Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
8.Ф-я одн.пер. Опр. Спос.зад. Гр-ки. Мет.постр.
1.1. Понятие функции одной переменной
Рассмотрим два числовых множества X и Y. Правило f, по которому каждому числу хI Х ставится в соответствие единственное число yI Y, называется числовой функцией, заданной на множестве Х и принимающей значения во множестве Y.
Таким образом, задать функцию, значит задать три объекта:
1) множество Х (область определения функции);
2) множество Y (область значений функции);
3) правило соответствия f (сама функция).
Например, поставим в соответствие каждому числу его куб. Математически это можно записать формулой y=x3. В этом случае правилоf есть возведение числа х в третью степень. В общем случае, если каждому х по правилу f соответствует единственный y, пишут y = f(x). Здесь "х" называют независимой переменной или аргументом, а "y" -зависимой переменной (т.к. выражение типа x3 само по себе не имеет определенного числового значения пока не указано значение х) или функцией от х. О величинах х и y говорят, что они связаны функциональной зависимостью. Зная все значения х и правило f можно найти все значения у. Например, если х=2, то функция f(x) =x3 принимает значение у= f(2) =23 =8.
1.2. Способы задания функции одной переменной
Существуют несколько способов задания функции.
Аналитический способ. Функция f задается в виде формулы y=f(x). Например, y=3cos(x)+2x2. Этот способ является преобладающим в математических исследованиях и подробно рассматривается в классическом курсе математики. В географических исследованиях соответствие между переменными величинами x и y не всегда удается записать в виде формулы. Во многих случаях формула бывает неизвестна. Тогда для выражения функциональной зависимости используются другие способы.
Графический способ. На метеорологических станциях можно наблюдать работу приборов-самописцев, регистрирующих величины атмосферного давления, температуры воздуха, его влажности в любой момент времени суток. По полученному графику можно определить значения указанных величин в любой момент времени. Графиком функции y=f(x) называется множество всех точек плоскости с координатами (x, f(x)). График содержит всю информацию о функции. Имея перед собой график, мы как бы "видим функцию".
Табличный способ. Этот способ является наиболее простым. В одной строке таблицы записываются все значения аргумента (числа), а в другой – значения f(x), соответствующие каждому х. Например, зависимость температуры воздуха (Т) от времени суток (t) в определенный день можно представить таблицей.
9.Прдл.ф-и в тчк. Опр. Геом.см.
1. Функция одной переменной. Определение предела функции в точке по Коши. Число b называется пределом функции у = f(x) при х, стремящемся к а (или в точке а), если для любого положительного числа e существует такое положительное число d, что при всех х ≠ а, таких, что |x – a | < d, выполняется неравенство
| f(x) – a | < e .
Определение предела функции в точке по Гейне. Число b называется пределом функции у = f(x) при х, стремящемся к а (или в точке а), если для любой последовательности {xn}, сходящейся к а (стремящейся к а, имеющей пределом число а), причем ни при каком значении n хn ≠ а, последовательность {yn = f(xn)} сходится к b.
Данные определения предполагают, что функция у = f(x) определена в некоторой окрестности точки а, кроме, быть может, самой точки а.
Определения предела функции в точке по Коши и по Гейне эквивалентны: если число b служит пределом по одному из них, то это верно и по второму.
Указанный предел обозначается так:
Геометрически существование предела функции в точке по Коши означает, что для любого числа e > 0 можно указать на координатной плоскости такой прямоугольник с основанием 2d > 0, высотой 2e и центром в точке (а; b), что все точки графика данной функции на интервале (а–d; а + d), за исключением, быть может, точки М(а; f(а)), лежат в этом прямоугольнике
Геометрический смысл того, что x О
|
· |
|
O |
(x0) Ю f(x) О O (A) поясняет рис.1
На этом рисунке проколотая окрестность
|
· |
|
O |
(x0) точки x0 изображена красным отрезком на оси OX из которого исключена точка x0. Окрестность O (A)точки A изображена розовым отрезком на оси OY. Очевидно, что образ окрестности
|
· |
|
O |
(x0) при отображении y = f(x) содержится в O (A).
10.Св-во ф-ий, им.прдл.в тчк.
I. Если функция имеет предел при х → а, то только один.
II. Если функция имеет предел при х → а, то она ограничена в некоторой окрестности точки a.
11.Ариф.опер.над ф-ями им.прдл.в тчк.
Пусть функции и имеют в точке пределы и эти пределы соответственно равны и . Тогда функции , имеют в точке пределы, равные соответственно Если кроме этого, , то в точке существует предел функцииравный .
Доказательство. Пусть - произвольная сходящаяся к последовательность значений аргумента, элементы которой отличны от . Тогда последовательности и сходятся соответственно к пределам и . Но тогда, в силу теоремы 3.7, последовательности
и (при ) имеют пределы, соответственно равные и . Последнее утверждение, в силу определения предела функции по Гейне, означает, что , ,
12.Ф-я б.м.в тчк. Опр. Св-ва.
Функция называется бесконечно малой функцией (б.м.ф.) при (или в точке ), если
Функция является бесконечно малой (б.м) функцией при .
Основные свойства бесконечно малых функций
1° Сумма конечного числа б.м функций является функцией б.м.
2° Произведение б.м функции на ограниченную есть функция б.м.
3° Произведение двух б.м функций есть функция б.м.
4° Произведение б.м функции на константу является б.м функцией.
5° Частное от деления б.м функции на функцию, предел которой не равен нулю, есть функция б.м.
6° Функция , обратная к б.м функции , есть функция бесконечно большая. Верно и обратное.
Задание. Доказать, что функция является бесконечно малой в точке .
Доказательство. Из того, что делаем вывод, что функция является б.м при . Функция является ограниченной: . А тогда их произведение , согласно свойству №3, является функцией б.м.
13.Ф-я б.б. Опр. Св-ва. Связь с б.м.Пр.
Функция называется бесконечно большой при , если для любого положительного числа существует такое число , что для всех , удовлетворяющих неравенству , выполняется неравенство . Записывается: .
Теорема о связи между бесконечно большой и бесконечно малой функциями:
Если функция - функция бесконечно малая (), то функция есть бесконечно большая функция и наоборот.
14.Теор.о ф-и, её пределе и б.м.
Теорема 1 (о связи предела с бесконечно малой функцией). Для того, чтобы существовал
f(x) = A, |
необходимо и достаточно, чтобы функцию f(x) можно было представить в виде
|
f(x) = A + α(x), |
где α(x) — бесконечно малая функция при x → x0.