Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
5. Плоскость в пространстве. Взаимное расположение двух плоскостей.
1. Пусть - какая-либо плоскость в пространстве, точка - некоторая точка этой плоскости, векторы - неколлинеарны и параллельны плоскости . Точка когда векторы компланарны, т.е. . (1)
Таким образом, чтобы задать плоскость , достаточно задать одну ее точку и пару неколлинеарных векторов и , параллельных плоскости (рис.1).
Плоскость , заданную точкой и векторами и , будем обозначать так: .
Формула (1) устанавливает взаимно однозначное соответствие между точками плоскости и упорядоченными парами чисел . Из определения координат точки на плоскости следует, что параметры являются координатами точки относительно аффинной системы координат на плоскости .
Возьмем какую-либо аффинную систему координат в пространстве, и пусть относительно нее точки и имеют координаты: . Разложим векторы и по векторам базиса : , . Так как векторы и неколлинеарны, то ранг=2. (*)
Сравнивая одноименные координаты векторов в формуле (1), получим: . Обратно, (2)(1). Таким образом, уравнения (2) определяют плоскость в пространстве. Они называются параметрическими уравнениями плоскости.
2. Из формулы (1) следует, что определитель системы векторов относительно базиса равен нулю: ()=0, т.е.
(3) (4), где
(4), где .
Уравнение (5) первой степени, так как в силу условия (*) по крайней мере одно из чисел А, В, С отлично от нуля. Следовательно, всякая плоскость определяется уравнением первой степени относительно аффинной системы координат в пространстве. Справедливо и обратное утверждение: всякое уравнение (5) первой степени определяет некоторую плоскость в пространстве, если задана аффинная система координат .
Так как уравнение (5) первой степени, то по крайней мере одно из чисел А, В, С отлично от нуля. Переименовав при необходимости оси координат, можем считать, что коэффициент при х отличен от нуля: А0. Тогда уравнение (5) можно представить в виде: . Обозначив , будем иметь: (2’) причем ранг матрицы , составленной из коэффициентов при и в системе ,равен двум. Следовательно, уравнения , а значит и уравнение(5) определяют плоскость , где .
Уравнение (5) называют общим уравнением плоскости . Уравнения являются параметрическими уравнениями той же плоскости (при А).
Теорема: Всякое уравнение вида с условием А2+В2+С20 (5.1) определяет в пространстве плоскость. Обратно, всякая плоскость в пространстве задается уравнением вида (5) с условием (5.1).
Доказательство:
1 часть (от геометрии к алгебре):
Дана плоскость , (). Уравнение плоскости имеет вид: , или , , где , а А, В, С - координаты вектора . Так как А2+В2+С20.
2 часть:
Пусть дано уравнение (5) и условие (5.1).
(5.1): пусть. Возьмем произвольно . найдем из уравнения (5). Получим точку, подчиняющуюся уравнению (5).
Пусть .
Всякая точка М, удовлетворяющая (5), лежит в плоскости .
разлагается по векторам : ,
М, М0 подчиняются уравнению (5)
М*(х*, у*, z*)
- компланарны.
Ч. т. д.
3. Плоскость будет определена, если задать тир ее точки , не лежащие на одной прямой: ,.
Пусть в аффинной системе координат точки имеют координаты: . Тогда плоскость определяется уравнением: , или в координатной форме: .(6)
Если, в частности, точки являются токами пересечения плоскости с осями координат соответственно и плоскость не проходит через начало координат О, то эти точки имеют координаты , и уравнение (6) принимает вид , или и называется уравнением плоскости в отрезках.
Вектор Нормали плоскости, заданной в прямоугольной системе координат
Пусть имеем плоскость и (7) есть общее уравнение этой плоскости. Тогда (5) (*), где в базисе :
Вектор параллелен плоскости когда вектор разлагается по векторам и , т.е. когда векторы , , компланарны и, значит, (, , )=0. Находим: (, , ).
Таким образом, вектор параллелен плоскости , определяемой уравнением (7), тогда и только тогда, когда (8).
Для вектора условие (8) не выполняется и, следовательно, вектор не параллелен плоскости .
В прямоугольной системе координат вектор имеет простой геометрический смысл: (*) и, значит, вектор перпендикулярен плоскости . Он называется вектором нормали плоскости . Уравнение (4) определяет в этом случае множество точек, таких, что , т.е. плоскость , проходящую через точку перпендикулярно вектору .
Условие (8) параллельности вектора плоскости в прямоугольной системе координат становится очевидным: оно может быть записано в виде и, следовательно, означает, что вектор должен быть перпендикулярен вектору нормали плоскости .
Всякая прямая , перпендикулярная плоскости , называется нормалью к плоскости .
Взаимное расположение двух плоскостей
Пусть даны две плоскости и , определяемые уравнениями:
в аффинной системе координат R={0,}.
Координаты точки являются решением системы уравнений (1), (2). поэтому вопрос о взаимном расположении плоскостей и сводится к исследованию системы линейных уравнений (1), (2).
Обозначим = ранг, = ранг.
Ясно, что . Возможны случаи:
Угол между двумя плоскостями
Пусть даны две пересекающиеся плоскости и , определяемые уравнениями: в прямоугольной системе координат {0,}. Векторы и являются векторами нормалей плоскостей и соответственно. Углом между плоскостями и называется любой из двугранных углов, образованных этими плоскостями.
Пусть (рис. 3). Угол конгруэнтен линейному углу одного из двугранных углов, образованных данными плоскостями (углы с взаимно перпендикулярными сторонами). Чтобы найти его величину, достаточно найти величину
угла между векторами и :
, или в координатной форме . Отсюда, в частности, следует, что плоскости и перпендикулярны когда
, т.е. когда .