Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
2
Обычные формулы для вычисления ДПФ требуют большого количества умножений: , где - число точек в ДПФ. Существуют приемы, позволяющие уменьшить это количество. Они называются быстрыми схемами (БПФ). Простейшая относится к случаю .
Любое число в интервале однозначно представляется двоичным вектором длины . Если последовательность задана, то положим
. В дальнейшем, что упростить изложение, введем обозначение , откуда . Имеем
. Основное замечание заключается в следующем: суммирование по индексу равносильно суммированию по всем двоичным индексам .
, каждый из которых принимает два значения.
Для числа существует аналогичное двоичное представление:. Рассмотрим самую внутреннюю сумму. . Нетрудно видеть, что это некоторая функция . Следующая сумма принимает вид . Этот процесс продолжается. Окончательно имеем . Количество сумм равняется , в каждой из которых лишь одно умножение. Для вычисления всех коэффициентов нужно умножений. Другое преимущество этой схемы - экономный расход оперативной памяти.
Рассмотрим другой крайний случай, когда и . В этом случае существуют целые , для которых . Отсюда следует, что
(1)
При этом можно считать выполненными неравенства
.(2)
Если такое неравенство для , например, не имеет места, можно разделить на . Для
любого целого из (1) вытекает
. При ограничениях типа (2) находятся однозначно. Имеем
. Числа - взаимно простые. Следовательно имеем для любого целого
. Теперь . Раскрывая скобки и отбрасывая члены кратные , получим показатель вида .
Из равенства следует, что , поэтому весь показатель сравним с . Это означает, что . Вводя обозначения , окончательно получим =
. Это означает, что преобразование Фурье для точек свелось к последовательному выполнению преобразования Фурье по точкам, а затем - по точкам результатов предыдущего преобразования. При этом потребуется не более, чем умножений. По сравнению с выигрыш небольшой. Если же для какого-либо из промежуточных случаев есть своя быстрая схема, выигрыш может получиться значительным.