Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
Варіант 1
Комплексні [1] числа ( устар. Уявні числа [2]), - розширення безлічі дійсних чисел, зазвичай позначається . Будь-яке комплексне число може бути представлене як формальна сума x + i y , Де x і y - Дійсні числа, i - уявна одиниця [3].
Запис комплексного числа z у вигляді x + i y , , Називається алгебраїчної формою комплексного числа.
Сума і добуток комплексних чисел можуть бути обчислені безпосереднім підсумовуванням і перемножуванням таких виразів, як зазвичай розкриваючи дужки і приводячи подібні, щоб представити результат теж у стандартній формі (при цьому треба врахувати, що i 2 = - 1 ):
(A + i b) + (c + i d) = (a + c) + i (b + d);
Дії над комплексними числами
Порівняння
a + b i = c + d i означає, що a = c і b = d (Два комплексних числа рівні між собою тоді і тільки тоді, коли рівні їх дійсні та уявні частини).
Додавання
(A + b i) + (c + d i) = (a + c) + (b + d) i.
Віднімання
(A + b i) - (c + d i) = (a - c) + (b - d) i.
Множення
Розподіл
Варіант 2-3
Якщо речову x і уявну y частини комплексного числа виразити через модуль r = | z | і аргумент ( x = r cos φ , y = r sin φ ), То всяке комплексне число z , Крім нуля, можна записати в тригонометричній формі
z = r (cos φ + i sin φ).
Також може бути корисна показова форма запису комплексних чисел, тісно пов'язана з тригонометричної через формулу Ейлера :
z = r e i φ,
де e i φ - Розширення експоненти для випадку комплексного показника ступеня.
Звідси випливають такі широко використовувані рівності:
Варіант 4
Формули переходу від алгебраїчної до тригонометричної форми положення точки на координатній прямій можна задати не тільки декартовими координатами (а;б) ф й полярними (r:ψ), де r – модуль комплексного числа - це довжина відповідного йому вектора
Ψ-аргумент комплексного числа – це величина будь якого напрямленого кута, утвореного додатнім напрямом дійсної осі
Формули переведення алгебраїчної форми в тригонометричну
Варіант 5
Нехай кожному натуральному числу відповідає по деякому правилу число . Кажуть, що задана числова послідовність
Числа називаються членами послідовності; – -й або загальний член послідовності. Саму послідовність позначають так: .
Таким чином, числовою послідовністю (або, коротше, послідовністю) називається функція, задана на множині натуральних чисел.
Границя послідовності
Число називається границею послідовності і записують
якщо для будь-якого додатного числа знайдеться номер члена послідовності, починаючи з якого буде виконуватися нерівність
Якщо послідовності і мають границі, то:
Варіант 6
Число А називається границею деякої функції F(x), коли аргумент прямує до х0 (ікс нульового), якщо для всіх точок х, відмінних від х0, що містяться в досить малому дельта-околі точки х0 значення функції F(x) містяться в як завгодно малому епсілон-околі точки А.
Розглянемо нескінченно великі числові послідовності.
Означення. Послідовність (уп) називається нескінченно великою, якщо, яке б не було число М > 0, існує таке число N = N (М), що для всіх п > N виконується нерівність | уп | > М. Це записують так:
уп при цьому називають нескінченно великою послідовністю. Наприклад, послідовності ((—1)пп), (п2), (п) є нескінченно великі.
Доведемо, наприклад, що ((—1)пп) є нескінченно велика послідовність. Справді, для довільного числа М > 0, починаючи з деякого номера п, маємо |уп|=(—1)пп = п > М. Члени заданої послідовності необмежене зростають за модулем, набуваючи то додатних, то від'ємних значень. Якщо М1 = 100, то |у|=п>100, якщо п = 101, 102, . .
Отже, .
Слід зауважити, що необмежена числова послідовність може й не бути нескінченно великою. Так, числова послідовність (уп), де
Варіант 7
Функція називається неперервною в точці (continuous function at point), якщо:
1) вона визначена в цій точці і в деякому її околі;
2) нескінченно малому приростові аргументу відповідає нескінченно малий приріст функції:
, або .
Функція називається неперервною в точці , якщо вона має в цій точці границю, яка дорівнює значенню функції в точці , тобто
.
кщо функція в точці не є неперервною, то точка називаєтьсяточкою розриву функції
Точка називається точкою розриву функції першого роду, якщо існують скінченні односторонні границі при , але вони не рівні між собою.
- точка розриву першого роду
Точка називається точкою розриву функції другого роду, якщо хоч би одна з односторонніх границь (зліва чи справа) при не існує (зокрема, дорівнює нескінченності
Точка називається точкою усувного розриву функції , якщо в цій точці виконується умова , але або , або не існує.
Варіант 8
Похідна́ — основне поняття диференційного числення, що характеризує швидкість зміни функції. Визначається як границявідношення приросту функції до приросту її аргументу коли приріст аргументу прямує до нуля (якщо така границя існує). Функцію, що має скінченну похідну, називають диференційовною.
Якщо функції і мають похідні в точці x, то справедливі формули для похідних суми, добутку та частки цих функцій:
1)
2)
3) , при
Таблиця похідних основних елементарних функцій
(Table of Derivative Formulas)
|
|
1) |
; |
|
|
|
2) |
, |
|
|
|
3) |
, |
|
|
|
4) |
; |
|
|
|
5) |
, |
|
|
|
6) |
, |
|
|
|
7) |
; |
|
|
|
8) |
; |
|
|
|
9) |
, |
|
|
10) |
, |
|
|
|
11) |
, |
|
|
|
12) |
, |
|
|
|
13) |
; |
|
|
|
14) |
; |
|
|
|
15) |
; |
|
|
|
16) |
; |
|
|
|
17) |
; |
|
|
|
18) |
, |
Геометричний зміст похідної (geometric sense of derivative)
Похідна функції в точці дорівнює кутовому коефіцієнту дотичної (tangent line) до графіка даної функції у точці , тобто
,
де -кут, який утворює дотична з додатним напрямком осі
Фізичний зміст похідної полягає у наступному: якщо шлях, пройдений тілом, що рухається прямолінійно, до моменту часу t(t > 0), визначається за формулою х(t), то швидкість руху υ(t) в момент часу і дорівнює похідній цієї функції:
а прискорення a(t) - похідній швидкості υ(t):
Варіант 9
Нехай функція визначена в деякому околі точки і функція визначена в деякому околі точки , таким чином визначена складена функція .
Теорема Якщо функція має похідну в точці і функція має похідну в точці , то складена функція також має похідну в точці , причому
, або скорочено
Іноді відшукання похідної спрощується, якщо її попередньо прологарифмувати. В зв’язку з цим такий метод називається логарифмічним диференціюванням. Розглянемо як працює цей метод на прикладі.
Приклад 3.7. Знайти похідну складеної функції виду .
Розв’язання. Логарифмуючи рівність дістанемо
.
Диференціюючи обидві частини останньої рівності, матимемо:
,або .
Виразивши з останньої рівності та підставивши , отримаємо
,
цю рівність можна переписати так
, (3.9)
де похідна від показникової функції,
похідна від степеневої функції.
Варіант 10
Нехай функції і параметрично задають функцію , причому і функції диференційовні за змінною t і .
Похідну від функції y за змінною x знаходимо, диференціюючи і за змінною t(див. формулу (*)):
, .
Тоді
,
тобто
.