тематики Курсовая работа по линейной алгебре и аналитической геометрии студентки I курса 1033.html

Работа добавлена на сайт samzan.net:

Международный университет природы, общества и человека

«Дубна»

Кафедра высшей математики

Курсовая работа

по линейной алгебре и аналитической геометрии

студентки I курса 1033 группы

Ярмак Елены Владимировны

«Исследование кривых и поверхностей

второго порядка»

Руководители: старший преподаватель Маркова И. А.

ассистент Павлов А. С.

Дубна, 2002

Задание 2

Для данного уравнения поверхности второго порядка:

1. Исследовать форму поверхности методом сечений и построить полученные сечения.

2. Построить поверхность в канонической системе координат.

Цель

Целью курсовой работы является закрепление и углубление полученных студентом знаний и технических навыков по изучению и анализу свойств кривых и поверхностей второго порядка.

Задача

Определить зависимость типа данной кривой от параметра  с помощью инвариантов. Привести уравнение кривой при  = 0 к каноническому виду, применяя преобразования параллельного переноса и поворота координатных осей. Найти фокусы, директрисы, эксцентриситет и асимптоты (если они есть) данной кривой второго порядка. Написать уравнения осей канонической системы координат. Построить кривую в канонической и общей системах координат.

Исследовать форму данной поверхности методом сечений и построить полученные сечения. Построить поверхность в канонической системе координат.

Исходные данные

Уравнение кривой второго порядка:

Уравнение поверхности второго порядка:

Их инварианты и классификация.

Анализ кривой второго порядка

Для данного уравнения кривой второго порядка:

(1)

1. Определение зависимости типа данной кривой (1) от параметра  с помощью инвариантов

Для уравнения кривой второго порядка (1) имеем:

Вычислим инварианты кривой

В соответствии с классификацией кривых второго порядка:

Если I2 = 0, то уравнение (1) определяет кривую параболического типа. Но
I2 = -306-11 , следовательно, если , то уравнение (1) определяет кривую параболического типа. Но при этом , следовательно, если , то уравнение (1) определяет параболу.

Если I2  0, то данная кривая – центральная. Следовательно, при данная кривая – центральная.

Если I2 > 0, то уравнение (1) определяет кривую эллиптического типа. Следовательно, если , то данная кривая есть кривая эллиптического типа. Но при этом I1I3 = (1-)(4885-306) < 0, и в соответствии с признаками кривых второго порядка (I2 > 0, I1I3 < 0) получим, что если , то уравнение (1) определяет эллипс.

Если I2 < 0, то уравнение (1) определяет кривую гиперболического типа. Следовательно, если , то уравнение (1) определяет кривую гиперболического типа.

Если I2 < 0 и I3 = 0, то уравнение (1) определяет две пересекающиеся прямые. Получим:

Следовательно, если , то уравнение (1) определяет две пересекающиеся прямые.

Если I2 < 0 и I3  0, то данная кривая – гипербола. Но I3  0 при всех за исключением точки . Следовательно, если , то уравнение (1) определяет гиперболу. Используя полученные результаты, построим таблицу:

Значение параметра 
Тип кривой	Эллипс	Парабола	Гипербола	Две пересекающиеся прямые	Гипербола

2. Приведение уравнения кривой при  = 0 к каноническому виду, применяя преобразования параллельного переноса и поворота координатных осей

При  = 0 уравнение (1) принимает следующий вид:

(2)

Согласно таблице, это гипербола. Приведем уравнение кривой (2) к каноническому виду, применяя преобразования параллельного переноса и поворота координатных осей.
Мы установили, что данная кривая – центральная, поэтому используем методику приведения к каноническому виду для уравнения центральной кривой.

а) Совершим параллельный перенос начала координат в точку . При этом координаты x, y произвольной точки М плоскости в системе координат xOy и координаты x’, y’ в новой системе координат x’O’y’ связаны соотношениями:

Подставляя эти выражения для x и y в уравнение (1), получим:

Раскрывая скобки и приводя подобные члены, получим уравнение вида

В этом уравнении коэффициенты при x’ и y’ приравняем к нулю. Получим систему уравнений относительно

которая определяет координаты центра исходной кривой. Следовательно, , - решение данной системы и точка О’(2, 4) – центр данной кривой. Подставим найденные значения в уравнение (2), получим

(3)

б) Дальнейшее упрощение уравнения (3) достигается при помощи поворота осей координат на угол .

При повороте осей координат на угол  координаты x’, y’ произвольной точки М плоскости в системе координат х’O’y’ и координаты Х, Y в новой системе координат XO’Y связаны соотношениями:

. (4)

Подставляя (4) в уравнение кривой (3), получим:

Раскроем скобки и приведем подобные члены, получим уравнение вида:

(5)

Выберем угол  такой, что в уравнении (5) коэффициент при произведении XY равен нулю:

Это требование эквивалентно уравнению:

(6)

Решая уравнение (6), получим:

Tg=k, k – угловой коэффициент оси О’Х. Он определяется формулой:

1 – корень характеристического уравнения данной кривой, совпадающий со знаком I3. Характеристическое уравнение для данной кривой (1) имеет вид

Следовательно,

Тогда получим, что , через tg найдем sin и cos:

. .

Подставляя эти значения в уравнение (5), получим:

т. е. преобразование уравнения будет иметь вид

и, соответственно, уравнение

- это каноническое уравнение исходной гиперболы с центром в точке O’(2, 4) и полуосями и .

3. Нахождение фокусов, директрис, эксцентриситета и асимптот (если они есть) данной кривой второго порядка

Найдем фокусы гиперболы. Коoрдинаты F1,2 равны (с, 0), с определяется по формуле:

Следовательно, точки и - фокусы данной гиперболы.

Найдем эксцентриситет гиперболы:

Найдем директрисы гиперболы:

D1: D2: .

Найдем асимптоты гиперболы:

4. Вывод уравнения осей канонической системы координат

Напишем уравнения осей канонической системы координат. Из задания 2 известно, что точка О’(2, 4) – центр данной кривой. Оттуда же известен угловой коэффициент оси O’X . Напишем уравнения осей новой системы координат XO’Y в исходной системе координат xOy. Так как система XO’Y – каноническая для данной гиперболы, то ее центр находится в центре кривой – точке О’(2, 4), т е. оси О’X и O’Y проходят через точку О’. Уравнение прямой, проходящей через данную точку , с заданным угловым коэффициентом k имеет вид:
Следовательно, ось О’X в системе координат xOy имеет уравнение или

Так как ось О’Y перпендикулярна оси О’X, то ее угловой коэффициент Следовательно, ось О’Y имеет уравнение или .

5. Построение кривой в канонической и общей системах координат

На основе полученной информации, нарисуем кривую в канонической и общей системах координат:

Рис. 1. Кривая в общей и канонической системах координат.

Рис. 2. Кривая в канонической системе координат.

Анализ поверхности второго порядка

Для данного уравнения поверхности второго порядка:

(7)

1. Исследование формы поверхности методом сечений и построение полученных сечений

1) Для того чтобы исследовать поверхность методом сечений, сначала приведем уравнение (7) к каноническому виду с помощью параллельного переноса и поворота осей координат.

Совершим параллельный перенос начала координат в точку . При этом координаты x, y, z произвольной точки М плоскости в системе координат Oxyz и координаты x’, y’, z’ в новой системе координат O’x’y’z’ связаны соотношениями:

Подставляя эти выражения для x, y, z в уравнение (7), получим:

Раскрывая скобки и приводя подобные члены, получим уравнение вида

(8)

В уравнении (8) коэффициенты при x,’ y’, z’ приравняем к нулю. Получим систему уравнений относительно ,

которая определяет координаты центра исходной поверхности. Следовательно, , , - решение данной системы и точка – центр данной поверхности. Подставим найденные значения , в уравнение (8), получим

. (9)

Дальнейшее упрощение уравнения (3) достигается при помощи поворота осей координат на угол . При повороте осей координат O’Y и O’Zна угол  координаты y’, z’ произвольной точки М плоскости yOz в системе координат O’х’y’z’ и координаты Y, Z в новой системе координат O’XYZ связаны соотношениями:

. (10)

Подставляя (10) в уравнение поверхности (9) с последующим раскрытием скобок и приведением подобных членов, получим уравнение вида:

(11)

Выберем угол  такой, что в уравнении (11) коэффициент при произведении YZ равен нулю:

Получим, что , . Чтобы выбрать нужный , решим характеристическое уравнение для эллипса :

Отсюда вычислим угловой коэффициент поворота осей k:

Следовательно, cos = sin = .

Подставляя эти значения в уравнение (11), получим:

т. е. уравнение

(12)

– это каноническое уравнение для данной поверхности, которое задает эллипсоид с полуосями и . Т. к. a=b, то эллипсоид называется сплюснутым.

2) Данное каноническое уравнение (12) задает эллипсоид.

Рассмотрим линии, полученные в сечениях эллипсоида плоскостями Z=h (h=const). Эти линии определяются системой уравнений:

Решая эту систему, получаем:

(13)

где h – любое вещественное число. Уравнения (13) – это уравнения окружностей с радиусом , уменьшающимся с увеличением h, с центрами на оси O’Z в точках C(0, 0, h). Плоскость XO’Y (h=0) пересекает эллипсоид по окружности:

Эта окружность будет наибольшей, как видно из выражения радиуса. При получаем уравнение:

т. е. сечения в таких значениях h будут представлять собой точки в центре координат полученных сечений. При получаем отрицательное число под корнем, т. е. при таких значениях h плоскость XO’Y не пересекает данный эллипсоид. При получаем окружность:

Изобразим полученные сечен

ия:

Рис. 3. Сечение плоскостью Z=h.

Рассмотрим линии, полученные в сечениях эллипсоида плоскостью X=h:

Решая эту систему, получаем:

(14)

где h – любое вещественное число. Уравнения (14) – это уравнения эллипсов с полуосями:

уменьшающимися с увеличением h, с центрами на оси O’X в точках C(h, 0, 0) и осями, параллельными плоскости YO’Z.

Плоскость YO’Z (h=0) пересекает эллипсоид по эллипсу

Этот эллипс будет наибольшим, как видно из выражения полуосей. При получаем уравнение

т. е. сечения в таких значениях h будут представлять собой точки в центре координат полученных сечений. При получаем

т. е. при таких значениях h плоскость YO’Z не пересекает данный эллипсоид. При получаем эллипс:

Изобразим полученные сечения:

Рис. 4. Сечение плоскостью X=h.

Аналогичная картина получаются при сечении эллипсоида плоскостью XO’Z.

2. Построение поверхности в канонической системе координат

Проанализировав каноническое уравнение эллипсоида (12) и на основе данных исследований методом сечений плоскостями, построим эллипсоид:

Рис. 5. Эллипсоид.

Вывод

Мы научились приводить уравнения кривых и поверхностей второго порядка к каноническому виду, применяя параллельный перенос и поворот осей, строить их, исследовать поверхность методом сечений. Также мы приобрели навыки оформления текстовых документов.

Список использованной литературы

Ильин В. А., Позняк Г. Аналитическая геометрия. – М.: Наука, 1974
1. Ефимов А. В., Демидович Б. П. Сборник задач по математике для ВТУЗов (4 части). – М.: Наука, 1993.

Преподаватель.

Оценка.

Подпись.

Дата.

1. Классификация органов исполнительной власти и виды правонарушений
2. Реферат- Философия активной материи
3. тематичних наук Донецьк ~ Дисертацією є рукопис Робота виконана на кафедрі фі
4. Волинь Уласа Самчука художнiй лiтопис української iсторiї XX столiття
5. новая школа на период 20112014 года Утверждаю- Директор ГОУ СО
6. Лекция 7 Дивидендная политика
7. і Аналізуються питання єдності та відмінності моралі і права урегулюванні життєдіяльності суспільства і лю
8. Предании и 11 глав Нила Сорского
9. я Параллель ~
10. Выбор и теплотехнический расчет наружных ограждающих конструкций здания
11. ПЕТЕРБУРГА Оплата части стоимости путевки за счет средств бюджета СанктПетербурга на летние каникулы
12. Использование пенициллиназы в биотехнологии
13. Бытие есть небытия же нет Что означает рассмотрение утверждения Парменида Бытие есть небытия же нет
14. Вступ 2 Радянський Союз в умовах росту військової небезпеки 3
15. Реферат- Умеете ли вы общаться.html
16. Душа и разум Научи меня душу отдать Каждой строчке и каждому слову Чтоб достойно держать ответ
17. ПРАКТИКУМ для студентов обучающихся по направлениям подготовки бакалавров 190600 Эксплуатация транс
18. Электронная книга
19. реферат дисертації на здобуття наукового ступеня кандидата медичних наук Київ ~ Дисертацією є
20. сотрудник Центра европейской социологии Коллеж де Франс и факультета социологии Калифорнийского университ

Материалы собраны группой SamZan и находятся в свободном доступе

Будь умным!