Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
ВСЕРОССИЙСКИЙ ЗАОЧНЫЙ ФИНАНСОВО-ЭКОНОМИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ
Контрольная работа
По курсу:
«Эконометрика»
Вариант №_8__
Уфа 2008 г
Задача 1
По предприятиям легкой промышленности региона получена информация, характеризующая зависимость объема выпуска продукции (Y, млн.руб.) от объема капиталовложений (Х, млн.руб.)
|
Y |
17 |
22 |
10 |
7 |
12 |
21 |
14 |
7 |
20 |
3 |
|
Х |
26 |
27 |
22 |
19 |
21 |
26 |
20 |
15 |
30 |
13 |
Требуется:
Привести графики построенных уравнений регрессии.
9. Для указанных моделей найти коэффициенты детерминации, коэффициенты эластичности и средние относительные ошибки аппроксимации. Сравнить модели по этим характеристикам. Сделать вывод.
Решение
1. Параметры уравнения линейной регрессии.
Уравнение линейной регрессии имеет вид: =a+b x.
Значения параметров a и b линейной модели определим, используя данные таблицы 1.
= =
= = 21,9-0,76*13,3=11,78. =11,78+0,76* x.
Таким образом, с увеличением объема капиталовложений на 1 млн.руб. объем выпуска продукции увеличится на 0,76 млн.руб.
2. Вычисление остатков, остаточной суммы квадратов, оценка дисперсии остатков, построение графика остатков.
Расчеты представим в таблице 1
Остаточная дисперсия, показатель адекватности модели, для однофакторного уравнения рассчитывается по формуле: .
Используем данные табл. 1 получим: 37,9/8=4,75.
Чем меньше значение остаточной дисперсии, тем лучше регрессионное уравнение.
График остатков построим с помощью инструмента Excel Регрессия.
Рис.1 График остатков
3. Проверка выполнения предпосылок МНК.
Основными предположениями классической модели линейной регрессии являются следующие:
Нарушение тех или иных предпосылок проверяется на основе выдвижения соответствующих гипотез относительно ε. Оценочными значениями εi являются величины yi-i=i. Все критерии относительно ε основываются на этих оценочных значениях.
Для проверки второго условия МНК, то есть условия постоянства дисперсии случайно компоненты ε используем F-статистику, основанную на том, что величина F
( 12+22+ … .+n/22)
F= ______________________
( n/2+12+n/2+22+…+n2)
подчиняется F-распределению со степенями свободы n/2-1 и n/2-1. Если проверяется гипотеза о росте дисперсии Fрасч. должно быть меньше Fтабл., если проверяется гипотеза об уменьшении дисперсии, Fрасч. должно быть больше Fтабл.. Выполнение второго условия называется гомоскедастичностью, а нарушение его – гетероскедастичностью.
F = .
Табличное значение F- распределения при заданной вероятности 0,95 и степенях свободы (n/2-1) равно F(0,05; 4;4) =6,39. Fрасч.< Fтабл. Второе условие МНК (гомоскедастичность) с вероятностью 95% нарушено, принимается гипотеза о росте дисперсии .
Наиболее часто нарушаемым является третье условие. Показатель ковариации (cov) устанавливает наличие зависимости между случайными переменными. Поэтому нарушение третьего условия МНК свидетельствует о зависимости случайных компонент для наблюдений с различными номерами (i и j). Выполнение этого условия, как правило, проверяется на основе критерия Дарбина-Уотсона:
D-W= (i-i-1)2 / i2 где
i2 — остатки, получаемые при оценивании линейной модели наблюдений,
и подчиняется распределению Дарбина-Уотсона, для которого имеются таблицы квантилей. Сравнивая значения D-Wрасч. и D-Wтабл. можно проверить гипотезу о нарушении условия 3). Нарушение условия 3) называется автокорреляцией. При проверке наличия автокорреляции используются табличные данные. При количестве наблюдений более 10 d1=0,95; d2=1,23.
Случаи, когда d1≤D-W≤d2 и 4-d2≤D-W≤4-d1, являются неопределенными, когда гипотеза не принимается и не отвергается. В этих случаях обращаются к другим критериям.
Расчет статистики Дарбина-Уотсона проведем, используя данные табл.1.2.
D-W = 75,3/37,96=1,98.
Критические значения по таблице распределения статистики Дарбина-Уотсона при n=10 составили d 1 = 0,95 и d2=1,23.
Расчетный показатель попал в область d2≤ D-W≤4-d2, гипотеза об отсутствии автокорреляции принимается.
4. Проверка значимости параметров уравнения регрессии с помощью t-критерия Стьюдента (α=0,05).
Проверка значимости отдельных коэффициентов регрессии связана с определением расчетных значений критерия Стьюдента для соответствующих коэффициентов регрессии : tрасч = b/ mb и tрасч = а/ mа.
m b – стандартная ошибка коэффициента b
ma – стандартная ошибка коэффициента а
m b = = ma=
S2 – остаточная дисперсия на одну степень свободы.
Затем расчетные значения сравниваются с табличными. Критические значения t-статистики определяется при (n-2) степенях свободы и соответствующем уровне значимости.
Если tрасч не входит в заданный интервал, то выдвинутая гипотеза о том, что х не влияет на у, не принимается, т.е. если | tрасч| > t табл коэффициент регрессии считается значимым.
m b == = 0,11.
tb = 0,76/0,11=6,92. Расчетный показатель больше t табл.=2,306 с заданной вероятностью 95% и не входит в заданный интервал (рис.1.6.).
m а = ==1,62
tа = 12,71/1,62=7,29 . Расчетный показатель больше t табл. с заданной вероятностью 95% и степенями свободы (n-2) = 2,3.
Гипотеза о том, что х влияет на у не существенно отклоняется, коэффициенты уравнения регрессии значимые.
5. Вычисление коэффициента детерминации, проверка значимости уравнения регрессии с помощью F-критерия Фишера (α=0,05), относительная ошибка аппроксимации. Вывод о качестве модели.
Величина RXY2 называется коэффициентом детерминации и показывает долю изменения (вариации) результативного признака под действием факторного признака. Чем ближе его значение к единице, тем теснее наблюдения примыкают к линии регрессии, тем лучше регрессия описывает значимость переменных.
=
Вариация результата Y (объем выпуска продукции) на 85,7% объясняется вариацией фактора Х (объем капиталовложений).
F-критерий Фишера .
Если расчетное значение этого критерия со степенями свободы (m) и (n-m-1), где n- количество наблюдений, m – число включенных в модель факторов, больше табличного значения критерия Фишера при заданном уровне значимости (достаточно большой вероятности), то модель признается значимой.
Fрасч
Fрасч больше табличного значения F0,05;1;8 = 5,32, т.е. не входит в правдоподобную область с плотностью распределения р=0,95 (рис.1.5) – гипотеза о несущественности уравнения отклоняется. Модель значима с вероятностью 95%.
6. Прогнозирование среднего значения показателя Y при уровне значимости α=0,01 при Х=80% от его максимального значения.
Для прогнозирования результативного показателя подставим в уравнение
=11,78+0,76* x значение факторного показателя, равного 80% от его максимального значения
= 0,8*22=17,6.
Тогда точечный прогноз составит: = 11,78+0,76*17,6=25,20.
7. График фактических и модельных значений Y, точки прогноза.
График прогноза представим на рисунке 2.
Рис. 2. График по модели
8. Уравнения нелинейной регрессии:
8.1 Гиперболическая модель
Уравнение гиперболической функции: = a + b/x.
Произведем линеаризацию модели путем замены X = 1/x. В результате получим линейное уравнение = a + bX.
Рассчитаем параметры уравнения по данным таблицы 2.
b = =
а = =21,9+50,97*0,11=27,38.
Получим следующее уравнение гиперболической модели:
=27,38-50,97/х.
8.2 Степенная модель
Уравнение степенной модели имеет вид: =аxb
Для построения этой модели необходимо произвести линеаризацию переменных. Для этого произведем логарифмирование обеих частей уравнения : lg = lg a + b lg x.
Обозначим через Y=lg , X=lg x, A=lg a.
Тогда уравнение примет вид: Y = A + bX – линейное уравнение регрессии. Рассчитаем его параметры, используя данные таблицы 3.
b = =
A = = 1,33-0,39*1,06=0,91
Уравнение регрессии будет иметь вид: Y = 0,91+0,39* Х.
Перейдем к исходным переменным x и y, выполнив потенцирование данного уравнения.
= 100,91* х0,39.
Получим уравнение степенной модели регрессии:
= 8,13* х0,39.
8.3 Показательная модель
Уравнение показательной кривой: =abx.
Для построения этой модели необходимо произвести линеаризацию переменных. Для этого осуществим логарифмирование обеих частей уравнения: lg = lg a + x lg b. Обозначим: Y = lg , B = lg b, A = lg a.
Получим линейное уравнение регрессии: Y = A + B x.
Рассчитаем его параметры, используя данные таблицы 4.
В = =
А = = 1,33-0,02*13,3=1,11
Уравнение будет иметь вид: Y = 1,11+0,02х.
Перейдем к исходным переменным x и y, выполнив потенцирование данного уравнения:
=101,11* ( 100,02)х = 12,99*1,04х.
Графики построенных моделей:
Рис.3. Гиперболическая
Рис.4. Степенная
Рис.5. Показательная
9. Сравнение моделей по характеристикам: коэффициенты детерминации, коэффициенты эластичности и средние относительные ошибки аппроксимации. Вывод.
9.1 Гиперболическая модель
Коэффициент детерминации: =
Вариация результата Y на 67,2% объясняется вариацией фактора Х.
Коэффициент эластичности:
= = 0,135.
Это означает, что при увеличении фактора Х на 1 % результирующий показатель увеличится на 0,135 %.
Бета-коэффициент :
Sx==0,08 Sy==5,15 27,38*0,08/5,15=0,44.
Т.е. увеличение объема капиталовложений на величину среднеквадратического отклонения этого показателя приведет к увеличению среднего значения объема выпуска продукции на 0,07 среднеквадратического отклонения этого показателя.
Средняя относительная ошибка аппроксимации:
отн = 124,7/ 10= 12,47 %.
В среднем расчетные значения для гиперболической модели отличаются от фактических значений на 12,47%.
9.2 Степенная модель
Коэффициент детерминации: =
Вариация результата Y на 87,5% объясняется вариацией фактора Х. Коэффициент эластичности:
= = 0, 73.
Это означает, что при увеличении факторного признака на 1 % результирующий увеличится на 0,73%.
Бета-коэффициент:
, Sy= и Sx=.
Sx==0,26 Sy==0,11 0,91*0,26/0,11=2,16.
Т.е. увеличение объема капиталовложений на величину среднеквадратического отклонения этого показателя приведет к увеличению среднего значения объема выпуска продукции на 2,16 среднеквадратического отклонения этого показателя.
отн= = 76,44/10 = 7,64%.
В среднем расчетные значения для степенной модели отличаются от фактических значений на 7,64%.
9.3 Показательная модель
Коэффициент детерминации: =
Вариация результата Y на 84,2% объясняется вариацией фактора Х. Коэффициент эластичности:
= 11,16.
Это означает, что при росте фактора Х на 1 % результирующий показатель Y изменится на 11,16 %.
Бета-коэффициент :
Sx==6,26 Sy==0,11 1,11*6,26/0,11=63,56.
Т.е. увеличение объема капиталовложений на величину среднеквадратического отклонения этого показателя приведет к увеличению среднего значения объема выпуска продукции на 63,56 среднеквадратического отклонения этого показателя.
отн= 95,2/ 10 = 9,52%.
В среднем расчетные значения для показательной модели отличаются от фактических значений на 9,52%.
Вывод.
Лучшей из уравнений нелинейной регрессии является степенная:
выше коэффициент детерминации, наименьшая относительная ошибка. При использовании степенной модели можно получит более точный прогноз.
Таблица 1
|
n |
(-)2 |
(-)2 |
()* *() |
=- |
(i-i-1)2 |
ЕОТН |/|* |
(-)2 |
|||||
|
1 |
26.0 |
17 |
442.00 |
289.00 |
13.69 |
16.81 |
15.17 |
24.71 |
1.29 |
|
4.94 |
1.65 |
|
2 |
27.0 |
22 |
594.00 |
484.00 |
75.69 |
26.01 |
44.37 |
28.52 |
-1.52 |
7.86 |
5.62 |
2.31 |
|
3 |
22.0 |
10 |
220.00 |
100.00 |
10.89 |
0.01 |
-0.33 |
19.39 |
2.61 |
17.05 |
11.87 |
6.82 |
|
4 |
19.0 |
7 |
133.00 |
49.00 |
39.69 |
8.41 |
18.27 |
17.11 |
1.89 |
0.52 |
9.96 |
3.58 |
|
5 |
21.0 |
12 |
252.00 |
144.00 |
1.69 |
0.81 |
1.17 |
20.91 |
0.09 |
3.25 |
0.42 |
0.01 |
|
6 |
26.0 |
21 |
546.00 |
441.00 |
59.29 |
16.81 |
31.57 |
27.76 |
-1.76 |
3.41 |
6.76 |
3.09 |
|
7 |
20.0 |
14 |
280.00 |
196.00 |
0.49 |
3.61 |
-1.33 |
22.43 |
-2.43 |
0.46 |
12.16 |
5.92 |
|
8 |
15.0 |
7 |
105.00 |
49.00 |
39.69 |
47.61 |
43.47 |
17.11 |
-2.11 |
0.11 |
14.05 |
4.44 |
|
9 |
30.0 |
20 |
600.00 |
400.00 |
44.89 |
65.61 |
54.27 |
27.00 |
3.00 |
26.11 |
10.01 |
9.02 |
|
10 |
13.0 |
3 |
39.00 |
9.00 |
106.09 |
79.21 |
91.67 |
14.06 |
-1.06 |
16.54 |
8.18 |
1.13 |
|
Итого |
219.0 |
133 |
3211.00 |
2161.00 |
392.10 |
264.90 |
298.30 |
|
|
75.30 |
83.99 |
37.96 |
|
средн. |
21.9 |
13.30 |
321.10 |
216.10 |
|
|
|
|
|
|
8.40 |
|
Таблица 2
|
t |
2 |
(-) |
(-)2 |
() |
() *() |
()2 |
(-)2 |
ЕОТН |
(i-i-1)2 |
|||||
|
1 |
26,0 |
17 |
0,06 |
1,53 |
0,0035 |
4,10 |
16,81 |
-0,049 |
-0,20 |
0,0023 |
24,38 |
2,61 |
6,21 |
|
|
2 |
27,0 |
22 |
0,05 |
1,23 |
0,0021 |
5,10 |
26,01 |
-0,062 |
-0,32 |
0,0038 |
25,07 |
3,74 |
7,16 |
0,1 |
|
3 |
22,0 |
10 |
0,10 |
2,20 |
0,0100 |
0,10 |
0,01 |
-0,008 |
0,00 |
0,0000 |
22,29 |
0,08 |
1,30 |
4,93 |
|
4 |
19,0 |
7 |
0,14 |
2,71 |
0,0204 |
-2,90 |
8,41 |
0,035 |
-0,10 |
0,0012 |
20,10 |
1,21 |
5,80 |
0,7 |
|
5 |
21,0 |
12 |
0,08 |
1,75 |
0,0069 |
-0,90 |
0,81 |
-0,024 |
0,02 |
0,0005 |
23,14 |
4,56 |
10,17 |
1,07 |
|
6 |
26,0 |
21 |
0,05 |
1,24 |
0,0023 |
4,10 |
16,81 |
-0,060 |
-0,25 |
0,0035 |
24,96 |
1,09 |
4,02 |
10,11 |
|
7 |
20,0 |
14 |
0,07 |
1,43 |
0,0051 |
-1,90 |
3,61 |
-0,036 |
0,07 |
0,0013 |
23,74 |
14,00 |
18,71 |
22,91 |
|
8 |
15,0 |
7 |
0,14 |
2,14 |
0,0204 |
-6,90 |
47,61 |
0,035 |
-0,24 |
0,0012 |
20,10 |
26,02 |
34,01 |
1,85 |
|
9 |
30,0 |
20 |
0,05 |
1,50 |
0,0025 |
8,10 |
65,61 |
-0,058 |
-0,47 |
0,0033 |
24,83 |
26,68 |
17,22 |
105,41 |
|
10 |
13,0 |
3,0 |
0,33 |
4,33 |
0,1111 |
-8,90 |
79,21 |
0,226 |
-2,01 |
0,0509 |
10,39 |
6,80 |
20,05 |
6,55 |
|
Итого |
219,0 |
133 |
1,08 |
20,06 |
0,1843 |
|
264,90 |
|
-3,49 |
0,0685 |
219,00 |
86,80 |
124,7 |
153,59 |
|
Средн |
21,90 |
13,30 |
0,11 |
2,01 |
0,0184 |
|
|
|
|
|
|
|
12,47 |
|
Таблица 3.
|
2 |
()2 |
()2 |
()* () |
()2 |
(i-i-1)2 |
ЕОТН |
2 |
|||||||||
|
1 |
26 |
1,41 |
17 |
1,23 |
1,74 |
1,51 |
0,0077 |
0,02944 |
0,015 |
1,39 |
0,00040 |
1,18 |
|
4,53 |
1,4 |
26 |
|
2 |
27 |
1,43 |
22 |
1,34 |
1,92 |
1,80 |
0,0108 |
0,08040 |
0,0295 |
1,44 |
0,0001 |
-0,48 |
2,73 |
1,76 |
0,23 |
27 |
|
3 |
22 |
1,34 |
10 |
1,00 |
1,34 |
1,00 |
0,0002 |
0,00347 |
-0,0009 |
1,30 |
0,00147 |
1,86 |
5,45 |
8,45 |
3,45 |
22 |
|
4 |
19 |
1,28 |
7 |
0,85 |
1,08 |
0,71 |
0,0024 |
0,04570 |
0,0104 |
1,24 |
0,0013 |
1,50 |
0,13 |
7,88 |
2,2 |
19 |
|
5 |
21,0 |
1,32 |
12 |
1,08 |
1,43 |
1,16 |
0,0000 |
0,00041 |
0,000 |
1,34 |
0,00017 |
-0,64 |
4,57 |
3,05 |
0,41 |
21,0 |
|
6 |
26,0 |
1,41 |
21 |
1,32 |
1,87 |
1,75 |
0,0077 |
0,06935 |
0,0231 |
1,43 |
0,0003 |
-0,98 |
0,11 |
3,76 |
0,95 |
26,0 |
|
7 |
20,0 |
1,30 |
14 |
1,15 |
1,49 |
1,31 |
0,0007 |
0,00761 |
-0,002 |
1,36 |
0,0037 |
-3,00 |
4,08 |
14,98 |
9,0 |
20,0 |
|
8 |
15 |
1,18 |
7 |
0,85 |
0,99 |
0,71 |
0,0229 |
0,04570 |
0,032 |
1,24 |
0,0045 |
-2,50 |
0,24 |
16,68 |
6,26 |
15 |
|
9 |
30 |
1,48 |
20 |
1,30 |
1,92 |
1,69 |
0,0224 |
0,05864 |
0,036 |
1,42 |
0,002967 |
3,54 |
36,47 |
11,79 |
12,51 |
30 |
|
10 |
13 |
1,11 |
3,0 |
0,48 |
0,53 |
0,23 |
0,0455 |
0,33844 |
0,124 |
1,10 |
0,00025 |
0,46 |
9,4 |
3,56 |
0 |
13 |
|
∑ |
219 |
13,27 |
133 |
10,59 |
14,3 |
11,9 |
0,120 |
0,679 |
0,267 |
0,00 |
0,0150 |
|
63,2 |
76,44 |
36,6 |
219 |
|
Ср |
21,9 |
1,33 |
13,3 |
1,06 |
1,43 |
1,19 |
|
|
|
|
|
|
|
7,64 |
|
21,9 |
Таблица 4.
|
2 |
(-) |
(-)2 |
(-) *(-) |
(y-)2 |
()2 |
ЕОТН |
(i-i-1)2 |
|||||||
|
1 |
26,0 |
1,41 |
17,0 |
24,05 |
289,00 |
0,088 |
0,008 |
0,32 |
24,36 |
2,67 |
1,387 |
0,001 |
6,29 |
|
|
2 |
27,0 |
1,43 |
22,0 |
31,49 |
484,00 |
0,104 |
0,011 |
0,91 |
29,32 |
5,38 |
1,467 |
0,001 |
-8,59 |
15,6298 |
|
3 |
22,0 |
1,34 |
10,0 |
13,42 |
100,00 |
0,015 |
0,000 |
-0,05 |
18,80 |
10,22 |
1,274 |
0,005 |
14,53 |
30,41 |
|
4 |
19,0 |
1,28 |
7,0 |
8,95 |
49,00 |
-0,049 |
0,002 |
0,31 |
16,83 |
4,72 |
1,226 |
0,003 |
11,43 |
1,05 |
|
5 |
21,0 |
1,32 |
12,0 |
15,87 |
144,00 |
-0,005 |
0,000 |
0,01 |
20,25 |
0,56 |
1,306 |
0,000 |
3,58 |
2,02 |
|
6 |
26,0 |
1,41 |
21,0 |
29,71 |
441,00 |
0,088 |
0,008 |
0,68 |
28,25 |
5,08 |
1,451 |
0,001 |
-8,67 |
9,03 |
|
7 |
20,0 |
1,30 |
14,0 |
18,21 |
196,00 |
-0,026 |
0,001 |
-0,02 |
21,8 |
3,26 |
1,339 |
0,001 |
-9,02 |
0,20 |
|
8 |
15,0 |
1,18 |
7,0 |
8,2 |
49,00 |
-0,151 |
0,023 |
0,95 |
16,8 |
3,34 |
1,226 |
0,002 |
-12,18 |
0,00 |
|
9 |
30,0 |
1,48 |
20,0 |
29,54 |
400,00 |
0,150 |
0,022 |
1,00 |
27,23 |
7,69 |
1,435 |
0,002 |
9,25 |
21,17 |
|
10 |
13,0 |
1,11 |
3,0 |
3,34 |
9,00 |
-0,213 |
0,046 |
2,20 |
14,51 |
2,29 |
1,162 |
0,002 |
-11,63 |
18,36 |
|
Итого |
219,0 |
13,27 |
133,0 |
182,8 |
2161,00 |
|
0,120 |
6,30 |
|
45,20 |
|
0,019 |
95,16 |
97,87 |
|
Средн |
21,9 |
1,33 |
13,30 |
18,28 |
216,10 |
|
|
0,63 |
|
|
|
|
|
|
СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
1. Экономико-математические методы и прикладные модели: Учебное пособие для вузов/ В.В.Федосеев, А.Н. Гармаш, Д.М. Дайитбегов и др., Под ред. В.В.Федосеева. – М.: ЮНИТИ, 1999. – 391 с.
2. Елисеева И.И., Юзбашев М.М. Общая теория статистики. – М.: Финансы и статистика, 1998.
16
EMBED MSPhotoEd.3