|
Лабораторная работа №2
Лабораторная работа N2
Тема: Вычислительные особенности MathСad. Операторы и математические функции.
Цель работы: Изучение вычислительных возможностей символьного пакета MathСad для научных и инженерных расчетов. Приобретение навыков работы с основными панелями инструментов.
Используемые программные средства: MathСad.
2.1. Теоретические сведения
В MathСad используются арифметические операторы, подобные операторам сложения и вычитания, умножения и деления, а также операторы, определенные для матриц и специальные операторы типа вычисления интегралов и производных. Операторы можно вводить, используя комбинации клавиш или палитры операторов. Пиктограммы на кнопках палитры оператора указывают, какой оператор появляется при нажатии на данную кнопку. При задержке указателя мыши над кнопкой появляется надпись, указывающая назначение этой кнопки. Чтобы вставить оператор из палитры, укажите мышью, где необходимо поместить оператор, затем нажмите на кнопку необходимого оператора на соответствующей палитре.
2.1.1 Операторы вычисления сумм и произведений.
Оператор суммирования вычисляет сумму выражений по всем значениям индекса. Оператор произведения работает аналогичным образом. Чтобы создать оператор суммирования в рабочем документе:
- щелкните в свободном месте рабочего документа.
- Затем нажмите комбинацию [Ctrl]+[Shift]+ 4 или соответствующую кнопку на палитре интегралов и производных. В нижнем поле слева от знака равенства введите имя переменной. Эта переменная - индекс суммирования. Она определена только внутри оператора суммирования, вне оператора может существовать другая переменная с тем же индексом.
- В поле справа от знака равенства, а также над знаком суммы введите целое число или любое выражение, принимающее целое значение.
- В оставшемся поле введите выражение, которое необходимо просуммировать. Это выражение будет содержать индекс суммирования. Если это выражение имеет несколько членов, используйте скобки ( ).
Для создания оператора произведения нажмите комбинацию клавиш [Ctrl]+[Shift]+3 или щелкните мышью на соответствующей кнопке палитры интегралов (матанализ). Далее применяйте правило, описанное выше. Если индекс суммирования изменяется не с шагом равным единице, то используется обобщенный оператор суммы – обобщенный оператор произведения.
- Напечатайте i : 1, 1.2 ; 10
- Щелкните на свободном месте рабочего документа. Нажмите комбинацию клавиш [Shift]+4 (или [Shift]+3).
- Щелкните на поле снизу и введите имя дискретного аргумента, который должен быть определен раньше.
- Щелкните на поле справа от знака суммирования (знака произведения) и внесите выражение, содержащее дискретный аргумент.
- Нажмите знак равенства, чтобы увидеть результат.
Пример 1. Вычисление сумм и произведений.
2.1.2. Численное дифференцирование.
Оператор производной MathСad предназначен для нахождения численного значения производной функции в заданной точке. Сначала определите точку x0, в которой необходимо найти производную.
- Щелкните ниже определения x0. Затем наберите знак ? или щелкните мышью по соответствующей кнопке палитры интегралов и производных. Появляется оператор производной с двумя полями.
- Щелкните на поле в знаменателе и наберите x0. Это имя переменной, по которой производится дифференцирование.
- Щелкните на поле справа от знака производной и наберите какое-либо выражение, которое нужно дифференцировать.
- Нажмите знак равенства, чтобы увидеть результат.
- Чтобы вычислить производную в символьном виде:
- Наберите знак ? или [Ctrl]+?,чтобы задать оператор производной более высокого порядка.
- В поле оператора введите выражение, которое необходимо продифференцировать.
- охватите все выражение маркером ввода
- Нажмите комбинацию клавиш [Shift]+F9 или используйте меню Символы(Symbolics), команда Расчеты (Evaluate).
Для дифференцирования выражении, можно также использовать команду Дифференцировать по переменной из меню Символы .
Например, чтобы продифференцировать выражение 2x2+y по переменной x, необходимо
- выделить переменную х
- выбрать команду Дифференцировать по переменной.
при этом MathСad рассматривает все переменные, за исключением выделенной, как константы.
Пример 2. Дифференцирование выражений.
2.1.3. Символьное дифференцирование.
С помощью встроенного оператора дифференцирования и оператора символьного равенства вычислим частные производные функции двух переменных первого и второго порядка.
Чтобы аналитически продифференцировать выражение по некоторой переменной, выделите в нем эту переменную и выберите команду Symbolics / Variable /Differentiate (Символика/Переменная/Дифференцировать) (рис. 5.13).
Дифференцирование по переменной.
В результате в следующей строке за выражением появится значение ее производной. Для того чтобы найти вторую производную, повторно примените эту последовательность действий, но уже к полученному результату дифференцирования. Так же находятся и производные высших порядков.
Пакет MathСad позволяет также вычислять частные производные функций нескольких переменных.
Пример 4. Вычисление частных производных функции двух переменных.
2.1.3. Оператор численного интегрирования.
Определенные интегралы.
- Щелкните в свободном месте рабочего документа и нажмите комбинацию клавиш [shift]+7(или щелкните на соответствующей кнопке палитры).
- Появится знак интеграла с пустыми полями для подинтегрального выражения, пределов интегрирования и переменной интегрирования.
- Заполните пустые поля. Пределы интегрирования должны быть вещественными.
- Кроме переменной интегрирования все переменные в подинтегральном выражении должны быть определены ранее в другом месте рабочего документа.
- Переменная интегрирования должна быть простой переменной без индекса.
- Если переменная интегрирования является размерной величиной, верхний и нижний пределы интегрирования должны иметь ту же самую размерность.
Если подинтегральное выражение имеет особенности, разрывы, численное решение, найденное MathСad, может быть неточно.
Переменные пределы интегрирования. Можно использовать интеграл совместно с дискретным аргументом, чтобы получить результаты для многих значений параметра.
Чтобы вычислить двойной интеграл:
- щелкните дважды мышью по символу интеграла на соответствующей палитре символов
- введите подинтегральное выражение, пределы и переменные интегрирования для каждого интеграла
- нажмите символ =
Пример 5. Отыскание центра масс треугольника, задаваемого неравенствами 0<x<1 и 0<y<x , плотность которого пропорциональна расстоянию от начала координат
2.1.4.Неопределенный интеграл
Для вычисления неопределенного интеграла можно использовать палитру инструментов матанализ, а можно интегрировать выражение, не используя оператор вычисления неопределенного интеграла. нажмите комбинацию клавиш [ctrl]+I (или щелкните мышью на соответствующей кнопке палитры интегралов и производных), чтобы вставить оператор неопределенного интеграла и поля ввода его параметров
- заполните поле ввода для подинтегрального выражения
- поместите переменную интегрирования в поле ввода, следующее за " d ", это может быть имя любой переменной
- охватите маркером ввода весь интеграл и нажмите комбинацию клавиш [shift]+F9
Команда символьного меню Интегрировать по переменной интегрирует выражение по выделенной переменной. Если не выделить переменную, команда меню будет записана серым. MathСad не может интегрировать, не зная переменной интегрирования. Если символьный процессор не может найти неопределенный интеграл, он возвращает интеграл неизмененным. Следует помнить, что результат интегрирования неоднозначен. Если f(x) - интеграл данной функции, то для любой константы С интегралом будет также f(x) + C. Ответ, получаемый MathСad, может отличаться на константу от ответа, который можно найти в таблицах. Если продифференцировать функцию и затем проинтегрировать полученный результат, не обязательно получится в качестве ответа исходная функция.
Пример интегрирования выражений.
Символьный знак равенства позволяет MathСad выйти за рамки численного вычисления выражений.
- Удостоверьтесь, что команда "автоматический режим" из меню "математика"(math) помечена, в противном случае сделайте это из меню.
- Введите выражение, которое надо упростить
- Нажмите [ctrl]-. ,MathСad отобразит символ стрелки. Щелкните мышью вне выражения. MathСad отобразит упрощенную версию первоначального выражения. Если выражение не может быть упрощено, MathСad просто повторяет его справа от стрелки.
Заметим, что символьный знак равенства является оператором, подобным любому оператору MathСad. Применяется только ко всему выражению. Пример использования си
символьного знака равенства.
2.1.5. Встроенные функции.
Это основной набор функций, которые поставляются в MathСad. Чтобы просмотреть список всех встроенных функций, выберите команду "Function" из меню "Insert" или щелкните на f(x) на панели инструментов или нажмите комбинацию клавиш [ctrl]+F. Имена встроенных функций чувствительны к регистру. Они должны быть напечатаны с использованием прописных или строчных букв.
Чтобы задать встроенную функцию в рабочем документе, нужно:
- щелкнуть мышью в свободном месте рабочего документа
- дважды щелкнуть по имени функции, которую необходимо вставить (или пометить ее и щелкнуть по кнопке " OK " или набрать с клавиатуры).
Левый список диалогового окна показывает все встроенные функции наряду с их аргументами. Внизу описание выбранной функции.
2.2. Порядок выполнения работы
- Студенту рекомендуется изучить внимательно теоретический материал, проделать все примеры, в нем встречающиеся. Только после этого приступать к выполнению своего варианта задания.
Контрольные вопросы.
- Какие операторы используются в Mathcad? Как их можно вводить?
- Операторы вычисления сумм и произведений: способы задания, примеры.
- Оператор производной: способ задания, дифференцирование в точке, символьное дифференцирование, примеры.
- Определенный интеграл: способ задания, переменные пределы интегрирования. Двойной и тройной интегралы.
- Неопределенный интеграл: способ задания, примеры.
- Символьный знак равенства, способы его задания, примеры.
- Встроенные функции.
Вариант 1
- Вычислить .
- Вычислить пределы . а) б).
- Продифференцировать функцию символьно и в точке .
- Вычислить частные производные первого и второго порядка для функции .
- Вычислить интегралы: а) , б).
- Вычислить двойной и тройной интегралы
а) , б) .
Вариант 2
- Вычислить .
- Вычислить пределы а) б).
- Продифференцировать функцию символьно и в точке .
- Вычислить частные производные первого и второго порядка для функции .
- Вычислить интегралы: а), б) .
- Вычислить двойной и тройной интегралы
а) , б) .
Вариант 3
- Вычислить .
- Вычислить пределы а) , б) .
- Продифференцировать функцию символьно и в точке .
- Вычислить частные производные первого и второго порядка для функции .
- Вычислить интегралы: а), б) .
- Вычислить двойной и тройной интегралы
а) , б) .
Вариант 4
- Вычислить .
- Вычислить пределы а), б) .
- Продифференцировать функцию символьно и в точке .
- Вычислить частные производные первого и второго порядка для функции .
- Вычислить интегралы: а) , б) .
- Вычислить двойной и тройной интегралы
а) , б) .
Вариант 5
- Вычислить .
- Вычислить пределы ), б) .
- Продифференцировать функцию символьно и в точке .
- Вычислить частные производные первого и второго порядка для функции .
- Вычислить интегралы: а) , б) .
- Вычислить двойной и тройной интегралы
а) , б) .
Вариант 6
- Вычислить .
- Вычислить пределы а) , б).
- Продифференцировать функцию символьно и в точке .
- Вычислить частные производные первого и второго порядка для функции .
- Вычислить интегралы: а) , б) .
- Вычислить двойной и тройной интегралы
а) , б) .
Вариант 7
- Вычислить .
- Вычислить пределы а) б) .
- Продифференцировать функцию символьно и в точке .
- Вычислить частные производные первого и второго порядка для функции .
- Вычислить интегралы: а) , б) .
- Вычислить двойной и тройной интегралы
а) , б) .
Вариант 8
- Вычислить .
- Вычислить пределы а) ,б) .
- Продифференцировать функцию символьно и в точке .
- Вычислить частные производные первого и второго порядка для функции .
- Вычислить интегралы: а) , б) .
- Вычислить двойной и тройной интегралы
а), б) .
Вариант 9.
- Вычислить .
- Вычислить пределы а) ), б) .
- Продифференцировать функцию символьно и в точке .
- Вычислить частные производные первого и второго порядка для функции .
- Вычислить интегралы: а) , б) .
- Вычислить двойной и тройной интегралы
а) , б) .
Вариант 10
- Вычислить .
- Вычислить пределы а) ,б) .
- Продифференцировать функцию символьно и в точке .
- Вычислить частные производные первого и второго порядка для функции .
- Вычислить интегралы: а) , б) .
- Вычислить двойной и тройной интегралы
а), б) .
|
