Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
Вариант № 19
В задачах 1…9 найти неопределённые интегралы, ответ проверить дифференцированием.
1. . Проверка: .
Ответ: .
2. . Интегрируем по частям: . . Проверка: .
Ответ: .
3. .
Проверка: .
Ответ: .
4. . Выделяем целую часть дроби и разлагаем дробную часть на простые дроби. . Проверка: .
Ответ: .
5. . Разлагаем дробь на простые дроби и интегрируем. : . Полагая , получим , полагая , получим . Приравняем коэффициенты при : . Приравняем коэффициенты при : . Таким образом, .
Проверка: .
Ответ: .
6. . Интегрируем с помощью замены переменной. .
Проверка: .
Ответ: .
7. . Интегрируем с помощью замены переменной. .
Проверка: .
Ответ: .
8. . Интегрируем с помощью замены переменной.
.
Проверка: . Ответ: .
9. . Интегрируем с помощью замены переменной. .
Проверка: .
Ответ: .
Задачи 10-11. Вычислите несобственные интегралы или установите их расходимость.
10. . Интеграл расходится. Ответ: . Интеграл расходится.
11. . Интеграл сходится.
Ответ: . Интеграл сходится.
Задачи 12-13. Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями.
12. . Найдём точки пересечения линий: .
Тогда . Ответ: .
13. . Это астроида. Найдём точки пересечения линий: . .
Ответ: .
14. Вычислите длину дуги кривой (L): (кардиоида).
.
Ответ: .
15. Найдите объём тела вращения плоской фигуры (S) вокруг оси OX.
. Ответ: .
16. Вычислите площадь поверхности вращения дуги (L) вокруг оси OX.
.
Ответ: .
Задачи 17…18. Вычислите интегралы, воспользовавшись справочниками по высшей математике.
17. . По справочнику находим: .
Ответ: . (Г.Б. Двайт. Таблицы интегралов и другие математические формулы.)
18. . По справочнику находим: .
Ответ: .
19. Цилиндрическая цистерна с горизонтальной осью наполовину наполнена маслом (удельный вес 0.9). Определите давление масла на каждую из плоских стенок цилиндра, если радиус R=2 м.
Уравнение окружности . Разобьём боковую стенку на горизонтальные полоски. На уровне y давление на элементарную полоску составит величину ΔF=−γyΔS (знак минус, так как координата y отрицательна), где γ – плотность масла, а . Дифференциал силы давления будет равен . Тогда .
Ответ: т.
20. Деревянный поплавок цилиндрической формыс площадью основания S=4000 см2 и высотой H=50 см плавает на поверхности воды. Удельный вес дерева г/см3. Какую работу нужно совершить,чтобы вытащить поплавок из воды?
Полный вес поплавка равен . Этот вес уравновешивается выталкивающей силой за счёт погружённой в воду части поплавка. Пусть глубина погружения равна H0. Тогда . При поднятии поплавка на высоу x, появляется вес поплавка, который не скомпенсирован силой выталкивания: . Элементарная работа по поднятию поплавка на высоту dx составит величину . Интегрируя, находим: . Подставляя сюда исходные данные, получим: кГм. Ответ: кГм.
40
R
Δy
y
x