И Функции одной переменной Производная функции в точке1
Работа добавлена на сайт samzan.net: 2015-07-05
Поможем написать учебную работу
Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
от 25%
Подписываем
договор
ИСИ – лето 2013
Предварительный список вопросов к экзамену
Лектор Косарева Л.И.
Функции одной переменной
- Производная функции в точке. Односторонние производные. Геометрический смысл производной. Касательная к графику функции.
- Понятие дифференцируемости функции в точке. Необходимое и достаточное условие дифференцируемости функции. Непрерывность дифференцируемой функции.
- Понятие дифференциала функции. Дифференциал аргумента. Формула для вычисления дифференциала функции. Геометрический смысл дифференциала.
- Правила дифференцирования (дифференцирование суммы, разности, произведения и частного функций). Дифференцирование сложной функции и обратной функции. Дифференцирование функции, заданной параметрически.
- Таблица производных и дифференциалов простейших элементарных функций.
- Логарифмическая производная. Производная степенно-показательной функции.
- Инвариантность формы первого дифференциала.
- Производные и дифференциалы высших порядков.
- Производные n-го порядка функций: 1) y = xα, 2) y = ax, 3) y = sinx, 4) y = cosx, 5) y = ln(1 + x), 6) y = (1 + x)–1.
- Формула Лейбница для n-й производной произведения двух функций.
Теоремы о дифференцируемых функциях
- Экстремум. Теорема Ферма (необходимое условие экстремума дифференцируемой в данной точке функции).
- Теорема Ролля (о нуле производной).
- Теорема Лагранжа. Формула конечных приращений.
- Теорема Коши. Обобщённая формула конечных приращений.
- Правило Лопиталя. Раскрытие неопределённостей 0/0, ∞/∞, 0∙∞, ∞−∞, 1∞, 00, ∞0.
- Формула Тейлора. Различные формы остаточного члена (формы Лагранжа и Пеано).
- Формула Маклорена. Разложение по формуле Маклорена элементарных функций y = ex, y = sinx, y = cosx, y = ln(1 + x), y = (1 + x)α.
Исследование графика функции
- Асимптоты графика функции.
- Монотонные функции. Необходимое и достаточное условие возрастания (убывания) функции в точке.
- Необходимое условие экстремума дифференцируемой (теорема Ферма) и недифференцируемой в данной точке функции. Стационарные и критические точки. Достаточные условия экстремума.
- Классификация экстремумов.
- Выпуклость графика функции. Теорема (доказательство самостоятельно) об определении направления выпуклости на интервале по знаку второй производной.
- Точки перегиба. Необходимое условие перегиба. Достаточные условия перегиба.
- (Самостоятельно) Отыскание наибольшего и наименьшего значения функции на отрезке.
Функции многих переменных
- n-мерное координатное пространство, точки этого пространства.
- n-мерное евклидово пространство. Расстояние между точками.
- Важнейшие типы множеств n-мерного евклидова пространства.
- Последовательность точек евклидова пространства, её предел.
- Понятие функции многих переменных. Область определения.
- Предел функции в точке, на бесконечности; бесконечный предел. Повторные пределы.
- Б.м. и б.б. функции.
- Непрерывность функции в точке, на множестве. Основные свойства непрерывных функций.
- Частные производные.
- Дифференцируемость функции. Необходимое и достаточное условие дифференцируемости.
- Геометрический смысл условия дифференцируемости функции двух переменных. Касательная плоскость.
- Дифференциал функции. Дифференциалы независимых переменных. Формула для вычисления дифференциала функции.
- Дифференцирование сложной функции.
- Дифференцирование неявной функции.
- (Самостоятельно) Производная по направлению. Градиент.
- Частные производные и дифференциалы высших порядков. Теорема Шварца (о равенстве смешанных производных).
- Квадратичная форма. Знакоопределённость формы, критерий Сильвестра. Второй дифференциал как симметричная квадратичная форма дифференциалов аргументов.
- Формула Тейлора для функции многих переменных.
- Локальный экстремум. Необходимое условие экстремума. Стационарные точки. Достаточное условие экстремума.
- Условный экстремум. Функция Лагранжа.
- (Самостоятельно) Наибольшее и наименьшее значение функции в некоторой области.
Комплексные числа
- Определение, вещественная и мнимая части. Множество вещественных чисел как подмножество множества комплексных чисел. Чисто мнимые числа. Изображение комплексных чисел на плоскости. Равные комплексные числа. Комплексно сопряжённые числа.
- Поле комплексных чисел.
- Мнимая единица. Квадрат мнимой единицы. Алгебраическая форма записи комплексных чисел. Арифметические действия.
- Модуль и аргумент комплексного числа. Тригонометрическая и показательная форма записи комплексных чисел. Умножение, деление, возведение в натуральную степень, извлечение корня n-й степени. Формула Муавра. Формула Эйлера.
- (Самостоятельно) Алгебраические многочлены. Корни многочлена. Разложение многочлена на множители.
- (Самостоятельно) Разложение правильной рациональной дроби на сумму простейших дробей.
Интеграл
- Первообразная. Теорема о разности двух первообразных.
- Неопределённый интеграл. Свойства. Таблица основных неопределённых интегралов (самостоятельно).
- Основные методы интегрирования: подстановка (замена переменной) (самостоятельно), интегрирование по частям.
- Интегрирование рациональных дробей.
- Интегрирование иррациональных функций.
- Интегралы от тригонометрических функций.
- Тригонометрические подстановки.
- Определённый интеграл. Свойства.
- (Самостоятельно) Классы интегрируемых функций.
- Интеграл с переменным верхним пределом.
- Формула Ньютона-Лейбница.
- (Самостоятельно) Геометрические приложения определённого интеграла.
- Понятие двойного интеграла.
- Понятие криволинейного интеграла.
- Несобственные интегралы 1-го и (самостоятельно) 2-го рода.
Дифференциальные уравнения
- Обыкновенное дифференциальное уравнение, порядок уравнения, решение уравнения, интегральная кривая, общее, частное, особое решения.
- Уравнение первого порядка, разрешённое относительно производной. Область определения уравнения. Формы записи: нормальная, в дифференциалах, симметрическая.
- Задача Коши, начальные условия. Теорема существования и единственности решения задачи Коши.
- Виды уравнений 1-го порядка: однородное, линейное, Бернулли, в полных дифференциалах. Решение линейного уравнения методом Лагранжа. Решение линейного уравнения и уравнения Бернулли методом Бернулли.
- Линейные уравнения высших порядков с постоянными коэффициентами. Линейный дифференциальный оператор.
- Однородное линейное уравнение: характеристическое уравнение, ФСР (фундаментальная система решений), определитель Вронского, общее решение.
- Неоднородное линейное уравнение: структура решения, метод Лагранжа, метод неопределённых коэффициентов (для уравнений со специальной правой частью).
- Системы дифференциальных уравнений. Решение методом исключения.