
15 |
13 |
28 |
||||
|
1,4 |
9 |
10 |
19 |
||||
|
1,7 |
3 |
6 |
1 |
10 |
|||
|
2 |
2 |
1 |
3 |
||||
|
myi |
5 |
20 |
42 |
29 |
3 |
1 |
N=100 |
|
5 |
10 |
12 |
0 |
25 |
10 |
20 |
35 |
4 |
10 |
|
4 |
15 |
15 |
20 |
24 |
40 |
30 |
20 |
16 |
30 |
|
5 |
5 |
0 |
0 |
9 |
18 |
15 |
15 |
20 |
25 |
|
10 |
5 |
9 |
36 |
8 |
30 |
25 |
20 |
10 |
15 |
|
25 |
25 |
10 |
35 |
9 |
25 |
20 |
40 |
15 |
25 |
Составить вариационный ряд. Определить статистические характеристики ряда. Построить полигон, гистограмму, кумуляту, огиву. Дать объяснение полученным характеристикам.
|
x y |
2 |
4 |
6 |
8 |
10 |
ny |
|
|
10 |
9 |
10 |
19 |
||||
|
20 |
8 |
3 |
11 |
||||
|
30 |
10 |
11 |
18 |
39 |
|||
|
40 |
5 |
8 |
8 |
21 |
|||
|
50 |
6 |
4 |
2 |
12 |
|||
|
nx |
9 |
18 |
18 |
25 |
28 |
2 |
100 |
|
6 |
1 |
25 |
30 |
31 |
14 |
22 |
|
2 |
8 |
21 |
12 |
16 |
17 |
32 |
|
5 |
9 |
23 |
29 |
11 |
10 |
12 |
|
8 |
7 |
22 |
24 |
35 |
31 |
11 |
|
4 |
3 |
27 |
29 |
19 |
20 |
20 |
|
1 |
1 |
31 |
34 |
12 |
14 |
17 |
|
5 |
21 |
4 |
13 |
14 |
19 |
20 |
|
7 |
8 |
27 |
29 |
19 |
34 |
18 |
|
8 |
2 |
16 |
15 |
32 |
33 |
12 |
Составить вариационный ряд. Определить статистические характеристики ряда. Построить полигон, гистограмму, кумуляту, огиву. Дать объяснение полученным характеристикам.
|
x y |
20 |
25 |
30 |
35 |
40 |
45 |
ny |
|
14 |
5 |
15 |
20 |
||||
|
24 |
8 |
12 |
20 |
||||
|
34 |
5 |
8 |
3 |
16 |
|||
|
44 |
18 |
2 |
6 |
26 |
|||
|
54 |
8 |
8 |
2 |
18 |
|||
|
nx |
5 |
23 |
35 |
18 |
17 |
2 |
100 |
|
100 |
788 |
973 |
146 |
851 |
746 |
589 |
379 |
907 |
675 |
|
346 |
791 |
596 |
392 |
189 |
567 |
498 |
200 |
380 |
679 |
|
189 |
496 |
598 |
381 |
981 |
863 |
816 |
953 |
367 |
547 |
|
682 |
109 |
987 |
538 |
861 |
549 |
520 |
482 |
479 |
1000 |
|
927 |
486 |
952 |
927 |
912 |
827 |
765 |
549 |
290 |
1002 |
Составить вариационный ряд. Определить статистические характеристики ряда. Построить полигон, гистограмму, кумуляту, огиву ряда. Дать объяснение полученным характеристикам.
|
x y |
20 |
25 |
30 |
35 |
40 |
45 |
hy |
|
16 |
3 |
6 |
9 |
||||
|
26 |
12 |
13 |
25 |
||||
|
36 |
28 |
10 |
8 |
46 |
|||
|
46 |
3 |
5 |
4 |
12 |
|||
|
56 |
6 |
1 |
1 |
8 |
|||
|
hx |
3 |
18 |
44 |
21 |
13 |
1 |
100 |
|
111 |
106 |
109 |
79 |
88 |
89 |
82 |
88 |
102 |
98 |
|
87 |
99 |
80 |
75 |
89 |
55 |
68 |
80 |
86 |
95 |
|
56 |
61 |
61 |
56 |
59 |
92 |
125 |
71 |
81 |
72 |
|
82 |
93 |
65 |
72 |
81 |
94 |
94 |
83 |
75 |
66 |
|
79 |
65 |
78 |
85 |
79 |
85 |
95 |
92 |
92 |
95 |
Составить вариационный ряд. Определить статистические характеристики ряда. Построить полигон, гистограмму, кумуляту, огиву ряда. Дать объяснение полученным характеристикам.
|
x y |
3 |
6 |
9 |
12 |
15 |
13 |
ny |
|
10 |
4 |
7 |
11 |
||||
|
15 |
9 |
11 |
20 |
||||
|
20 |
30 |
10 |
2 |
42 |
|||
|
25 |
2 |
4 |
5 |
11 |
|||
|
30 |
9 |
5 |
2 |
16 |
|||
|
nx |
4 |
16 |
43 |
23 |
11 |
2 |
100 |
|
222 |
220 |
251 |
230 |
240 |
242 |
|
220 |
224 |
228 |
220 |
220 |
231 |
|
243 |
230 |
230 |
223 |
223 |
221 |
|
235 |
225 |
226 |
228 |
228 |
244 |
|
240 |
228 |
228 |
200 |
230 |
221 |
Составить вариационный ряд. Определить статистические характеристики ряда. Построить полигон, гистограмму, кумуляту, огиву ряда. Дать объяснение полученным характеристикам.
|
x y |
15 |
20 |
25 |
30 |
35 |
40 |
ny |
|
25 |
3 |
4 |
7 |
||||
|
35 |
6 |
3 |
9 |
||||
|
45 |
6 |
35 |
2 |
43 |
|||
|
55 |
12 |
8 |
6 |
26 |
|||
|
65 |
4 |
7 |
4 |
15 |
|||
|
nx |
3 |
10 |
21 |
47 |
15 |
4 |
100 |
|
1 |
2 |
5 |
6 |
3 |
7 |
4 |
2 |
2 |
7 |
|
0 |
2 |
3 |
2 |
4 |
0 |
0 |
9 |
3 |
1 |
|
2 |
4 |
1 |
1 |
1 |
10 |
9 |
7 |
2 |
1 |
|
8 |
7 |
7 |
4 |
3 |
8 |
0 |
1 |
2 |
3 |
|
2 |
2 |
3 |
4 |
1 |
1 |
0 |
0 |
3 |
10 |
Составить вариационный ряд. Определить статистические характеристики ряда. Построить кумуляту, огиву. Дать объяснение полученным характеристикам.
|
x y |
15 |
20 |
25 |
30 |
35 |
40 |
ny |
|
20 |
8 |
5 |
13 |
||||
|
30 |
10 |
32 |
42 |
||||
|
40 |
6 |
4 |
6 |
1 |
17 |
||
|
50 |
3 |
1 |
2 |
6 |
|||
|
60 |
12 |
19 |
1 |
22 |
|||
|
nx |
8 |
15 |
41 |
17 |
17 |
2 |
100 |
|
561 |
561 |
548 |
580 |
564 |
|
580 |
563 |
540 |
573 |
571 |
|
564 |
570 |
564 |
570 |
564 |
|
548 |
569 |
568 |
561 |
550 |
|
550 |
571 |
570 |
548 |
551 |
|
560 |
574 |
569 |
555 |
559 |
Составить вариационный ряд. Определить статистические характеристики. Построить полигон, гистограмму, кумуляту, огиву ряда. Дать объяснение полученным характеристикам.
Определить среднеквадратическую ошибку и построить для нее доверительный интервал с надежностью 0,9.
|
x y |
3 |
6 |
9 |
12 |
15 |
18 |
ny |
|
10 |
8 |
8 |
|||||
|
20 |
5 |
1 |
6 |
||||
|
30 |
7 |
38 |
5 |
50 |
|||
|
40 |
10 |
7 |
17 |
||||
|
50 |
4 |
8 |
7 |
19 |
|||
|
nx |
8 |
5 |
8 |
52 |
20 |
7 |
100 |
|
20 |
34 |
24 |
67 |
86 |
45 |
44 |
22 |
65 |
90 |
|
26 |
76 |
45 |
67 |
32 |
92 |
94 |
43 |
21 |
76 |
|
34 |
56 |
73 |
28 |
97 |
56 |
48 |
67 |
39 |
35 |
|
21 |
67 |
90 |
90 |
35 |
34 |
56 |
73 |
28 |
97 |
|
56 |
48 |
67 |
39 |
35 |
21 |
34 |
56 |
73 |
28 |
|
97 |
56 |
56 |
73 |
28 |
97 |
56 |
48 |
67 |
67 |
Построить вариационный ряд, гистограмму, диаграмму, огиву, найти характеристики ряда и дать объяснение полученным результатам.
|
X y |
10 |
15 |
20 |
25 |
30 |
35 |
ny |
|
6 |
4 |
2 |
6 |
||||
|
12 |
6 |
2 |
8 |
||||
|
18 |
5 |
40 |
5 |
50 |
|||
|
24 |
2 |
8 |
7 |
17 |
|||
|
30 |
4 |
7 |
8 |
19 |
|||
|
nx |
4 |
8 |
9 |
52 |
19 |
8 |
100 |
|
227 |
219 |
215 |
230 |
223 |
218 |
219 |
218 |
220 |
226 |
|
222 |
221 |
214 |
220 |
224 |
220 |
220 |
219 |
222 |
227 |
|
216 |
220 |
216 |
221 |
225 |
219 |
230 |
224 |
223 |
228 |
Составить вариационный ряд. Определить статистические характеристики. Построить гистограмму, полигон, кумуляту, огиву. Дать объяснение полученным характеристикам.
|
x y |
4 |
9 |
14 |
19 |
24 |
29 |
ny |
|
30 |
3 |
3 |
6 |
||||
|
40 |
5 |
4 |
9 |
||||
|
50 |
40 |
2 |
8 |
50 |
|||
|
60 |
5 |
10 |
6 |
21 |
|||
|
70 |
- |
4 |
7 |
3 |
14 |
||
|
nx |
3 |
8 |
49 |
16 |
21 |
3 |
100 |
|
104 |
103,1 |
102 |
98 |
99 |
94 |
119 |
95,8 |
104,9 |
103,1 |
|
92 |
97,1 |
95,2 |
91,7 |
104 |
104,5 |
92,8 |
114,8 |
109,5 |
77,5 |
|
93,1 |
94,9 |
99,5 |
99,7 |
103 |
109 |
122,5 |
102 |
96 |
92 |
|
111 |
83 |
87,2 |
80,5 |
84,1 |
89 |
85,1 |
90,1 |
95,1 |
90,1 |
|
96 |
100,3 |
103 |
105,1 |
106,5 |
110,6 |
116,1 |
94,5 |
98,1 |
101,9 |
Составить вариационный ряд. Определить статистические характеристики. Построить гистограмму, полигон, кумуляту, огиву. Дать объяснение полученным характеристикам.
|
x y |
5 |
10 |
15 |
20 |
25 |
30 |
ny |
|
20 |
1 |
5 |
6 |
||||
|
30 |
5 |
3 |
8 |
||||
|
40 |
9 |
40 |
2 |
51 |
|||
|
50 |
4 |
11 |
6 |
21 |
|||
|
60 |
4 |
7 |
3 |
14 |
|||
|
nx |
1 |
10 |
16 |
55 |
15 |
3 |
100 |
|
1 |
2 |
4 |
4 |
4 |
0 |
0 |
1 |
4 |
3 |
|
2 |
1 |
0 |
3 |
3 |
3 |
2 |
1 |
5 |
2 |
|
1 |
2 |
3 |
3 |
3 |
5 |
4 |
1 |
2 |
2 |
|
1 |
1 |
4 |
2 |
3 |
3 |
3 |
3 |
1 |
1 |
|
7 |
6 |
1 |
1 |
1 |
2 |
3 |
2 |
5 |
0 |
Построить вариационный ряд, гистограмму, полигон, огиву кумуляту. Найти характеристики ряда. Дать объяснение полученным результатам.
|
x y |
5 |
10 |
15 |
20 |
25 |
30 |
ny |
|
30 |
2 |
6 |
- |
- |
8 |
||
|
40 |
- |
5 |
3 |
- |
8 |
||
|
50 |
- |
- |
7 |
40 |
2 |
- |
49 |
|
60 |
- |
- |
4 |
9 |
6 |
- |
19 |
|
70 |
- |
- |
- |
4 |
7 |
5 |
16 |
|
nx |
2 |
11 |
14 |
58 |
15 |
5 |
100 |
|
100 |
208 |
300 |
109 |
110 |
150 |
264 |
187 |
286 |
116 |
|
287 |
278 |
185 |
293 |
187 |
287 |
175 |
300 |
103 |
288 |
|
154 |
267 |
275 |
165 |
300 |
234 |
287 |
198 |
104 |
145 |
|
245 |
213 |
300 |
143 |
190 |
276 |
185 |
258 |
189 |
100 |
|
275 |
154 |
109 |
176 |
123 |
200 |
256 |
107 |
199 |
299 |
Построить вариационный ряд, гистограмму, полигон, огиву кумуляту. Определить статистические характеристики ряда. Дать объяснение полученным результатам.
|
x y |
5 |
10 |
15 |
20 |
25 |
ny |
|
|
10 |
4 |
6 |
10 |
||||
|
20 |
14 |
16 |
30 |
||||
|
30 |
15 |
5 |
4 |
1 |
25 |
||
|
40 |
15 |
5 |
3 |
2 |
25 |
||
|
50x |
6 |
2 |
2 |
10 |
|||
|
nx |
4 |
20 |
46 |
16 |
19 |
5 |
100 |
|
1000 |
800 |
950 |
780 |
1200 |
1300 |
1400 |
|
1000 |
820 |
900 |
950 |
1200 |
1100 |
1000 |
|
9604 |
920 |
800 |
760 |
780 |
820 |
900 |
|
770 |
780 |
900 |
800 |
1000 |
800 |
960. |
Составить вариационный ряд. Определить статистические характеристики. Построить полигон, гистограмму, кумуляту, огиву. Дать объяснение полученным результатам.
|
x y |
5 |
10 |
15 |
20 |
25 |
30 |
ny |
|
40 |
2 |
4 |
6 |
||||
|
50 |
3 |
7 |
10 |
||||
|
60 |
5 |
30 |
10 |
45 |
|||
|
70 |
7 |
10 |
8 |
25 |
|||
|
80 |
5 |
6 |
3 |
14 |
|||
|
nx |
2 |
7 |
19 |
45 |
24 |
3 |
100 |
|
227 |
219 |
215 |
230 |
223 |
218 |
219 |
218 |
220 |
226 |
|
222 |
221 |
214 |
220 |
224 |
220 |
220 |
219 |
222 |
227 |
|
216 |
220 |
216 |
221 |
225 |
219 |
230 |
224 |
223 |
228 |
Составить вариационный ряд. Определить статистические характеристики. Построить гистограмму, полигон, кумуляту, огиву. Дать объяснение полученным характеристикам.
|
1,25 |
0,70 |
0,45 |
0,50 |
0,12 |
0,13 |
1,65 |
1,7 |
1,48 |
1,32 |
С вероятностью 0, 95 определить доверительный интервал для оценки среднего расхода воды на 1 квартиру при условии, что в доме 120 квартир.
|
x y |
10 |
15 |
20 |
25 |
30 |
35 |
ny |
|
40 |
2 |
4 |
6 |
||||
|
50 |
3 |
7 |
10 |
||||
|
60 |
5 |
30 |
10 |
45 |
|||
|
70 |
7 |
10 |
8 |
25 |
|||
|
80 |
5 |
6 |
3 |
14 |
|||
|
nx |
2 |
7 |
19 |
45 |
24 |
3 |
100 |
|
120 |
100 |
200 |
120 |
98 |
120 |
100 |
125 |
80 |
90 |
|
111 |
90 |
80 |
78 |
77 |
90 |
60 |
50 |
30 |
20 |
|
90 |
130 |
121 |
126 |
116 |
110 |
131 |
127 |
119 |
130 |
Составить вариационный ряд. Определить статистические характеристики. Построить полигон, гистограмму, кумуляту, огиву. Дать объяснение полученным результатам.
|
x y |
10 |
15 |
20 |
25 |
30 |
ny |
|
|
5 |
10 |
15 |
25 |
||||
|
10 |
5 |
5 |
10 |
||||
|
7 |
8 |
12 |
27 |
||||
|
3 |
7 |
13 |
23 |
||||
|
10 |
4 |
1 |
15 |
||||
|
nx |
10 |
20 |
15 |
25 |
29 |
1 |
100 |
|
50 |
12 |
15 |
5 |
4 |
40 |
42 |
39 |
14 |
12 |
|
30 |
14 |
12 |
2 |
5 |
20 |
45 |
40 |
12 |
14 |
|
10 |
11 |
10 |
3 |
6 |
30 |
44 |
38 |
13 |
11 |
Составить вариационный ряд. Определить статистические характеристики. Построить полигон, гистограмму, кумуляту, огиву. Дать пояснение полученным результатам.
|
105 |
100 |
90 |
91 |
110 |
74 |
120 |
83 |
100 |
90 |
|
60 |
95 |
90 |
85 |
50 |
100 |
90 |
40 |
30 |
45 |
|
65 |
60 |
89 |
75 |
70 |
110 |
96 |
60 |
111 |
40 |
По этим данным найти 95%-ый доверительный интервал для оценки среднего балла тестируемых.
|
x y |
5 |
10 |
15 |
20 |
25 |
30 |
ny |
|
17 |
3 |
2 |
5 |
||||
|
27 |
16 |
1 |
17 |
||||
|
37 |
29 |
5 |
4 |
38 |
|||
|
47 |
17 |
13 |
1 |
31 |
|||
|
57 |
6 |
2 |
1 |
9 |
|||
|
nx |
3 |
47 |
23 |
23 |
3 |
1 |
100 |
|
918 |
2100 |
2800 |
3000 |
1500 |
1600 |
2650 |
2200 |
1390 |
1020 |
2100 |
1400 |
Составить вариационный ряд, определить статистические характеристики. Построить кумуляту, огиву. Охарактеризовать полученные результаты.
|
x y |
2 |
4 |
6 |
8 |
10 |
ny |
|
|
11 |
5 |
10 |
15 |
||||
|
13 |
11 |
6 |
17 |
||||
|
15 |
21 |
8 |
7 |
36 |
|||
|
17 |
3 |
7 |
2 |
12 |
|||
|
19 |
16 |
2 |
2 |
20 |
|||
|
nx |
5 |
21 |
30 |
31 |
11 |
2 |
100 |
|
340 |
450 |
452 |
587 |
390 |
344 |
455 |
|
505 |
396 |
580 |
344 |
455 |
451 |
441 |
|
396 |
633 |
580 |
606 |
344 |
350 |
344 |
|
340 |
450 |
499 |
580 |
613 |
600 |
641 |
Составить вариационный ряд. Определить статистические характеристики вариационного ряда. Построить полигон, гистограмму, кумуляту, огиву. Дать пояснение к полученным результатам.
|
x y |
5 |
10 |
15 |
20 |
25 |
20 |
ny |
|
3 |
5 |
5 |
|||||
|
6 |
8 |
3 |
2 |
13 |
|||
|
9 |
20 |
7 |
15 |
42 |
|||
|
12 |
9 |
10 |
19 |
||||
|
15 |
3 |
3 |
15 |
21 |
|||
|
nx |
13 |
3 |
31 |
20 |
18 |
15 |
N=100 |
Вариант 20
|
750 |
750 |
751 |
762 |
751 |
762 |
762 |
751 |
730 |
735 |
|
742 |
742 |
743 |
737 |
740 |
756 |
756 |
864 |
756 |
739 |
|
748 |
748 |
758 |
760 |
758 |
748 |
741 |
751 |
799 |
851 |
|
750 |
750 |
766 |
738 |
751 |
747 |
752 |
759 |
757 |
746 |
|
752 |
752 |
757 |
747 |
752 |
754 |
747 |
754 |
753 |
748 |
Составить вариационный ряд. Определить статистические характеристики вариационного ряда. Построить полигон, гистограмму, кумуляту, огиву. Дать пояснение к полученным результатам.
|
x y |
0,2 |
0,4 |
0,6 |
0,8 |
1,0 |
1,2 |
ny |
|
0,5 |
2 |
3 |
5 |
||||
|
1 |
4 |
8 |
9 |
21 |
|||
|
1,5 |
10 |
12 |
15 |
8 |
45 |
||
|
2 |
9 |
10 |
7 |
26 |
|||
|
2,5 |
3 |
3 |
|||||
|
nx |
6 |
21 |
30 |
2,5 |
15 |
3 |
N=100 |
|
2 |
5 |
8 |
6 |
9 |
4 |
11 |
12 |
22 |
3 |
|
23 |
2 |
15 |
8 |
7 |
5 |
23 |
24 |
9 |
25 |
|
5 |
4 |
5 |
9 |
8 |
8 |
9 |
21 |
21 |
17 |
|
8 |
6 |
9 |
17 |
18 |
19 |
23 |
8 |
4 |
25 |
|
14 |
8 |
17 |
19 |
20 |
22 |
1 |
1 |
2 |
4 |
Построить вариационный ряд, гистограмму, полигон, кумуляту, огиву. Найти характеристики ряда и проверить гипотезу о нормальном распределении ряда.
|
у х |
0,5 |
0,7 |
0,9 |
1,1 |
1,3 |
1,5 |
mxi |
|
0,2 |
2 |
3 |
5 |
||||
|
0,5 |
3 |
8 |
2 |
13 |
|||
|
0,8 |
9 |
13 |
22 |
||||
|
1,1 |
15 |
13 |
28 |
||||
|
1,4 |
9 |
10 |
19 |
||||
|
1,7 |
3 |
6 |
1 |
10 |
|||
|
2 |
2 |
1 |
3 |
||||
|
myi |
5 |
20 |
42 |
29 |
3 |
1 |
N=100 |
|
789 |
965 |
700 |
879 |
986 |
|
704 |
1667 |
897 |
700 |
999 |
|
742 |
1300 |
1401 |
825 |
1500 |
|
1600 |
1800 |
948 |
900 |
1000 |
|
1201 |
1403 |
750 |
810 |
735 |
|
901 |
897 |
867 |
900 |
700 |
|
786 |
1999 |
2000 |
925 |
706 |
|
754 |
1200 |
1567 |
876 |
908 |
|
908 |
1786 |
1487 |
790 |
798 |
|
806 |
1697 |
1390 |
909 |
809 |
Построить вариационный ряд, гистограмму, полигон, кумуляту, огиву. Найти характеристики ряда и проверить гипотезу о нормальном распределении ряда.
|
x y |
0,5 |
0,9 |
1,3 |
1,7 |
2,1 |
mx |
|
0,2 |
2 |
3 |
5 |
|||
|
0,8 |
3 |
8 |
2 |
13 |
||
|
1,4 |
9 |
14 |
23 |
|||
|
2 |
15 |
12 |
27 |
|||
|
2,6 |
9 |
10 |
19 |
|||
|
3,2 |
3 |
6 |
1 |
10 |
||
|
3,8 |
1 |
2 |
3 |
|||
|
my |
5 |
20 |
43 |
29 |
3 |
N=100 |
|
10 |
8 |
15 |
13 |
9 |
14 |
12 |
11 |
16 |
18 |
|
7 |
5 |
9 |
14 |
11 |
15 |
14 |
17 |
20 |
22 |
|
15 |
14 |
16 |
17 |
8 |
13 |
10 |
14 |
11 |
12 |
|
17 |
19 |
20 |
25 |
18 |
13 |
11 |
12 |
10 |
9 |
|
7 |
12 |
14 |
15 |
18 |
10 |
7 |
9 |
6 |
4 |
Построить вариационный ряд, гистограмму, полигон, кумуляту, огиву. Найти характеристики ряда и проверить гипотезу о нормальном распределении ряда.
|
xt |
1,08 |
1,10 |
1,12 |
1,14 |
1,15 |
1,25 |
1,36 |
1,38 |
1,40 |
1,42 |
|
у, |
1,11 |
1.12 |
1,18 |
1,22 |
1,33 |
1,35 |
1,36 |
1,38 |
1,39 |
1,40 |
Можно ли считать, что станки обладают одинаковой точностью [H0: D(X) = D(Y)], если принять уровень значимости α = 0,1 и в качестве конкурирующей гипотезы Н1: D(Х)≠D(Y)?
Указание. Для упрощения вычислений перейти
к условным вариантам
|
x y |
2 |
7 |
12 |
17 |
22 |
27 |
ny |
|
10 |
2 |
4 |
6 |
||||
|
20 |
6 |
2 |
8 |
||||
|
30 |
3 |
50 |
2 |
55 |
|||
|
40 |
1 |
10 |
6 |
17 |
|||
|
50 |
4 |
7 |
3 |
14 |
|||
|
nx |
2 |
10 |
6 |
64 |
15 |
3 |
N=100 |
|
1 |
25 |
30 |
31 |
14 |
22 |
21 |
|
3 |
8 |
21 |
12 |
16 |
17 |
32 |
|
5 |
9 |
23 |
29 |
11 |
10 |
12 |
|
7 |
22 |
24 |
35 |
31 |
11 |
19 |
|
4 |
3 |
27 |
29 |
19 |
20 |
20 |
Построить вариационный ряд, гистограмму, полигон, кумуляту, огиву. Найти характеристики ряда и проверить гипотезу о нормальном распределении ряда.
|
время сборки одного узла в минутах |
хi |
56 |
58 |
60 |
62 |
64 |
|
частота |
ni |
1 |
4 |
10 |
3 |
2 |
Можно ли при уровне значимости 0,05 считать, что новичок работает ритмично (в том смысле, что дисперсия затрачиваемого им времени существенно не отличается от дисперсии времени остальных сборщиков)?
Указание. Нулевая гипотеза H0: == 2; конкурирующая гипотеза H1: ≠. Принять и вычислить .
|
x y |
2 |
4 |
6 |
8 |
10 |
12 |
ny |
|
10 |
2 |
3 |
5 |
||||
|
20 |
5 |
6 |
9 |
20 |
|||
|
30 |
4 |
10 |
15 |
16 |
45 |
||
|
40 |
8 |
9 |
5 |
22 |
|||
|
50 |
1 |
7 |
8 |
||||
|
nx |
7 |
13 |
27 |
24 |
22 |
7 |
N=100 |
|
2 |
1 |
1 |
0 |
2 |
1 |
1 |
1 |
3 |
1 |
1 |
1 |
4 |
2 |
2 |
2 |
2 |
1 |
2 |
|
3 |
5 |
2 |
2 |
2 |
7 |
8 |
9 |
1 |
1 |
2 |
0 |
0 |
5 |
4 |
4 |
1 |
5 |
6 |
|
0 |
2 |
2 |
2 |
1 |
1 |
3 |
3 |
4 |
0 |
2 |
2 |
2 |
1 |
3 |
1 |
3 |
2 |
6 |
Построить вариационный ряд, гистограмму, диаграмму, огиву, найти характеристики ряда и проверить гипотезу о законе распределения Пуассона.
|
y x |
2 |
4 |
6 |
8 |
10 |
12 |
nx |
|
1 |
3 |
3 |
6 |
||||
|
4 |
3 |
9 |
8 |
20 |
|||
|
7 |
10 |
20 |
15 |
45 |
|||
|
10 |
20 |
2 |
1 |
23 |
|||
|
13 |
4 |
2 |
6 |
||||
|
ny |
6 |
22 |
28 |
35 |
6 |
3 |
N=100 |
|
100 |
788 |
973 |
146 |
851 |
746 |
589 |
379 |
907 |
675 |
|
346 |
791 |
596 |
392 |
189 |
567 |
498 |
200 |
380 |
679 |
|
189 |
496 |
598 |
381 |
981 |
863 |
816 |
953 |
367 |
547 |
|
682 |
109 |
987 |
538 |
861 |
549 |
520 |
482 |
479 |
1000 |
|
927 |
486 |
952 |
927 |
912 |
827 |
765 |
549 |
290 |
1002 |
Построить вариационный ряд, гистограмму, полигон, кумуляту, огиву. Найти характеристики ряда и проверить гипотезу о нормальном распределении ряда.
|
x y |
10 |
15 |
20 |
25 |
30 |
ny |
|
|
3 |
4 |
12 |
16 |
||||
|
9 |
10 |
4 |
14 |
||||
|
15 |
32 |
6 |
12 |
50 |
|||
|
21 |
14 |
1 |
1 |
1 |
17 |
||
|
27 |
2 |
1 |
3 |
||||
|
nx |
4 |
22 |
50 |
9 |
14 |
1 |
N=100 |
|
111 |
106 |
109 |
76 |
88 |
89 |
82 |
88 |
102 |
98 |
|
87 |
99 |
80 |
75 |
89 |
55 |
68 |
80 |
86 |
95 |
|
56 |
61 |
61 |
56 |
59 |
92 |
125 |
71 |
81 |
72 |
|
82 |
93 |
65 |
72 |
81 |
94 |
94 |
83 |
75 |
66 |
|
79 |
65 |
78 |
85 |
79 |
85 |
85 |
95 |
92 |
96 |
Построить вариационный ряд, гистограмму, полигон, кумуляту, огиву. Найти характеристики ряда и проверить гипотезу о нормальном распределении ряда.
|
200 30/ |
200 40/ |
200 42/ |
200 41/ |
200 43/ |
200 42/ |
200 40/ |
200 44/ |
200 42/ |
200 39/ |
Найти приближенное значение измеряемого угла и оценить точность угла.
|
Хi |
25 |
30 |
28 |
50 |
20 |
40 |
32 |
36 |
42 |
38 |
|
Уi |
28 |
31 |
26 |
52 |
24 |
36 |
33 |
35 |
45 |
40 |
При уровне значимости 0,01 установить, значимо или незначимо различаются результаты взвешиваний, в предположении, что они распределены нормально.
|
y |
5 |
10 |
15 |
20 |
25 |
30 |
|
|
2 |
2 |
3 |
1 |
4 |
10 |
||
|
4 |
8 |
1 |
2 |
1 |
3 |
15 |
|
|
6 |
10 |
8 |
1 |
7 |
9 |
35 |
|
|
8 |
5 |
3 |
4 |
12 |
|||
|
10 |
9 |
7 |
6 |
6 |
28 |
||
|
24 |
15 |
11 |
6 |
18 |
26 |
100 |
|
15 |
13 |
14 |
14 |
13 |
15 |
13 |
13 |
15 |
14 |
|
15 |
13 |
14 |
12 |
14 |
11 |
16 |
14 |
13 |
12 |
|
14 |
14 |
14 |
14 |
12 |
15 |
15 |
13 |
14 |
15 |
|
14 |
12 |
14 |
12 |
15 |
11 |
15 |
12 |
14 |
15 |
|
13 |
13 |
14 |
15 |
11 |
15 |
13 |
13 |
13 |
16 |
|
14 |
13 |
15 |
14 |
15 |
13 |
14 |
14 |
13 |
13 |
Построить вариационный ряд, гистограмму, полигон, огиву кумуляту. Найти характеристики ряда и проверить гипотезу о нормальном распределении.
|
Хi |
76 |
71 |
57 |
49 |
70 |
69 |
26 |
65 |
59 |
|
Уi |
81 |
85 |
52 |
52 |
70 |
63 |
33 |
83 |
62 |
Требуется при уровне значимости 0,05 установить, значимо или незначимо улучшилась физическая подготовка спортсменов, в предположении, что число баллов распределено нормально.
|
xi yi |
5 |
10 |
15 |
20 |
25 |
30 |
nxi |
|
14 |
3 |
3 |
11 |
17 |
|||
|
17 |
10 |
11 |
21 |
||||
|
20 |
3 |
10 |
13 |
||||
|
23 |
2 |
20 |
8 |
30 |
|||
|
26 |
1 |
3 |
6 |
10 |
|||
|
29 |
3 |
6 |
9 |
||||
|
nyi |
6 |
15 |
10 |
23 |
16 |
30 |
N=100 |
|
104 |
103,1 |
102 |
98 |
99 |
94 |
119 |
95,8 |
104,9 |
103,1 |
|
92 |
97,1 |
95,2 |
91,7 |
104 |
104,5 |
92,8 |
114,8 |
109,5 |
77,5 |
|
93,1 |
94,9 |
99,5 |
99,7 |
103 |
109 |
122,5 |
102 |
96 |
92 |
|
111 |
83 |
87,2 |
80,5 |
84,1 |
89 |
85,1 |
90,1 |
95,1 |
90,1 |
|
96 |
100,3 |
103 |
105,1 |
106,5 |
110,6 |
116,1 |
94,5 |
98,1 |
101,9 |
Построить вариационный ряд, гистограмму, полигон, кумуляту, огиву. Найти характеристики ряда и проверить гипотезу о нормальном распределении ряда.
|
Хi |
15 |
20 |
16 |
22 |
24 |
14 |
18 |
20 |
|
Уi |
15 |
22 |
14 |
25 |
29 |
16 |
20 |
24 |
Требуется при уровне значимости 0,05 установить, значимо или незначимо различаются средние результаты анализов, в предположении, что они распределены нормально.
|
y x |
2 |
4 |
6 |
8 |
10 |
12 |
nx |
|
1 |
3 |
3 |
6 |
||||
|
4 |
3 |
9 |
8 |
20 |
|||
|
7 |
10 |
20 |
15 |
45 |
|||
|
10 |
20 |
2 |
1 |
23 |
|||
|
13 |
4 |
2 |
6 |
||||
|
ny |
6 |
22 |
28 |
35 |
6 |
3 |
N=100 |
|
1 |
4 |
3 |
2 |
6 |
7 |
8 |
9 |
4 |
0 |
|
7 |
7 |
8 |
8 |
8 |
3 |
3 |
2 |
1 |
0 |
|
0 |
0 |
0 |
1 |
1 |
6 |
4 |
6 |
6 |
9 |
|
1 |
1 |
0 |
4 |
3 |
7 |
8 |
9 |
4 |
3 |
|
4 |
4 |
3 |
6 |
8 |
1 |
1 |
0 |
9 |
4 |
Построить вариационный ряд, гистограмму, диаграмму, огиву, найти характеристики ряда и проверить гипотезу о нормальном распределении.
|
Хi |
0,18 |
0,12 |
0,12 |
0,08 |
0,08 |
0,12 |
0,19 |
0,32 |
0,27 |
0,22 |
0,34 |
0,14 |
0,46 |
|
Уi |
0,16 |
0,09 |
0,08 |
0,05 |
0,13 |
0,10 |
0,14 |
0,30 |
0,31 |
0,24 |
0,28 |
0,11 |
0,42 |
Требуется при уровне значимости 0,05 установить, значимо или незначимо различаются средние результаты анализа в предложении, что они распределены нормально.
|
x y |
2 |
6 |
10 |
14 |
18 |
ny |
|
10 |
5 |
7 |
12 |
|||
|
15 |
10 |
8 |
18 |
|||
|
20 |
30 |
3 |
9 |
42 |
||
|
25 |
5 |
10 |
7 |
22 |
||
|
30 |
2 |
4 |
6 |
|||
|
nx |
5 |
17 |
43 |
15 |
20 |
N=100 |
Приложение 1
Таблица функции (кривая вероятностей)
|
x |
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
|
0,0 |
0,3989 |
0,3989 |
0,3989 |
0,3988 |
0,3986 |
0,3984 |
0,3982 |
0,3980 |
0,3977 |
0,3973 |
|
0,1 |
0,3970 |
0,3965 |
0,3961 |
0,3956 |
0,3951 |
0,3945 |
0,3939 |
0,3932 |
0,3925 |
0,3918 |
|
0,2 |
0,3910 |
0,3902 |
0,3894 |
0,3885 |
0,3876 |
0,3867 |
0,3857 |
0,3847 |
0,3836 |
0,3825 |
|
0,3 |
0,3814 |
0,3802 |
0,3790 |
0,3778 |
0,3765 |
0,3752 |
0,3739 |
0,3725 |
0,3712 |
0,3697 |
|
0,4 |
0,3683 |
0,3668 |
0,3653 |
0,3637 |
0,3621 |
0,3605 |
0,3589 |
0,3572 |
0,3555 |
0,3538 |
|
0,5 |
0,3521 |
0,3503 |
0,3485 |
0,3467 |
0,3448 |
0,3429 |
0,3410 |
0,3391 |
0,3372 |
0,3352 |
|
0,6 |
0,3332 |
0,3312 |
0,3292 |
0,3271 |
0,3251 |
0,3230 |
0,3209 |
0,3187 |
0,3166 |
0,3144 |
|
0,7 |
0,3123 |
0,3101 |
0,3079 |
0,3056 |
0,3034 |
0,3011 |
0,2989 |
0,2966 |
0,2943 |
0,2920 |
|
0,8 |
0,2897 |
0,2874 |
0,2850 |
0,2827 |
0,2803 |
0,2780 |
0,2756 |
0,2732 |
0,2709 |
0,2685 |
|
0,9 |
0,2661 |
0,2637 |
0,2613 |
0,2589 |
0,2565 |
0,2541 |
0,2516 |
0,2492 |
0,2468 |
0,2444 |
|
1,0 |
0,2420 |
0,2396 |
0,2371 |
0,2347 |
0,2323 |
0,2299 |
0,2275 |
0,2251 |
0,2227 |
0,2203 |
|
1,1 |
0,2179 |
0,2155 |
0,2131 |
0,2107 |
0,2083 |
0,2059 |
0,2036 |
0,2012 |
0,1989 |
0,1965 |
|
1,2 |
0,1942 |
0,1919 |
0,1895 |
0,1872 |
0,1849 |
0,1826 |
0,1804 |
0,1781 |
0,1758 |
0,1736 |
|
1,3 |
0,1714 |
0,1691 |
0,1669 |
0,1647 |
0,1626 |
0,1604 |
0,1582 |
0,1561 |
0,1539 |
0,1518 |
|
1,4 |
0,1497 |
0,1476 |
0,1456 |
0,1435 |
0,1415 |
0,1394 |
0,1374 |
0,1354 |
0,1334 |
0,1315 |
|
1,5 |
0,1295 |
0,1276 |
0,1257 |
0,1238 |
0,1219 |
0,1200 |
0,1182 |
0,1163 |
0,1145 |
0,1127 |
|
1,6 |
0,1109 |
0,1092 |
0,1074 |
0,1057 |
0,1040 |
0,1023 |
0,1006 |
0,0989 |
0,0973 |
0,0957 |
|
1,7 |
0,0940 |
0,0925 |
0,0909 |
0,0893 |
0,0878 |
0,0863 |
0,0848 |
0,0833 |
0,0818 |
0,0804 |
|
1,8 |
0,0790 |
0,0775 |
0,0761 |
0,0748 |
0,0734 |
0,0721 |
0,0707 |
0,0694 |
0,0681 |
0,0669 |
|
1,9 |
0,0656 |
0,0644 |
0,0632 |
0,0620 |
0,0608 |
0,0596 |
0,0584 |
0,0573 |
0,0562 |
0,0551 |
|
2,0 |
0,0540 |
0,0529 |
0,0519 |
0,0508 |
0,0498 |
0,0488 |
0,0478 |
0,0468 |
0,0459 |
0,0449 |
|
2,1 |
0,0440 |
0,0431 |
0,0422 |
0,0413 |
0,0404 |
0,0396 |
0,0387 |
0,0379 |
0,0371 |
0,0363 |
|
2,2 |
0,0355 |
0,0347 |
0,0339 |
0,0332 |
0,0325 |
0,0317 |
0,0310 |
0,0303 |
0,0297 |
0,0290 |
|
2,3 |
0,0283 |
0,0277 |
0,0270 |
0,0264 |
0,0258 |
0,0252 |
0,0246 |
0,0241 |
0,0235 |
0,0229 |
|
2,4 |
0,0224 |
0,0219 |
0,0213 |
0,0208 |
0,0203 |
0,0198 |
0,0194 |
0,0189 |
0,0184 |
0,0180 |
|
2,5 |
0,0175 |
0,0171 |
0,0167 |
0,0163 |
0,0158 |
0,0154 |
0,0151 |
0,0147 |
0,0143 |
0,0139 |
|
2,6 |
0,0136 |
0,0132 |
0,0129 |
0,0126 |
0,0122 |
0,0119 |
0,0116 |
0,0113 |
0,0110 |
0,0107 |
|
2,7 |
0,0104 |
0,0101 |
0,0099 |
0,0096 |
0,0093 |
0,0091 |
0,0088 |
0,0086 |
0,0084 |
0,0081 |
|
2,8 |
0,0079 |
0,0077 |
0,0075 |
0,0073 |
0,0071 |
0,0069 |
0,0067 |
0,0065 |
0,0063 |
0,0061 |
|
2,9 |
0,0060 |
0,0058 |
0,0056 |
0,0055 |
0,0053 |
0,0051 |
0,0050 |
0,0048 |
0,0047 |
0,0046 |
|
3,0 |
0,0044 |
0,0043 |
0,0042 |
0,0040 |
0,0039 |
0,0038 |
0,0037 |
0,0036 |
0,0035 |
0,0034 |
|
3,1 |
0,0033 |
0,0032 |
0,0031 |
0,0030 |
0,0029 |
0,0028 |
0,0027 |
0,0026 |
0,0025 |
0,0025 |
|
3,2 |
0,0024 |
0,0023 |
0,0022 |
0,0022 |
0,0021 |
0,0020 |
0,0020 |
0,0019 |
0,0018 |
0,0018 |
|
3,3 |
0,0017 |
0,0017 |
0,0016 |
0,0016 |
0,0015 |
0,0015 |
0,0014 |
0,0014 |
0,0013 |
0,0013 |
|
3,4 |
0,0012 |
0,0012 |
0,0012 |
0,0011 |
0,0011 |
0,0010 |
0,0010 |
0,0010 |
0,0009 |
0,0009 |
|
3,5 |
0,0009 |
0,0008 |
0,0008 |
0,0008 |
0,0008 |
0,0007 |
0,0007 |
0,0007 |
0,0007 |
0,0006 |
|
3,6 |
0,0006 |
0,0006 |
0,0006 |
0,0005 |
0,0005 |
0,0005 |
0,0005 |
0,0005 |
0,0005 |
0,0004 |
|
3,7 |
0,0004 |
0,0004 |
0,0004 |
0,0004 |
0,0004 |
0,0004 |
0,0003 |
0,0003 |
0,0003 |
0,0003 |
|
3,8 |
0,0003 |
0,0003 |
0,0003 |
0,0003 |
0,0003 |
0,0002 |
0,0002 |
0,0002 |
0,0002 |
0,0002 |
|
3,9 |
0,0002 |
0,0002 |
0,0002 |
0,0002 |
0,0002 |
0,0002 |
0,0002 |
0,0002 |
0,0001 |
0,0001 |
|
4,0 |
0,0001 |
0,0001 |
0,0001 |
0,0001 |
0,0001 |
0,0001 |
0,0001 |
0,0001 |
0,0001 |
0,0001 |
|
4,1 |
0,0001 |
0,0001 |
0,0001 |
0,0001 |
0,0001 |
0,0001 |
0,0001 |
0,0001 |
0,0001 |
0,0001 |
|
4,2 |
0,0001 |
0,0001 |
0,0001 |
0,0001 |
0,0000 |
0,0000 |
0,0000 |
0,0000 |
0,0000 |
0,0000 |
Приложение 2
Таблица функции (функция Лапласа)
|
x |
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
|
0,0 |
0,00000 |
0,00399 |
0,00798 |
0,01197 |
0,01595 |
0,01994 |
0,02392 |
0,02790 |
0,03188 |
0,03586 |
|
0,1 |
0,03983 |
0,04380 |
0,04776 |
0,05172 |
0,05567 |
0,05962 |
0,06356 |
0,06749 |
0,07142 |
0,07535 |
|
0,2 |
0,07926 |
0,08317 |
0,08706 |
0,09095 |
0,09483 |
0,09871 |
0,10257 |
0,10642 |
0,11026 |
0,11409 |
|
0,3 |
0,11791 |
0,12172 |
0,12552 |
0,12930 |
0,13307 |
0,13683 |
0,14058 |
0,14431 |
0,14803 |
0,15173 |
|
0,4 |
0,15542 |
0,15910 |
0,16276 |
0,16640 |
0,17003 |
0,17364 |
0,17724 |
0,18082 |
0,18439 |
0,18793 |
|
0,5 |
0,19146 |
0,19497 |
0,19847 |
0,20194 |
0,20540 |
0,20884 |
0,21226 |
0,21566 |
0,21904 |
0,22240 |
|
0,6 |
0,22575 |
0,22907 |
0,23237 |
0,23565 |
0,23891 |
0,24215 |
0,24537 |
0,24857 |
0,25175 |
0,25490 |
|
0,7 |
0,25804 |
0,26115 |
0,26424 |
0,26730 |
0,27035 |
0,27337 |
0,27637 |
0,27935 |
0,28230 |
0,28524 |
|
0,8 |
0,28814 |
0,29103 |
0,29389 |
0,29673 |
0,29955 |
0,30234 |
0,30511 |
0,30785 |
0,31057 |
0,31327 |
|
0,9 |
0,31594 |
0,31859 |
0,32121 |
0,32381 |
0,32639 |
0,32894 |
0,33147 |
0,33398 |
0,33646 |
0,33891 |
|
1,0 |
0,34134 |
0,34375 |
0,34614 |
0,34849 |
0,35083 |
0,35314 |
0,35543 |
0,35769 |
0,35993 |
0,36214 |
|
1,0 |
0,36433 |
0,36650 |
0,36864 |
0,37076 |
0,37286 |
0,37493 |
0,37698 |
0,37900 |
0,38100 |
0,38298 |
|
1,2 |
0,38493 |
0,38686 |
0,38877 |
0,39065 |
0,39251 |
0,39435 |
0,39617 |
0,39796 |
0,39973 |
0,40147 |
|
1,3 |
0,40320 |
0,40490 |
0,40658 |
0,40824 |
0,40988 |
0,41149 |
0,41308 |
0,41466 |
0,41621 |
0,41774 |
|
1,4 |
0,41924 |
0,42073 |
0,42220 |
0,42364 |
0,42507 |
0,42647 |
0,42785 |
0,42922 |
0,43056 |
0,43189 |
|
1,5 |
0,43319 |
0,43448 |
0,43574 |
0,43699 |
0,43822 |
0,43943 |
0,44062 |
0,44179 |
0,44295 |
0,44408 |
|
1,6 |
0,44520 |
0,44630 |
0,44738 |
0,44845 |
0,44950 |
0,45053 |
0,45154 |
0,45254 |
0,45352 |
0,45449 |
|
1,7 |
0,45543 |
0,45637 |
0,45728 |
0,45818 |
0,45907 |
0,45994 |
0,46080 |
0,46164 |
0,46246 |
0,46327 |
|
1,8 |
0,46407 |
0,46485 |
0,46562 |
0,46638 |
0,46712 |
0,46784 |
0,46856 |
0,46926 |
0,46995 |
0,47062 |
|
1,9 |
0,47128 |
0,47193 |
0,47257 |
0,47320 |
0,47381 |
0,47441 |
0,47500 |
0,47558 |
0,47615 |
0,47670 |
|
2,0 |
0,47725 |
0,47778 |
0,47831 |
0,47882 |
0,47932 |
0,47982 |
0,48030 |
0,48077 |
0,48124 |
0,48169 |
|
2,1 |
0,48214 |
0,48257 |
0,48300 |
0,48341 |
0,48382 |
0,48422 |
0,48461 |
0,48500 |
0,48537 |
0,48574 |
|
2,2 |
0,48610 |
0,48645 |
0,48679 |
0,48713 |
0,48745 |
0,48778 |
0,48809 |
0,48840 |
0,48870 |
0,48899 |
|
2,3 |
0,48928 |
0,48956 |
0,48983 |
0,49010 |
0,49036 |
0,49061 |
0,49086 |
0,49111 |
0,49134 |
0,49158 |
|
2,4 |
0,49180 |
0,49202 |
0,49224 |
0,49245 |
0,49266 |
0,49286 |
0,49305 |
0,49324 |
0,49343 |
0,49361 |
|
2,5 |
0,49379 |
0,49396 |
0,49413 |
0,49430 |
0,49446 |
0,49461 |
0,49477 |
0,49492 |
0,49506 |
0,49520 |
|
2,6 |
0,49534 |
0,49547 |
0,49560 |
0,49573 |
0,49585 |
0,49598 |
0,49609 |
0,49621 |
0,49632 |
0,49643 |
|
2,7 |
0,49653 |
0,49664 |
0,49674 |
0,49683 |
0,49693 |
0,49702 |
0,49711 |
0,49720 |
0,49728 |
0,49736 |
|
2,8 |
0,49744 |
0,49752 |
0,49760 |
0,49767 |
0,49774 |
0,49781 |
0,49788 |
0,49795 |
0,49801 |
0,49807 |
|
2,9 |
0,49813 |
0,49819 |
0,49825 |
0,49831 |
0,49836 |
0,49841 |
0,49846 |
0,49851 |
0,49856 |
0,49861 |
|
3,0 |
0,49865 |
0,49869 |
0,49874 |
0,49878 |
0,49882 |
0,49886 |
0,49889 |
0,49893 |
0,49896 |
0,49900 |
|
3,1 |
0,49903 |
0,49906 |
0,49910 |
0,49913 |
0,49916 |
0,49918 |
0,49921 |
0,49924 |
0,49926 |
0,49929 |
|
3,2 |
0,49931 |
0,49934 |
0,49936 |
0,49938 |
0,49940 |
0,49942 |
0,49944 |
0,49946 |
0,49948 |
0,49950 |
|
3,3 |
0,49952 |
0,49953 |
0,49955 |
0,49957 |
0,49958 |
0,49960 |
0,49961 |
0,49962 |
0,49964 |
0,49965 |
|
3,4 |
0,49966 |
0,49968 |
0,49969 |
0,49970 |
0,49971 |
0,49972 |
0,49973 |
0,49974 |
0,49975 |
0,49976 |
|
3,5 |
0,49977 |
0,49978 |
0,49978 |
0,49979 |
0,49980 |
0,49981 |
0,49981 |
0,49982 |
0,49983 |
0,49983 |
|
3,6 |
0,49984 |
0,49985 |
0,49985 |
0,49986 |
0,49986 |
0,49987 |
0,49987 |
0,49988 |
0,49988 |
0,49989 |
|
3,7 |
0,49989 |
0,49990 |
0,49990 |
0,49990 |
0,49991 |
0,49991 |
0,49992 |
0,49992 |
0,49992 |
0,49992 |
|
3,8 |
0,49993 |
0,49993 |
0,49993 |
0,49994 |
0,49994 |
0,49994 |
0,49994 |
0,49995 |
0,49995 |
0,49995 |
|
3,9 |
0,49995 |
0,49995 |
0,49996 |
0,49996 |
0,49996 |
0,49996 |
0,49996 |
0,49996 |
0,49997 |
0,49997 |
|
4,0 |
0,499968 |
|||||||||
|
4,5 |
0,49997 |
|||||||||
|
5,0 |
0,4999997 |
Приложение 3
Таблица значений функции Пуассона:
|
m |
λ |
0,1 |
0,2 |
0,3 |
0,4 |
0,5 |
0,6 |
0,7 |
0,8 |
0,9 |
|
0 |
0,9048 |
0,8187 |
0,7408 |
0,6703 |
0,6065 |
0,5488 |
0,4966 |
0,4493 |
0,4066 |
|
|
1 |
0,0905 |
0,1638 |
0,2222 |
0,2681 |
0,3033 |
0,3293 |
0,3476 |
0,3596 |
0,3696 |
|
|
2 |
0,0045 |
0,0164 |
0,0333 |
0,0536 |
0,0758 |
0,0988 |
0,1217 |
0,1438 |
0,1647 |
|
|
3 |
0,0002 |
0,0011 |
0,0033 |
0,0072 |
0,0126 |
0,0198 |
0,0284 |
0,0383 |
0,0494 |
|
|
4 |
0,0000 |
0,0000 |
0,0002 |
0,0007 |
0,0016 |
0,0030 |
0,0050 |
0,0077 |
0,0111 |
|
|
5 |
0,0000 |
0,0000 |
0,0000 |
0,0001 |
0,0002 |
0,0004 |
0,0007 |
0,0012 |
0,0020 |
|
|
6 |
0,0000 |
0,0000 |
0,0000 |
0,0000 |
0,0000 |
0,0000 |
0,0001 |
0,0002 |
0,0003 |
|
|
m |
λ |
1,0 |
2,0 |
3,0 |
4,0 |
5,0 |
6,0 |
7,0 |
8,0 |
9,0 |
|
0 |
0,3679 |
0,1353 |
0,0498 |
0,0183 |
0,0067 |
0,0025 |
0,0009 |
0,0003 |
0,0001 |
|
|
1 |
0,3679 |
0,2707 |
0,1494 |
0,0733 |
0,0337 |
0,0149 |
0,0064 |
0,0027 |
0,0011 |
|
|
2 |
0,1839 |
0,2707 |
0,2240 |
0,1465 |
0,0842 |
0,0446 |
0,0223 |
0,0107 |
0,0055 |
|
|
3 |
0,0613 |
0,1804 |
0,2240 |
0,1954 |
0,1404 |
0,0892 |
0,0521 |
0,0286 |
0,0150 |
|
|
4 |
0,0153 |
0,0902 |
0,1680 |
0,1954 |
0,1755 |
0,1339 |
0,0912 |
0,0572 |
0,0337 |
|
|
5 |
0,0081 |
0,0361 |
0,1008 |
0,1563 |
0,1755 |
0,1606 |
0,1277 |
0,0916 |
0,0607 |
|
|
m |
λ |
1,0 |
2,0 |
3,0 |
4,0 |
5,0 |
6,0 |
7,0 |
8,0 |
9,0 |
|
6 |
0,0005 |
0,0120 |
0,0504 |
0,1042 |
0,1462 |
0,1606 |
0,1490 |
0,1221 |
0,0911 |
|
|
7 |
0,0001 |
0,0034 |
0,0216 |
0,0595 |
0,1044 |
0,1377 |
0,1490 |
0,1396 |
0,1318 |
|
|
8 |
0,0000 |
0,0009 |
0,0081 |
0,0298 |
0,0655 |
0,1033 |
0,1304 |
0,1396 |
0,1318 |
|
|
9 |
0,0000 |
0,0002 |
0,0027 |
0,0132 |
0,0363 |
0,0688 |
0,1014 |
0,1241 |
0,0318 |
|
|
10 |
0,0000 |
0,0000 |
0,0008 |
0,0053 |
0,0181 |
0,0413 |
0,0710 |
0,0993 |
0,1180 |
|
|
11 |
0,0000 |
0,0000 |
0,0002 |
0,0019 |
0,0082 |
0,0225 |
0,0452 |
0,0722 |
0,0970 |
|
|
12 |
0,0000 |
0,0000 |
0,0001 |
0,0006 |
0,0034 |
0,0113 |
0,0264 |
0,0481 |
0,0728 |
|
|
13 |
0,0000 |
0,0000 |
0,0000 |
0,0002 |
0,0013 |
0,0052 |
0,0142 |
0,0296 |
0,0504 |
|
|
14 |
0,0000 |
0,0000 |
0,0000 |
0,0001 |
0,0005 |
0,0022 |
0,0071 |
0,0169 |
0,0324 |
|
|
15 |
0,0000 |
0,0000 |
0,0000 |
0,0000 |
0,0002 |
0,0009 |
0,0033 |
0,0090 |
0,0194 |
|
|
16 |
0,0000 |
0,0000 |
0,0000 |
0,0000 |
0,0000. |
0,0003 |
0,0014 |
0,0045 |
0,0109 |
|
|
17 |
0,0000 |
0,0000 |
0,0000 |
0,0000 |
0,0000 |
0,0001 |
0,0006 |
0,0021 |
0,0058 |
|
|
18 |
0,0000 |
0,0000 |
0,0000 |
0,0000 |
0,0000 |
0,0000 |
0,0002 |
0,0009 |
0,0029 |
|
|
19 |
0,0000 |
0,0000 |
0,0000 |
0,0000 |
0,0000 |
0,0000 |
0,0001 |
0,0004 |
0,0014 |
|
|
20 |
0,0000 |
0,0000 |
0,0000 |
0,0000 |
0,0000 |
0,0000 |
0,0000 |
0,0002 |
0,0006 |
|
|
21 |
0,0000 |
0,0000 |
0,0000 |
0,0000 |
0,0000 |
0,0000 |
0,0000 |
0,0001 |
0,0003 |
|
|
22 |
0,0000 |
0,0000 |
0,0000 |
0,0000 |
0,0000 |
0,0000 |
0,0000 |
0,0000 |
0,0001 |
Приложение 4
Критические точки распределения 2
|
Число степеней свободы k |
Уровень значимости α |
|||||
|
0,01 |
0,025 |
0,05 |
0,95 |
0,975 |
0,99 |
|
|
1 |
6,6 |
5,0 |
3,8 |
0,0039 |
0,00098 |
0,00016 |
|
2 |
9,2 |
7,4 |
6,0 |
0,103 |
0,051 |
0,020 |
|
3 |
11,3 |
9,4 |
7,8 |
0,352 |
0,216 |
0,115 |
|
4 |
13,3 |
11,1 |
9,5 |
0,711 |
0,484 |
0,297 |
|
5 |
15,1 |
12,8 |
11,1 |
1,15 |
0,831 |
0,554 |
|
6 |
16,8 |
14,4 |
12,6 |
1,64 |
1,24 |
0,872 |
|
7 |
18,5 |
16,0 |
14,1 |
2,17 |
1,69 |
1,24 |
|
S |
20,1 |
17,5 |
15,5 |
2,73 |
2,18 |
1,65 |
|
fl |
21,7 |
19,0 |
16,9 |
3,33 |
2, 70 |
2,09 |
|
10 |
23,2 |
20,5 |
18,3 |
3,94 |
3,25 |
2,56 |
|
11 |
24,7 |
21,9 |
19,7 |
4,57 |
3,82 |
3,05 |
|
12 |
26,2 |
23,3 |
21,0 |
5,23 |
4,40 |
3,57 |
|
13 |
27,7 |
24,7 |
22,4 |
5,89 |
5,01 |
4,11 |
|
14 |
29,1 |
26,1 |
23,7 |
6,57 |
5,63 |
4,66 |
|
15 |
30,6 |
27,5 |
25,0 |
7,26 |
6,26 |
5,23 |
|
16 |
32,0 |
28,8 |
26,3 |
7,96 |
6,91 |
5,81 |
|
17 |
33,4 |
30,2 |
27,6 |
8,67 |
7,56 |
6,41 |
|
18 |
34,8 |
31,5 |
28,9 |
9,39 |
8,23 |
7,01 |
|
19 |
36,2 |
32,9 |
30,1 |
10,1 |
8,91 |
7,63 |
|
20 |
37,6 |
34,2 |
31,4 |
10,9 |
9,59 |
8,26 |
|
21 |
38,9 |
35,5 |
32,7 |
11,6 |
10,3 |
8,90 |
|
22 |
40,3 |
36,8 |
33,9 |
12,3 |
11,0 |
9,54 |
|
23 |
41,6 |
38,1 |
35,2 |
13,1 |
11,7 |
10,2 |
|
24 |
43,0 |
39,4 |
36,4 |
13,8 |
12,4 |
10,9 |
|
25 |
44,3 |
40,6 |
37,7 |
14,6 |
13,1 |
11,5 |
|
26 |
45,6 |
41,9 |
38,9 |
15,4 |
13,8 |
12,2 |
|
27 |
47,0 |
43,2 |
40,1 |
16,2 |
14,6 |
12,9 |
|
28 |
48,3 |
44,5 |
41,3 |
16,9 |
15,3 |
13,6 |
|
29 |
49,6 |
45,7 |
42,6 |
17,7 |
16,0 |
14,3 |
|
30 |
50,9 |
47,0 |
43,8 |
18,5 |
16,8 |
15,0 |
Приложение 5
Критические точки распределения Стьюдента
|
Число степеней свободы k |
Уровень значимости α |
|||||
|
0,10 |
0,05 |
0,02 |
0,01 |
0,002 |
0,001 |
|
|
1 |
6,31 |
12,7 |
31,82 |
63,7 |
318,3 |
637,0 |
|
2 |
2,92 |
4,30 |
6,97 |
9,92 |
22,33 |
31,6 |
|
3 |
2,35 |
3,18 |
4,54 |
5,84 |
10,22 |
12,9 |
|
4 |
2,13 |
2,78 |
3,75 |
4,00 |
7,17 |
8,61 |
|
5 |
2,01 |
2,57 |
3,37 |
4,03 |
5,89 |
6,86 |
|
6 |
1,94 |
2,45 |
3,14 |
3,71 |
5,21 |
5,96 |
|
7 |
1,89 |
2,36 |
3,00 |
3,50 |
4,79 |
5,40 |
|
8 |
1,86 |
2,31 |
2,90 |
3,36 |
4,50 |
5,04 |
|
9 |
1,83 |
2,26 |
2,82 |
3,25 |
4,30 |
4,70 |
|
10 |
1,81 |
2,23 |
2,76 |
3,17 |
4,14 |
4,59 |
|
11 |
1,80 |
2,28 |
2,72 |
3,11 |
4,03 |
4,44 |
|
12 |
1,78 |
2,18 |
2,68 |
3,05 |
3,93 |
4,32 |
|
13 |
1,77 |
2,16 |
2,65 |
3,01 |
3,85 |
4,22 |
|
14 |
1,76 |
2,14 |
2,62 |
2,98 |
3,79 |
4,14 |
|
15 |
1,75 |
2,13 |
2,60 |
2,95 |
3,73 |
4,07 |
|
16 |
1,75 |
2,12 |
2,58 |
2,92 |
3,69 |
4,01 |
|
17 |
1,74 |
2,11 |
2,57 |
2,90 |
3,65 |
3,96 |
|
18 |
1,73 |
2,10 |
2,55 |
2,88 |
3,61 |
3,92 |
|
19 |
1,73 |
2,09 |
2,54 |
2,86 |
3,58 |
3,88 |
|
20 |
1,73 |
2,09 |
2,53 |
2,85 |
3,55 |
3,85 |
|
21 |
1,72 |
2,08 |
2,52 |
2,83 |
3,53 |
3,82 |
|
22 |
1,72 |
2,07 |
2,51 |
2,82 |
3,51 |
3,79 |
|
23 |
1,71 |
2,07 |
2,50 |
2,81 |
3,49 |
3,77 |
|
24 |
1,71 |
2,06 |
2,49 |
2,80 |
3,47 |
3,74 |
|
25 |
1,71 |
2,06 |
2,49 |
2,79 |
3,45 |
3,72 |
|
26 |
1,71 |
2,06 |
2,48 |
2,78 |
3,44 |
3,71 |
|
27 |
1,71 |
2,05 |
2,47 |
2,77 |
3,42 |
3,69 |
|
28 |
1,70 |
2,05 |
2,46 |
2,76 |
3,40 |
3,66 |
|
29 |
1,70 |
2,05 |
2,46 |
2,76 |
3,40 |
3,66 |
|
30 |
1,70 |
2,04 |
2,46 |
2,75 |
3,39 |
3,65 |
|
40 |
1,68 |
2,02 |
2,42 |
2,70 |
3,31 |
3,55 |
|
60 |
1,07 |
2,00 |
2,39 |
2,66 |
3,23 |
3,46 |
|
120 |
1,66 |
1,98 |
2,36 |
2,62 |
3,17 |
3,37 |
Приложение 6
Критические точки распределения Фишера-Снедекора
(k1 — число степеней свободы большей дисперсии,
k2 — число степеней свободы меньшей дисперсии)
|
Уровень значимости α= 0,01 |
||||||||||||
|
k 1 |
||||||||||||
|
k 2 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
11 |
12 |
|
1 |
4052 |
4999 |
5403 |
5625 |
5764 |
5889 |
5928 |
5981 |
6022 |
6056 |
6082 |
6106 |
|
2 |
98,49 |
99,01 |
90,17 |
99,25 |
99,33 |
99,30 |
99,34 |
99,36 |
99,36 |
99,40 |
99,41 |
99,42 |
|
3 |
34,12 |
38,81 |
29,46 |
28,71 |
28,24 |
27,91 |
27,67 |
27,49 |
27,34 |
27,23 |
27,13 |
27,05 |
|
4 |
21,20 |
18,00 |
16,69 |
15,98 |
15,52 |
15,21 |
14,96 |
14,80 |
14,66 |
14,54 |
14,45 |
14,37 |
|
5 |
16,26 |
13,27 |
12,06 |
11,39 |
10,97 |
10,67 |
10,45 |
10,27 |
10,15 |
10,05 |
9,96 |
9,89 |
|
6 |
13,74 |
10,92 |
9,78 |
9,15 |
8,75 |
8,47 |
8,26 |
8,10 |
7,98 |
7,87 |
7,79 |
7,72 |
|
7 |
12,25 |
9,55 |
8,45 |
7,85 |
7,46 |
7,19 |
7,00 |
6,84 |
6,71 |
6,62 |
6,54 |
6,47 |
|
8 |
11,26 |
8,65 |
7,59 |
7,01 |
6,63 |
6,37 |
6,19 |
6,03 |
5,91 |
5,82 |
5,74 |
5,67 |
|
9 |
10,56 |
8,02 |
6,99 |
6,42 |
6,06 |
5,80 |
5,62 |
5,47 |
5,35 |
5,26 |
5,18 |
5,11 |
|
10 |
10,04 |
7,56 |
6,55 |
5,99 |
5,64 |
5,39 |
5,21 |
5,06 |
4,95 |
4,85 |
4,78 |
4,71 |
|
11 |
9,86 |
7,20 |
6,22 |
5,67 |
5,32 |
5,07 |
4,88 |
4,72 |
4,63 |
4,54 |
4,46 |
4,40 |
|
12 |
9,33 |
6,93 |
5,95 |
5,41 |
5,06 |
4,82 |
4,65 |
4,50 |
4,39 |
4,30 |
4,22 |
4,16 |
|
13 |
9,07 |
6,70 |
5,74 |
5,20 |
4,86 |
4,62 |
4,44 |
4,30 |
4,19 |
4,10 |
4,02 |
3,96 |
|
14 |
8,86 |
6,51 |
5,56 |
5,03 |
4,69 |
4,46 |
4,28 |
4,14 |
4,03 |
3,94 |
3,86 |
3,80 |
|
15 |
8,68 |
6,36 |
5,42 |
4,89 |
4,56 |
4,32 |
4,14 |
4,00 |
3,89 |
3,80 |
3,73 |
3,67 |
|
16 |
8,53 |
6,23 |
5,29 |
4,77 |
4,44 |
4,20 |
4,03 |
3,89 |
3,78 |
3,69 |
3,61 |
3,55 |
|
17 |
8,40 |
6,11 |
5,18 |
4,67 |
4,44 |
4,10 |
3,93 |
3,79 |
3,68 |
3,59 |
3,52 |
3,45 |
|
Уровень значимости α = 0,05 |
||||||||||||
|
k 1 |
||||||||||||
|
k 2 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
11 |
12 |
|
1 |
161 |
200 |
216 |
225 |
230 |
234 |
237 |
239 |
241 |
242 |
243 |
244 |
|
2 |
18,51 |
19,00 |
19,16 |
19,25 |
19,30 |
19,33 |
19,36 |
19,37 |
19,38 |
19,39 |
19,40 |
19,41 |
|
3 |
10,13 |
9,55 |
9,28 |
9,12 |
9,01 |
8,94 |
8,88 |
8,84 |
8,81 |
8,78 |
8,76 |
8,74 |
|
4 |
7,71 |
6,94 |
6,59 |
6,39 |
6,26 |
6,16 |
6,09 |
6,04 |
6,00 |
5,96 |
5,93 |
5,91 |
|
5 |
6,61 |
5,79 |
5,41 |
5,19 |
5,05 |
4,95 |
4,88 |
4,82 |
4,78 |
4,74 |
4,70 |
4,68 |
|
6 |
5,99 |
5,14 |
4,76 |
4,53 |
4,39 |
4,28 |
4,21 |
4,15 |
4,10 |
4,06 |
4,03 |
4,00 |
|
7 |
5,59 |
4,74 |
4,35 |
4,12 |
3,97 |
3,87 |
3,79 |
3,73 |
3,68 |
3,63 |
3,60 |
3,57 |
|
8 |
5,32 |
4,46 |
4,07 |
3,84 |
3,69 |
3,58 |
3,50 |
3,44 |
3,39 |
3,34 |
3,31 |
3,28 |
|
9 |
5,12 |
4,26 |
3,86 |
3,63 |
3,48 |
3,37 |
3,29 |
3,23 |
3,18 |
3,13 |
3,10 |
3,07 |
|
10 |
4,96 |
4,10 |
3,71 |
3,48 |
3,33 |
3,22 |
3,14 |
3,07 |
3,02 |
2,97 |
2,94 |
2,91 |
|
11 |
4,84 |
3,98 |
3,59 |
3,36 |
3,20 |
3,09 |
3,01 |
2,95 |
2,90 |
2,86 |
2,82 |
2,79 |
|
12 |
4,75 |
3,88 |
3,49 |
3,26 |
3,11 |
3,00 |
2,92 |
2,85 |
2,80 |
2,76 |
2,72 |
2,69 |
|
13 |
4,67 |
3,80 |
3,41 |
3,18 |
3,02 |
2,92 |
2,84 |
2,77 |
2,72 |
2,67 |
2,63 |
2,60 |
|
14 |
4,60 |
3,74 |
3,34 |
3,11 |
2,96 |
2,85 |
2,77 |
2,70 |
2,65 |
2,60 |
2,56 |
2,53 |
|
15 |
4,54 |
3,68 |
3,29 |
3,06 |
2,90 |
2,79 |
2,70 |
2,64 |
2,59 |
2,55 |
2,51 |
2,48 |
|
16 |
4,49 |
3,63 |
3,24 |
3,01 |
2,85 |
2,74 |
2,66 |
2,59 |
2,54 |
2,49 |
2,45 |
2,42 |
|
17 |
4,45 |
3,59 |
3,20 |
2,96 |
2,81 |
2,70 |
2,62 |
2,55 |
2,50 |
2,45 |
2,41 |
2,38 |
Кропачева Наталия Юрьевна
Петросян Гаянэ Артаковна
Элементы математической статистики
Учебное пособие по изучению курса высшей математики
|
Подп. к печати |
Формат 6084 1/16 |
|
|
Физ. п.л. |
Уч. изд. л. 5,0 |
Тираж 100 экз. |
|
Изд. № 001 |
РИО СПбГАСЭ, лицензия ЛР № 040849
Член Издательско-полиграфической Ассоциации ВУЗов СПб
СПб государственная академия сервиса и экономики
192171, г. Санкт-Петербург, ул. Седова, 55/1
4
8
12
3
7
X
ni
6
10
0
0,15
0,65
x
F(x)
1
10
14
2
6
10
0,75
1,7
x
ωi
2,5