Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
ЗМІСТ
ВСТУП….…………………………………………………………………..... |
4 |
|
1. МЕТОДИ РОЗВ’ЯЗУВАННЯ ЗАДАЧ ЛІНІЙНОГО ПРОГРАМУВАННЯ …………………………………………………….. |
5 |
|
1.1. Розв’язання задач лінійного програмування графічним методом…… |
5 |
|
1.2. Розв’язання задач лінійного програмування за допомогою інструмента “Поиск решения”.…………………………………......... |
8 |
|
1.3. Розв’язання задач лінійного програмування симплексним методом………………………………....………………………………... |
14 |
|
2. ДВОЇСТА ЗАДАЧА ЛІНІЙНОГО ПРОГРАМУВАННЯ .……………... |
20 |
|
2.1. Математична модель двоїстої задачі……………………….................... |
20 |
|
2.2. Метод штучного базису розв’язання задач лінійного програмування |
21 |
|
2.3. Економіко-математичний аналіз результатів………………………… |
24 |
|
3... МЕТОДИ РОЗВ’ЯЗАННЯ ТРАНСПОРТНОГО ЗАВДАННЯ ……….. |
27 |
|
3.1. Математична модель транспортної задачі ……………………………. |
27 |
|
3.2. Метод потенціалів розв’язання транспортної задачі …………..……. |
29 |
|
3.3. Розв’язання транспортної задачі з використанням інструмента “Поиск решения” ……………………………………………………... |
35 |
|
4. ВАРІАНТИ ІНДИВІДУАЛЬНИХ ЗАВДАНЬ…………………………. |
40 |
|
СПИСОК РЕКОМЕНДОВАНОЇ ЛІТЕРАТУРИ …….……...…...……...... |
52 |
На практиці для випуску асортименту своєї продукції виробничі підприємства мають у своєму розпорядженні деякий запас, як правило, обмежених ресурсів (сировинних, трудових, енергетичних, паливних, грошових), деякий набір взаємозамінних технологій, устаткування і т.п. Транспортна фірма, що здійснює постачання від підприємств-виробників до замовників-споживачів, має можливість вибору в розподілі вантажу. Економіст або менеджер повинен скласти такий план випуску продукції, при якому досягається найкращий (оптимальний) результат: або підприємство максимізує прибуток, або максимізує випуск продукції, або мінімізує витрати на випуск продукції, або мінімізує виробничі відходи і т.п.
Методи розв’язування подібних завдань вивчаються студентами ВНЗ у дисципліні «Економіко-математичне моделювання», зокрема в її першій частині - математичному програмуванні. Найбільш поширеним є клас задач лінійного програмування (ЗЛП); розгляду методів розв’язання деяких із них присвячені дані методичні вказівки.
Спочатку вивчається графічний метод розв’язання ЗЛП, що дозволяє наочно представити як суть математичної постановки задачі, так і її результат. Потім вивчається розв’язання задачі з використанням убудованого в Microsoft EXCEL for WINDOWS інструмента «Поиск решения». Цей інструмент дозволяє розв’язувати більш складні задачі не тільки лінійного програмування. Традиційний симплексний метод розв’язання ЗЛП дозволяє одержати багато результатів, корисних для економічного аналізу рентабельності випуску окремих видів продукції, аналізу дефіцитності ресурсів, що використовуються, їхньої взаємозамінності. Однак цей метод досить трудомісткий. Вирішити цю проблему дозволяє Microsoft EXCEL із своєю вбудованою можливістю модифікації формул.
Також вивчається розв’язання транспортної задачі, модель якої лінійна, однак розв’язання цієї задачі симплексним методом є досить трудомістким. Для розв’язання цієї задачі розроблений зручний і наочний метод потенціалів, що став класичним. Крім цього методу, розглянуто розв’язок транспортної задачі з використанням інструмента «Поиск решения».
1. МЕТОДИ РОЗВ’ЯЗУВАННЯ ЗАДАЧ
ЛІНІЙНОГО ПРОГРАМУВАННЯ
ЗАВДАННЯ 1. Побудувати математичну модель економічної задачі. Розв’язати задачу за допомогою побудованої моделі
Зробити висновки в термінах постановки задачі.
1.1 Розв’язання задач лінійного програмування графічним методом
Розберемо розв’язок однієї задачі оптимального виробничого планування (або задачі про використання ресурсів).
Змістовна постановка задачі. Для виготовлення взуття двох моделей на фабриці використовується два сорти шкіри. Тижневі ресурси робочої сили і матеріалу, витрати праці і матеріалу для виготовлення кожної пари взуття, а також прибуток від реалізації одиниці продукції наведені в таблиці.
|
Ресурси |
Норми витрат ресурсів на один виріб |
Загальний запас ресурсів |
|
|
№1 |
№2 |
||
|
Рабочий час (люд.-год) Шкіра I сорту (шмат.) Шкіра II сорту (шмат.) |
1 3 - |
2 1 3 |
900 900 1200 |
|
Прибуток (грн.) |
50 |
70 |
Скласти план випуску взуття в асортименті, що максимізує щотижневий прибуток.
Розв’язання. Спочатку складемо математичну модель поставленої задачі. Вона містить у собі змінні задачі, цільову функцію і систему обмежень.
Змінні задачі. Оскільки в задачі потрібно скласти тижневий план випуску взуття, то змінними задачі є:
пар взуття – тижневий план випуску моделі №1,
пар взуття – тижневий план випуску моделі №2.
Цільова функція задачі. Оскільки прибуток від випуску 1 пари взуття моделі №1 складає 50 грн., а моделі №2 – 70 грн., то загальний тижневий прибуток від випуску пар взуття моделі №1 і пар взуття моделі №2 складатиме (грн.). Таким чином, цільова функція задачі, яку необхідно максимізувати, має вигляд
.
Система обмежень задачі. З урахуванням наведених у таблиці даних можна скласти такі обмеження у вигляді нерівностей.
.
.
.
Якщо обидві частини останньої нерівності поділити на 3, то одержимо:
.
.
Таким чином, математична модель задачі має вигляд:
пар взуття – тижневий план випуску моделі №1,
пар взуття – тижневий план випуску моделі №2,
Математична модель виражається через дві змінні, тому для розв’язання задачі можна застосовувати графічний метод.
На координатній площині зобразимо множину точок , координати яких задовольняють системі обмежень. Ця множина називається областю припустимих розв’язків (областю припустимих значень).
Спочатку зауважимо, що система обмежень містить нерівності , які означають, що шукана область лежить у першій чверті. Далі побудуємо прямі
, (1)
, (2)
. (3)
Для цього знайдемо по дві пари точок, через які проходить кожна з цих прямих:
1. : (0, 450), (900, 0);
2. : (0, 900), (300, 0);
3. : (0, 400), (500, 400).
Ці прямі з відповідними мітками зображені на рис. 1.1.
Множина точок, які задовольняють нерівності , являє собою півплощину, що обмежена прямою . Оскільки точка О(0,0) задовольняє нерівності ( - вірно), то шукана півплощина містить цю точку; це зображено на рис. 1.1 за допомогою стрілок. Аналогічно, точка О(0,0) задовольняє кожній із нерівностей і , тому ця точка міститься у відповідних півплощинах (див. рис. 1.1). З урахуванням розташування в першій чверті область припустимих розв’язків являє собою заштрихований многокутник OABCD.
|
Рис. 1.1 – Розв’язання задачі лінійного програмування графічним методом |
Тепер зобразимо вектор найшвидшого росту цільової функції , яким є вектор, співспрямований її градієнту. Координатами вектора градієнта (для лінійної відносно змінних функції) є коефіцієнти при змінних цільової функції, тобто . Як вектор оберемо для зручності побудови вектор
.
Для зображення цього вектора з'єднуємо спрямованим відрізком точки з координатами (0, 0) і (500, 700). Довільна лінія рівня цільової функції (L) проходить перпендикулярно до вектора .
Для пошуку точки області припустимих розв’язків, у якій цільова функція досягає свого максимуму (мінімуму), необхідно лінію рівня пересувати в напрямку вектора градієнта (відповідно у зворотному напрямку). Крайня точка області при такому русі буде відповідати оптимальному розв’язку. У даній задачі такою точкою буде точка С. Знайдемо її координати, зауваживши, що вона є точкою перетинання прямих (1) і (2). Тому розв’яжемо систему
.
Із першого рівняння виразимо :
. (4)
Потім підставимо знайдений вираз у друге рівняння:
,
звідки одержимо
Знаючи , за допомогою (4) знаходимо :
.
У результаті дійдемо висновку, що , а точка, яка відповідає оптимальному розв’язку, має координати . Максимальне значення цільової функції:
(грн.).
Відповідь. Для одержання максимального тижневого прибутку, що складає 34200 грн., фабрика повинна випускати 180 пар взуття моделі №1 і 360 пар взуття моделі №2 за тиждень.
1.2 Розв’язання задач лінійного програмування за допомогою інструмента “Поиск решения”
Відповідно до математичної моделі поставленої задачі підготуємо аркуш EXCEL для застосування інструмента «Поиск решения» (див. рис. 1.2):
Внесемо формули, помітивши, що значення цільової функції (комірка D3) дорівнює сумі добутків1 невідомих значень змінних (комірки В2:С2) на коефіцієнти цільової функції (комірки В3:C3), а значення лівих частин системи обмежень (комірки D5, D6 і D7) дорівнюють сумі добутків невідомих значень змінних (комірки В2:С2) на коефіцієнти лівих частин системи обмежень (комірки В5:С5, В6:С6, В7:С7 відповідно). Для цього в цільову комірку D3 вносимо формулу
СУММПРОИЗВ($B$2;$C$2;B3;C3),
яку копіюємо в комірки D5, D6 і D7 з модифікаціями.
Для внесення в комірку D3 зазначених формул необхідно
|
|
|
а) б) |
|
Рис. 1.3 - Екранна форма «Мастер функций» |
|
Рис. 1.4 - Програмування цільової комірки |
Після копіювання формул у комірки D5, D6 і D7 вони будуть модифіковані так, як показано на рис. 1.5.
|
Рис. 1.5 - Програмування комірок, що відповідають значенню цільової функції і значенням лівих частин системи обмежень |
Якщо перелік процедур «Сервис» у меню Microsoft EXEL не містить інструмент «Поиск решения», то для додавання цього інструмента в перелік необхідно виконати такі дії:
1) натиснути «Сервис», потім «Надстройки» (рис. 1.6 а);
2) в екранній формі, що з'явилася, відмітити «Поиск решения» (рис. 1.6, б).
|
|
|
а) б) Рис. 1.6 - Додавання процедури «Поиск решения» в меню «Сервис» Microsoft EXEL |
У результаті пророблених операцій аркуш EXEL готовий для запуску процедури «Поиск решения». Вибираємо в “Сервис” процедуру “Поиск решения” (див. рис. 1.7).
|
Рис. 1.7 - Запуск процедури «Поиск решения» |
В екранній формі «Поиск решения» (див. рис 1.8)
1) установлюємо цільову комірку $D$3, відзначаючи її на аркуші EXEL;
2) відзначаємо прапорцем тип оптимізації, виходячи з умов задачі: у даному випадку – це максимізація;
3) переводимо курсор в «Изменяя ячейки» і виділяємо на аркуші EXEL комірки $В$2:$С$2, що відповідають зарезервованим значенням змінних;
4) переводимо курсор в «Ограничения», натискаємо «Добавить»;
|
Рис. 1.8 - Екранна форма «Поиск решения» |
|
Рис. 1.9 - Екранна форма «Добавление ограничений» |
|
Рис. 1.10 - Екранна форма «Параментры поиска решений» |
5) в екранній формі «Добавление ограничений» (рис. 1.9)
а) робимо посилання на комірки (шляхом їхнього виділення на аркуші EXEL), що відповідають лівим частинам системи обмежень $D$5:$D$7; ці комірки містять результат обчислень відповідно до введених раніше формул;
б) установлюємо знак, що відповідає знаку нерівності системи обмежень: у даному випадку це «<=»; якщо не всі обмеження мають однаковий знак, то, розташувавши поруч нерівності одного знака, програмують окремо кожну з груп, що утворилися;
в) переводимо курсор в «Ограничения», посилаючись на комірки, що відповідають правим частинам системи обмежень $F$5:$F$7, виділяючи їх на аркуші EXEL;
г) натискання «ОК» повертає нас в екранну форму «Поиск решения»;
6) натискаємо «Параметри», в екранній формі, що з'явилася, (рис. 1.10) відмічаємо прапорцями «Линейная модель» і «Неотрицательные значения», після чого натискання «ОК» повертає нас до екранної форми «Поиск решения»;
7) натискаємо «Выполнить», у результаті чого (рис. 1.11) на аркуші EXEL у комірках В2:С2 висвічуються шукані значення оптимальних змінних (оптимальний план), у комірці D3 значення цільової функції на оптимальному плані, а в екранній формі, що з'явилися, «Результаты поиска решения», пропонується зробити один з видів звіту, з яких вибираємо звіт по стійкості2 і натискаємо «ОК». Аркуш «Отчет по устойчивости» представлений на рис. 1.12.
|
Рис. 1.11 - Результати роботи процедури «Поиск решения» |
|
Рис. 1.12 - Екранна форма аркуша «Отчет по устойчивости» |
1.3 Розв’язання задач лінійного програмування симплексним методом
Крок 1. Випишемо математичну модель вихідної задачі:
пар взуття – тижневий план випуску моделі №1,
пар взуття – тижневий план випуску моделі №2,
Крок 2. Зведемо математичну модель вихідної задачі до канонічного виду, уводячи додаткові невід’ємні змінні . Помітимо, що кількість додаткових змінних відповідає кількості нерівностей у системі обмежень. Оскільки всі нерівності системи обмежень виражаються знаком «≤», то додаткові змінні в систему обмежень увійдуть з коефіцієнтом «+1». У цільову ж функцію вони ввійдуть з коефіцієнтом «0». Канонічний вид запису даної задачі:
(5)
Крок 3. Побудуємо первинний базис системи обмежень (початковий опорний план задачі).
По-перше, усі вільні елементи системи (5) – невід’ємні. По-друге, основна матриця системи (5)
містить одиничну підматрицю, якій відповідають змінні . Тому ці змінні є базисними, а їхня кількість дорівнює кількості рівнянь системи (5), значить система (5) має первинний базис, який утворено тривимірними одиничними векторами (1; 0; 0), (0; 1; 0), (0; 0; 1), що відповідають базисним змінним . У результаті одержано: кількість основних змінних , базисних .
Крок 4. Складаємо першу симплексну таблицю.
,
1) комірка С7 повинна містити значення цільової функції на зазначеному опорному плані:
,
тому вносимо формулу в цю комірку, як показано на рис. 1.14, а на рис. 1.13 бачимо результат обчислення за цією формулою, тобто грн.;
2) комірки D7:H7 повинні містити значення оцінок оптимальності для зазначеного опорного плану:
, ;
тому в комірку D7 вносимо формулу (див. рис. 1.14)
СУММПРОИЗВ($B$4:$B$6;D4:D6)-D2,
у який комірки В4:В6 мають абсолютні значення, з тієї причини, що у формулі для коефіцієнти цільової функції , що містяться в сумі добутків не залежать від . Потім копіюємо формулу з модифікаціями в комірки E7:H7; результати обчислень у цих комірках показані на рис. 1.13.
Крок 5. Побудова наступної симплексної таблиці. У загальному випадку, якщо розв’язувальний стовпець має номер , а розв’язувальний рядок , то подальший алгоритм полягає в наступному.
По-перше, змінну вводимо до базису замість змінної .
По-друге, робимо перетворення, за яких нова матриця буде мати й стовпець, що містить нулі на всіх місцях, окрім го. Для цього елементи нової симплексної таблиці , виражаємо через елементи , попередньої симплексної таблиці за формулами:
, , при ; (*)
, при . (**)
Тут розв’язувальний елемент, він міститься в обох формулах (*) і (**) незалежно від чи , тому йому потрібно привласнити абсолютне значення, тобто після його введення натиснути функціональну клавішу F4. Формула (**) містить для усіх , тому цьому елементу також привласнюється абсолютне значення.
Відповідно до зазначеного алгоритму будуємо другу симплексну таблицю.
1) перші два рядки симплексної таблиці не змінюються;
2) змінну вводимо до базису замість змінної ;
3) у комірках В11:В13 поміщаємо коефіцієнти при базисних змінних;
4) для заповнення комірок С11:Н13 формулами (див. рис. 1.14) відповідно до співвідношень (*) і (**) вносимо спочатку формули у комірки С11:С13 і копіюємо їх з модифікаціями.
Зауважимо, що в комірки С14:Н14 можна внести як формули, аналогічні коміркам С11:Н11 чи С12:Н12 (див. рис. 1.14), так і формули, аналогічні С7:Н7. Результат буде той самий.
,
а значення цільової функції на ньому грн.
Ітераційний процес симплексного методу продовжуємо доти, поки оцінки оптимальності ( ) містять від’ємні елементи. У даному випадку вже четверта симплексна таблиця не містить від’ємних оцінок оптимальності, тому опорний план, що відповідає їй, є оптимальним:
,
а значення цільової функції на ньому грн. – максимальним.
Відповідь. Для одержання максимального тижневого прибутку, що складає 34200 грн., фабрика повинна випускати 180 пар взуття моделі №1 і 360 пар взуття моделі №2 за тиждень.
Рис.1.14- Формули розрахунку симплексного методу в таблицях EXCEL |
2. ДВОЇСТА ЗАДАЧА
ЛІНІЙНОГО ПРОГРАМУВАННЯ
ЗАВДАННЯ 2. Побудувати математичну модель двоїстої задачі. Розв’язати двоїсту задачу симплексним методом. Порівняти отриманий результат із тим, що отримано, виходячи з останньої симплексної таблиці прямої задачі, а також, виходячи зі звіту по стійкості процедури «Поиск решения» прямої задачі. Зробити економічний аналіз результатів.
2.1 Математична модель двоїстої задачі
Випишемо математичну модель прямої (вихідної) задачі:
пар взуття – тижневий план випуску моделі №1,
пар взуття – тижневий план випуску моделі №2,
Складемо математичну модель двоїстої задачі.
1) Дана пряма задача на максимум, у ній усі нерівності системи обмежень мають знак «≤», тому змінювати форму запису математичної моделі прямої задачі немає необхідності.
2) Випишемо розширену матрицю системи і рядок коефіцієнтів цільової функції
.
3) Складаємо транспоновану матрицю
.
4) Складаємо математичну модель двоїстої задачі
.
Економічний зміст змінних двоїстої задачі визначається економічним змістом відповідних їм нерівностей системи обмежень прямої задачі. Оскільки першій двоїстій змінній відповідає перше обмеження по витратах робочого часу, другій – по витратах шкіри I сорту, третій – по витратах шкіри II сорту, то грн. – тіньова ціна 1 люд.-год. робочого часу; грн. – тіньова ціна 1 шматка шкіри I сорту; грн. – тіньова ціна 1 шматка шкіри I сорту.
2.2 Метод штучного базису розв’язання задач лінійного
програмування
Метод штучного базису розглянемо на прикладі розв’язання двоїстої задачі до задачі про використання ресурсів.
Крок 1. Зведемо математичну модель двоїстої задачі до канонічного вигляду, уводячи додаткові невід’ємні змінні . Оскільки всі нерівності системи обмежень виражаються знаком «≥», то додаткові змінні ввійдуть у систему обмежень з коефіцієнтом «-1». У цільову функцію додаткові змінні завжди входять з коефіцієнтом «0». Оскільки двоїста задача на мінімум, то складемо допоміжну функцію . Канонічний вигляд запису двоїстої задачі:
. (6)
Крок 3. Побудова первинного базису.
Основна матриця системи (6)
містить одиничний двовимірний вектор (0; 1), що відповідає змінній , яка увійде у первинний базис. Ця змінна міститься у другому рівнянні системи (6) з коефіцієнтом «1». Щоб отримати одиничну підматрицю у цій матриці, введемо невід’ємну штучну базисну змінну яку додамо до лівої частини першого рівняння. Штучну змінну включимо в цільову функцію з коефіцієнтом «-10000». Зазначимо, що абсолютна величина коефіцієнтів при штучних змінних повинна бути на порядок вище за всі абсолютні величини коефіцієнтів цільової функції. У результаті складемо математичну модель розширеної задачі:
. (7)
Отже, маємо: по-перше, усі вільні елементи системи (7) невід’ємні; по-друге, основна матриця системи (7)
містить одиничну підматрицю, що утворена двовимірними векторами (0; 1) і (1; 0), котрим відповідають базисні змінні , причому кількість базисних змінних дорівнює кількості рівнянь системи (7), тому система (7) має первинний базис .
Крок 5. Розв’язуємо отриману задачу симплексним методом за алгоритмом, що описано в п. 1.3. Відповідні симплексні таблиці задачі і зразки формул для EXEL наведені на рис. 2.1 і рис. 2.2 відповідно.
Слід зазначити, що ітераційний процес симплексного методу продовжується доти, поки оцінки оптимальності містять від’ємні елементи.
Рис. 2.1 Результати обчислень методом штучного базису)
Якщо серед оцінок оптимальності немає від’ємних елементів, однак не всі штучні змінні виключені з базису, то така задача не має розв’язку.
Із третьої симплексної таблиці двоїстої задачі випливає, що всі оцінки оптимальності невід’ємні і всі штучні змінні виведені з базису. Це означає, що опорний план третьої ітерації є оптимальним:
,
а значення функції максимальним. Оскільки , то
грн.
2.3 Економіко-математичний аналіз результатів
Спочатку випишемо результати розв’язання прямої і двоїстої задач симплексним методом.
|
Пряма задача |
Двоїста задача |
|
|
Цільова функція |
||
|
Основні змінні |
||
|
Додаткові змінні |
Порівняння результатів, отриманих різними способами.
Звіт по стійкості (рис. 1.12), крім значень оптимальних змінних прямої задачі, містить значення оптимальних основних змінних двоїстої задачі, занесених у стовпчик «Теневые цены»; оптимальні значення додаткових змінних двоїстої задачі можна легко обчислити, якщо підставити оптимальні значення основних змінних в систему рівнянь (6). Результати збігаються з описаними вище.
З останнього рядка симплексної таблиці прямої задачі можна визначити значення двоїстих змінних, а з останньої симплексної таблиці двоїстої задачі - значення змінних прямої задачі так, як це показано на рис. 1.13 і рис. 2.1 відповідно. Як бачимо, результати відповідають знайденим вище.
Цільові функції прямої і двоїстої задач. Із теорем про зв'язок між розв’язками прямої і двоїстої задач випливає, що мінімальне значення цільової функції двоїстої задачі повинно збігатися з максимальним значенням цільової функції прямої задачі . У даному випадку
= =34200 грн. (8)
Що стосується прямої задачі, то цільова функція в ній характеризувала тижневий прибуток від реалізації продукції, яку виготовлено на фабриці; і цей прибуток повинен бути максимальним. Для з‘ясування економічного змісту цільової функції двоїстої задачі про використання ресурсів розглянемо ситуацію, коли керівництво фабрики стоїть перед альтернативним вибором: чи здійснювати процес виробництва взуття, чи реалізувати на стороні власні виробничі ресурси (продати, здати в оренду тощо) за ринковими цінами. У разі вибору першої альтернативи, оптимальний розв‘язок прямої задачі саме й дає нам оптимальний план виробництва взуття, за яким прибуток (ефект від виробничої діяльності підприємства) фабрики буде найбільшим. Якщо ж керівництво фабрики вирішує задачу реалізації власних ресурсів на стороні, то, з одного боку, воно прагнутиме реалізувати їх якомога дорожче, проте, з іншого боку, ринкова ціна не повинна штучно завищуватися, інакше ресурси за такими цінами не знайдуть покупця. А отже, керівництво фабрики має призначувати об‘єктивні (незавищенні) ціни («тіньові ціни») на виробничі ресурси, виходячи з того, що корисність обох альтернатив повинна бути однаковою, тобто дохід фабрики від реалізації власних ресурсів за цими цінами, який мінімізується, дорівнюватиме ефекту від здійснення виробничої діяльності, тобто величині прибутку фабрики, який повинен бути максимальним. Цей принцип саме й відбиває співвідношення (8), яке говорить про те, що максимальний прибуток фабрики збігається з її можливим мінімальним доходом у зв‘язку із відмовою від виробничої діяльності і продажем ресурсів на сторону і складає 34200 грн. за тиждень.
Основні змінні прямої задачі. Для одержання максимального прибутку, фабрика повинна випускати пар взуття моделі №1 і пар взуття моделі №2 за тиждень.
Додаткові змінні прямої задачі характеризують обсяг невикористаного ресурсу.
1. Третя (додаткова) змінна відповідає першому обмеженню, причому люд.-год., тому ресурс робочого часу використаний цілком, що свідчить про його дефіцитність.
2. Четверта змінна відповідає другому обмеженню, причому шматків, тому ресурс шкіри I сорту використаний цілком, значить і цей ресурс дефіцитний.
3. П'ята змінна відповідає третьому обмеженню, і шматків, тому 40 шматків шкіри II сорти не використані, значить цей ресурс недефіцитний.
Основні змінні двоїстої задачі. Як уже відзначалося вище, економічний зміст основних змінних двоїстої задачі визначається економічним змістом відповідних їм нерівностей системи обмежень прямої задачі, а саме: їх оптимальні значення кількісно характеризують граничне значення тіньової ціни (об‘єктивної ціни, рівноважної ціни і т.ін.) за одиницю обмеженого ресурсу, вище за яку його залучення (зокрема додаткове залучення) до виробничого процесу буде збитковим для фірми, що втілюється у ситуацію, коли витрати ресурсів на виробництво одиниці продукції, оцінені в грошовому вираженні (), перевищуватимуть зовнішню оцінку одиниці продукції – її ринкову ціну (або як в нашому випадку прибуток) . А відтак, оптимальні основні двоїсті змінні надають керівництву фабрики (менеджерам з питань постачання) цінну додаткову інформацію для прийняття рішень в умовах ринкових відношень: додаткове залучення у виробництво дефіцитних ресурсів доцільно лише за умови, коли ринкова ціна за одиницю такого ресурсу не перевищує його тіньову ціну.
Тіньова ціна для першого обмеження (ресурс робочого часу) складає грн. за одиницю, для другого обмеження (ресурс шкіри I сорту) – грн. за одиницю, для третього (ресурс шкіри II сорту) – грн. за одиницю. Із цього випливає, що
1) , тому ресурс робочого часу дефіцитний, і його збільшення вигідне (рентабельне), а саме: збільшення робочого часу на 1 люд.-год. призведе до збільшення прибутку на 32 грн.;
2) , тому ресурс шкіри I сорту є дефіцитним, і його збільшення рентабельне, а саме: збільшення запасу шкіри I сорту на 1 шматок дасть підприємству прибуток, що складатиме 6 грн.;
3) , тому ресурс шкіри II сорту не є дефіцитним, а збільшення його запасу не рентабельно.
Якщо деяка додаткова змінна двоїстої задачі позитивна, то випуск продукції, що відповідає цій змінній є нерентабельним, а величина цієї змінної характеризує розмір збитку від реалізації одиниці цієї продукції: . Дана властивість дозволяє оцінити рентабельність нової продукції (з умови ), якщо відомі планові норми витрат ресурсів на виготовлення її одиниці, а також визначитися з мінімально допустимою (прийнятною) ціною за одиницю продукції, яку планується виробляти (з умови ).
У даній задачі змінна відповідає обсягу випуску взуття моделі №1, а моделі №2, причому , тому випуск обох видів виробів вигідний (рентабельний) – грошова оцінка сумарних витрат ресурсів на одну пару взуття дорівнює розміру прибутку.
Взаємозамінність ресурсів. У наступну таблицю внесемо значення коефіцієнтів взаємозамінності ресурсів.
|
i \ k |
1 |
2 |
3 |
|
1 |
1 |
3/16 |
0 |
|
2 |
5 ⅓ |
1 |
0 |
|
3 |
∞ |
∞ |
1 |
Коефіцієнт дорівнює 5⅓, це означає, що при зменшенні запасу робочого часу на 1 люд.-год. необхідно додатково збільшити запас шкіри I сорту на 5⅓ шматків, щоб значення цільової функції не змінилося. Ресурс робочого часу більш дефіцитний, ніж ресурс шкіри I сорту, тому коефіцієнт взаємозамінності більш дефіцитного ресурсу менш дефіцитним ресурсом 5⅓ більше 1. Коефіцієнти і дорівнюють ∞. Це означає, що замінити зменшення дефіцитних ресурсів робочого часу чи ресурсу шкіри I сорту недефіцитним ресурсом шкіри II сорту не можливо. Коефіцієнти і дорівнюють 0. Це означає, що при зменшенні недефіцитного ресурсу шкіри II сорту не потрібне збільшення дефіцитних ресурсів робочого часу чи ресурсу шкіри I сорту.
3. МЕТОДИ РОЗВ’ЯЗАННЯ ТРАНСПОРТНОЇ ЗАДАЧІ
ЗАВДАННЯ 3. У трьох пунктах виробництва А1, А2, А3 зосереджений однорідний вантаж у кількостях відповідно рівних а1, а2, а3 тонн. Даний вантаж споживається в чотирьох пунктах В1, В2, В3, В4, а потреби в ньому в цих пунктах складають b1, b2, b3, b4, тонн відповідно. Відома матриця тарифів по перевезенню 1 тони вантажу з iго пункту виробництва до jго пункту споживання:
.
Скласти план перевезень:
,
при якому сумарні транспортні витрати будуть мінімальними.
Розв’язати поставлену транспортну задачу
3.1 методом потенціалів,
3.2 за допомогою інструмента «Поиск решения».
3.1 Математична модель транспортної задачі
Розглянемо поставлену задачу для таких вихідних даних:
30т, 20т, 40т,
20т, 30т, 20т, 30т,
.
Запишемо їх у вигляді таблиці.
Таблиця 3.1
|
Пункти виробництва |
Пункти споживання |
Запаси |
|||
|
3 |
1 |
4 |
2 |
30 |
|
|
1 |
4 |
3 |
3 |
20 |
|
|
2 |
2 |
4 |
4 |
40 |
|
|
Потреби |
20 |
30 |
20 |
30 |
90 100 |
До нижнього правого куту цієї таблиці занесемо значення сумарних потреб і сумарних витрат:
т, т.
У даному випадку , тому модель транспортної задачі є відкритою. Відповідно до теореми, для існування в транспортної задачі припустимого плану необхідно і достатньо, щоб її модель була закритою, тобто, щоб .
Збалансуємо дану задачу, уводячи фіктивний пункт виробництва з запасом вантажу =100-90=10(т). При цьому вартість перевезень із цього пункту в кожний із пунктів споживання дорівнює 0 (див. табл. 3.2).
Таблиця 3.2
|
Пункти виробництва |
Пункти споживання |
Запаси |
|||
|
3 |
1 |
4 |
2 |
30 |
|
|
1 |
4 |
3 |
3 |
20 |
|
|
2 |
2 |
4 |
4 |
40 |
|
|
0 |
0 |
0 |
0 |
10 |
|
|
Потреби |
20 |
30 |
20 |
30 |
90 100 |
Складемо математичну модель даної задачі.
.
.
, (9)
на задоволення потреб у вантажі
, (10)
невід’ємність змінних:
( , ). (11)
Сукупність змінних , що задовольняють обмеженням (9)-(11), утворюють припустимий опорний план. Матриця системи (9) (10) має ранг на 1 менший кількості рядків цієї системи, тобто на 1 менший від суми кількостей пунктів виробництва і пунктів споживання, у даному випадку це – 7. Це означає, що кількість базисних змінних повинна дорівнювати 7.
3.2 Метод потенціалів розв’язання транспортної задачі
Нульова ітерація транспортної задачі. Підготуємо таблицю (табл. 3.3). Другий рядок і другий стовпець зарезервуємо для значень потенціалів. В останній стовпець внесемо відповідні значення запасів, а в останній рядок – потреб. У праві верхні кути комірок ( , ) внесемо матрицю транспортних витрат.
Таблиця 3.3 Нульова ітерація транспортної задачі
|
Запаси |
||||||||||||||
|
1 |
1 |
1 |
1 |
|||||||||||
|
0 |
3 |
1 |
4 |
2 |
30|0 |
|||||||||
|
-2 |
30 |
-3 |
-1 |
|||||||||||
|
0 |
1 |
4 |
3 |
3 |
20|0 |
|||||||||
|
20 |
-3 |
-2 |
-2 |
|||||||||||
|
3 |
2 |
2 |
4 |
4 |
40|20|0 |
|||||||||
|
Ө |
||||||||||||||
|
2 |
2 |
20 |
20 |
|||||||||||
|
-1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
10|0 |
|||||||||
|
Ө |
||||||||||||||
|
0 |
0 |
0 |
10 |
|||||||||||
|
Потреби |
20 0 |
30 0 |
20 0 |
30 20 0 |
Крок 1. Побудову вихідного опорного плану здійснюємо методом найменшої вартості. Завантажуючи комірки, відповідні значення обсягів перевезення будемо заносити в нижні ліві кути комірок ( , ).
.
Його елементи задовольняють системі обмежень (9)-(11). Значення цільової функції на цьому плані дорівнює
(у.о.).
Чи є цей план оптимальним? Відповідь на це питання дає метод потенціалів.
Крок 2. Перевірка оптимальності опорного плану.
( , ). (12)
Оскільки базисних змінних 7, то сукупність рівностей (12) утворить систему з 8 рівнянь із 7 невідомими. Ця система має нескінченну множину розв’язків, знайдемо одне з них:
( , ),
а результат заносити в нижні ліві кути комірок ( , ), відокремлюючи їх у рамку:
,
,
,
,
,
,
,
,
.
Оскільки для розглянутого плану деякі з оцінок оптимальності є додатними, то вихідний опорний план не є оптимальним.
Крок 3.
Підготуємо нову таблицю першої ітерації (див. табл. 3.4).
, (у.о).
Таблиця 3.4 Перша ітерація транспортної задачі
|
-1 |
1 |
1 |
1 |
||||||||||
|
0 |
3 |
1 |
4 |
2 |
30 |
||||||||
|
-4 |
30 |
-3 |
-1 |
||||||||||
|
2 |
1 |
4 |
3 |
3 |
20 |
||||||||
|
20 |
-1 |
0 |
0 |
||||||||||
|
3 |
2 |
2 |
4 |
4 |
40 |
||||||||
|
Ө |
|||||||||||||
|
0 |
2 |
20 |
20 |
||||||||||
|
-1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
10 |
||||||||
|
Ө |
|||||||||||||
|
-2 |
0 |
0 |
10 |
||||||||||
|
20 |
30 |
20 |
30 |
Чи є новий опорний план оптимальним? Для відповіді на це питання повертаємося до кроку 2 і кроку 3, виконуючи послідовно аналогічні дії. Результати цих дій занесені в табл. 3.4.
Таблиця 3.5 Друга ітерація транспортної задачі
|
1 |
1 |
3 |
3 |
||||||||||
|
0 |
3 |
1 |
4 |
2 |
30 |
||||||||
|
Ө |
|||||||||||||
|
-2 |
30 |
-1 |
1 |
||||||||||
|
0 |
1 |
4 |
3 |
3 |
20 |
||||||||
|
20 |
-3 |
0 |
0 |
||||||||||
|
1 |
2 |
2 |
4 |
4 |
40 |
||||||||
|
Ө |
|||||||||||||
|
0 |
0 |
20 |
20 |
||||||||||
|
-3 |
0 |
0 |
0 |
0 |
10 |
||||||||
|
-2 |
-2 |
0 |
10 |
||||||||||
|
20 |
30 |
20 |
30 |
Для опорного плану другої ітерації одержимо
, (у.о.).
Повертаємося до кроку 2 і кроку 3, результати виконаних дій занесені в табл. 3.5. Опорний план другої ітерації не оптимальний. У цьому випадку змінна, що вводиться до базису, , а та, яка виводиться з базису, . Зауважимо, що при побудові таблиці третьої ітерації (табл.3.6) значення змінних, задіяним циклом, перераховуємо, додаючи до тих із них, що відмічені знаком «+» значення змінної, що виводиться з базису (тобто «20»), а від змінних, відмічених знаком «-», віднімаємо це значення. Змінна, що вводиться до базису, приймає значення 20. Комірка виявиться вільною.
Для опорного плану третьої ітерації одержимо
,
(у.о.).
Таблиця 3.6 Третя ітерація транспортної задачі
|
1 |
1 |
3 |
2 |
||||||||||
|
0 |
3 |
1 |
4 |
2 |
30 |
||||||||
|
Ө |
|||||||||||||
|
-4 |
10 |
-1 |
20 |
||||||||||
|
0 |
1 |
4 |
3 |
3 |
20 |
||||||||
|
20 |
-3 |
0 |
-1 |
||||||||||
|
1 |
2 |
2 |
4 |
4 |
40 |
||||||||
|
Ө |
|||||||||||||
|
0 |
20 |
20 |
-1 |
||||||||||
|
-2 |
0 |
0 |
0 |
0 |
10 |
||||||||
|
Ө |
|||||||||||||
|
-1 |
-1 |
1 |
10 |
||||||||||
|
20 |
30 |
20 |
30 |
Із табл. 3.6 бачимо, що опорний план третьої ітерації не оптимальний. Змінна в цьому випадку, що вводиться до базису, , а змінна, що виводиться з базису, . Проводимо перерахування базисних змінних. Результати обчислень у четвертій ітерації занесені в табл. 3.7. Для опорного плану цієї ітерації виконана умова оптимальності: всі оцінки оптимальності недодатні.
У результаті маємо
,
(у.о.).
Таблиця 3.7 Четверта ітерація транспортної задачі
|
0 |
0 |
2 |
2 |
||||||||||
|
0 |
3 |
1 |
4 |
2 |
30 |
||||||||
|
-3 |
-1 |
-2 |
30 |
||||||||||
|
1 |
1 |
4 |
3 |
3 |
20 |
||||||||
|
20 |
-3 |
0 |
0 |
||||||||||
|
2 |
2 |
2 |
4 |
4 |
40 |
||||||||
|
0 |
30 |
10 |
0 |
||||||||||
|
-2 |
0 |
0 |
0 |
0 |
10 |
||||||||
|
-2 |
-2 |
10 |
0 |
||||||||||
|
20 |
30 |
20 |
30 |
Зауважимо, що серед оцінок оптимальності останньої ітерації є такі, значення яких дорівнює нулю, тому побудований опорний план не єдиний, для якого цільова функція приймає мінімальне значення 180 у.о.
Відповідь. Найменші сумарні транспортні витрати, що складають 180 у.о., будуть відповідати такому плану перевезень:
Оскільки пункт є фіктивним, то споживач залишиться невдоволений на 10 т вантажу.
Результат обчислень можна оформити також у вигляді схеми, показуючи, з якого пункту виробництва в який пункт споживання перевозиться вантаж:
.
3.2 Розв’язання транспортної задачі з використанням інструмента “Поиск решения”
Транспортна задача вже була зведена до закритої моделі. Результат внесений у табл. 3.2. Відповідно до цієї таблиці підготуємо аркуш EXCEL для застосування інструмента «Поиск решения» (див. рис. 3.1).
Рис. 3.1 Представлення вихідних даних у таблиці EXEL
Після заповнення вихідних даних у цільову комірку F15 вносимо формули СУММПРОИЗВ(В4:Е7; B11:E14), у комірку F11 – СУМ(В11:Е11), що копіюємо з модифікаціями в комірки F12:F14, і в комірку В15 – СУМ(В11:В14), що копіюємо з модифікаціями в комірки С15:Е15. Результат представлений на рис. 3.2.
Рис. 3.2 Формули розрахунку в таблиці EXEL
Рис. 3.3 Екранна форма «Поиск решения»
Рис. 3.4 Результати роботи процедури «Поиск решения» (перший варіант)
Таким чином, усі підготовчі процедури закінчені, тому вибираємо в «Сервис» інструмент «Поиск решения». Заповнюємо екранну форму, що з'явилася, так, як це показано на рис. 3.3, виконуючи дії, аналогічні описаним у
п. 1.2.
Результат розв’язання транспортної задачі з використанням інструмента «Поиск решения» представлений на рис. 3.4. Оптимальний розв’язок
транспортної задачі в цьому випадку можна представити матрицею
,
а мінімальне значення цільової функції на цьому плані дорівнює
(у.о.).
Як було зауважено вище (перед остаточним записом результатів методу потенціалів), розв’язок даної задачі не єдиний. Другий варіант розв’язку представлено на рис. 3.5. Оптимальний розв’язок транспортної задачі в цьому випадку можна представити матрицею
,
Мінімальне значення цільової функції при цьому не зміниться, а саме:
(у.о).
Зауважимо, що для отримання різних варіантів розв’язку транспортної задачі (якщо розв’язок не єдиний) потрібно повторно запускати на виконання процедуру «Поиск решения» без зміни вхідних даних.
Рис. 3.5 Результати роботи процедури «Поиск решения» (другий варіант)
Відповідь. Найменші сумарні транспортні витрати складають 180 у.о. Це відповідає двом варіантам плану перевезень. Перший варіант:
Другий варіант:
4. ВАРІАНТИ ІНДИВІДУАЛЬНИХ ЗАВДАНЬ
ЗАВДАННЯ 1. Побудувати математичну модель економічної задачі. Розв’язати задачу за допомогою побудованої моделі
Зробити висновки в термінах постановки задачі.
ЗАВДАННЯ 2. Побудувати математичну модель двоїстої задачі. Розв’язати двоїсту задачу симплексним методом. Порівняти отриманий результат із тим, що отримано, виходячи з останньої симплексної таблиці прямої задачі, а також, виходячи зі звіту по стійкості процедури «Поиск решения» прямої задачі. Зробити економічний аналіз результатів.
|
Ресурси |
Норми витрат ресурсів на один виріб |
Загальний обсяг ресурсів |
|
|
А |
В |
||
|
Дошки (м2) |
3 |
4 |
1700 |
|
Машинний час (год.) |
0,2 |
0,5 |
160 |
|
Прибуток від реалізації одного виробу (грн.) |
20 |
40 |
|
Машина виду |
Час обробки одиниці виробу (год.) |
Загальний обсяг машинного часу (год.) |
|
|
А |
В |
||
|
I II III |
0,5 0,4 0,2 |
0,25 0,3 0,4 |
40 36 36 |
|
Прибуток від реалізації одного виробу (грн.) |
50 |
30 |
Фірмі треба визначити план випуску виробів А і В, при якому прибуток від їхньої реалізації буде максимальною.
|
Ресурси |
Норми витрат ресурсів на один виріб |
Загальний обсяг ресурсів |
|
|
стіл |
шафа |
||
|
Деревина (м3): |
|||
|
I виду |
0,2 |
0.1 |
40 |
|
II виду |
0.1 |
0,3 |
60 |
|
Трудомісткість (люд.-год.) |
1,2 |
1,5 |
371,4 |
|
Прибуток від реалізації одного виробу (грн.) |
120 |
160 |
Визначити, скільки столів і шаф фабриці варто виготовляти, щоб прибуток від їхньої реалізації був максимальним.
|
Види корму |
Потрібна кількість корму (ц) для породи свиней |
Запаси корму, ц |
|
|
I |
II |
||
|
Грубі (сінне борошно, трав’яні) |
2 |
3 |
1000 |
|
Соковиті (коренеплоди, картопля) |
4 |
2 |
1200 |
|
Комбікорми |
1 |
1 |
380 |
|
Продуктивність, ц |
3 |
2,5 |
Потрібно знайти таке поголів'я свиней кожної породи, щоб продуктивність 1 ц м'яса була максимальною.
|
Тип устаткування |
Витрати часу (верст.-год.) на обробку одного виробу виду: |
Загальний фонд робочого часу устаткування (год.) |
|
|
А |
В |
||
|
Фрезерне Токарне Шліфувальне |
1 0,5 0,6 |
0,8 0,1 1,2 |
168 180 144 |
|
Прибуток від реалізації одного виробу (грн.) |
140 |
180 |
З огляду на те, що вироби А і В можуть виготовлятися в будь-яких співвідношеннях (збут забезпечений), потрібно скласти такий план їхнього випуску, при якому прибуток підприємства від реалізації всіх виробів буде максимальним.
|
Ресурси |
Норми витрат ресурсів (кг) на один виріб |
Загальний обсяг ресурсів (кг) |
|
|
А |
В |
||
|
I II III |
12 4 3 |
4 4 12 |
300 120 252 |
|
Прибуток від реалізації одного виробу (грн.) |
30 |
40 |
|
Фрукти |
Витрати фруктів (кг) для компоту виду |
Запас, кг |
|
|
I |
II |
||
|
Яблука |
1 |
0,5 |
200 |
|
Груші |
0,3 |
0,25 |
65 |
|
Сливи |
0,75 |
1 |
200 |
|
Прибуток від реалізації 1 банки компоту, грн. |
3 |
2 |
Потрібно скласти такий план виробництва двох видів компоту, для якого прибуток був би найбільшим.
|
Ресурси |
Норми витрат ресурсів на один виріб |
Загальний обсяг ресурсів |
|
|
А |
В |
||
|
Дошки (м2) |
2 |
3 |
1200 |
|
Машинний час (год.) |
0,2 |
0,5 |
160 |
|
Прибуток від реалізації одного виробу (грн.) |
30 |
40 |
Скільки полиць кожного типу варто випускати протягом тижня, щоб прибуток від їхньої реалізації був найбільшим?
|
Вид корму |
Кількість одиниць корму, що повинна отримувати |
Загальний обсяг корму |
|
|
лисиця |
песець |
||
|
I |
2 |
3 |
180 |
|
II |
4 |
1 |
240 |
|
III |
6 |
7 |
426 |
|
Прибуток від реалізації однієї шкурки (грн.) |
320 |
240 |
|
Тип устаткування |
Продуктивність (т/год.) виду продукції |
Фонд часу (год.) |
|
|
А |
Б |
||
|
Плавильна піч Травильний агрегат Прокатний стан |
7 6 2 |
6 4 1 |
4200 3000 900 |
|
Прибуток від реалізації 1 т продукції (тис. грн.) |
4 |
3 |
|
Ресурси |
Норми витрат ресурсів на один комплект устаткування виду |
Загальний обсяг ресурсів за день |
|
|
I |
II |
||
|
Виробничі площі (м2) |
2 |
1,5 |
7 |
|
Грошові ресурси (тис. грн.) |
2 |
3 |
10 |
Придбання одного комплекту устаткування 1го виду дозволяє збільшити випуск продукції в зміну на 3 одиниці, а одного комплекту устаткування 2го виду – на 4 одиниці. Визначити такий набір додаткового устаткування, що дає можливість максимально збільшити випуск продукції.
|
Потужності (у год.) |
Норми витрат потужностей (у год.) на одиницю продукції типу |
Загальний запас потужностей (год.) |
|
|
№1 |
№2 |
||
|
М1 М2 М3 М4 |
2 1 - 1 |
1 1 1 - |
16 10 6 7 |
|
Прибуток від реалізації одиниці продукції (грн.) |
30 |
40 |
|
Види корму |
Потрібна кількість корму (ц) для породи свиней |
Запаси корму, ц |
|
|
I |
II |
||
|
Грубі (сінне борошно, трав’яні) |
2 |
5 |
900 |
|
Соковиті (коренеплоди, картопля) |
4,5 |
2 |
1150 |
|
Комбікорми |
1 |
1,5 |
340 |
|
Продуктивність, ц |
4 |
5 |
Потрібно знайти таке поголів'я свиней кожної породи, щоб продуктивність 1 ц м'яса була максимальною.
|
Тип устаткування |
Витрати часу (верст.-год.) на обробку одиниці продукції виду: |
Загальний фонд робочого часу устаткування (год.) |
|
|
1 |
2 |
||
|
Фрезерне Токарне Шліфувальне |
1 2 1 |
- 1 2 |
100 280 320 |
|
Прибуток від реалізації 1 т продукції (тис. грн.) |
80 |
60 |
|
Вид сировини |
Норми витрат сировини (т) на 1 т карамелі |
Загальний обсяг сировини (т) |
|
|
А |
В |
||
|
Цукровий пісок Патока Фруктове пюре |
0,8 0,5 - |
0,6 0,8 0,1 |
80 60 8 |
|
Прибуток від реалізації 1 т карамелі (тис. грн.) |
1,5 |
2 |
|
Вид сировини |
Норми витрат сировини (кг) на один виріб |
Загальний обсяг сировини (кг) |
|
|
А |
В |
||
|
I II III |
5 2 2 |
2 2 5 |
300 150 300 |
|
Прибуток від реалізації одного виробу (грн.) |
30 |
40 |
Фірмі треба визначити план випуску виробів А і В, при якому прибуток від їхньої реалізації буде максимальним.
|
Вид сировини |
Витрати пряжі на 10 шт. |
|
|
Светри |
Кофточки |
|
|
Вовна |
3 |
2 |
|
Силон |
2 |
1 |
|
Нітрон |
1 |
1 |
|
Прибуток (у.о.) |
50 |
30 |
Установити план випуску виробів, що максимізує прибуток.
|
Ресурси |
Норми витрат ресурсів на один виріб |
Загальний обсяг ресурсів |
|
|
X |
V |
||
|
Металеві стрижні (кг) Листовий метал (кг) Робочий час (люд.-год.) |
2 5 1 |
5 2 2 |
10 000 10 000 4 000 |
|
Прибуток від реалізації однієї деталі (грн.) |
90 |
120 |
Скільки деталей кожного типу варто робити, щоб максимізувати загальний прибуток за тиждень?
|
Ресурси |
Норми витрат ресурсів на один виріб |
Загальний обсяг ресурсів |
|
|
А |
В |
||
|
Дошки (м2) |
6 |
4 |
2000 |
|
Машинний час (год.) |
0,25 |
0,5 |
180 |
|
Прибуток від реалізації одного виробу (грн.) |
100 |
160 |
Скільки столів кожної моделі фірмі необхідно випускати за тиждень для одержання максимального прибутку від їхньої реалізації?
|
Ресурси |
Норми витрат ресурсів на одну модель автомобіля |
Загальний обсяг ресурсів на тиждень |
|
|
«Каприз» |
«Фіаско» |
||
|
Робочий час (люд.-год.) - некваліфіковані робітники - кваліфіковані робітники Витрати на комплектуючі (у.о.) |
30 40 500 |
40 20 1500 |
40000 32000 900000 |
|
Прибуток від реалізації одного автомобіля (у.о.) |
1000 |
750 |
Робітники, що здійснюють доставку, працюють п'ять днів на тиждень і можуть забрати з заводу не більш 210 машин у день. Який обсяг випуску кожної моделі Ви б рекомендували? Що б Ви рекомендували для підвищення прибутку фірми?
|
Ресурси |
Норми витрат ресурсів на один виріб |
Загальний обсяг ресурсів |
|
|
1 |
2 |
||
|
Устаткування (верст.-год.) Сировина (кг) Електроенергія (кВт/год.) |
0,2 1 2 |
0,3 4 4 |
78 850 880 |
|
Ціна одного виробу (грн.) |
30 |
100 |
Скільки необхідно виготовляти виробів кожного виду, щоб вартість продукції була максимальною?
|
Артикул тканини |
Норми витрат тканини (м) на один виріб виду |
Загальний обсяг тканини (м) |
|
|
1 |
2 |
||
|
I II III |
1 - 3 |
- 1 2 |
150 150 600 |
|
Ціна одного виробу (грн.) |
80 |
60 |
Визначити, скільки виробів кожного виду повинна виготовити фабрика, щоб вартість продукції була максимальною.
|
Ресурси |
Норми витрат ресурсів на 1 м тканини артикула |
Загальний обсяг ресурсів |
|
|
1 |
2 |
||
|
Продуктивність верстатів (верст.-год.) Пряжа (кг) Барвники (кг) |
0,06 1,0 0,01 |
0,03 1,5 0,01 |
600 15000 120 |
|
Ціна 1 м тканини (грн.) |
80 |
50 |
Скласти такий план виготовлення тканини, відповідно якому будуть виготовлені тканини кожного артикула, з максимальною загальною вартістю
|
Тканина |
Норми витрат тканини на один виріб |
Загальний обсяг ресурсів (м2) |
|
|
сукня |
костюм |
||
|
Вид №1 (м2) |
1,5 |
1,6 |
139 |
|
Вид №2 (м2) |
0,5 |
1 |
65 |
|
Прибуток від реалізації одного виробу (грн.) |
30 |
50 |
Визначити, скількох суконь і костюмів треба зшити майстерні, щоб домогтися найвищої рентабельності виробництва.
|
Вид робіт |
Тривалість виконання (дні) для типового проекту |
Кількість об’єктів будівництва, на яких можна одночасно вести роботи |
|
|
А |
В |
||
|
Закладка фундаменту Монтажні роботи Інші роботи |
20 8 30 |
30 7 15 |
15 4 12 |
|
Житлова площа (м2) |
3000 |
2000 |
Скласти план будівництва, який максимізує введення житлової площі протягом року (300 робочих днів).
|
Ресурси |
Час лікування одного хворого |
Загальний обсяг ресурсів |
|
|
Нападии |
Травми |
||
|
Хірургічна палата (год.) Томографічний сканер (год.) Місця (дні) |
- 1 4 |
2 1 10 |
2600 2600 14600 |
Уряд забезпечує винагороду за кожен випадок лікування: 1000 дол. за лікування нападу і 2000 дол. за операцію на хребті. Якщо припустити, що лікарня може вільно приймати рішення про кількість пацієнтів, прийнятих для кожного виду лікування, то потрібно з'ясувати, яке поєднання пацієнтів принесе лікарні найбільший доход.
|
Ресурси |
Норми витрат ресурсів на 1 кг лаку |
Загальний обсяг ресурсів на день |
|
|
матового |
полірувального |
||
|
Рабочий час (люд.-год.) |
0,1 |
0,2 |
400 |
|
Хімічна суміш (г) |
0,05 |
0,02 |
100 |
|
Ціна продажу 1 кг, грн. |
13 |
16 |
|
|
Витрати виробництва на 1 кг, грн. |
9 |
10 |
Технологічні можливості заводу дозволяють випускати не більш 3000 кг лаку в день. Адміністрації даної компанії необхідно визначити щоденні обсяги виробництва кожного виду лаку, що дозволяють одержувати максимальний загальний доход на тиждень.
|
Тип вагону |
Кількість вагонів (шт) кожного типу в составі: |
Парк вагонів, шт. |
Число пасажирів в одному вагоні, люд. |
|
|
швидкого |
пасажирського |
|||
|
багажний |
1 |
- |
1 |
12 |
|
поштовий |
1 |
- |
- |
18 |
|
жорсткий |
4 |
58 |
8 |
88 |
|
купейний |
6 |
40 |
4 |
79 |
|
м’який |
4 |
32 |
2 |
35 |
|
Тип вагону |
Кількість вагонів (шт) кожного типу в составі: |
Парк вагонів, шт. |
Число пасажирів в одному вагоні, люд. |
|
|
швидкого |
пасажирського |
|||
|
багажний |
1 |
- |
1 |
12 |
|
поштовий |
1 |
- |
- |
18 |
|
жорсткий |
4 |
58 |
8 |
88 |
|
купейний |
6 |
40 |
4 |
79 |
|
м’який |
4 |
32 |
2 |
36 |
|
Вид робіт |
Тривалість виконання (дні) для типового проекту |
Кількість об’єктів будівництва, на яким можна одночасно вести роботи |
|
|
А |
В |
||
|
Закладка фундаменту Монтажні роботи Інші роботи |
20 10 30 |
30 5 15 |
10 5 12 |
|
Житлова площа (м2) |
3000 |
2000 |
Скласти план будівництва, який максимізує введення житлової площі протягом року (300 робочих днів).
ЗАВДАННЯ 3. У трьох пунктах виробництва А1, А2, А3 зосереджений однорідний вантаж у кількостях відповідно рівних а1, а2, а3 тонн. Даний вантаж споживається в чотирьох пунктах В1, В2, В3, В4, а потреби в ньому в цих пунктах складають b1, b2, b3, b4, тонн відповідно. Відома матриця тарифів по перевезенню 1 тони вантажу з iго пункту виробництва до jго пункту споживання:
.
Скласти план перевезень:
,
при якому сумарні транспортні витрати будуть мінімальними.
Розв’язати поставлену транспортну задачу
3.1 методом потенціалів,
3.2 за допомогою інструмента «Поиск решения».
|
№ вар |
ПАРАМЕТРИ МОДЕЛІ |
||||||||||||||||||
|
a1 |
a2 |
a3 |
b1 |
b2 |
b3 |
b4 |
c11 |
c12 |
c13 |
c14 |
c21 |
c22 |
c23 |
c24 |
c31 |
c32 |
c33 |
c34 |
|
|
1 |
25 |
50 |
20 |
15 |
15 |
40 |
30 |
1 |
8 |
2 |
3 |
4 |
7 |
5 |
1 |
5 |
3 |
4 |
4 |
|
2 |
46 |
30 |
35 |
20 |
30 |
16 |
10 |
1 |
2 |
6 |
3 |
4 |
8 |
1 |
5 |
9 |
7 |
3 |
4 |
|
3 |
60 |
70 |
20 |
30 |
30 |
30 |
50 |
2 |
4 |
5 |
1 |
2 |
3 |
9 |
4 |
3 |
4 |
22 |
5 |
|
4 |
30 |
20 |
40 |
50 |
20 |
20 |
15 |
5 |
2 |
4 |
1 |
3 |
5 |
6 |
7 |
11 |
5 |
3 |
1 |
|
5 |
45 |
15 |
20 |
30 |
25 |
25 |
10 |
9 |
4 |
1 |
4 |
5 |
6 |
7 |
10 |
2 |
1 |
4 |
3 |
|
6 |
60 |
65 |
70 |
40 |
60 |
70 |
30 |
2 |
4 |
3 |
2 |
3 |
1 |
2 |
3 |
5 |
4 |
1 |
5 |
|
7 |
50 |
40 |
20 |
30 |
25 |
25 |
20 |
3 |
2 |
4 |
1 |
2 |
3 |
1 |
5 |
3 |
2 |
7 |
4 |
|
8 |
20 |
10 |
40 |
35 |
25 |
10 |
15 |
4 |
1 |
2 |
6 |
5 |
3 |
4 |
8 |
2 |
5 |
1 |
4 |
|
9 |
50 |
10 |
10 |
25 |
25 |
20 |
10 |
5 |
6 |
4 |
2 |
1 |
5 |
3 |
8 |
1 |
2 |
4 |
1 |
|
10 |
45 |
25 |
20 |
30 |
15 |
30 |
40 |
2 |
1 |
5 |
1 |
4 |
2 |
6 |
3 |
1 |
5 |
2 |
4 |
|
11 |
60 |
70 |
10 |
40 |
25 |
35 |
20 |
5 |
4 |
1 |
2 |
6 |
3 |
1 |
2 |
4 |
5 |
3 |
2 |
|
12 |
25 |
25 |
30 |
20 |
25 |
25 |
15 |
4 |
8 |
6 |
7 |
2 |
1 |
5 |
1 |
1 |
3 |
5 |
4 |
|
13 |
20 |
20 |
40 |
30 |
25 |
15 |
20 |
6 |
4 |
1 |
2 |
5 |
8 |
3 |
1 |
5 |
4 |
2 |
6 |
|
14 |
60 |
10 |
40 |
30 |
40 |
20 |
10 |
1 |
2 |
4 |
5 |
6 |
8 |
2 |
3 |
2 |
5 |
7 |
1 |
|
15 |
30 |
50 |
20 |
15 |
10 |
40 |
30 |
3 |
1 |
5 |
6 |
4 |
2 |
1 |
5 |
3 |
7 |
4 |
5 |
|
16 |
45 |
35 |
70 |
20 |
60 |
55 |
55 |
6 |
1 |
4 |
5 |
2 |
3 |
2 |
1 |
4 |
5 |
2 |
3 |
|
17 |
30 |
70 |
50 |
10 |
40 |
20 |
60 |
5 |
1 |
4 |
2 |
6 |
3 |
8 |
2 |
4 |
5 |
1 |
3 |
|
18 |
70 |
10 |
20 |
45 |
10 |
35 |
20 |
6 |
1 |
5 |
4 |
2 |
3 |
2 |
5 |
4 |
7 |
9 |
2 |
|
19 |
20 |
50 |
40 |
45 |
20 |
45 |
5 |
4 |
5 |
3 |
2 |
8 |
4 |
1 |
6 |
2 |
5 |
4 |
1 |
|
20 |
30 |
20 |
45 |
25 |
25 |
30 |
20 |
1 |
5 |
3 |
4 |
2 |
1 |
5 |
7 |
4 |
2 |
1 |
4 |
|
21 |
60 |
10 |
50 |
30 |
40 |
40 |
25 |
5 |
1 |
9 |
3 |
2 |
7 |
5 |
6 |
1 |
2 |
4 |
3 |
|
22 |
30 |
70 |
20 |
65 |
15 |
30 |
5 |
6 |
4 |
2 |
1 |
4 |
5 |
3 |
8 |
5 |
1 |
3 |
5 |
|
23 |
50 |
40 |
60 |
35 |
45 |
50 |
30 |
2 |
4 |
1 |
5 |
3 |
2 |
5 |
6 |
7 |
4 |
5 |
9 |
|
24 |
40 |
30 |
20 |
25 |
35 |
25 |
15 |
1 |
5 |
2 |
4 |
8 |
3 |
6 |
7 |
4 |
2 |
1 |
5 |
|
25 |
50 |
40 |
60 |
40 |
60 |
25 |
35 |
2 |
4 |
1 |
9 |
8 |
3 |
6 |
10 |
2 |
4 |
5 |
7 |
|
26 |
20 |
30 |
50 |
45 |
25 |
20 |
15 |
6 |
4 |
1 |
5 |
7 |
10 |
2 |
3 |
5 |
6 |
11 |
2 |
|
27 |
25 |
35 |
50 |
30 |
10 |
30 |
25 |
5 |
8 |
4 |
3 |
1 |
2 |
7 |
5 |
2 |
1 |
2 |
6 |
|
28 |
50 |
40 |
20 |
20 |
40 |
30 |
25 |
2 |
4 |
5 |
8 |
9 |
7 |
3 |
1 |
6 |
2 |
5 |
2 |
|
29 |
25 |
45 |
30 |
40 |
20 |
25 |
20 |
6 |
4 |
5 |
8 |
1 |
2 |
3 |
7 |
5 |
1 |
2 |
4 |
|
30 |
30 |
20 |
45 |
25 |
25 |
30 |
20 |
8 |
7 |
5 |
1 |
2 |
12 |
4 |
5 |
8 |
6 |
2 |
4 |
Підписано до друку __.__.2007р. Формат 60х84 1/32.
Папір офсетний.
Умовн. друк. арк. _,_. Наклад ___ прим.
Замовлення № К.
Запорізької державної інженерної академії
з комп’ютерного оригінал-макету
69006, м. Запоріжжя, пр. Леніна, 226
РВВ ЗДІА, тел. 223 8 240
1 Рос. «сумма произведений».
2 Рос. «устойчивость».