Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
36)ус-е определенности, неопределенности
Система m линейных уравнений с n неизвестными (или, линейная система) в линейной алгебре — это система уравнений вида
Здесь x1, x2, …, xn — неизвестные, которые надо определить. a11, a12, …, amn — коэффициенты системы — и b1, b2, … bm — свободные члены — предполагаются известными. Индексы коэффициентов (aij) системы обозначают номера уравнения (i) и неизвестного (j), при котором стоит этот коэффициент, соответственно[1].
Система (1) называется однородной, если все её свободные члены равны нулю (b1 = b2 = … = bm = 0), иначе — неоднородной.
Система (1) называется совместной, если она имеет хотя бы одно решение, и несовместной, если у неё нет ни одного решения.
Совместная система вида (1) может иметь одно или более решений.
Решения c1(1), c2(1), …, cn(1) и c1(2), c2(2), …, cn(2) совместной системы вида (1) называются различными, если нарушается хотя бы одно из равенств:
|
c1(1) = c1(2), c2(1) = c2(2), …, cn(1) = cn(2). |
Совместная система вида (1) называется определённой, если она имеет единственное решение; если же у неё есть хотя бы два различных решения, то она называется неопределённой
37)Решение систем линейных уравнений методом Гаусса
Пусть исходная система выглядит следующим образом
Матрица A называется основной матрицей системы, b — столбцом свободных членов.
Тогда согласно свойству элементарных преобразований над строками основную матрицу этой системы можно привести к ступенчатому виду(эти же преобразования нужно применять к столбцу свободных членов):
При этом будем считать, что базисный минор (ненулевой минор максимального порядка) основной матрицы находится в верхнем левом углу, то есть в него входят только коэффициенты при переменных [3].
Тогда переменные называются главными переменными. Все остальные называются свободными.
Если хотя бы одно число , где i > r, то рассматриваемая система несовместна.
Пусть для любых i > r.
Перенесём свободные переменные за знаки равенств и поделим каждое из уравнений системы на свой коэффициент при самом левом (, где — номер строки):
,
где
Если свободным переменным системы (2) придавать все возможные значения и решать новую систему относительно главных неизвестных снизу вверх (то есть от нижнего уравнения к верхнему), то мы получим все решения этой СЛАУ. Так как эта система получена путём элементарных преобразований над исходной системой (1), то по теореме об эквивалентности при элементарных преобразованиях системы (1) и (2) эквивалентны, то есть множества их решений совпадают.
|
Следствия: 2: Если количество переменных в системе превосходит число уравнений, то такая система является либо неопределённой, либо несовместной. |
Упомянутое выше условие для всех может быть сформулировано в качестве необходимого и достаточного условия совместности:
Напомним, что рангом совместной системы называется ранг её основной матрицы (либо расширенной, так как они равны).
|
Теорема Кронекера-Капелли. Следствия:
|
Описание
Алгоритм решения СЛАУ методом Гаусса подразделяется на два этапа.
Метод Гаусса требует порядка O(n3) действий.
Этот метод опирается на:
|
Теорема (о приведении матриц к ступенчатому виду). |
38) т о совместности одн. системы
Система совместна тогда и только тогда, когда ранг её основной матрицы равен рангу её расширенной матрицы.
для однородной системы это всегда выполнено, т.е. однородная система всегда имеет одно решение
однородная система имеет ненулевое решение если ранг матрицы меньше числа неизвестных
Если свободные члены системы (1) равны нулю, то система называется однородной.
Для того, чтобы однородная система n линейных уравнений с n неизвестными обладала ненулевыми решениями, необходимо и достаточно, чтобы ее определитель был равен нулю.
Для решения однородных систем линейных уравнений удобно пользоваться методом Гаусса.
Пример. Решить систему:
Решение:
Ранг матрицы следовательно, система имеет нетривиальные решения:
Положим для свободных переменных
Общее решение:
40) Линейное, или векторное пространство над полем P — это непустое множество L, на котором введены операции сложения, то есть каждой паре элементов множества ставится в соответствие элемент того же множества, обозначаемый и
умножения на скаляр (то есть элемент поля P), то есть любому элементу и любому элементу ставится в соответствие единственный элемент из , обозначаемый .
При этом на операции накладываются следующие условия:
, для любых (коммутативность сложения);
, для любых (ассоциативность сложения);
существует такой элемент , что для любого (существование нейтрального элемента относительно сложения), в частности L не пусто;
для любого существует такой элемент , что (существование противоположного элемента относительно сложения).
(ассоциативность умножения на скаляр);
(унитарность: умножение на нейтральный (по умножению) элемент поля P сохраняет вектор).
(дистрибутивность умножения на вектор относительно сложения скаляров);
(дистрибутивность умножения на скаляр относительно сложения векторов).
Элементы множества L называют векторами, а элементы поля P — скалярами. Свойства 1-4 совпадают с аксиомами абелевой группы.
Простейшие свойства
Векторное пространство является абелевой группой по сложению.
Нейтральный элемент является единственным, что вытекает из групповых свойств.
для любого .
Для любого противоположный элемент является единственным, что вытекает из групповых свойств.
для любого .
для любых и .
для любого .
Связанные определения и свойства
Подпространство
Алгебраическое определение: Линейное подпространство или векторное подпространство ― непустое подмножество K линейного пространства L такое, что K само является линейным пространством по отношению к определенным в L действиям сложения и умножения на скаляр. Множество всех подпространств обычно обозначают как Lat(L). Чтобы подмножество было подпространством, необходимо и достаточно, чтобы
;
для всякого вектора , вектор также принадлежал K, при любом ;
для всяких векторов , вектор также принадлежал K.
Последние два утверждения эквивалентны следующему:
для всяких векторов , вектор также принадлежал K для любых .
В частности, пространство, состоящее из одного элемента {θ}, является подпространством любого пространства; любое пространство является само себе подпространством. Подпространства, не совпадающие с этими двумя, называют собственными или нетривиальными.
[править]Свойства подпространств
Пересечение любого семейства подпространств — снова подпространство;
Сумма конечного семейства подпространств — снова подпространство. Сумма подпространств определяется как множество, содержащее всевозможные суммы элементов Ki:
.
В функциональном анализе в бесконечномерных пространствах особо выделяют замкнутые подпространства.
Базис. Размерность
Конечная сумма вида
называется линейной комбинацией элементов с коэффициентами .
Линейная комбинация называется нетривиальной, если хотя бы один из её коэффициентов отличен от нуля.
Элементы называются линейно зависимыми, если существует их нетривиальная линейная комбинация, равная нулевому элементу θ. В противном случае эти элементы называются линейно независимыми.
Бесконечное подмножество векторов из L называется линейно зависимым, если линейно зависимо его некоторое конечное подмножество, и линейно независимым, если любое его конечное подмножество линейно независимо.
Число элементов (мощность) максимального линейно независимого подмножества пространства не зависит от выбора этого подмножества и называется рангом, или размерностью, пространства, а само это подмножество — базисом (базисом Га́меля или линейным базисом). Элементы базиса также называют базисными векторами. Свойства базиса:
Любые n линейно независимых элементов n-мерного пространства образуют базис этого пространства.
Любой вектор можно представить (единственным образом) в виде конечной линейной комбинации базисных элементов: