Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
Вопрос17
Проблемы обоснования анализа. Больцано, Коши, Вейерштрасс, арифметизация анализа. Теория множеств Кантора.
За обоснование анализа взялись Больцано, Коши, Вейерштрасс.
О. Коши (1789-1857гг) решил построить мат. анализ. на понятии предела. Определил (тщательно) понятия: функция, предел, непрерывность, производная, дифференциал, интеграл, сх. и расх. ряды. Все определения правильные, но громоздкие. Он считал, что из непрерывности следует дифференцируемость, что функциональный ряд, члены которого непрерывные функции, также сходятся к непрерывной функции. Сформулировал критерий Коши – признак сходимости рядов, но не доказал его достаточность. Определил понятие непрерывности функции, но не проверял используемые им функции на непрерывность. Определил бесконечно малую, как переменную величину, предел которой = 0. Доказал 1-ый замечательный предел ().
Больцано. Его работы не были замечены ≈ 50 лет. Он открыл равномерную сходимость функциональных рядов. С него начинается арифметизация мат.ан., т.е. сведение основ мат.ан. к простейшим понятиям:
Z и N чисел.
Основной вклад в этом отношении принадлежит Вейерштрассу (1815-1897гг). Свои результаты он излагал на лекциях в берлинском университете (1872г.). Он построил функцию, непрерывную, но не диф. ни в одной точке. Мат.ан он строит на понятии предела и иррацион. числа.
В XIX в. были построены математические модели действит. числа Вейерштрассом, Дедекиндом, Кантором (1845-1918гг). С помощью понятий действит. числа удалось свести мат.ан. к арифметике. Действит. числа стали основой всей математики. Т.к. арифметика непротиворечива => непротиворечивость мат.ан.
Георг Кантор. Создал новое направление – теорию множеств. Для сравнения бесконечных множеств используется принцип взаимно-однозначного соответствия. Кантор вел понятие мощности и произвел классификацию мощностей. Создает арифметику ординальных чисел. Низшей мощностью является счетная мощность, континуум – более высокая. Доказал теорему о существовании сколь угодно высоких мощностей. Ввел в обращение ординальные числа (порядковые) для обозначения множеств. Доказано существование иррациональных и трансцендентных чисел. Теория множеств Кантора была принята не сразу. В настоящее время теория множеств – основа всей математики. Множество – первоначальное понятие. В 1895г. сам Кантор и другие математики столкнулись с парадоксами в теории множеств. Кантор решил рассмотреть множество всех множеств. Но множество всех мыслимых множеств должно иметь самую высокую мощность. Но мощность подмножеств больше. Значит должно существовать множество, мощность которого больше самой большой мощности. Кантор пришел к мысли, что все множества нужно разделить на противоречивые и непротиворечивые. Множество всех множеств – противоречиво. Его нужно исключить из рассмотрения.