Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
PAGE 11
EMBED Photoshop.Image.4 \s
ЛЕКЦИЯ №10.
Средняя длина свободного пробега молекул. Вакуум.
Рассматривая состояние реального газа, пришлось прийти к убеждению, что молекулы имеют конечные размеры, и, следовательно, при движении будут сталкиваться друг с другом. Молекулы газа, находясь в тепловом движении, непрерывно сталкиваются друг с другом. Из-за хаотичности движения будут наблюдаться различные длины свободного пробега молекул газа, но, оказывается, существует некоторая средняя длина свободного пробега, характерная для данного состояния газа.
Минимальное расстояние, на которое сближаются при столкновении центры двух молекул, называется эффективным диаметром молекулы dэф (рис.10.1).
Рис.10.1. К определению диаметра молекул.
d
dэф
Как можно догадаться из вида зависимости скорости молекул от температуры и из сравнения кинетической энергии молекул с потенциальной при отталкивании их электронных оболочек, эффективный диаметр несколько уменьшается с увеличением скорости молекул, т. е. с повышением температуры. Величина = dэф2 называется эффективным сечением молекулы.
За время между двумя последовательными соударениями молекула газа проходит некоторый путь, который называется длиной свободного пробега. Длина свободного пробега - случайная величина. Иной раз молекуле удается пролететь между соударениями довольно большой путь, в другой раз этот путь может оказаться весьма малым.
За секунду молекула проходит в среднем путь, равный средней скорости <V>. Если за секунду она претерпевает в среднем <Z> столкновений, то средняя длина свободного пробега, очевидно, будет равна
(10.1)
Для того чтобы подсчитать среднее число столкновений <Z>, предположим вначале, что все молекулы, кроме данной «белой», застыли неподвижно на своих местах. Проследим за движением выделенной нами молекулы. Ударившись об одну из неподвижных молекул, она будет лететь прямолинейно до тех пор, пока не столкнется с какой-либо другой неподвижной молекулой (рис.10.2).
Рис.10.2. Движение молекулы.
Это соударение произойдет в том случае, если центр неподвижной молекулы окажется от прямой, вдоль которой летит молекула, на расстоянии, меньшем эффективного диаметра молекулы dэф. В результате столкновения молекула изменит направление своего движения, после чего некоторое время опять будет двигаться прямолинейно, пока на ее пути снова не встретится молекула, центр которой будет находиться в пределах показанного на рис.10.2 цилиндра радиуса d.
За секунду молекула пройдет путь, равный <V> - средней арифметической скорости молекул. Очевидно, что число происходящих за это время соударений с неподвижными молекулами равно количеству молекул, центры которых попадают внутрь коленчатого цилиндра длины <V> и радиуса dэф, объем которого равен dэф2<V>. Умножив этот объем на число молекул в единице объема п, получим среднее число столкновений за секунду движущейся молекулы с неподвижными
<Z`>=dэф2<V>n.
В действительности все молекулы движутся, вследствие чего число соударений определяется средней скоростью движения молекул по отношению друг к другу. Как показывает соответствующий расчет, средняя скорость относительно движения молекул в раз больше скорости <V> молекул относительно стенок сосуда. Поэтому среднее число столкновений за секунду будет равно
(10.2)
Подставив это число в (10.1), получим для средней длины свободного пробега следующее выражение:
, (10.3)
а подставив “n” из уравнения p=nkT, получим
. (10.4)
Следует отметить, что во многих задачниках и учебниках используется величина эффективного поперечного сечения молекул = dэф2. Тогда выражение средней длины свободного пробега молекул приобретает вид:
Вакуум.
Как следует из анализа соотношений, полученных для средней длины свободного пробега молекул, эта величина связана с основными параметрами зависимостями
при прочих постоянных значениях параметров.
В технике особое место занимает зависимость длины свободного пробега от давления в связи с необходимостью вакуумирования многих электронных приборов, а также множества вакуумных технологий и моделирования космических условий.
Условились называть состояние «физическим вакуумом», если длина свободного пробега молекул превышает некоторый характерный размер сосуда.
Таблица значений длины свободного пробега для некоторых практически важных значений давления воздуха приведена в табл. 10.1.
|
Давление, мм рт.ст. |
Давление, Па |
<>,м |
Способ получения состояния |
|
760 |
105 |
~710-8 |
Нормальные условия атмосферы |
|
1 |
133 |
510-5 |
Откачка ручным насосом |
|
10-4 |
1,3310-2 |
510-1 |
Паромасляный форвакуумный механический насос |
|
10-6 |
1,3310-4 |
510+1 |
Диффузионный насос с азотной ловушкой |
Как видно из таблицы, уже давление 1,3310-2 Па обеспечивает состояние «физического вакуума» в сосуде размером до 0,5 м, но надежные электронно-лучевые трубки и телепередающие устройства удалось создать лишь при достижении разрежения 10-6 мм рт.ст. (1 мм рт.ст. = 133 Па).
Понятие «абсолютного вакуума» как некоего пространства, не содержащего вообще ничего, видимо, лишено физического смысла, как и понятие «абсолютной» системы отсчета. Во-первых, любое пространство пронизано силовыми полями и излучениями, во-вторых, в квантовой механике будет рассмотрена концепция «кипящего вакуума», учитывающая возможность кратковременного существования «виртуальных частиц».
Явления переноса в газах. Общие закономерности.
Беспорядочность теплового движения молекул газа, непрерывные соударения между ними приводят к постоянному перемешиванию частиц и изменению их скоростей и энергий. Если в газе существует пространственная неоднородность плотности, температуры или скорости упорядоченного перемещения отдельных слоев газа, то движение молекул выравнивает эти неоднородности. При этом в газе появляются особые процессы, объединенные общим названием явлений переноса. К этим явлениям относятся диффузия, внутреннее трение и теплопроводность. Общим для всех явлений переноса является то, что они возникают в газах в результате нарушения полной хаотичности движения молекул. Эти нарушения вызваны направленным воздействием на газ: в случае диффузии должна быть создана неоднородность плотности, в случае теплопроводности - неоднородность температуры, в случае внутреннего трения - упорядоченность движения молекул газа со скоростями, неодинаковыми в разных его слоях.
Изучение явлений переноса представляет особый интерес в связи с тем, что эти явления позволяют опытным путем определить такие важнейшие характеристики молекул, как среднюю длину свободного пробега и эффективный диаметр.
1. Явление переноса — диффузия — заключается в самопроизвольном взаимном проникновении и перемешивании частиц двух соприкасающихся газов, жидкостей и даже твердых тел. При этом различают самодиффузию – проникновение атомов и молекул одного сорта между молекулами того же сорта и гетеродиффузию – проникновение молекул или атомов одного сорта между атомами или молекулами другого сорта. В химически чистых газах диффузия возникает вследствие неодинаковой плотности в различных частях объема газа. В случае смеси газов причиной диффузии является различие в концентрациях отдельных газов в разных частях объема смеси. Если это явление не осложнено изменением температуры по объему газа, то оно заключается в переносе массы газа из мест с большей концентрацией данного газа в места с меньшей концентрацией.
Экспериментально установлено, что перенос массы вещества при явлении диффузии подчиняется закону А. Фика:
(10.5)
масса газа, которая переносится за единицу времени через взятый внутри газа элемент поверхности, площадь которого равна единице, прямо пропорциональна скорости изменения плотности газа на единицу длины х в направлении нормали n к рассматриваемой площадке.
Если элемент поверхности выбран так, что нормаль совпадает с направлением наиболее быстрого убывания плотности , то численно равно градиенту плотности. Величина D называется коэффициентом диффузии. Коэффициент диффузии есть физическая величина, численно равная массе вещества, переносимого через единицу поверхности за единицу времени при градиенте плотности, равном единице. В Международной системе единиц СИ коэффициент диффузии измеряется в м2/сек, в системе СГС — в см2/сек. Знак минус в формуле (10.5) указывает, что перенос массы происходит в направлении убывания плотности.
2. Явление внутреннего трения (вязкости) связано с возникновением сил трения между слоями газа или жидкости, перемещающимися параллельно друг другу с различными по величине скоростями. Со стороны слоя, движущегося быстрее, на более медленно движущийся слой действует ускоряющая сила. Наоборот, медленно перемещающийся слой тормозит более быстро движущиеся слои газа. Силы трения, которые при этом возникают, направлены по касательной к поверхности соприкосновения слоев.
С точки зрения кинетической теории газов, причиной внутреннего трения является наложение упорядоченного движения слоев газа с различными скоростями V1 и V2 и хаотического теплового движения молекул, интенсивность которого зависит от температуры. Благодаря тепловому движению молекулы переходят из слоя B, движущегося со скоростью V2, в слой А, движущийся со скоростью V1 (рис.10.3).
В V2
mV1
mV2
A V1
Рис.10.3. Перенос импульса как причина внутреннего трения в газах и жидкостях.
При этом молекулы из слоя B «переносят» в слой A импульсы mV2 своего упорядоченного движения. Если V1> V2, то такие молекулы при столкновениях с частицами слоя А ускоряют свое упорядоченное движение, а молекулы слоя А - замедляют. Наоборот, при переходе молекул из быстрее движущегося слоя A в слой B они переносят большие импульсы mV1 и соударения между молекулами приводят к ускорению упорядоченного движения молекул слоя В.
Явление внутреннего трения, как показал опыт, подчиняется закону И. Ньютона:
(10.6)
где dF - сила внутреннего трения, действующая на единицу dS площади поверхности слоя, - изменение скорости движения слоев на единицу длины X в направлении внутренней нормали к поверхности слоя – градиент скорости.
Знак минус в формуле (10.6) показывает, что сила dF противоположна по направлению производной по X от вектора V скорости движения газа. Величина называется коэффициентом внутреннего трения, или динамической вязкостью, и измеряется в Международной системе единиц СИ в кг/(мсек), или Н сек/м2, в системе СГС - в г/(смсек). Коэффициент внутреннего трения численно равен силе внутреннего трения, действующей на единицу площади поверхности слоя при градиенте скорости, равном единице.
3. Теплопроводность имеет место тогда, когда в газе существует разность температур, вызванная какими-либо внешними причинами. Молекулы газа в разных местах его объема имеют разные средние кинетические энергии. Поэтому при хаотическом тепловом движении молекул происходит направленный перенос э н е р г и и. Явление теплопроводности возникает, если различные слои газа имеют разную температуру, т. е. обладают различной внутренней энергией. Молекулы, попавшие из нагретых частей газа в более холодные, отдают избыток своей энергии окружающим частицам. Наоборот, медленно движущиеся молекулы, попадая из холодных частей в более горячие, увеличивают свою энергию за счет соударений с молекулами, обладающими большими скоростями.
Процесс передачи внутренней энергии в форме теплоты происходит так, что количество теплоты dQ, переносимое за единицу времени через единичную площадку, прямо пропорционально скорости изменения температуры на единицу длины X в направлении нормали n к этой площадке:
(10.7)
Формула (10.7) была установлена Ж. Фурье и называется законом теплопроводности Фурье. Здесь K - коэффициент теплопроводности, а знак минус показывает, что энергия переносится в сторону убывания температуры.
Коэффициент теплопроводности показывает, какое количество теплоты переносится через единицу площади за единицу времени при градиенте температуры, равном единице.
В Международной системе единиц СИ коэффициент теплопроводности измеряется в Дж/(мсК), а в системе СГС — в эрг/(смсград).
Вывод величин коэффициентов D, и К, связь их друг с другом и зависимость от параметров газа.
В нашу задачу не входит изложение строгих методов расчета явлений переноса в газах. Впервые такой расчет провел Д. К. Максвелл, основываясь на детальном рассмотрении динамики молекулярных столкновений. Мы рассмотрим только основные закономерности явлений переноса и их приближенное качественное обоснование.
Закономерности всех явлений переноса сходны между собой. Выражения (10.5)-(10.7) являются макроскопическими и не вскрывают молекулярно-кинетического смысла коэффициентов переноса D, , К. Задача кинетической теории состоит в уста новлении связи между этими коэффициентами и микрохарактеристиками теплового движения молекул (средней длиной свободного пробега, средней скоростью молекул, их энергией и т. п.). Мы рассмотрим подробнее эту связь на примере явления диффузии, а для двух других явлений приведем лишь результаты. При этом мы ограничимся качественной стороной дела, поскольку, как уже указывалось, строгое рассмотрение явлений переноса связано со значительными трудностями.
Предположим, что плотность химически однородного газа зависит от координат и различна в разных частях объема газа. Перемешивание молекул в результате их теплового движения приводит к переносу массы газа в направлении убывания плотности, т. е. к выравниванию плотности газа по всему объему. Для того чтобы существовал непрерывный, не зависящий от времени (стационарный) перенос массы газа, необходимо внешнее воздействие. Оно должно поддерживать распределение плотности неизменным по объему газа и нейтрализовать выравнивание плотности вследствие процесса диффузии (рис.10.4).
Рис.10.4. Исходные данные вывода величины
Коэффициента самодиффузии D.
n1 > n2, 1 > 2, T1 = T2, массы всех молекул одинаковы
1 2 Х и равны m.
n1 n2
Мы ограничимся простейшим случаем, когда плотность зависит только от одной координаты Х [ =(X)], иначе говоря, плотность газа одинакова во всех точках плоскости, перпендикулярной оси X. Ввиду хаотичности теплового движения молекул можно считать, что из общего числа no молекул, заключенных в единице объема газа, одна треть движется вдоль оси X, одна треть — вдоль оси Y и одна треть — вдоль оси Z. Движение молекул вдоль каждой оси в обоих направлениях равновероятно. Поэтому в положительном направлении оси Х движется одна шестая часть общего числа молекул. В дальнейшем будем предполагать, что все молекулы обладают одной и той же скоростью теплового движения, равной их средней скорости (T=const). Если бы плотность газа была постоянна по всему объему, то через единицу площади плоской поверхности S, перпендикулярной к оси Х (рис. 10.4), за единицу времени проходило бы слева направо и справа налево одинаковое число молекул (no - число молекул в единице объема). Однако в рассматриваемом нами случае = (x). Поскольку n1>n2, за единицу времени через поверхность S переносится слева направо и справа налево разное число молекул, т. е. в газе имеет место направленный перенос частиц, а следовательно, и их массы.
При отыскании числа “n” молекул, проходящих за единицу времени через площадку S вдоль положительного направления оси X, нужно принять значения n1, в отличие от n2 для молекул, движущихся в противоположном направлении. На пути свободного пробега не изменяются ни величина, ни направление скоростей молекул. Поэтому, в среднем, можно считать, что поверхности S беспрепятственно достигает одна шестая часть всех молекул, отстоящих от нее по обе стороны на расстоянии средней длины свободного пробега <> (рис.10.5).
Рис.10.5. К выводу величины коэффициента D.
Х
I S II
Х
За время dt через площадку S из объема I в объём II переходят
В то же время из объема II в объём I переходят
Поскольку n1>n2, n12>n21, наблюдается необратимый перенос массы – диффузия.
За время dt из объема I в объём II переместится число молекул
Эти dn молекул перенесут dМ = dnm массы вещества, здесь m – масса одной молекулы.
Тогда - плотность вещества (газа).
Для ограничения объёма, диффундирующего за одну секунду, введем ограничение Х = 2<>. Для этого домножим последнее уравнение на величину
, или
(10.8)
Сравнивая формулу (10.8) с уравнением Фика (10.5), можно видеть, что
(10.9)
Аналогичным образом можно было бы рассмотреть явления теплопроводности и вязкости. При этом получаются следующие выражения для коэффициентов внутреннего трения и теплопроводности:
(10.10)
(10.11)
где сV - удельная теплоемкость газа в изохорическом процессе.
Из формул для коэффициентов переноса вытекают некоторые важные выводы. Оказывается, что коэффициенты внутреннего трения и теплопроводности не зависят от давления газа. Этот факт, впервые обнаруженный Д. К. Максвеллом, вначале кажется парадоксальным, хотя он и согласуется с данными опытов в случае не слишком разреженных газов. Его объяснение заключается в том, что с ростом давления в переносе импульса и внутренней энергии принимает участие большее число молекул, но каждая из них проходит без столкновения меньшие расстояния, так что в целом перенос импульса и энергии не изменяется. Так, уменьшение давления воздуха в 500 раз вызывает изменение динамической вязкости только на 4%. Формально дело сводится к тому, что в формулах (10.10) и (10.11) для коэффициентов внутреннего трения и теплопроводности плотность (а, следовательно, и давление) выпадает, поскольку <> обратно пропорциональна плотности . Между коэффициентами переноса существуют простые зависимости, вытекающие из формул (10.9)-(10.11):
Эти формулы показывают, что по найденным из опыта значениям коэффициента внутреннего трения, теплопроводности или диффузии можно определить остальные коэффициенты переноса.