Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
PAGE 24
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ УКРАИНЫ
Криворожский Технический Университет
Кафедра “Моделирования и программного обеспечения”.
Методические указания по выполение домашнего задания
при изучении курса «Информатика»
для специальностей:
«Машиностроение»
Кривой Рог 2007
Методические указания по выполнению домашних заданий по курсу «Информатика» для студентов специальности «Машиностроение» заочной формы обучения./ В. Ю. Зубкевич – Кривой Рог: КТУ, 2007. – 13с.
Учебное издание
Выполнение домашнего задания по курсу «Информатика» для студентов для студентов специальности «Машиностроение» заочной формы обучения.
Составитель старший преподаватель В. Ю. Зубкевич
Заведующий кафедрой МПЗ В. Н. Коробко
Содержание
|
[1] Содержание домашнего задания [2] Указания по оформлению домашней задания [3] Список литературы [4] Приложение 1 [5] Приложение 2 [6] Приложение 3 [7] Приложение 4 [8] Приложение 5 [9] Приложение 6 [10] Приложение 7 |
Введение
Цель домашнего задания является систематизация, закрепление и расширение знаний, полученных студентами при изучении курса «Информатика, вычислительная техника и программирование», приобретение опыта и навыков использования прикладных программ и современных компьютерных технологий при разработке прикладного программного обеспечения и использование этих навыков при курсовом, дипломном проектировании и в последующей инженерной практике.
В домашнем задании студент должен решить пять задач (см. Приложение 2).
Числовые данные, необходимые по условиям задач, выбираются в соответствии с индивидуальным вариантом домашнего задания по таблице вариантов (см. Приложение 3).
Методические рекомендации по решению задач домашнего задания приведены в Приложении 4 (Приближение функций) и в Приложении 5 (Численное интегрирование функций).
Экзаменационные вопросы по курсу «Информатика, вычислительная техника и программирование» приведены в Приложении 6.
Перечень литературы, использование которой рекомендуется при изучении курса «Информатика, вычислительная техника и программирование» и выполнении домашнего задания, приведен в Приложении 7.
Домашнее задание по курсу «Информатика, вычислительная техника и программирование» должно состоять из следующих структурных элементов (разделов):
Лист индивидуального задания содержит текст задания (см. Приложение 2) и таблицу числовых данных (см. Приложение 3) согласно индивидуальному варианту.
Во введении указывается цель выполнения домашнего задания по курсу «Информатика, вычислительная техника и программирование» и план его выполнения.
Указывается так же какие аппаратные и программные средства могут и должны использоваться при решении задач домашнего задания.
В каждом разделе «Решение задачи», количество которых равно количестве задач домашнего задания, приводятся следующие сведения и материалы:
Программное обеспечение и результаты тестирования решения задачи должны быть реализованы для двух вариантов:
Алгоритмическое обеспечение должно быть представлено в виде блок-схем с подробным описанием этих блок-схем и принятых сокращений.
При разработке программного обеспечения необходимо, в строгом соответствии с алгоритмами, составить исходные тексты программ на языке программирования Visual Basic.
При составлении исходных текстов программ необходимо снабжать их подробными комментариями, обеспечивающими идентификацию участков исходного текста программы соответствующим блокам алгоритма.
Решение задачи должно включать не только получение числовых значений результатов решения, но и процедуры визуализации исходных, промежуточных и выходных (результирующих) данных.
Отладка программного обеспечения заключается в решении задачи с помощью программы с исходными данными, для которых заведомо известен результат решения.
Решение задачи с помощью программы с исходными данными, для которых заведомо известен результат с последующим анализом полученных значений с известными и представляет собой результат тестирования разработанного программного обеспечения.
В списке используемых литературных источников указывается библиографический перечень литературных и других источников, на которые имеются ссылки в пояснительной записке домашнего задания по курсу «Информатика, вычислительная техника и программирование»
В приложение выносятся громоздкие математические выкладки, исходные тексты программ, уникальные справочные данные и т.д.
Домашнее задание должно быть оформлено в виде текста пояснительной записки, представленной в печатном виде, для создания и форматирования которого должен быть использован редактора текстов WORD из пакета прикладных программ Microsoft Office.
Качество оформления пояснительной записки является неотъемлемой частью настоящего домашнего задания и входит в критерий оценки домашнего задания по курсу «Информатика, вычислительная техника и программирование» в части раздела «Прикладная программа редактора текстов WORD из пакета прикладных программ Microsoft Office.
Пояснительная записка оформляется на стандартных листах формата А4, с расположением текста на одной стороне листа.
Пояснительная записка должна иметь титульный лист (образец приведен в Приложении 1) и содержать лист индивидуального задания по домашней работе со всеми необходимыми числовыми данными (см. Приложение 2 и Приложение 3), оглавление, введение, решения пяти задач, список используемой литературы и приложение (при необходимости).
Каждая структурная единица пояснительной записки домашнего задания рассматривается как раздел и должна начинаться с новой страницы.
Раскрытие решения каждой задачи домашней работы оформляется как отдельный раздел пояснительной записки, в котором должны быть размещены соответствующие формулы, таблицы, рисунки, относящиеся к конкретной задаче (блок-схемы алгоритмов, фрагменты программ, функциональные схемы, таблицы, графики, временные диаграммы и т.д.). Вспомогательные материалы (вспомогательные числовые данные, громоздкие математические выводы, исходные тексты программ и т.д.) выносятся в приложение.
В пояснительной записке не приводить документы, на которые нет ссылок в тексте пояснительной записки.
Нумерация страниц должна быть сквозная (включая приложение).
На титульном листе номер страницы не ставится, но считается.
Нумерация рисунков, таблиц, формул должна быть сквозной в пределах раздела с включением в номер рисунка, таблицы, формулы номера раздела.
Структурные единицы пояснительной записки (разделы), а именно: титульный лист, лист индивидуального задания, оглавление, введение, список используемой литературы, приложение, – не нумеруются.
При оформлении пояснительной записки домашнего задания рекомендуется использовать «Стандарт організації України. Загальні вимоги та правила оформлення текстових та графічних студентських робіт. – Кривий Ріг: КТУ, 2007» [1] и Государственные стандарты ЕСКД [2…5].
К пояснительной записке домашней работе должны прилагаться программные и текстовые документы (файлы) на машинных носителях.
Домашнее задание по курсу
«Информатика, вычислительная техника и программирование».
Таблица вариантов
|
Вариант № |
1 |
||||||||
|
|
x |
1,1181 |
1,3281 |
1,5381 |
1,7481 |
1,9581 |
2,1681 |
2,3781 |
2,5881 |
|
Таблица |
F(x) |
1,6133 |
1,7166 |
1,8266 |
1,9435 |
2,0680 |
2,2004 |
2,3413 |
2,4913 |
|
|
Q(x) |
1,3917 |
1,4808 |
1,5756 |
1,6765 |
||||
|
h = |
1,839883 |
P = |
3 |
f(x) = |
cos(x+ |
0,9069 |
) |
||
|
Вариант № |
2 |
||||||||
|
|
x |
1,4605 |
1,6705 |
1,8805 |
2,0905 |
2,3005 |
2,5105 |
2,7205 |
2,9305 |
|
Таблица |
F(x) |
1,7851 |
1,8994 |
2,0211 |
2,1505 |
2,2882 |
2,4348 |
2,5907 |
2,7566 |
|
|
Q(x) |
1,5399 |
1,6385 |
1,7434 |
1,8551 |
||||
|
h = |
1,408357 |
P = |
8 |
f(x) = |
cos(x+ |
0,5715 |
) |
||
|
Вариант № |
3 |
||||||||
|
|
x |
1,1766 |
1,3866 |
1,5966 |
1,8066 |
2,0166 |
2,2266 |
2,4366 |
2,6466 |
|
Таблица |
F(x) |
1,6414 |
1,7465 |
1,8584 |
1,9774 |
2,1040 |
2,2388 |
2,3821 |
2,5347 |
|
|
Q(x) |
1,4159 |
1,5066 |
1,6031 |
1,7057 |
||||
|
h = |
0,835029 |
P = |
5 |
f(x) = |
cos(x+ |
1,5358 |
) |
||
|
Вариант № |
4 |
||||||||
|
|
x |
1,4068 |
1,6168 |
1,8268 |
2,0368 |
2,2468 |
2,4568 |
2,6668 |
2,8768 |
|
Таблица |
F(x) |
1,7570 |
1,8695 |
1,9893 |
2,1167 |
2,2522 |
2,3964 |
2,5499 |
2,7132 |
|
|
Q(x) |
1,5156 |
1,6127 |
1,7160 |
1,8258 |
||||
|
h = |
0,011921 |
P = |
6 |
f(x) = |
cos(x+ |
0,3038 |
) |
||
|
Вариант № |
5 |
||||||||
|
|
x |
0,8415 |
1,0515 |
1,2615 |
1,4715 |
1,6815 |
1,8915 |
2,1015 |
2,3115 |
|
Таблица |
F(x) |
1,4867 |
1,5819 |
1,6832 |
1,7910 |
1,9056 |
2,0277 |
2,1575 |
2,2957 |
|
|
Q(x) |
1,2824 |
1,3645 |
1,4519 |
1,5449 |
||||
|
h = |
0,824588 |
P = |
4 |
f(x) = |
cos(x+ |
1,0782 |
) |
||
|
Вариант № |
6 |
||||||||
|
|
x |
1,4421 |
1,6521 |
1,8621 |
2,0721 |
2,2821 |
2,4921 |
2,7021 |
2,9121 |
|
Таблица |
F(x) |
1,7754 |
1,8891 |
2,0101 |
2,1388 |
2,2758 |
2,4215 |
2,5766 |
2,7416 |
|
|
Q(x) |
1,5315 |
1,6296 |
1,7339 |
1,8450 |
||||
|
h = |
0,896348 |
P = |
10 |
f(x) = |
cos(x+ |
0,2762 |
) |
||
|
Вариант № |
7 |
||||||||
|
|
x |
0,9091 |
1,1191 |
1,3291 |
1,5391 |
1,7491 |
1,9591 |
2,1691 |
2,3791 |
|
Таблица |
F(x) |
1,5167 |
1,6138 |
1,7171 |
1,8271 |
1,9441 |
2,0686 |
2,2011 |
2,3420 |
|
|
Q(x) |
1,3083 |
1,3921 |
1,4812 |
1,5761 |
||||
|
h = |
1,902326 |
P = |
9 |
f(x) = |
cos(x+ |
1,4401 |
) |
||
|
Вариант № |
8 |
||||||||
|
|
x |
1,0688 |
1,2788 |
1,4888 |
1,6988 |
1,9088 |
2,1188 |
2,3288 |
2,5388 |
|
Таблица |
F(x) |
1,5900 |
1,6918 |
1,8001 |
1,9154 |
2,0381 |
2,1686 |
2,3075 |
2,4552 |
|
|
Q(x) |
1,3715 |
1,4594 |
1,5528 |
1,6523 |
||||
|
h = |
0,662986 |
P = |
0 |
f(x) = |
cos(x+ |
0,4365 |
) |
||
|
Вариант № |
9 |
||||||||
|
|
x |
0,7761 |
0,9861 |
1,1961 |
1,4061 |
1,6161 |
1,8261 |
2,0361 |
2,2461 |
|
Таблица |
F(x) |
1,4582 |
1,5516 |
1,6509 |
1,7567 |
1,8692 |
1,9889 |
2,1162 |
2,2517 |
|
|
Q(x) |
1,2578 |
1,3384 |
1,4241 |
1,5153 |
||||
|
h = |
0,952394 |
P = |
5 |
f(x) = |
cos(x+ |
0,5167 |
) |
||
|
Вариант № |
10 |
||||||||
|
|
x |
1,1953 |
1,4053 |
1,6153 |
1,8253 |
2,0353 |
2,2453 |
2,4553 |
2,6653 |
|
Таблица |
F(x) |
1,6505 |
1,7562 |
1,8687 |
1,9884 |
2,1157 |
2,2512 |
2,3954 |
2,5488 |
|
|
Q(x) |
1,4238 |
1,5150 |
1,6120 |
1,7152 |
||||
|
h = |
0,71892 |
P = |
5 |
f(x) = |
cos(x+ |
0,3318 |
) |
||
|
Вариант № |
11 |
||||||||
|
|
x |
1,2269 |
1,4369 |
1,6469 |
1,8569 |
2,0669 |
2,2769 |
2,4869 |
2,6969 |
|
Таблица |
F(x) |
1,6660 |
1,7727 |
1,8862 |
2,0070 |
2,1355 |
2,2723 |
2,4178 |
2,5727 |
|
|
Q(x) |
1,4371 |
1,5292 |
1,6271 |
1,7313 |
||||
|
h = |
0,286175 |
P = |
8 |
f(x) = |
cos(x+ |
1,2009 |
) |
||
|
Вариант № |
12 |
||||||||
|
|
x |
1,1079 |
1,3179 |
1,5279 |
1,7379 |
1,9479 |
2,1579 |
2,3679 |
2,5779 |
|
Таблица |
F(x) |
1,6084 |
1,7115 |
1,8211 |
1,9377 |
2,0618 |
2,1938 |
2,3343 |
2,4838 |
|
|
Q(x) |
1,3875 |
1,4763 |
1,5709 |
1,6715 |
||||
|
h = |
1,408508 |
P = |
8 |
f(x) = |
cos(x+ |
1,5402 |
) |
||
|
Вариант № |
13 |
||||||||
|
|
x |
0,8068 |
1,0168 |
1,2268 |
1,4368 |
1,6468 |
1,8568 |
2,0668 |
2,2768 |
|
Таблица |
F(x) |
1,4715 |
1,5657 |
1,6660 |
1,7726 |
1,8862 |
2,0070 |
2,1355 |
2,2722 |
|
|
Q(x) |
1,2693 |
1,3506 |
1,4371 |
1,5291 |
||||
|
h = |
0,78445 |
P = |
8 |
f(x) = |
cos(x+ |
0,2972 |
) |
||
|
Вариант № |
14 |
||||||||
|
|
x |
0,5932 |
0,8032 |
1,0132 |
1,2232 |
1,4332 |
1,6432 |
1,8532 |
2,0632 |
|
Таблица |
F(x) |
1,3815 |
1,4699 |
1,5641 |
1,6642 |
1,7708 |
1,8842 |
2,0049 |
2,1333 |
|
|
Q(x) |
1,1917 |
1,2680 |
1,3492 |
1,4356 |
||||
|
h = |
0,030659 |
P = |
10 |
f(x) = |
cos(x+ |
1,4614 |
) |
||
|
Вариант № |
15 |
||||||||
|
|
x |
0,9406 |
1,1506 |
1,3606 |
1,5706 |
1,7806 |
1,9906 |
2,2006 |
2,4106 |
|
Таблица |
F(x) |
1,5308 |
1,6289 |
1,7332 |
1,8442 |
1,9623 |
2,0879 |
2,2216 |
2,3639 |
|
|
Q(x) |
1,3205 |
1,4051 |
1,4950 |
1,5908 |
||||
|
h = |
0,265326 |
P = |
7 |
f(x) = |
cos(x+ |
0,6452 |
) |
||
|
Вариант № |
16 |
||||||||
|
|
x |
0,8038 |
1,0138 |
1,2238 |
1,4338 |
1,6438 |
1,8538 |
2,0638 |
2,2738 |
|
Таблица |
F(x) |
1,4702 |
1,5643 |
1,6645 |
1,7711 |
1,8845 |
2,0052 |
2,1336 |
2,2703 |
|
|
Q(x) |
1,2682 |
1,3494 |
1,4358 |
1,5278 |
||||
|
h = |
1,051323 |
P = |
3 |
f(x) = |
cos(x+ |
1,1825 |
) |
||
|
Вариант № |
17 |
||||||||
|
|
x |
0,9166 |
1,1266 |
1,3366 |
1,5466 |
1,7566 |
1,9666 |
2,1766 |
2,3866 |
|
Таблица |
F(x) |
1,5200 |
1,6174 |
1,7209 |
1,8311 |
1,9484 |
2,0732 |
2,2060 |
2,3472 |
|
|
Q(x) |
1,3112 |
1,3952 |
1,4845 |
1,5796 |
||||
|
h = |
1,629803 |
P = |
8 |
f(x) = |
cos(x+ |
0,8598 |
) |
||
|
Вариант № |
18 |
||||||||
|
|
x |
0,8387 |
1,0487 |
1,2587 |
1,4687 |
1,6787 |
1,8887 |
2,0987 |
2,3087 |
|
Таблица |
F(x) |
1,4854 |
1,5805 |
1,6818 |
1,7895 |
1,9041 |
2,0260 |
2,1557 |
2,2938 |
|
|
Q(x) |
1,2813 |
1,3634 |
1,4507 |
1,5436 |
||||
|
h = |
0,784099 |
P = |
1 |
f(x) = |
cos(x+ |
1,3779 |
) |
||
|
Вариант № |
19 |
||||||||
|
|
x |
0,7905 |
1,0005 |
1,2105 |
1,4205 |
1,6305 |
1,8405 |
2,0505 |
2,2605 |
|
Таблица |
F(x) |
1,4644 |
1,5582 |
1,6580 |
1,7641 |
1,8771 |
1,9973 |
2,1252 |
2,2613 |
|
|
Q(x) |
1,2632 |
1,3441 |
1,4302 |
1,5218 |
||||
|
h = |
1,384323 |
P = |
6 |
f(x) = |
cos(x+ |
0,6904 |
) |
||
|
Вариант № |
20 |
||||||||
|
|
x |
1,4342 |
1,6442 |
1,8542 |
2,0642 |
2,2742 |
2,4842 |
2,6942 |
2,9042 |
|
Таблица |
F(x) |
1,7713 |
1,8847 |
2,0054 |
2,1339 |
2,2705 |
2,4159 |
2,5706 |
2,7353 |
|
|
Q(x) |
1,5280 |
1,6258 |
1,7299 |
1,8407 |
||||
|
h = |
0,45377 |
P = |
4 |
f(x) = |
cos(x+ |
0,5246 |
) |
||
|
Вариант № |
21 |
||||||||
|
|
x |
0,7225 |
0,9325 |
1,1425 |
1,3525 |
1,5625 |
1,7725 |
1,9825 |
2,1925 |
|
Таблица |
F(x) |
1,4353 |
1,5272 |
1,6250 |
1,7290 |
1,8398 |
1,9576 |
2,0829 |
2,2163 |
|
|
Q(x) |
1,2381 |
1,3174 |
1,4017 |
1,4915 |
||||
|
h = |
0,713402 |
P = |
7 |
f(x) = |
cos(x+ |
0,1993 |
) |
||
|
Вариант № |
22 |
||||||||
|
|
x |
0,8888 |
1,0988 |
1,3088 |
1,5188 |
1,7288 |
1,9388 |
2,1488 |
2,3588 |
|
Таблица |
F(x) |
1,5076 |
1,6041 |
1,7069 |
1,8162 |
1,9325 |
2,0562 |
2,1879 |
2,3280 |
|
|
Q(x) |
1,3005 |
1,3838 |
1,4724 |
1,5667 |
||||
|
h = |
0,853556 |
P = |
8 |
f(x) = |
cos(x+ |
0,2589 |
) |
||
|
Вариант № |
23 |
||||||||
|
|
x |
0,6769 |
0,8869 |
1,0969 |
1,3069 |
1,5169 |
1,7269 |
1,9369 |
2,1469 |
|
Таблица |
F(x) |
1,4160 |
1,5067 |
1,6032 |
1,7059 |
1,8151 |
1,9314 |
2,0550 |
2,1866 |
|
|
Q(x) |
1,2215 |
1,2997 |
1,3829 |
1,4715 |
||||
|
h = |
1,601668 |
P = |
1 |
f(x) = |
cos(x+ |
0,7535 |
) |
||
|
Вариант № |
24 |
||||||||
|
|
x |
0,9197 |
1,1297 |
1,3397 |
1,5497 |
1,7597 |
1,9697 |
2,1797 |
2,3897 |
|
Таблица |
F(x) |
1,5214 |
1,6188 |
1,7225 |
1,8328 |
1,9502 |
2,0751 |
2,2080 |
2,3494 |
|
|
Q(x) |
1,3124 |
1,3964 |
1,4859 |
1,5810 |
||||
|
h = |
0,365538 |
P = |
4 |
f(x) = |
cos(x+ |
0,4752 |
) |
||
|
Вариант № |
25 |
||||||||
|
|
x |
0,5548 |
0,7648 |
0,9748 |
1,1848 |
1,3948 |
1,6048 |
1,8148 |
2,0248 |
|
Таблица |
F(x) |
1,3659 |
1,4533 |
1,5464 |
1,6454 |
1,7508 |
1,8629 |
1,9822 |
2,1092 |
|
|
Q(x) |
1,1782 |
1,2537 |
1,3339 |
1,4194 |
||||
|
h = |
1,918589 |
P = |
2 |
f(x) = |
cos(x+ |
0,6660 |
) |
||
|
Вариант № |
26 |
||||||||
|
|
x |
0,6622 |
0,8722 |
1,0822 |
1,2922 |
1,5022 |
1,7122 |
1,9222 |
2,1322 |
|
Таблица |
F(x) |
1,4099 |
1,5002 |
1,5963 |
1,6985 |
1,8073 |
1,9230 |
2,0462 |
2,1772 |
|
|
Q(x) |
1,2162 |
1,2941 |
1,3770 |
1,4652 |
||||
|
h = |
0,966023 |
P = |
2 |
f(x) = |
cos(x+ |
0,4516 |
) |
||
|
Вариант № |
27 |
||||||||
|
|
x |
0,9404 |
1,1504 |
1,3604 |
1,5704 |
1,7804 |
1,9904 |
2,2004 |
2,4104 |
|
Таблица |
F(x) |
1,5308 |
1,6288 |
1,7331 |
1,8441 |
1,9622 |
2,0878 |
2,2215 |
2,3638 |
|
|
Q(x) |
1,3205 |
1,4050 |
1,4950 |
1,5907 |
||||
|
h = |
1,494901 |
P = |
6 |
f(x) = |
cos(x+ |
0,1236 |
) |
||
|
Вариант № |
28 |
||||||||
|
|
x |
0,7286 |
0,9386 |
1,1486 |
1,3586 |
1,5686 |
1,7786 |
1,9886 |
2,1986 |
|
Таблица |
F(x) |
1,4379 |
1,5299 |
1,6279 |
1,7322 |
1,8431 |
1,9611 |
2,0867 |
2,2204 |
|
|
Q(x) |
1,2403 |
1,3198 |
1,4043 |
1,4942 |
||||
|
h = |
0,492767 |
P = |
9 |
f(x) = |
cos(x+ |
0,8071 |
) |
||
|
Вариант № |
29 |
||||||||
|
|
x |
0,9700 |
1,1800 |
1,3900 |
1,6000 |
1,8100 |
2,0200 |
2,2300 |
2,4400 |
|
Таблица |
F(x) |
1,5442 |
1,6431 |
1,7483 |
1,8603 |
1,9794 |
2,1062 |
2,2411 |
2,3846 |
|
|
Q(x) |
1,3321 |
1,4174 |
1,5081 |
1,6047 |
||||
|
h = |
1,909461 |
P = |
7 |
f(x) = |
cos(x+ |
1,3064 |
) |
||
|
Вариант № |
30 |
||||||||
|
|
x |
0,6657 |
0,8757 |
1,0857 |
1,2957 |
1,5057 |
1,7157 |
1,9257 |
2,1357 |
|
Таблица |
F(x) |
1,4114 |
1,5018 |
1,5979 |
1,7003 |
1,8092 |
1,9250 |
2,0483 |
2,1795 |
|
|
Q(x) |
1,2175 |
1,2954 |
1,3784 |
1,4667 |
||||
|
h = |
1,057709 |
P = |
2 |
f(x) = |
cos(x+ |
1,1174 |
) |
||
|
Вариант № |
31 |
||||||||
|
|
x |
0,6652 |
0,8752 |
1,0852 |
1,2952 |
1,5052 |
1,7152 |
1,9252 |
2,1352 |
|
Таблица |
F(x) |
1,4111 |
1,5015 |
1,5977 |
1,7000 |
1,8088 |
1,9247 |
2,0479 |
2,1791 |
|
|
Q(x) |
1,2173 |
1,2952 |
1,3782 |
1,4664 |
||||
|
h = |
0,731484 |
P = |
2 |
f(x) = |
cos(x+ |
0,6468 |
) |
||
|
Вариант № |
32 |
||||||||
|
|
x |
1,1196 |
1,3296 |
1,5396 |
1,7496 |
1,9596 |
2,1696 |
2,3796 |
2,5896 |
|
Таблица |
F(x) |
1,6140 |
1,7174 |
1,8273 |
1,9444 |
2,0689 |
2,2014 |
2,3423 |
2,4923 |
|
|
Q(x) |
1,3923 |
1,4814 |
1,5763 |
1,6772 |
||||
|
h = |
0,489876 |
P = |
9 |
f(x) = |
cos(x+ |
1,1920 |
) |
||
|
Вариант № |
33 |
||||||||
|
|
x |
1,4257 |
1,6357 |
1,8457 |
2,0557 |
2,2657 |
2,4757 |
2,6857 |
2,8957 |
|
Таблица |
F(x) |
1,7669 |
1,8800 |
2,0004 |
2,1285 |
2,2648 |
2,4099 |
2,5642 |
2,7284 |
|
|
Q(x) |
1,5241 |
1,6217 |
1,7256 |
1,8361 |
||||
|
h = |
1,434281 |
P = |
3 |
f(x) = |
cos(x+ |
0,2512 |
) |
||
|
Вариант № |
34 |
||||||||
|
|
x |
1,5058 |
1,7158 |
1,9258 |
2,1358 |
2,3458 |
2,5558 |
2,7658 |
2,9758 |
|
Таблица |
F(x) |
1,8092 |
1,9251 |
2,0484 |
2,1795 |
2,3191 |
2,4676 |
2,6256 |
2,7938 |
|
|
Q(x) |
1,5606 |
1,6606 |
1,7669 |
1,8801 |
||||
|
h = |
0,334075 |
P = |
6 |
f(x) = |
cos(x+ |
0,5830 |
) |
||
|
Вариант № |
35 |
||||||||
|
|
x |
0,9971 |
1,2071 |
1,4171 |
1,6271 |
1,8371 |
2,0471 |
2,2571 |
2,4671 |
|
Таблица |
F(x) |
1,5566 |
1,6563 |
1,7624 |
1,8752 |
1,9953 |
2,1231 |
2,2590 |
2,4037 |
|
|
Q(x) |
1,3427 |
1,4287 |
1,5202 |
1,6176 |
||||
|
h = |
0,322442 |
P = |
8 |
f(x) = |
cos(x+ |
0,2302 |
) |
||
|
Вариант № |
36 |
||||||||
|
|
x |
1,2527 |
1,4627 |
1,6727 |
1,8827 |
2,0927 |
2,3027 |
2,5127 |
2,7227 |
|
Таблица |
F(x) |
1,6788 |
1,7863 |
1,9007 |
2,0224 |
2,1519 |
2,2897 |
2,4363 |
2,5924 |
|
|
Q(x) |
1,4481 |
1,5409 |
1,6395 |
1,7445 |
||||
|
h = |
0,037261 |
P = |
7 |
f(x) = |
cos(x+ |
0,5871 |
) |
||
|
Вариант № |
37 |
||||||||
|
|
x |
0,6811 |
0,8911 |
1,1011 |
1,3111 |
1,5211 |
1,7311 |
1,9411 |
2,1511 |
|
Таблица |
F(x) |
1,4178 |
1,5086 |
1,6052 |
1,7080 |
1,8174 |
1,9338 |
2,0576 |
2,1894 |
|
|
Q(x) |
1,2230 |
1,3013 |
1,3847 |
1,4733 |
||||
|
h = |
0,679196 |
P = |
4 |
f(x) = |
cos(x+ |
1,4456 |
) |
||
|
Вариант № |
38 |
||||||||
|
|
x |
0,8960 |
1,1060 |
1,3160 |
1,5260 |
1,7360 |
1,9460 |
2,1560 |
2,3660 |
|
Таблица |
F(x) |
1,5108 |
1,6075 |
1,7105 |
1,8200 |
1,9366 |
2,0606 |
2,1926 |
2,3330 |
|
|
Q(x) |
1,3032 |
1,3867 |
1,4755 |
1,5700 |
||||
|
h = |
0,157975 |
P = |
4 |
f(x) = |
cos(x+ |
1,4105 |
) |
||
|
Вариант № |
39 |
||||||||
|
|
x |
1,2356 |
1,4456 |
1,6556 |
1,8656 |
2,0756 |
2,2856 |
2,4956 |
2,7056 |
|
Таблица |
F(x) |
1,6703 |
1,7773 |
1,8911 |
2,0122 |
2,1411 |
2,2782 |
2,4241 |
2,5793 |
|
|
Q(x) |
1,4408 |
1,5331 |
1,6313 |
1,7357 |
||||
|
h = |
0,38839 |
P = |
0 |
f(x) = |
cos(x+ |
1,4904 |
) |
||
|
Вариант № |
40 |
||||||||
|
|
x |
1,2450 |
1,4550 |
1,6650 |
1,8750 |
2,0850 |
2,2950 |
2,5050 |
2,7150 |
|
Таблица |
F(x) |
1,6750 |
1,7822 |
1,8964 |
2,0178 |
2,1470 |
2,2845 |
2,4308 |
2,5865 |
|
|
Q(x) |
1,4448 |
1,5374 |
1,6358 |
1,7406 |
||||
|
h = |
0,190829 |
P = |
6 |
f(x) = |
cos(x+ |
1,3626 |
) |
||
|
Вариант № |
41 |
||||||||
|
|
x |
1,1732 |
1,3832 |
1,5932 |
1,8032 |
2,0132 |
2,2232 |
2,4332 |
2,6432 |
|
Таблица |
F(x) |
1,6398 |
1,7448 |
1,8566 |
1,9755 |
2,1020 |
2,2366 |
2,3798 |
2,5322 |
|
|
Q(x) |
1,4145 |
1,5051 |
1,6015 |
1,7040 |
||||
|
h = |
0,52984 |
P = |
9 |
f(x) = |
cos(x+ |
1,0577 |
) |
||
|
Вариант № |
42 |
||||||||
|
|
x |
1,0659 |
1,2759 |
1,4859 |
1,6959 |
1,9059 |
2,1159 |
2,3259 |
2,5359 |
|
Таблица |
F(x) |
1,5886 |
1,6903 |
1,7986 |
1,9138 |
2,0363 |
2,1667 |
2,3055 |
2,4531 |
|
|
Q(x) |
1,3703 |
1,4581 |
1,5515 |
1,6508 |
||||
|
h = |
0,511592 |
P = |
4 |
f(x) = |
cos(x+ |
1,3992 |
) |
||
|
Вариант № |
43 |
||||||||
|
|
x |
0,6029 |
0,8129 |
1,0229 |
1,2329 |
1,4429 |
1,6529 |
1,8629 |
2,0729 |
|
Таблица |
F(x) |
1,3854 |
1,4741 |
1,5685 |
1,6690 |
1,7759 |
1,8896 |
2,0106 |
2,1394 |
|
|
Q(x) |
1,1951 |
1,2716 |
1,3530 |
1,4397 |
||||
|
h = |
1,188859 |
P = |
9 |
f(x) = |
cos(x+ |
0,3225 |
) |
||
|
Вариант № |
44 |
||||||||
|
|
x |
0,8226 |
1,0326 |
1,2426 |
1,4526 |
1,6626 |
1,8726 |
2,0826 |
2,2926 |
|
Таблица |
F(x) |
1,4784 |
1,5731 |
1,6738 |
1,7810 |
1,8950 |
2,0164 |
2,1455 |
2,2829 |
|
|
Q(x) |
1,2753 |
1,3569 |
1,4438 |
1,5363 |
||||
|
h = |
1,57002 |
P = |
9 |
f(x) = |
cos(x+ |
0,4714 |
) |
||
|
Вариант № |
45 |
||||||||
|
|
x |
0,6553 |
0,8653 |
1,0753 |
1,2853 |
1,4953 |
1,7053 |
1,9153 |
2,1253 |
|
Таблица |
F(x) |
1,4071 |
1,4972 |
1,5930 |
1,6951 |
1,8036 |
1,9191 |
2,0420 |
2,1728 |
|
|
Q(x) |
1,2137 |
1,2915 |
1,3742 |
1,4622 |
||||
|
h = |
0,532724 |
P = |
10 |
f(x) = |
cos(x+ |
0,5882 |
) |
||
|
Вариант № |
46 |
||||||||
|
|
x |
1,2818 |
1,4918 |
1,7018 |
1,9118 |
2,1218 |
2,3318 |
2,5418 |
2,7518 |
|
Таблица |
F(x) |
1,6933 |
1,8017 |
1,9171 |
2,0399 |
2,1705 |
2,3095 |
2,4574 |
2,6148 |
|
|
Q(x) |
1,4607 |
1,5542 |
1,6537 |
1,7596 |
||||
|
h = |
1,53159 |
P = |
5 |
f(x) = |
cos(x+ |
1,5440 |
) |
||
|
Вариант № |
47 |
||||||||
|
|
x |
1,4353 |
1,6453 |
1,8553 |
2,0653 |
2,2753 |
2,4853 |
2,6953 |
2,9053 |
|
Таблица |
F(x) |
1,7719 |
1,8854 |
2,0061 |
2,1346 |
2,2713 |
2,4167 |
2,5715 |
2,7361 |
|
|
Q(x) |
1,5284 |
1,6263 |
1,7305 |
1,8413 |
||||
|
h = |
1,316842 |
P = |
6 |
f(x) = |
cos(x+ |
0,9866 |
) |
||
|
Вариант № |
48 |
||||||||
|
|
x |
0,7804 |
0,9904 |
1,2004 |
1,4104 |
1,6204 |
1,8304 |
2,0404 |
2,2504 |
|
Таблица |
F(x) |
1,4601 |
1,5536 |
1,6530 |
1,7589 |
1,8715 |
1,9914 |
2,1189 |
2,2546 |
|
|
Q(x) |
1,2595 |
1,3401 |
1,4259 |
1,5173 |
||||
|
h = |
1,415366 |
P = |
7 |
f(x) = |
cos(x+ |
1,5491 |
) |
||
|
Вариант № |
49 |
||||||||
|
|
x |
0,6346 |
0,8446 |
1,0546 |
1,2646 |
1,4746 |
1,6846 |
1,8946 |
2,1046 |
|
Таблица |
F(x) |
1,3985 |
1,4880 |
1,5833 |
1,6847 |
1,7926 |
1,9074 |
2,0295 |
2,1595 |
|
|
Q(x) |
1,2063 |
1,2836 |
1,3658 |
1,4532 |
||||
|
h = |
0,705817 |
P = |
1 |
f(x) = |
cos(x+ |
1,4635 |
) |
||
|
Вариант № |
50 |
||||||||
|
|
x |
1,2755 |
1,4855 |
1,6955 |
1,9055 |
2,1155 |
2,3255 |
2,5355 |
2,7455 |
|
Таблица |
F(x) |
1,6901 |
1,7984 |
1,9136 |
2,0361 |
2,1665 |
2,3052 |
2,4529 |
2,6099 |
|
|
Q(x) |
1,4579 |
1,5513 |
1,6507 |
1,7564 |
||||
|
h = |
1,325772 |
P = |
6 |
f(x) = |
cos(x+ |
1,2786 |
) |
ПРИБЛИЖЕНИЕ ФУНКЦИЙ
Приближенная замена функций является основой для получения расчетных формул многих численных методов и часто встречается в инженерных расчетах как самостоятельная проблема.
Задача заключается в следующем.
Известна некоторая функция y=f(x), которая может быть задана любым из трех способов:
Во всех случаях предполагается, что использование этой функции по каким-либо причинам затруднено, и поэтому желательно приближенно заменить эту сложную в употреблении функцию другой, заданной аналитически и простой в использовании.
Например, для вычисления определенного интеграла можно при определенных условиях, сложную функцию f(x) приближенно заменить линейной функцией, проходящей через точки f(a) и f(b). Тогда значение интеграла можно приближенно вычислить, как площадь трапеции с основаниями f(a), f(b) и высотой (b-a).
2.1. Формула Тейлора
Если функция f(x) задана аналитически, то очень часто ее приближенно заменяют степенным многочленом вида
(1)
Для этого выбирают точку С (центр разложения), вблизи которой исследуется поведение функции, и если функция непрерывна и имеет все производные в этой точке, то ее заменяют степенным многочленом по формуле Тейлора
(2)
где - точка, лежащая между C и x.
Поскольку положение этой точки неизвестно, то точной замены функции f(x) степенным многочленом сделать нельзя. Приближенную замену делают, отбрасывая последний член суммы (2);
. (3)
Отброшенный член R называют остаточным членом:
(4)
Из формулы Тейлора следует, что при ограничениях, наложенных на функцию f(x), всегда найдется такая внутренняя точка интервала (C , x), вычислив в которой производную , и включив ее в остаточный член, можно получить строгое равенство
f(x)=Qm+R. (5)
Рассмотрим это на простом примере.
Пусть в формуле Тейлора, кроме остаточного члена, удерживается всего один член нулевой степени
(6)
Рис. 1.
Из рис.1 видно, что для получения величины f(x) необходимо к величине f(C) прибавить длину отрезка R1 , которая определяется так:. Если в точке провести касательную к кривой f(x), параллельную хорде, соединяющей точки f(C) и f(x1), то тангенс угла наклона этой касательной можно вычислить как производную .
Следовательно, и ,
. (7)
Аналогичные построения можно выполнить и для вычисления функции в точке :
. (8)
Очевидно, с изменением x изменяется значение остаточного члена как за счет изменения (x-С), так и за счет изменения производной . Однако при малых отклонениях x от C можно приближенно считать, что производная не изменяется и остаточный член пропорционален обозначаемому буквой h отклонению x от С (h = x - C). Тогда формулу (6) можно записать в виде
(9)
где О(h) читается как "ошибка порядка h".
Аналогичные рассуждения проводят и для остаточных членов с производными высоких порядков. Остаточный член (4) оказывается пропорциональным и его кратко записывают как :
(10)
где читается как "ошибка порядка h в степени ".
В заключение приведем примеры приближенной замены функции степенным многочленом: вблизи точки x=С=0.
Последовательно находим
;
;
;
. (11)
Допуская ошибку , приближенно заменяем
, (12)
или более грубо с ошибкой
, (13)
2.2. Приближение функций, заданных таблично
Пусть функция y(x) задана таблицей, содержащей n точек (x1,y1), (x2,y2), ... ,(xn,yn). В этом случае задача о приближении функции ставится следующим образом: данную функцию y(x) требуется заменить многочленом Qm(x) степени m так, чтобы отклонение функции y(x) от многочлена Qm на множестве точек, заданном таблицей, было минимальным.
Очевидно, минимальным отклонение будет тогда, когда график многочлена проходит через все заданные точки:
(14)
Однако выполнить условия (14) можно далеко не всегда. Это зависит от соотношения между количеством точек n в таблице и степенью m многочлена. Отсюда следуют два типа задач теории приближения:
При соотношении m>n-1 задача приближения становится некор ректной. Например, требуется через две точки (n=2) провести график многочлена второй степени (m=2). Это можно сделать бес конечным множеством способов, но чтобы выбрать единственный из них, требуется использовать дополнительные условия.
2.2.1. Интерполирование функций
Будем считать, что между степенью m многочлена и количеством точек n в таблице функции y(x) существует соотношение
m=n-1. (15)
Тогда многочлен называют интерполяционным, а точки таблицы (xi,yi) - узлами интерполяции.
Задача интерполирования функции y(x) заключается в нахождении неизвестных коэффициентов a0,a1,…,am интерполяционного многочлена
. (16)
Для их определения требуется составить m+1=n уравнений. Такими уравнениями послужат условия (14) прохождения многочлена через каждую из точек таблицы:
(17)
Решив систему (17), можно найти числовые значения коэффициентов a0,a1,…,am и записать выражение (16) в конкретном виде. Это дает возможность приближённо вычислять значения функции y(x) в любых точках x, расположенных в области задания функции , то есть интерполировать.
Описанным способом получения интерполяционного многочлена пользуются очень редко. Чаще применяется запись этого же многочлена в форме Лагранжа:
(18)
В качестве примера запишем интерполяционный многочлен для функ ции, заданной тремя точками x1=2, y1=10; x2=4, y2=7; x3=5, y3=9:
(19)
Функции , являющиеся коэффициентами при yi, называются функциями формы. Они обладают следующими свойствами:
Например, для любой тройки равноотстоящих узлов с абсциссам x1=-h, x2=0, x3=h и произвольными ординатами определены одни и те же квадратичные функции формы:
(21)
а пара узлов x1=0, x2=h определяет линейные функции формы
(22)
На рис.2 показаны три квадратичные функции формы: .
Интерполяционный многочлен Лагранжа является линейной комбинацией функций формы. Каждая функция формы входит в многочлен со своим весом, задаваемым значением yi интерполируемой функции в соответствующем узле.
Рис. 2.
2.2.2. Аппроксимация функций
Зададим себе вопрос: всегда ли хорошо, что приближающий многочлен совпадает с исходной функцией во всех заданных точках? Оказывается, нет.
Пусть, например, экспериментальным путем устанавливается зависимость предела прочности чугуна на сжатие у от процентного содержания х углерода в его составе. Произведено пять опытов, результаты которых приведены на рис.3 и в табл.1.
Рис. 3.
|
Таблица 1 |
|||||
|
Х |
1 |
2 |
3,5 |
5 |
6 |
|
У |
2,2 |
2,6 |
3,6 |
2,7 |
2 |
Требуется установить приближенную аналитическую зависимость между у и х.
График интерполяционного многочлена Q4(x) четвертой степени пройдет через все экспериментальные точки. Но при выполнении опытов наверняка существовали погрешности, связанные, например, с погрешностями измерительных приборов, вполне вероятно, что это вызвало некоторый разброс точек относительно истинных значений. Поэтому нет никакого смысла стремиться провести кривую приближающего многочлена через заданные точки. Наоборот, желательно сгладить ошибки опытов, проводя кривую как-то в среднем. Для этого степень многочлена m выбирается меньшей, чем n-1, а его коэффициенты вычисляются из условия: сумма квадратов отклонений многочлена от заданных точек должна быть минимальна. Отклонение в каждой точке возводится в квадрат для того, чтобы отклонения разных знаков при суммировании не компенсировали друг друга и не создавали иллюзию близости кривой многочлена к заданным точкам.
Задача нахождения приближающего многочлена степени m<n-1 называется задачей аппроксимации, а соответствующий многочлен - аппроксимирующим.
Метод нахождения аппроксимирующего многочлена из условия минимума суммы квадратов отклонений называется методом наименьших квадратов.
Рассмотрим некоторые детали этого метода.
Итак, пусть заданы n точек (xi,yi) и степень m многочлена. Требуется найти его m+1 коэффициент, при условии, что m<n-1.
Найдем отклонение многочлена в i-й точке:
,
Найдем сумму квадратов отклонений по всем n точкам:
.
Неизвестными в этой сумме являются коэффициенты , поэтому сумма S является функцией m+1 переменных. Найдем минимум этой суммы:
После упрощений получаем следующую систему m+1 уравнений с m+1 неизвестными :
(23)
Эта система линейных уравнений называется нормальной. Если среди
точек нет совпадающих и , то система (23) имеет единственное решение .
Многочлен с такими коэффициентами будет иметь наименьшее квадратичное отклонение,
Если m=n-1, то аппроксимирующий многочлен совпадает с полиномом Лагранжа, записанным для этой системы точек, причем .
В качестве примера аппроксимируем полиномом второй степени функцию, заданную табл.1.
Составляем нормальную систему уравнений третьего порядка:
(24)
Вычисляем коэффициенты и свободные члены системы (табл.2). Заметив, что матрица коэффициентов системы (24) симметрична, записываем систему в конкретном виде:
(25)
Таблица 2
|
X |
Y |
X2 |
X3 |
X4 |
XY |
X2Y |
Qm(X) |
|
1 |
2,2 |
1 |
1 |
1 |
2,2 |
2,2 |
2,067 |
|
2 |
2,6 |
4 |
8 |
16 |
5,2 |
10,4 |
2,894 |
|
3,5 |
3,6 |
12,25 |
42,88 |
150,1 |
12,6 |
44,1 |
3,339 |
|
5 |
2,7 |
25 |
125 |
625 |
13,5 |
67,5 |
2,833 |
|
6 |
2 |
36 |
216 |
1296 |
12 |
72 |
1,966 |
|
17,5 |
13,1 |
78,25 |
392,9 |
2088 |
45,5 |
196,2 |
Решив систему (25), найдем . Таким образом, аппроксимирующий многочлен имеет вид
Для проверки правильности вычислений определяем значения полинома в узлах аппроксимации и записываем их в табл.2. График многочлена строим на рис.3.
Из рассмотренного примера видно, что объем вычислений, даже при малом количестве точек, значителен и быстро возрастает при увеличении степени аппроксимирующего многочлена. Поэтому вполне рационально применять ЭВМ для решения задач аппроксимации.
ЧИСЛЕННОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ ФУНКЦИЙ
Если функция у =f(Х) непрерывна на отрезке [a, b] и известна ее первообразная F(X), то определенный интеграл от этой функции от а до b может быть вычислен по формуле Ньютона-Лейбница
(27)
Во многих случаях первообразная отыскивается с трудом или вообще не выражается через известные элементарные функции. А в тех случаях, когда подынтегральная функция задана таблично, первообразная вообще теряет смысл. Поэтому важное значение имеют численные методы интегрирования функций.
Численное интегрирование выполняется на основании известного ряда значений подынтегральной функции:
… (28)
Значение интеграла Z получают по так называемой квадратурной формуле
(29)
Числовые значения коэффициентов Ai и погрешность формулы зависят от количества n точек на интервале интегрирования и от их расположения.
Прежде чем рассматривать различные варианты, установим общий план построения и применения квадратурных формул.
1. Для каждого конкретного случая задаемся расположением точек Xi на интервале интегрирования.
2. Находим такие коэффициенты Ai квадратурной формулы, которые позволяют получить по ней точный результат при интегрировании степенных многочленов не выше некоторой степени m, определяемой количеством точек на интервале.
3. Имея формулу, пригодную для численного интегрирования степенных многочленов, попытаемся применить ее для произвольных функций. Очевидно, результат такого интегрирования будет приближенным. На основании приближенной замены подынтегральной функции степенным многочленом найдем оценку погрешности численного интегрирования по квадратурной формуле.
3.1. Формула трапеций
1. Пусть подынтегральная функция задана двумя точками на концах интервала интегрирования длиной h, то есть y1=f(a); y2=f(b); b-a=h. Тогда в квадратурной формуле (29) необ ходимо определить два коэффициента А1, и А2.
2. Через две заданные точки можно однозначно провести графи многочлена не выше первой степени. Поэтому коэффициенты А1, и А2 найдем из условия пригодности квадратурной формулы для точного инте грирования многочленов не выше первой степени. Фигура, задаваемая такими многочленами на интервале интегрирования, является трапецией общего вида (прямоугольником, треугольником (ами) или трапецией), площадь которой
. (30)
Поэтому и, соответственно, квадратурная формула
(31)
называется формулой трапеций.
3. Теперь найдем оценку погрешности формулы трапеций в случае применения ее для интегрирования произвольной функции f(x).
Предварительно заметим, что результат интегрирования (площадь криволинейной трапеции) не зависит от расположения интервала интегрирования на оси абсцисс. Поэтому без ущерба для последующих рассуждений можно размещать начало координаты Х там, где это удобно для математических выкладок.
Пусть начало координаты X совпадает с нижним пределом инте грирования, т.е. a=0, b=h .
Запишем подынтегральную функцию в виде степенного многочлена по формуле Тейлора, приняв за центр разложения нижний предел ин тегрирования
(32)
Тогда
(33)
(34)
Подставляя (32)-(34) соответственно в левую и правую час ти формулы трапеций и учитывая погрешность R, получим
(35)
Допуская, что на всем интервале интегрирования вторая производная постоянна , найдем оценку погрешности формулы трапеций:
(36)
3.2. Формула Симпсона
1. Пусть теперь подынтегральная функция задана тремя равно отстоящими точками
.
Тогда в квадратурной формуле (29) необходимо определить три коэф фициента A1, A2, A3.
Без ограничения общности, для упрощения выкладок можно по ложить и квадратурную формулу искать в виде
. (37)
2. Через три заданные точки можно однозначно провести график многочлена не выше второй степени. Поэтому коэффициенты A1, A2, A3 найдем из условия пригодности квадратурной формулы для точного интегрирования таких многочленов.
Запишем подынтегральную функцию в форме многочлена Лагранжа второй степени:
(38)
где - квадратичные функции формы (21).
Из (38) следует, что коэффициенты A1, A2, A3 можно найти интегри рованием функций формы
(39)
В силу свойства 3 функций формы (см. подразд. 2.2) формула (37) с коэффициентами (39) будет точна для всего множества многочленов не выше второй степени, проходящих через заданные точки. Она получила название форцулы Симпсона и записывается в общем вида так:
(40)
Формула Симпсона оказывается точной и для любого многочлена третьей степени, проходящего через те же три точки. Это следствие интересного свойства степенных многочленов, заключающегося в том, что интеграл от любого из бесконечного множества многочленов третьей степени, проходящих через три равноотстоящие точки, имеет одно и то же значение, равное интегралу от единственного многочлена второй степени, проходящего через те же точки.
Докажем, что это свойство действительно существует. Запишем многочлены второй и третьей степени в форме Тейлора, приняв нуль за центр разложения:
(41)
(42)
Составим условия прохождения многочленов через три заданные точки
. (43)
(44)
(45)
Вычисляя из (41) и (42) значения многочленов и подставляя их в (43)-(45), получаем
(46)
(47)
(48)
Почленно складывая равенства (46) и (48) с учетом (47), получаем, что у таких многочленов в средней точке равны не только их значения, но и значения вторых производных:
(49)
(50)
Найдем теперь интегралы от многочленов:
(51)
(52)
Учитывая (49) и (50), убеждаемся, что значения интегралов равны.
3. Теперь найдем оценку погрешности формулы Симпсона в случае применения ее для интегрирования произвольной функции f(x). Разложим вблизи нуля эту функцию в степенной ряд. Поскольку формула Симпсона точна для многочленов третьей степени, ее ошибку для функции f(x) можно оценить, удерживая в разложении остаточный член, пропорциональный четвертой степени:
(53)
Из (53) найдем все значения, необходимые для подстановки в левую и правую части формулы Симпсона
(54)
(55)
при допущении, что :
(56)
(57)
Подставляя (55) в левуп часть (54), а (56) и (57) - в правую часть (54) и приводя подобные, получаем
(58)
Отсюда находим оценку погрешности формулы Симпсона
(59)
3.3. Составные формулы
Пусть теперь подынтегральная функция задана в (n+1) точка интервала интегрирования. Способом, рассмотренным выше, можно найти соответствующую квадратурную формулу. Но на практике поступают иначе. К каждому интервалу между точками применяют формулу трапеций и полученные результаты складывают:
(60)
Таким образом, интеграл вычисляют по составной формуле трапеций
(61)
Так как здесь формула трапеций применена раз, можно приближенно принять, что погрешность составной формулы в n раз больше погрешности формулы трапеций:
(62)
Аналогично, если количество подинтервалов n, на которые разбит интервал интегрирования, есть четное число n = 2k, то к каждой паре подинтервалов можно применить формулу Симпсона и получить составную формулу Симпсона:
(63)
Так как формула Симпсона применена раз, можно приближенно принять, что погрешность составной формулы Симпсона в раз больше погрешности формулы Симпсона:
(64)
3.4. Практическая оценка погрешности численного интегрирования
Значения производных и в формуле (62), (64) неизвестны, поэтому сделать оценку погрешности непосредственно по этим формулам невозможно. На практике для этого пользуются приемом Рунге. Интеграл вычисляют дважды:
Если обозначить результаты вычислений по составной формуле трапеций через ZH и Zh соответственно, то "точное" значение интеграла можно выразить через эти величины:
(65)
(66)
Вычитая из (66) почленно (65), можно получить погрешность RT :
(67)
Аналогично можно получить оценку погрешности при расчетах по составной формуле Симпсона:
(68)
Следует подчеркнуть, что формулы (67), (68) дают оценку погрешности приближенного результата Zh.
3.5. Пример численного интегрирования функции
Пусть подынтегральная функция задана таблицей.
|
X |
0,00 |
0,75 |
1,50 |
2,25 |
3,00 |
|
f(x) |
0,0000 |
0,6816 |
0,9975 |
0,7781 |
0,1411 |
Вычислим значение интеграла
и оценим погрешность результата.
1. Определяем шаги h = 0,75 и H = 1,5.
2. Вычисляем интеграл Zh. с одинарным шагом h по составной формуле Симпсона (63):
3. Вычисляем интеграл ZH с двойным шагом Н:
4. Находим оценку абсолютной погрешности:
5. Уточняем значение интеграла:
Заметим теперь, что в нашем примере задана таблица функции f(x) = Sin(x) и значение интеграла с точностью до четырех знаков после запятой на самом деле равно 1,9900. Таким образом, абсолютная погрешность величины Zh в действительности составляет -0,0037, а погрешность уточнённого значения интеграла +0,0011.
Экзаменационные вопросы по курсу «Информатика и основы технологии программирования» (для металлургических специальностей)
РЕКОМЕНДУЕМАЯ ЛИТЕРАТУРА
ОСНОВНАЯ ЛИТЕРАТУРА
ДОПОЛНИТЕЛЬНАЯ ЛИТЕРАТУРА
УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКАЯ ЛИТЕРАТУРА
Виконав: ст. групи ЗМБ – 10-1ск
________________________________
Прийняв старший викладач
Зубкевич В.Ю.____________________
Міністерство освіти, науки, молоді та спорту України
ДВНЗ «Криворізький національний університет»
Кафедра Моделювання та програмного забезпечення
ДОМАШНЯ РАБОТА
по курсу
«Інформатика»
Варіант 01
Кривий Ріг
2012 г.