Определитель матрицы равен сумме произведений элементов какойлибо строки на их алгебраические дополнения

Работа добавлена на сайт samzan.net:

Глава 2. Матрицы и определители

2.5. Алгебраические дополнения и миноры

Наряду с определителем квадратной матрицы рассмотрим определитель

 , (2.5.1)

называемый алгебраическим дополнением элемента .

Алгебраическое дополнение элемента  по построению не зависит от элементов i-й строки и j-го столбца матрицы A.

Теорема 2.5.1. Определитель матрицы равен сумме произведений элементов какой-либо строки на их алгебраические дополнения, т. е.

 . (2.5.2)

Доказательство. В соответствии с ранее установленными свойствами определителей получаем

 

 

 

 

 

 .

Представление определителя матрицы в виде (2.5.2) называется разложением определителя по элементам i-й строки.

Заметим, что в силу равноправности строк и столбцов матрицы справедливо разложение определителя по элементам j-го столбца

 .

Очевидно, что для произвольных чисел в соответствии с формулой (2.5.2) имеем

 . (2.5.3)

Теорема 2.5.2. Сумма произведений элементов какой-либо строки на алгебраические дополнения элементов другой строки равна нулю.

Доказательство. Из формулы (2.5.3) следует, что сумма произведений элементов строки на алгебраические дополнения элементов строки равна определителю с двумя одинаковыми строками, равными . Поэтому

 .

Определение 2.5.1. Минором порядка называется определитель, который получается из определителя квадратной матрицы после вычеркивания одной строки и одного столбца.

Пусть — минор, получающийся после вычеркивания i-й строки и
 j-го столбца.

Теорема 2.5.3. Справедлива формула .

Доказательство. Для начала рассмотрим алгебраическое дополнение элемента , имеем

 

 

 .

Рассмотрим теперь алгебраическое дополнение (2.5.1). Поменяем последовательно строку с , затем с и т. д. Проделаем аналогичные операции со столбцами: меняем местами с , потом с и т. д. Всего местами меняются строк и столбцов. Поэтому ровно раза будет меняться знак определителя, поэтому

 

 .

2.6. Определитель ступенчатой матрицы

Пусть — определитель, полученный из определителя матрицы после вычеркивания строк и столбцов.

Определение 2.6.1. Определитель

 

называется минором порядка k.

Если, в свою очередь, из определителя матрицы A вычеркнуть строки и столбцы , то получаем определитель порядка , который называется дополнительным минором для минора и обозначается .

Определение 2.6.2. Алгебраическим дополнением минора называется величина , где .

Теорема 2.6.1 (теорема Лапласа). Определитель матрицы А равен сумме произведений всех миноров порядка k, составленных из k фиксированных строк указанного определителя, на алгебраические дополнения этих миноров.

Проиллюстрируем теорему Лапласа на примере определителя четвертого порядка.

 

 

 .

Теорема Лапласа является обобщением формулы (2.5.2) разложения определителя матрицы А по элементам какой-либо строки (столбца).

Рассмотрим матрицу

 ,

называемую ступенчатой матрицей.

Теорема 2.6.2. Определитель ступенчатой матрицы равен произведению определителей матриц, стоящих на главной диагонали, т. е.

 .

Доказательство. Зафиксируем в матрице первые k строк. Тогда все миноры порядка k, построенные на этих строках, равны нулю, за исключением возможно лишь минора, стоящего в левом верхнем углу, т. е. минора

 ,

причем дополнительный минор

 .

Тогда в силу теоремы Лапласа

 ,

где — четное число, поэтому .

Вопросы и упражнения

1.  Как связаны между собой минор и алгебраическое дополнение элемента матрицы?
2.  Найти сумму алгебраических дополнений элементов диагональной матрицы

Ответ: .

1.  Разложить определитель по элементам четвертой строки

 

Ответ: .

1.  Вычислить определитель

 .

Ответ: 9.

1.  Пользуясь теоремой Лапласа вычислить определитель

 .

Ответ: 5.

1. Центр народного творчества и повышения квалификации представляет финалистов II Республиканского конкурс.html
2. Прояви стресу та успішні способи його подолання
3. Справочник радиолюбител
4. 375826 ЗРАЙДІ МУНІР Королiвство Марокко
5. Анализ деятельности предприятия по добыче золота
6. Лекция вторая. ИЗ КАКИХ ИДЕЙ РОДИЛАСЬ СОЦИОЛОГИЯ- ИНТЕЛЛЕКТУАЛЬНЫЕ ИСТОКИ НОВОЙ НАУКИ.
7. ТЕМА РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ.
8. Гаспар Санз
9. Личность
10. методичному семінарі з болгарської мови літератури культури та історії який відбудеться 15 16 травня 2014
11. Контрольная работа- Государственный контроль качества продукции.html
12. избранной Наименее занятой категорией людей являются Женщины люди предпен Государственна
13. ЭКОНОМИЧЕСКИЕ ПОКАЗАТЕЛИ УЧАСТКА ПЕРВИЧНОЙ СЕТИ1
14. Гуманизм в политике
15. Курсовая работа- Финансовая служба на коммерческом предприятии
16. Поскольку наибольший травматизм наблюдается на производственных участках
17. Общая нозология
18. Тема 10 Ответы Верно ли- Социальная стратификация ~ это отношения общественного равенства и неравенств.
19. технологии это - совокупность методов анализа проектирования разработки и сопровождения АИС с максимал
20. НОУ Академия Управления 2008

Материалы собраны группой SamZan и находятся в свободном доступе