Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
2.5 Фундаментальным положением квантовой теории является вывод о том, что элементарные частицы (в том числе и электроны) обладают свойством корпускулярного волнового дуализма. Поэтому движение свободных электронов в металле можно рассматривать как распространение плоских электронных волн. Длина волны, соответствующая электрону, определяется соотношением де Бройля
l=h/Р, м, (1.18)
Где h - постоянная Планка, Дж×с; P=mvе - импульс электрона, кг×м/с; m - масса электрона, кг, vе - тепловая скорость электрона, м/с.
При анализе спектра энергий электронов удобно пользоваться понятием волнового числа k, которое определяется соотношением
k=(2p/l), м-1. (1.19)
Выражая значение импульса электрона P в формуле (1.18) через значение волнового числа k из (1.19), получим следующее выражение, связывающее импульс, точнее, квазиимпульс электрона P и волновое число k:
P=(h/2p)k=ћk, (1.20)
где= h/2p=1,05×10-34 Дж×с – постоянная Дирака.
Кинетическая энергия электрона в кристалле находится из выражения
Wк=P2/2m, Дж. (1.21)
Следовательно, импульс электрона определяется из соотношения
, (1.22)
а волновое число электрона равно
(1.23)
Подставляя значение P из (1.20) в формулу (1.21), получим выражение для спектра энергии электрона Wк(k), то есть для зависимости энергии электрона W от волнового числа k
(1.24)
где величина m* имеет размерность массы и формально определяется, как эффективная масса электрона.
3.7 Квантово-размерный эффект
Квантово-размерный эффект — эффект, связанный с квантованием энергии носителей заряда, движение которых ограничено в одном, двух или трёх направлениях. При ограничении бесконечного кристалла потенциальными барьерами или при создании границ возникают дискретные уровни квантования. В принципе, дискретный спектр возникает в любом ограниченном потенциальными стенками объёме, но практически наблюдается только при достаточно малом размере тела, поскольку эффекты декогеренции приводят к уширению энергетических уровней и поэтому энергетический спектр воспринимается как непрерывный. Поэтому наблюдение квантово-размерного эффекта возможно только если хотя бы один из размеров кристалла достаточно мал. Например, типичным примером квантово-размерного эффекта может служить двойная гетероструктура AlGaAs/GaAs/AlGaAs с двумерным электронным газом, где электроны находящиеся в слое GaAs ограничены высокими потенциальными барьерами AlGaAs, то есть для электронов формируется потенциальная яма, описываемая дном зон проводимости двух материалов, малого размера (обычно порядка 10 нм) и возникают дискретные уровни, которые соответствуют движению электронов поперёк слоя GaAs, хотя продольное движение остаётся свободным. Эти уровни эффективно сдвигают зону проводимости вверх по энергии. В результате изменяется ширина запрещённой зоны GaAs и соответственно происходит сдвиг в синюю область края межзонного поглощения. Аналогично, но с большим изменением запрещённой зоны квантово-размерный эффект наблюдается в квантовых точках, где электрон ограничен по всем трём координатам.
Принцип неопределённости
Энергия размерного квантования является следствием принципа неопределённости в квантовой механике. Если частица ограничена в пространстве в пределах расстояния L (допустим ограничен вдоль направления z), неопределённость z-компоненты ее импульса возрастает на величину порядка . Соответствующее увеличение кинетической энергии частицы дается выражением , где — эффективная масса частицы. Кроме увеличения минимальной энергии частицы квантовый размерный эффект приводит также к квантованию энергии её возбуждённых состояний. Энергии возбуждённых состояний для бесконечного одномерного потенциала прямоугольной ямы выражаются как , где n = 1,2,3,…
3.8 Плотность состояний
Плотность состояний — величина, определяющая количество энергетических уровней в интервале энергий на единицу объёма в трёхмерном случае (на единицу площади — в двумерном случае). Является важным параметром в статистической физике и физике твёрдого тела. Термин может применяться к фотонам, электронам, квазичастицам в твёрдом теле и т. п. Применяется только для одночастичных задач, то есть для систем где можно пренебречь взаимодействием (невзаимодействующие частицы) или добавить взаимодействие в качестве возмущения (это приведёт к модификации плотности состояний).
Определение
Чтобы вычислять плотность состояний энергии для частицы, мы сначала вычислим плотность состояний в обратном пространстве (импульсное или k-пространство). Расстояние между состояниями задано граничными условиями. Для свободных электронов и фотонов в пределах ящика размера L, и для электронов в кристаллической решётке с размером решётки L используем периодические граничные условия Борна — фон Кармана. Используя волновую функцию свободной частицы получаем
где n — любое целое число, а — расстояние между состояниями с различными k. Полное количество k-состояний, доступных для частицы - объем k-пространства доступного для неё, разделённого на объём k-пространства, занимаемого одним состоянием. Доступный объем - просто интеграл от к . Объём k-пространства для одного состояния в n-мерном случае запишется в виде
— вырождение уровня (обычно это спиновое вырождение, равное 2). Это выражение нужно продифференцировать, чтобы найти плотность состояний в k-пространстве: . Чтобы найти плотность состояний по энергии, нужно знать закон дисперсии для частицы, то есть выразить k и dk в выражении g(k)dk в терминах E и dE.
Например для свободного электрона: , С более общим определением связано
где индекс s соответствует некоторому состоянию дискретного или непрерывного спектра, а — дельта-функция Дирака. При переходе от суммирования к интегрированию следует использовать правило
где — постоянная Планка.
Примеры
В следующей таблице представлены плотность состояний для электронов с параболическим
законом дисперсии
Доступный объём Объём для одного состояния Плотность состояний
где l— индекс подзоны размерного квантования. Здесь рассмотрен не чистый случай, а когда квантование по одному или нескольким направлениям связано с некоторым ограничивающим потенциалом.