Понятие об уравнении линии на плоскости

Работа добавлена на сайт samzan.net:

PAGE  27

AnGeom

Аналитическая геометрия.

Оглавление.

Линейные образы в R2.

1. Понятие об уравнении линии на плоскости.

2. Прямая линия на плоскости.

3. Угол между двумя прямыми. Условие параллельности и

    перпендикулярности прямых.

Линейные образы в R3.

4. Понятие алгебраической поверхности.

4.а. Плоскость.

5. Прямая линия в пространстве.

5.а. Каноническое уравнение прямой в пространстве.

5.б. Приведение общего уравнения прямой к каноническому виду.

6. Угол между двумя прямыми.

7. Прямая и плоскость.

8. Кривые второго порядка.

8.а.  Окружность.

8.б.  Эллипс.

8.в. Гипербола.

8.г. Парабола.

Полярная система координат.

Предмет аналитической геометрии - это изучение геометрических образов с помощью алгебры (их положение, вид, а не размеры). Точка – исходный элемент, все остальное – совокупность точек.

ЛИНЕЙНЫЕ  ОБРАЗЫ  В  R2

1. Понятие об уравнении линии на плоскости.

Рассмотрим прямоугольную систему координат на плоскости, определяемую ортонормированным базисом ,    и точкой  – началом координат. Пусть на плоскости дана какая-нибудь линяя.

Определение 1. Уравнением данной линии (в выбранной системе координат) называется такое уравнение

с двумя переменными, которому удовлетворяют координаты  и  каждой точки, лежащей на этой линии, и не удовлетворяют координаты никакой точки,  не лежащей на ней.

Пример. 1)   или   уравнение биссектрисы  и  координатных углов (рис. 1).

2) Уравнение окружности с центром в начале координат радиуса (рис. 2.):

  или    .   

Произвольную точку на линии называют текущей точкой. В дальнейшем, рассматривая уравнения с двумя переменными, мы не исключаем возможности, что левая часть уравнения содержит еще и другие символы:    и т.д., но в таком случае мы будем предполагать, что они представляют собой фиксированные числа, и будем называть их постоянными параметрами уравнения. Например, в уравнении:

параметрами являются    и  , а в уравнении окружности:

параметр - радиус   и координаты центра .

Составить уравнение линии (или, вообще говоря, геометрического образа), значит, исходя из свойств линии, установить зависимость между координатами текущей точки и параметрами. Этот метод позволяет свести изучение линий к изучению их уравнений, т.е. задачи геометрии свести к задачам алгебры.

Основным предметом изучения в аналитической геометрии являются линии, определяемые по отношению к декартовым прямоугольным  координатам алгебраическими уравнениями. Это суть уравнения следующих видов:

                          (1)

                (2)

       (3)

Уравнения (1), (2), (3) соответственно общие уравнения 1-ой, 2-ой, 3-ей степени.

Определение 2. Линия, которая в некоторой системе декартовых прямоугольных координат определяется алгебраическим уравнением степени , называется алгебраической линией    порядка.

2. Прямая линия на плоскости

Вектор  - перпендикулярный прямой, назовем нормальным вектором прямой, а вектор , параллельный прямой, назовем направляющим вектором (рис. 3.). Пусть  - угол между прямой и положительным направлением оси , угол наклона прямой,  - угловой коэффициент прямой.

Вектор  назовем приведенным направляющим вектором.

Типы уравнений прямой.

Название уравнения определяется названием постоянных величин, определяющих положение прямой линии в системе координат.

1.  Уравнение прямой линии, проходящей через данную точку , перпендикулярно данному вектору   имеет вид:

                              (1)

Оно вытекает из условия того, что скалярное произведение взаимно перпендикулярных векторов равно нулю.

Действительно, возьмем на прямой произвольную точку . Образуем текущий вектор , направленный из точки  в точку . Этот вектор будет иметь координаты , и направлен он будет вдоль прямой. Второй вектор – это данный вектор  . Скалярное произведение этих векторов равно нулю, отсюда и вытекает уравнение прямой.

1.  Общее уравнение прямой линии:

                                          (2)

где коэффициенты при неизвестных  суть координаты нормального вектора прямой. Действительно, раскроем скобки в предыдущем уравнении:

Теорема 1. Всякая прямая на плоскости имеет уравнение первой степени, и всякое уравнение первой степени является уравнением некоторой прямой.

Следствия.

a)  – уравнение прямой, параллельной оси  (, уравнение оси  ),

б)   - уравнение прямой, параллельной оси  (, уравнение оси  ),

в)  - прямая линия, проходящая через начало координат.

Замечание. При переменном коэффициенте  - это будут уравнения пучка прямых, проходящих через начало координат.

1.  Уравнение прямой линии, проходящей через данную точку , параллельно данному вектору   (каноническое):

                                           (3)

Вектор вдоль прямой  коллинеарен вектору , отсюда это условие.

1.  Уравнение прямой, проходящей через данную точку в заданном направлении:

                                           (4)

Замечание. При переменном коэффициенте  уравнение  называется уравнением пучка прямых линий, проходящих через точку  .

1.  Уравнение прямой линии с угловым коэффициентом (рис. 4):

                                                            (5)

Здесь    . К этому виду нельзя привести прямую, параллельную оси  .

1.  Уравнение прямой, проходящей через две данные точки:

                                               (6)

Действительно, пусть даны две точки   и  , через которые должна пройти наша прямая. На этой прямой возьмем текущую точку и образуем два вектора:  и . Эти два вектора коллинеарные, отсюда и вытекает уравнение.

Замечание.  Если  ,   то уравнение прямой  ;  если  , то .

3. Угол между двумя прямыми. Условие параллельности и перпендикулярности.

1) Пусть прямые линии заданы общими уравнениями:

         ,

где нормальные векторы:    и 2,   - угол между векторами   и , т.е. угол между прямыми.  Тогда:

                          (7)

Условие параллельности прямых эквивалентно условию коллинеарности их нормальных векторов:

                                                       (8)

Условие перпендикулярности прямых – ортогональность векторов  и :

                                               (9)

2) Пусть прямые линии заданы с угловыми коэффициентами  (рис. 5):  ,  

где     .       Тогда

.

Это вытекает из формулы тангенса суммы углов. , , , ,           (*).

За  принимаем угловой коэффициент той прямой, которую надо вращать против хода часовой стрелки, чтобы обойти угол  до совмещения со второй прямой.

Условие параллельности прямых:   .

Условие перпендикулярности прямых:  .

Расстояние точки   от прямой  определяется формулой:

                                             (10)

Доказательство смотри в другом файле.

Замечания.

1. Если две прямые  и   заданы в каноническом виде, то угол между ними можно рассматривать как угол между их направляющими векторами , а значит,

              (11)

Пример 1.  Даны точки  ,  ,  .

Найти:

1) Уравнение прямой  .

Согласно уравнению  (6) (уравнение прямой, проходящей через две точки), запишем:

,    или    .

2) Уравнение прямой  , проходящей через точку , параллельно прямой  .

Согласно уравнению (1), (уравнение прямой, проходящей через точку параллельно данному вектору) точка   это точка  , параллельно прямой    значит перпендикулярно ее нормальному вектору  . Следовательно, запишем

.

3) Уравнение прямой , проходящей через точку , перпендикулярно прямой  .

Перпендикулярно прямой, значит параллельно ее нормальному вектору, в нашем случае . Точка   это точка  . Согласно уравнению  (3), запишем

4) Уравнение медианы    треугольника  .

На медиане    образуем текущий вектор .

Найдем координаты точки   - середины стороны  :

Образуем вектор ,  расположенный параллельно текущему вектору . Тогда, в силу условия параллельности векторов, получим уравнение медианы   :

,   или     .

5)  Уравнение высоты  .

На высоте  возьмем текущую точку  и образуем текущий вектор . Так как , где , то условие перпендикулярности этих векторов порождает уравнение прямой   (скалярное произведение векторов равно нулю):  

 или    .

6)  Длину высоты  .

Заметим, что длина высоты   равна расстоянию от точки    до прямой . Чтобы воспользоваться формулой (10), сначала найдем уравнение прямой  .

На стороне   образуем текущий вектор .

Запишем условие параллельности векторов , где :

,  или в общем виде   .

Теперь, подставляя известные данные в формулу (10), имеем:

.

Пример 2. Дана прямая  :    и точка   .

Найти:

1)  Для прямой  уравнение с угловым коэффициентом, угловой коэффициент  , отрезок, отсекаемый по оси ординат.

Разрешив уравнение прямой  относительно , получаем уравнение с угловым коэффициентом:

:   .   Отсюда   ,   .

1.  Нормаль и направляющий вектор прямой  - .

Коэффициенты при переменных   в общем уравнении прямой , есть координаты нормального вектора, то есть .

Поскольку направляющий вектор   прямой  – это любой ненулевой вектор, параллельный этой прямой, то выполняется условие (перпендикулярность векторов):

     где      .

Дадим величине   какое-нибудь значение. Пусть, например, , тогда   ,  то есть  . Получаем направляющий вектор .

1.  Каноническое уравнение прямой   .

Для составления канонического уравнения (3)  прямой   нам необходимо знать точку  , лежащую на  , и направляющий вектор . Так как координаты вектора  были получены нами ранее в задание 2, осталось найти координаты точки  .

Зафиксируем произвольное значение, например,  и подставим его в уравнение прямой . Получим . Следовательно, .

Воспользовавшись теперь каноническим уравнением прямой  (10), находим:

.

1.  Уравнение прямой , параллельной  -  и проходящей через точку .

Прежде всего, заметим, что точка   не лежит на прямой , поскольку ее координаты не удовлетворяют уравнению этой прямой. Поэтому можно построить прямую , проходящую через   параллельно , но не совпадающую с  .

Пусть  - текущая точка прямой . Так как текущий вектор  перпендикулярен вектору нормали  прямой , то . Отсюда получаем уравнение прямой   :

    или      

1.  уравнение прямой , перпендикулярной  -    и проходящей через точку .

Пусть  - текущий вектор прямой . Из условия параллельности   и нормали  прямой   , получаем уравнение  :

 .

Пример 3.   Проверить, являются ли прямые линии

,       

1.  Параллельными.

Прямые   и   будут параллельны, если их нормали . Из общего уравнения прямой   найдем нормаль . Чтобы найти нормаль 2 приведем уравнение прямой   к общему виду: .   Отсюда .

Поскольку условие параллельности векторов  и 2 не выполняется, так как  , стало быть,     и     не параллельны.

б)  Перпендикулярными.

Прямые  и  будут перпендикулярны, если 2. Но условие перпендикулярности для векторов  и 2 не выполняется, так как . Следовательно,   не перпендикулярна  .

в)  Найти угол  между     и   .

Угол между прямыми равен углу между их нормалями. Поэтому, используя формулу угла между двумя векторами, получим

.

Так  как  , , , то  .

ЛИНЕЙНЫЕ  ОБРАЗЫ  В  R3

4. Понятие алгебраической поверхности.

Определение. Алгебраической поверхностью называется множество, которое в какой-нибудь декартовой системе координат может быть задано уравнением вида:

где все показатели степени – целые неотрицательные числа. Наибольшая из сумм:  называется степенью уравнения, а также периодом алгебраической поверхности. Это определение означает, в частности, что сфера является алгебраической поверхностью второго порядка.

Перейдем к рассмотрению конкретных линейных образов в пространстве R3.

4.а. Плоскость.

1.  Уравнение плоскости , проходящей через данную точку , перпендикулярно данному вектору (рис. 6).

- текущая точка плоскости . Вектор . Для любой точки плоскости векторы  и  ортогональны, следовательно, их скалярное произведение равно  .

.

В уравнении перейдём к координатной форме:

.                    (12)

Уравнение (12) называется уравнением плоскости, проходящей через данную точку, перпендикулярно данному вектору.

2. Общее уравнение плоскости - это уравнение  степени с неизвестными  ,  которое  имеет вид:

.                                        (13)

3.  Уравнение плоскости, проходящей через три данные точки (рис. 7).

Пусть плоскости  принадлежат три точки ,  ,  .  - текущая точка плоскости, тогда векторы , ,  компланарны и, следовательно, смешанное произведение этих векторов равно нулю.

, или .            (14)

4. Уравнение плоскости «в отрезках»:

           (15)

где  а,b,с – величины отрезков, отсекаемых плоскостью от начала координат на осях координат (рис. 8).

5. Расстояние точки от плоскости.

Дана плоскость    -   и точка  вне плоскости, тогда расстояние   точки   от плоскости  имеет вид:

                                    (16)

6. Угол между двумя плоскостями. Условие параллельности и перпендикулярности двух плоскостей (рис. 9).

Даны две плоскости:

        и  

       

и  ; - нормальные векторы к соответствующим данным плоскостям.

За угол между двумя плоскостями принимается  угол между их нормальными векторами:

                      (17)

Если плоскости параллельны, то векторы  и  коллинеарны, и, следовательно,  

                                              (18)

условие параллельности двух плоскостей.

Если плоскости перпендикулярны, то

                (19)

условие перпендикулярности двух плоскостей.

5. Прямая линия в пространстве.

Прямую линию в пространстве можно представить как пересечение двух плоскостей, то есть совокупность двух уравнений плоскостей. Систему двух непараллельных уравнений (плоскостей) называют общими уравнениями прямой:

.

 

5.а. Канонические уравнения прямой в пространстве.

Каждый не равный нулю вектор, лежащий на данной прямой или параллельный ей, называется направляющим вектором данной прямой и обозначается: .

Если известна точка , прямой и направляющий вектор , то прямая может быть определена (двумя) уравнениями вида:

,                                      (20)

которые называются каноническими уравнениями прямой.

Канонические уравнения прямой, проходящей через две данные точки   и   имеют вид:

.                                       (21)

Обозначив буквой  каждое из равных отношений в канонических уравнениях, мы получим: .   Отсюда

.                                                        (22)

Уравнения (22) есть параметрические уравнения прямой, проходящей через точку , параллельно вектору  . В уравнениях (22)  рассматривается как произвольно изменяющийся параметр;   - как функции от  .  При изменении  величины   меняются так, что точка  движется по данной прямой.

5.б. Приведение общих уравнений прямой к каноническому виду.

Пусть прямая линия задана общими уравнениями:

,                                (23)

где  ,    – нормальные векторы заданных плоскостей .

Выберем на прямой определенную точку  . Для этого, например,    зададим произвольно, а    и    получим из системы  (23).

В качестве направляющего вектора возьмем вектор  :

.

Следовательно, каноническое уравнения  прямой, соответствующее  системе (23), имеет вид:

                            (24)

6. Угол между двумя прямыми.

За угол между двумя прямыми

,       ,

принимается угол между их направляющими векторами.

Здесь ,   – направляющие вектора данных прямых:

                    (25)

Условие параллельности двух прямых:

                                      (26)

Условие перпендикулярности двух прямых:

                           (27)

Пример 4. Составить каноническое уравнение прямой  , проходящей через две заданные точки:  ,   .

Согласно формуле (21) запишем:

.

Пример 5. Составить уравнение прямой , проходящей через точку  параллельно прямой :

Решение. На прямой  образуем текущий вектор  . Из канонического уравнения прямой  находим направляющий вектор  , здесь  . Так как , то  для любой точки   . Используя теперь условие параллельности, получаем канонические уравнения прямой :

.

Пример 6. Известны уравнения двух прямых:

:  ,     и     :

1.  Проверить, являются ли   и  параллельными.
   1.  Проверить, являются ли   и  перпендикулярными.
   2.  Найти угол  между прямыми  и .

Решение.

а) Из условия параллельности прямых имеем, , если их направляющие вектора  и  параллельны. Координаты вектора  легко получаются из заданных канонических уравнений прямой : . Для прямой , определяемой пересечением плоскостей, направляющий вектор  находится как векторное произведение: =, где , .

Вычисляем,

.

Так как координаты векторов  и  не пропорциональны, то условие параллельности для векторов  и  не выполняется, а значит,  не параллельна .

b) Из условия перпендикулярности прямых,  , если . Так как , то условие перпендикулярности векторов  и  не выполняется. Стало быть,  не перпендикулярна к .

c)  Угол между прямыми найдем по формуле (25):

.

Пример 7. Привести к каноническому виду уравнения прямой:

.

Решение.

Найдем направляющий вектор прямой :

.

За точку , через которую проходит искомая прямая в уравнении (20), можно принять точку пересечения ее с любой из координатных плоскостей, например с плоскостью . Так как при этом  , то координаты  определяются из заданного уравнения прямой, если в нем положить :

.

Откуда находим  ,      и   .

Итак, воспользовавшись теперь общей формулой (20), получаем:

.

7. Прямая и плоскость.

1.  Угол между прямой и плоскостью.

Углом между прямой и плоскостью называется угол между прямой и ее проекцией на плоскость (рис. 11).

Пусть даны плоскость  :  c нормальным вектором   и прямая  с направляющим вектором  .

Угол между векторами  и отличается от угла между прямой и плоскостью на  ;            или    

                       (28)

2) Условие параллельности прямой и плоскости:  

                                      (29)

1.  Условие перпендикулярности прямой и плоскости:

                                                 (30)

Условие того, что прямая лежит в данной плоскости.

  Пусть    данная плоскость  ,  

-  каноническое уравнения прямой, проходящей через точку    , параллельно вектору .

Условие принадлежности прямой плоскости   имеет вид:

                             (31)

Если прямая лежит в плоскости, то она этой плоскости параллельна (первое уравнение) и любая точка прямой удовлетворяет уравнению плоскости (второе уравнение).

Условие того, что две прямые лежат в одной плоскости.

Пусть имеем две прямые:

      и     .

Отсюда, направляющие вектора этих прямых  ,  и точки ,   лежат на соответствующих прямых. Если прямые лежат в одной плоскости, то векторы   и 2 компланарны. Условие того, что две прямые лежат в одной плоскости равносильно условию компланарности этих векторов:  или

.                                 (32)  

Условие (32)  является также  критерием пересечения двух прямых.

Замечание. Если заданы две прямые, то они могут быть в одном из трех следующих соотношений:

1.  параллельны,  ,
2.  пересекаются,  
3.  прямые (1) и (2) скрещиваются (рис. 12), следовательно, . Тогда возникает вопрос об определении расстояния между скрещивающимися прямыми, как высоты параллелепипеда, построенного на векторах , как на сторонах:

.

Пример 8. Найти уравнение плоскости, проходящей через точку  параллельно прямым :

:      и     : .

Решение.

На искомой плоскости образуем текущий вектор . Из канонического уравнения прямой   и параметрического уравнения прямой   получим координаты их направляющих векторов   и . Условие компланарности этих трех векторов  дает уравнение плоскости  α:

.

Пример 9. Найти уравнение плоскости, проходящей через точку   и прямую  :

     .

Решение.

На искомой плоскости образуем текущий вектор .

Уравнение прямой задано пересечением плоскостей, поэтому ее направляющий вектор  определяется из равенств:

.

Так как ,   ,  то   .

На прямой    зафиксируем произвольную точку . Координаты  найдем из системы уравнений заданной прямой, положив в них, например, :

.

Решая эту систему, получим  ,  . Таким образом,  . Соединив точки  и , получим вектор , принадлежащий плоскости  α. 

Для любой точки    выполняется условие компланарности векторов  .   И, так как

не параллелен , то уравнение плоскости дается равенством:

Пример 10. Найти уравнение плоскости α, проходящей через прямые

:       и     : .

Решение. 

Из канонического уравнения прямой   найдем координаты некоторой точки , расположенной на :  и, соединив ее с текущей точкой   , образуем текущий вектор .

Из уравнений прямых получим направляющие вектора , , которые, как и прямые  ,  , принадлежат плоскости  . Так как для любой точки  выполняется условие компланарности векторов  , а  не параллелен 2, то искомая плоскость описывается уравнением:

Остальные семь примеров в другом файле.

8. Кривые второго порядка.

Порядком алгебраического уравнения называется высшая степень входящего в   уравнение неизвестного. Порядок кривой не зависит от выбора осей координат на плоскости.

Общий вид кривой 2-го порядка:

К кривым 2-го порядка относятся эллипс, частным случаем которого является окружность, гипербола и парабола.

8.а Окружность

Пусть   – центр окружности радиуса , тогда уравнение окружности имеет вид:

8.б.  Эллипс (в декартовой системе координат)

Эллипсом называется множество точек плоскости, сумма расстояний от которых до двух данных точек, называемых фокусами эллипса, постоянна и равна   (рис. 13).    

Пусть фокусами эллипса являются точки  и  , при этом               есть  фокальная ось эллипса.   – некоторая точка, принадлежащая эллипсу. По определению эллипса, для любой его точки , имеем:

Пусть ось  совпадает с фокальной осью . Начало координат выберем посередине между фокусами  и  ,  а ось   перпендикулярно фокальной оси. При таком выборе системы координат уравнение эллипса примет вид:

.

Действительно, согласно рисунку 13, . Следовательно, .

Аналогично .   Отсюда, по определению,

Преобразуем полученное уравнение эллипса.

Отсюда получаем искомое уравнение эллипса.

Так как  из    следует, что    т.е.  , то полагают   и получают каноническую (простейшую) форму уравнения эллипса:  

.                 (33)

Эксцентриситет эллипса:       .

– вершины эллипса, a директрисы имеют уравнения:    (рис. 14).                                                        

Параметрические уравнения эллипса (рис. 15):   

8.в. Гипербола

Гиперболой называется множество точек плоскости, разность расстояний которых до двух данных точек, называемых фокусами гиперболы, постоянна и равна   (рис. 16).

Фокальная ось гиперболы  ;   ,  – фокальные радиусы гиперболы,                      

соответствующие точке   .  ;   ,    ( по свойству сторон треугольника).

Каноническое уравнение гиперболы

.

Обозначим  , тогда уравнение гиперболы примет вид:

.    (34)

Вершины гиперболы:    – вещественные вершины;   – мнимые вершины.

Прямые  являются асимптотами гиперболы (рис. 17).

Гипербола состоит из двух несмыкающихся ветвей,  лежащих в углах между прямыми  ,     и неограниченно приближающихся к этим прямым.    вещественная ось,    – мнимая ось.

Эксцентриситет гиперболы   .

Директрисы гиперболы обладают тем свойством, что отношение расстояния любой точки гиперболы до фокуса к расстоянию до соответствующей директрисы есть величина постоянная, равная эксцентриситету гиперболы.

Уравнение директрис      или    .

8.г. Парабола

Параболой называется множество точек плоскости, одинаково удаленных от заданной прямой (директрисы) и заданной точки (фокуса).  Пусть точка  – фокус. Прямая  – директриса параболы;  – произвольная точка параболы,   параметр параболы.

По определению параболы  . Уравнение параболы с вершиной в точке   и директрисой  (см. рис. 18) , заданной уравнением  , имеет канонический вид:

.                                          (35)

Замечание: если положить , то  , то есть   (). Эксцентриситет параболы   = 1.

Другие виды параболы:

2)  (рис. 19) - парабола с осью симметрии , фокусом    и   директрисой   .

3)   - (рис. 20.) парабола с осью симметрии , фокусом    и директрисой   .

4)    - (рис. 21.)  парабола с осью симметрии , фокусом   и директрисой  .

Пример 18.  Установить, что уравнение

определяет эллипс. Найти его центр , полуоси, координаты фокусов , , эксцентриситет и уравнения директрис. Сделать чертеж.

Решение.

1. В заданном уравнении сгруппируем слагаемые, содержащие одноименные координаты и вынесем коэффициенты при квадратах за скобки:

.

Дополним выражения, стоящие в скобках, до полного квадрата и полученные свободные константы перенесем в правую часть:

,

,

.

Разделим обе части уравнения на 45, получим

.

2. Введем новую систему координат , полученную сдвигом по каждой из координатных осей, и связанную со старой декартовой системой координат равенствами:

       (1).

Тогда, исследуемое уравнение кривой относительно новых осей примет вид:

,        .

Это есть канонический вид эллипса с центром , большой полуосью , малой полуосью . Фокусы эллипса располагаются на оси  на расстоянии  от начала координат , в точках ,  в новой системе координат XOY.

Вычисляем, , ,  . Мера сжатия, то есть эксцентриситет, дается равенством . Отсюда .  Директрисы эллипса в системе XOY задаются уравнениями . В нашем случае, .

3. Чтобы найти координаты центра и фокусов в старой системе , воспользуемся равенствами (1), осуществляющими связь систем координат:

центр :                               ,       ,

фокусы           : ,  ,      : ,   .

Уравнения директрис:   .

4. Теперь построим эллипс.  С помощью параллельного переноса системы координат  образуем новую систему координат   так, чтобы новое начало координат  совпадало с точкой . При указанном выборе, оси координат системы  являются осями симметрии эллипса, а точка  - центром симметрии. Теперь симметрично  по оси  отложим отрезки длины  , а по оси   отрезки длины  .   

Соединив найденные вершины, получим эллипс. На оси  симметрично относительно  на расстоянии  отложим точки ,   - фокусы эллипса. Так как директрисы эллипса описываются уравнениями , то они располагаются параллельно  , причем одна из них проходит через точку , другая через  .

Остальные примеры в другом файле.

Полярная система координат.

При решении многих задач аналитической геометрии оказывается более удобным определять положение точки на плоскости не прямоугольными декартовыми координатами, а так называемыми полярными координатами.     

Система полярных координат задается полюсом - точкой  и полупрямой, исходящей из полюса  («луч»  - - полярная ось).

,  . Числа ρ и  определяют положение точки  относительно системы  координат, их называют полярными координатами точки   .

Чтобы установить взаимнооднозначное соответствие между точками плоскости и координатами этой точки, ограничим изменение полярного угла   промежутком   (или иным промежутком длины ). Значения  , удовлетворяющие этому условию, называют главными значениями. Назовем полярные координаты   основными, если  , а   есть главное значение полярного угла, т.е. если    .

Связь между прямоугольными и полярными координатами.

Пусть полюс системы координат совпадает с началом декартовой системы координат, а полярная ось совпадает с положительной полуосью OX. Тогда из :

- это формулы перехода к декартовой системе координат.

Выведем формулы обратного перехода от декартовых координат к полярным.

Полярный радиус – вектор , будучи расстоянием от точки  до начала координат, будет равен:

,   а также,   ,   .

Угол  определяется из условия: t  и знаков функций .

FVB

Y

X

Рис. 1

EMBED Equation.3  

X

R

EMBED Equation.3  

EMBED Equation.3  

x

EMBED Equation.3  

EMBED Equation.3  

EMBED Equation.3  

EMBED Equation.3  

y

O

A

X

Y

EMBED Equation.3  

EMBED Equation.3  

EMBED Equation.3  

EMBED Equation.3  

EMBED Equation.3  

EMBED Equation.3  

EMBED Equation.3  

EMBED Equation.3  

 

Рис. 21

()



F

p

N

X

M

O

D

B

Y

Рис. 20

Рис. 4

Рис. 3.

Рис. 2

Рис. 5

Рис. 6

Рис. 7

Рис. 8

Рис. 9

Рис. 19

Рис. 11

Рис. 12

Рис. 13

Директрисы

Рис. 14

Рис. 15

Рис. 16

Рис. 17

Рис. 18

директрисы

1. 22 Европейская социальная хартия Слайд 2 Европейская социальная хартия документ закрепляющий правовы
2.  Характеристика гайморовой пазухи
3. тема План Загальні відомості про ОС 1
4. объекты; субъекты; содержание земельных правоотношений.
5. Полесско-опольские ландшафтные экотоны
6. Реклама, как разновидность коммуникативного текста
7. рулонного покрытия6мм ц-п стяжки20мм; 2000 от утеплителябазальтоволокнистые плиты 120мм; 250
8. Ковалевский Максим Максимович
9. ВАРИАНТ 28 Задача 1 Определить степень влияния факторов на выпуск продукции- построить факторную мо
10. ТЕМА 16 КОМЕРЦІЙНА КОНЦЕСІЯ ТА ФАКТОРИНГ
11. Тема Юридична відповідальність Мета- актуалізувавши знання отримані учнями в дев~ятому класі розглянути
12. тематики- устанавливается елка развешиваются гирлянды серпантин
13. Электронные ключи
14. Природно-ресурсный потенциал Камчатского края
15.  отставание национальной системы стандартизации и сертификации; 2 обеспечение только единства измерений; 3
16. входной терминальный символ [B] условное выражение [FUNCTION] некоторая функция которая может отсутс
17. Сборка ПК по прайс-листу
18. На тему- Діагностика головних блоків ПК.html
19. гiстарычна складзенай устойлiвай супольнасцi людзей якая характарызуецца агульнасцю мовы побыту культуры
20. Философия как историческая форма мировоззренияИзобразите отношения между понятиями в кругах Эйлера

Материалы собраны группой SamZan и находятся в свободном доступе