Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
Глава 2. Матрицы и определители
Наряду с определителем квадратной матрицы рассмотрим определитель
, (2.5.1)
называемый алгебраическим дополнением элемента .
Алгебраическое дополнение элемента по построению не зависит от элементов i-й строки и j-го столбца матрицы A.
Теорема 2.5.1. Определитель матрицы равен сумме произведений элементов какой-либо строки на их алгебраические дополнения, т. е.
. (2.5.2)
Доказательство. В соответствии с ранее установленными свойствами определителей получаем
.
Представление определителя матрицы в виде (2.5.2) называется разложением определителя по элементам i-й строки.
Заметим, что в силу равноправности строк и столбцов матрицы справедливо разложение определителя по элементам j-го столбца
.
Очевидно, что для произвольных чисел в соответствии с формулой (2.5.2) имеем
. (2.5.3)
Теорема 2.5.2. Сумма произведений элементов какой-либо строки на алгебраические дополнения элементов другой строки равна нулю.
Доказательство. Из формулы (2.5.3) следует, что сумма произведений элементов строки на алгебраические дополнения элементов строки равна определителю с двумя одинаковыми строками, равными . Поэтому
.
Определение 2.5.1. Минором порядка называется определитель, который получается из определителя квадратной матрицы после вычеркивания одной строки и одного столбца.
Пусть — минор, получающийся после вычеркивания i-й строки и
j-го столбца.
Теорема 2.5.3. Справедлива формула .
Доказательство. Для начала рассмотрим алгебраическое дополнение элемента , имеем
.
Рассмотрим теперь алгебраическое дополнение (2.5.1). Поменяем последовательно строку с , затем с и т. д. Проделаем аналогичные операции со столбцами: меняем местами с , потом с и т. д. Всего местами меняются строк и столбцов. Поэтому ровно раза будет меняться знак определителя, поэтому
.
Пусть — определитель, полученный из определителя матрицы после вычеркивания строк и столбцов.
Определение 2.6.1. Определитель
называется минором порядка k.
Если, в свою очередь, из определителя матрицы A вычеркнуть строки и столбцы , то получаем определитель порядка , который называется дополнительным минором для минора и обозначается .
Определение 2.6.2. Алгебраическим дополнением минора называется величина , где .
Теорема 2.6.1 (теорема Лапласа). Определитель матрицы А равен сумме произведений всех миноров порядка k, составленных из k фиксированных строк указанного определителя, на алгебраические дополнения этих миноров.
Проиллюстрируем теорему Лапласа на примере определителя четвертого порядка.
.
Теорема Лапласа является обобщением формулы (2.5.2) разложения определителя матрицы А по элементам какой-либо строки (столбца).
Рассмотрим матрицу
,
называемую ступенчатой матрицей.
Теорема 2.6.2. Определитель ступенчатой матрицы равен произведению определителей матриц, стоящих на главной диагонали, т. е.
.
Доказательство. Зафиксируем в матрице первые k строк. Тогда все миноры порядка k, построенные на этих строках, равны нулю, за исключением возможно лишь минора, стоящего в левом верхнем углу, т. е. минора
,
причем дополнительный минор
.
Тогда в силу теоремы Лапласа
,
где — четное число, поэтому .
Вопросы и упражнения
Ответ: .
Ответ: .
.
Ответ: 9.
.
Ответ: 5.