Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
Вопрос№12. Теплоотдача при свободном движении жидкости вдоль вертикальной пластины. Р скоростей, температур теплоносителя.
Теплоотдача при свободном ламинарном движении вдоль вертикальной пластины.
Пусть вертикальная пластина с неизменной температурой поверхности, равной tc, находится в жидкости или газе. Жидкость вдали от пластины неподвижна (вынужденное течение отсутствует), температура жидкости вдали от пластины постоянна и равна t0. Для простоты вычисления примем, что tc>t0 (однако полученные результаты будут справедливы и для обратного соотношения температур). При этом у пластины появляется подъемное движение нагретого слоя жидкости. Вдали от пластины скорость по-прежнему равна нулю. Расположим начало координат у нижней кромки пластины, а ось Оу нормально к ее поверхности (рис. 10.1). Будем полагать, что пластина вдоль оси Oz бесконечна. Процесс стационарный
Рис. 10.1. К выводу формулы для коэффициента теплоотдачи при свободной тепловой конвекции
Для упрощения решения задачи примем следующие допущения:
силы инерции пренебрежимо малы по сравнению с силами тяжести и вязкости;
конвективный перенос теплоты, а также теплопроводность вдоль движущегося слоя жидкости можно не учитывать;
градиент давления равен нулю;
физические параметры жидкости (исключая плотность) постоянны; плотность является линейной функцией температуры.
Будем полагать, что температура в движущемся слое жидкости изменяется по уравнению
согласно условию задачи θc=const. Уравнение (10.1) удовлетворяет граничным условиям (a); коэффициент теплоотдачи определяется уравнением (10.2):
Из уравнения (10.1) следует, что
Подставляя значение (dθ/dy)y=0 в уравнение теплоотдачи (10.2), получаем выражение (10.3). Толщина движущегося слоя жидкости переменна по высоте и связана со скоростью движения в этом слое. Поле скоростей описывается уравнением движения. При принятых условиях течение происходит в основном в направлении оси Ох, поэтому используем уравнение движения только в проекциях на ось Ох. Для стационарного течения т с учетом ранее принятых допущений уравнение движения упрощается. В результате вместо уравнения (4.18) будем иметь
При линейной зависимости плотности от температуры
Подставляя значение θ согласно (10.1) в уравнение (10.4) и учитывая последнее соотношение для плотности, уравнение движения можно написать следующим образом
Интегрирование уравнения движения даёт
Примем следующие граничные условия для скорости: ωx=0 как при у=0, так и при у=δ. Отметим, что, строго говоря, при y=δ (θ=0) скорость может быть не равна нулю. Это объясняется действием сил вязкости. Движущиеся частицы могут увлекать за собой слои жидкости, находящиеся в изотермических условиях. При принятых граничных условиях из уравнения (b) следует, что
Подставив значения c1 и с2 в уравнение (b) и произведя некоторые преобразования, получим следующее уравнение распределения скоростей в движущемся слое жидкости: На рис. 10.2 приведено распределение скоростей согласно уравнению (10.5). Здесь же представлена кривая температур согласно уравнению (10.1)
.
Рис. 10.2. Распределение температуры и скорости согласно уравнениям (10.1) и (10.5)
Максимум скорости соответствует значению
Заметим, что распределение скоростей при y=δ не удовлетворяет условию (dωx/dy)y=δ=0. Производная при у=δ имеет конечное значение. Это обстоятельство является следствием приближенности решения. Характер изменения скорости на внешней границе движущегося слоя показан пунктирной линией. Согласно уравнению (10.5) среднеинтегральная скорость равна:
Для простоты решения среднюю температуру жидкости в слое определим приближенно как среднеинтегральную по сечению слоя (интегрирование согласно формуле (6.1) дает: что при малых θс незначительно отличается от θс/3) и получим выражение (10.7). Таким образом, при принятых условиях величина средней температуры слоя не зависит от координаты x. Расход жидкости через поперечное сечение слоя 6·1 равен:
Расход жидкости определен по плотности ρ0. При этом полагаем, что жидкость плотностью ρ0, вовлекаясь в движущийся слой, приобретает в среднем скорость . Подставляя в (c) значение согласно уравнению (10.6), получаем:\
В движение вовлекается жидкость с первоначальной температурой t0. В движущемся слое эта жидкость нагревается до различных температур, лежащих в интервале от t0 до tc. Можно считать, что в среднем жидкость нагревается до температуры . На этот нагрев затрачивается теплота
Приравнивая правые части уравнений (d) и (f), получаем дифференциальное уравнение, описывающее изменение δ по высоте стенки - выражение (g). Интегрируя это уравнение получаем:
Постоянную интегрирования с найдем из условия, что при х=0 δ=0. Отсюда с=0. Из уравнения (h) следует, что
\
Согласно уравнению (10.3) =2λ/δ. Подставляя сюда значение δ, получаем выражение (10.10)
Приведем уравнение (10.10) к безразмерному виду, для чего левую и правую части уравнения умножим на х и разделим на λ. После некоторых преобразований получим:
Как следует из уравнения (10.11), Nux=ƒ(GrxPr). Такой же результат дает теория подобия. Произведение чисел Gr и Рr часто называют числом Рэлея и обозначают символом Ra. В рассматриваемом случае температуры tc и t0 постоянны, следовательно, неизменен и температурный напор θc=tc—t0. При этом осреднение коэффициента теплоотдачи по уравнениям (6.21) и (6.22) дает один и тот же результат. Из уравнения (10.11) следует, что =сх–0,25, где c≠ƒ(х). При этом
где - местный коэффициент теплоотдачи в точке, определяемой координатой х=. Тогда средняя теплоотдача вертикальной пластины при tc=const в ламинарном течении
Коэффициенты пропорциональности в формулах (10.11) и (10.12) нуждаются в некоторых уточнениях. Формулы (10.11) и (10.12) получены при ряде упрощающих допущений. В частности, при выводе этих формул не учитывались силы инерции. Расчеты, проведенные с учетом сил инерции, показывают, что коэффициент пропорциональности в формулах (10.11) или (10.12) зависит от числа Прандтля. Результаты точных решений, выполненных Польгаузеном, Шу, Саундерсом, Греггом и Спэрроу, приведены на графике рис. 10.3.
Рис. 10.3. Зависимость теплоотдачи при свободной конвекции от числа Прандтля 1 — qc=const, 2 — tc=const
Здесь c=Nux(GrxPr)–0,25. Наиболее существенно проявляется влияние инерционных сил при небольших значениях чисел Прандтля. Кроме того, из рис. 10.3 следует, что интенсивность теплоотдачи при постоянной температуре стенки примерно на 7% меньше, чем при постоянной плотности теплового потока на стенке. Экспериментальные исследования показывают, что при числах Прапдтля, больших примерно 0,7, опытные данные можно описать формулой вида (10.11) или (10.12) с постоянными коэффициентами, однако значение коэффициентов несколько иное, чем в полученных ранее формулах. Помимо других причин, величина коэффициентов пропорциональности зависит от выбора определяющей температуры. Для расчета местных коэффициентов теплоотдачи при свободном ламинарном течении вдоль вертикальных стенок можно использовать формулу:
Здесь определяющей является температура жидкости за пределами движущегося слоя (Рrc выбирается по местной температуре стенки). Определяющий размер (продольная вдоль потока координата) отсчитывается от места начала теплообмена. На рис. 10.4 формула (10.13) сопоставлена с опытными данными.
Рис. 10.4. Теплоотдача при свободной конвекции у вертикальной поверхности в большом объеме жидкости
Формула (10.13) получена при условии, что qc=const. Осредняя коэффициенты теплоотдачи согласно уравнению (6.21), получаем, что при qc=const:
Здесь определяющей температурой по-прежнему является температура жидкости за пределами движущегося слоя, определяющий размер — длина пластины, отсчитываемая от начала теплообмена.
Формула (10.13) получена для теплоносителей с числами Прандтля от 0,7 до 3×103. Ею следует пользоваться при 103<GrжxРrж<109. Уравнение (10.13) получено при условии qc=const. Исходя из графика рис. 10.3, для случая tc=const значение коэффициента пропорциональности в формуле (10.13) в первом приближении может быть взято равным примерно 0,55. При этом
Теплоотдача при свободном турбулентном движении вдоль вертикальной пластины.
По данным работ развитое турбулентное течение наступает при числах GrжxРrж≥6×1010 (рис. 10.4). Для местных коэффициентов теплоотдачи при развитом турбулентном течении предложена формула
Определяющие температура и линейный размер в выражении (10.15) выбраны так же, как и в формуле (10.13). Линейный размер входит в числа Nu и Gr. Отсюда следует, что при развитом турбулентном течении коэффициент теплоотдачи не зависит от линейного размера и, следовательно, местный коэффициент теплоотдачи равен среднему.