И Функции одной переменной Производная функции в точке1
Работа добавлена на сайт samzan.net:
ИСИ лето 2013
Предварительный список вопросов к экзамену
Лектор Косарева Л.И.
Функции одной переменной
Производная функции в точке. Односторонние производные. Геометрический смысл производной. Касательная к графику функции.
Понятие дифференцируемости функции в точке. Необходимое и достаточное условие дифференцируемости функции. Непрерывность дифференцируемой функции.
Понятие дифференциала функции. Дифференциал аргумента. Формула для вычисления дифференциала функции. Геометрический смысл дифференциала.
Правила дифференцирования (дифференцирование суммы, разности, произведения и частного функций). Дифференцирование сложной функции и обратной функции. Дифференцирование функции, заданной параметрически.
Таблица производных и дифференциалов простейших элементарных функций.
Формула Тейлора. Различные формы остаточного члена (формы Лагранжа и Пеано).
Формула Маклорена. Разложение по формуле Маклорена элементарных функций y = ex, y = sinx, y = cosx, y = ln(1+x), y = (1+x)α.
Исследование графика функции
Асимптоты графика функции.
Монотонные функции. Необходимое и достаточное условие возрастания (убывания) функции в точке.
Необходимое условие экстремума дифференцируемой (теорема Ферма) и недифференцируемой в данной точке функции. Стационарные и критические точки. Достаточные условия экстремума.
Классификация экстремумов.
Выпуклость графика функции. Теорема (доказательствосамостоятельно) об определении направления выпуклости на интервале по знаку второй производной.
Точки перегиба. Необходимое условие перегиба. Достаточные условия перегиба.
(Самостоятельно) Отыскание наибольшего и наименьшего значения функции на отрезке.
Функции многих переменных
n-мерное координатное пространство, точки этого пространства.
n-мерное евклидово пространство. Расстояние между точками.
(Самостоятельно) Наибольшее и наименьшее значение функции в некоторой области.
Комплексные числа
Определение, вещественная и мнимая части. Множество вещественных чисел как подмножество множества комплексных чисел. Чисто мнимые числа. Изображение комплексных чисел на плоскости. Равные комплексные числа. Комплексно сопряжённые числа.
Поле комплексных чисел.
Мнимая единица. Квадрат мнимой единицы. Алгебраическая форма записи комплексных чисел. Арифметические действия.
Модуль и аргумент комплексного числа. Тригонометрическая и показательная форма записи комплексных чисел. Умножение, деление, возведение в натуральную степень, извлечение корня n-й степени. Формула Муавра. Формула Эйлера.
(Самостоятельно) Алгебраические многочлены. Корни многочлена. Разложение многочлена на множители.
(Самостоятельно) Разложение правильной рациональной дроби на сумму простейших дробей.
Интеграл
Первообразная. Теорема о разности двух первообразных.
Неопределённый интеграл. Свойства. Таблица основных неопределённых интегралов (самостоятельно).
Основные методы интегрирования: подстановка (замена переменной) (самостоятельно), интегрирование по частям.
Несобственные интегралы 1-го и (самостоятельно) 2-го рода.
Дифференциальные уравнения
Обыкновенное дифференциальное уравнение, порядок уравнения, решение уравнения, интегральная кривая, общее, частное, особое решения.
Уравнение первого порядка, разрешённое относительно производной. Область определения уравнения. Формы записи: нормальная, в дифференциалах, симметрическая.
Задача Коши, начальные условия. Теорема существования и единственности решения задачи Коши.
Виды уравнений 1-го порядка: однородное, линейное, Бернулли, в полных дифференциалах. Решение линейного уравнения методом Лагранжа. Решение линейного уравнения и уравнения Бернулли методом Бернулли.
Линейные уравнения высших порядков с постоянными коэффициентами. Линейный дифференциальный оператор.
Однородное линейное уравнение: характеристическое уравнение, ФСР (фундаментальная система решений), определитель Вронского, общее решение.
Неоднородное линейное уравнение: структура решения, метод Лагранжа, метод неопределённых коэффициентов (для уравнений со специальной правой частью).
Системы дифференциальных уравнений. Решение методом исключения.