Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
PAGE 27
AnGeom
Оглавление.
Линейные образы в R2.
1. Понятие об уравнении линии на плоскости.
Линейные образы в R3.
4.а. Плоскость.
5.а. Каноническое уравнение прямой в пространстве.
8.а. Окружность.
8.б. Эллипс.
8.в. Гипербола.
8.г. Парабола.
Полярная система координат.
ЛИНЕЙНЫЕ ОБРАЗЫ В R2
1. Понятие об уравнении линии на плоскости.
Рассмотрим прямоугольную систему координат на плоскости, определяемую ортонормированным базисом , и точкой – началом координат. Пусть на плоскости дана какая-нибудь линяя.
Определение 1. Уравнением данной линии (в выбранной системе координат) называется такое уравнение
с двумя переменными, которому удовлетворяют координаты и каждой точки, лежащей на этой линии, и не удовлетворяют координаты никакой точки, не лежащей на ней.
Пример. 1) или уравнение биссектрисы и координатных углов (рис. 1).
2) Уравнение окружности с центром в начале координат радиуса (рис. 2.):
или .
Произвольную точку на линии называют текущей точкой. В дальнейшем, рассматривая уравнения с двумя переменными, мы не исключаем возможности, что левая часть уравнения содержит еще и другие символы: и т.д., но в таком случае мы будем предполагать, что они представляют собой фиксированные числа, и будем называть их постоянными параметрами уравнения. Например, в уравнении:
параметрами являются и , а в уравнении окружности:
параметр - радиус и координаты центра .
Составить уравнение линии (или, вообще говоря, геометрического образа), значит, исходя из свойств линии, установить зависимость между координатами текущей точки и параметрами. Этот метод позволяет свести изучение линий к изучению их уравнений, т.е. задачи геометрии свести к задачам алгебры.
Основным предметом изучения в аналитической геометрии являются линии, определяемые по отношению к декартовым прямоугольным координатам алгебраическими уравнениями. Это суть уравнения следующих видов:
(1)
(2)
(3)
Уравнения (1), (2), (3) соответственно общие уравнения 1-ой, 2-ой, 3-ей степени.
Определение 2. Линия, которая в некоторой системе декартовых прямоугольных координат определяется алгебраическим уравнением степени , называется алгебраической линией порядка.
Вектор - перпендикулярный прямой, назовем нормальным вектором прямой, а вектор , параллельный прямой, назовем направляющим вектором (рис. 3.). Пусть - угол между прямой и положительным направлением оси , угол наклона прямой, - угловой коэффициент прямой.
Вектор назовем приведенным направляющим вектором.
Название уравнения определяется названием постоянных величин, определяющих положение прямой линии в системе координат.
(1)
Оно вытекает из условия того, что скалярное произведение взаимно перпендикулярных векторов равно нулю.
Действительно, возьмем на прямой произвольную точку . Образуем текущий вектор , направленный из точки в точку . Этот вектор будет иметь координаты , и направлен он будет вдоль прямой. Второй вектор – это данный вектор . Скалярное произведение этих векторов равно нулю, отсюда и вытекает уравнение прямой.
(2)
где коэффициенты при неизвестных суть координаты нормального вектора прямой. Действительно, раскроем скобки в предыдущем уравнении:
Теорема 1. Всякая прямая на плоскости имеет уравнение первой степени, и всякое уравнение первой степени является уравнением некоторой прямой.
Следствия.
a) – уравнение прямой, параллельной оси (, уравнение оси ),
б) - уравнение прямой, параллельной оси (, уравнение оси ),
в) - прямая линия, проходящая через начало координат.
Замечание. При переменном коэффициенте - это будут уравнения пучка прямых, проходящих через начало координат.
(3)
Вектор вдоль прямой коллинеарен вектору , отсюда это условие.
(4)
Замечание. При переменном коэффициенте уравнение называется уравнением пучка прямых линий, проходящих через точку .
(5)
Здесь . К этому виду нельзя привести прямую, параллельную оси .
(6)
Действительно, пусть даны две точки и , через которые должна пройти наша прямая. На этой прямой возьмем текущую точку и образуем два вектора: и . Эти два вектора коллинеарные, отсюда и вытекает уравнение.
Замечание. Если , то уравнение прямой ; если , то .
1) Пусть прямые линии заданы общими уравнениями:
,
где нормальные векторы: и 2, - угол между векторами и , т.е. угол между прямыми. Тогда:
(7)
Условие параллельности прямых эквивалентно условию коллинеарности их нормальных векторов:
(8)
Условие перпендикулярности прямых – ортогональность векторов и :
(9)
2) Пусть прямые линии заданы с угловыми коэффициентами (рис. 5): ,
где . Тогда
.
Это вытекает из формулы тангенса суммы углов. , , , , (*).
За принимаем угловой коэффициент той прямой, которую надо вращать против хода часовой стрелки, чтобы обойти угол до совмещения со второй прямой.
Условие параллельности прямых: .
Условие перпендикулярности прямых: .
Расстояние точки от прямой определяется формулой:
(10)
Доказательство смотри в другом файле.
Замечания.
1. Если две прямые и заданы в каноническом виде, то угол между ними можно рассматривать как угол между их направляющими векторами , а значит,
(11)
Пример 1. Даны точки , , .
Найти:
1) Уравнение прямой .
Согласно уравнению (6) (уравнение прямой, проходящей через две точки), запишем:
, или .
2) Уравнение прямой , проходящей через точку , параллельно прямой .
Согласно уравнению (1), (уравнение прямой, проходящей через точку параллельно данному вектору) точка это точка , параллельно прямой значит перпендикулярно ее нормальному вектору . Следовательно, запишем
.
3) Уравнение прямой , проходящей через точку , перпендикулярно прямой .
Перпендикулярно прямой, значит параллельно ее нормальному вектору, в нашем случае . Точка это точка . Согласно уравнению (3), запишем
4) Уравнение медианы треугольника .
На медиане образуем текущий вектор .
Найдем координаты точки - середины стороны :
Образуем вектор , расположенный параллельно текущему вектору . Тогда, в силу условия параллельности векторов, получим уравнение медианы :
, или .
5) Уравнение высоты .
На высоте возьмем текущую точку и образуем текущий вектор . Так как , где , то условие перпендикулярности этих векторов порождает уравнение прямой (скалярное произведение векторов равно нулю):
или .
6) Длину высоты .
Заметим, что длина высоты равна расстоянию от точки до прямой . Чтобы воспользоваться формулой (10), сначала найдем уравнение прямой .
На стороне образуем текущий вектор .
Запишем условие параллельности векторов , где :
, или в общем виде .
Теперь, подставляя известные данные в формулу (10), имеем:
.
Пример 2. Дана прямая : и точка .
Найти:
1) Для прямой уравнение с угловым коэффициентом, угловой коэффициент , отрезок, отсекаемый по оси ординат.
Разрешив уравнение прямой относительно , получаем уравнение с угловым коэффициентом:
: . Отсюда , .
Коэффициенты при переменных в общем уравнении прямой , есть координаты нормального вектора, то есть .
Поскольку направляющий вектор прямой – это любой ненулевой вектор, параллельный этой прямой, то выполняется условие (перпендикулярность векторов):
где .
Дадим величине какое-нибудь значение. Пусть, например, , тогда , то есть . Получаем направляющий вектор .
Для составления канонического уравнения (3) прямой нам необходимо знать точку , лежащую на , и направляющий вектор . Так как координаты вектора были получены нами ранее в задание 2, осталось найти координаты точки .
Зафиксируем произвольное значение, например, и подставим его в уравнение прямой . Получим . Следовательно, .
Воспользовавшись теперь каноническим уравнением прямой (10), находим:
.
Прежде всего, заметим, что точка не лежит на прямой , поскольку ее координаты не удовлетворяют уравнению этой прямой. Поэтому можно построить прямую , проходящую через параллельно , но не совпадающую с .
Пусть - текущая точка прямой . Так как текущий вектор перпендикулярен вектору нормали прямой , то . Отсюда получаем уравнение прямой :
или
Пусть - текущий вектор прямой . Из условия параллельности и нормали прямой , получаем уравнение :
.
Пример 3. Проверить, являются ли прямые линии
,
Прямые и будут параллельны, если их нормали . Из общего уравнения прямой найдем нормаль . Чтобы найти нормаль 2 приведем уравнение прямой к общему виду: . Отсюда .
Поскольку условие параллельности векторов и 2 не выполняется, так как , стало быть, и не параллельны.
б) Перпендикулярными.
Прямые и будут перпендикулярны, если 2. Но условие перпендикулярности для векторов и 2 не выполняется, так как . Следовательно, не перпендикулярна .
в) Найти угол между и .
Угол между прямыми равен углу между их нормалями. Поэтому, используя формулу угла между двумя векторами, получим
.
Так как , , , то .
Определение. Алгебраической поверхностью называется множество, которое в какой-нибудь декартовой системе координат может быть задано уравнением вида:
где все показатели степени – целые неотрицательные числа. Наибольшая из сумм: называется степенью уравнения, а также периодом алгебраической поверхности. Это определение означает, в частности, что сфера является алгебраической поверхностью второго порядка.
Перейдем к рассмотрению конкретных линейных образов в пространстве R3.
4.а. Плоскость.
- текущая точка плоскости . Вектор . Для любой точки плоскости векторы и ортогональны, следовательно, их скалярное произведение равно .
.
В уравнении перейдём к координатной форме:
. (12)
Уравнение (12) называется уравнением плоскости, проходящей через данную точку, перпендикулярно данному вектору.
2. Общее уравнение плоскости - это уравнение степени с неизвестными , которое имеет вид:
. (13)
3. Уравнение плоскости, проходящей через три данные точки (рис. 7).
Пусть плоскости принадлежат три точки , , . - текущая точка плоскости, тогда векторы , , компланарны и, следовательно, смешанное произведение этих векторов равно нулю.
, или . (14)
4. Уравнение плоскости «в отрезках»:
(15)
где а,b,с – величины отрезков, отсекаемых плоскостью от начала координат на осях координат (рис. 8).
5. Расстояние точки от плоскости.
Дана плоскость - и точка вне плоскости, тогда расстояние точки от плоскости имеет вид:
(16)
6. Угол между двумя плоскостями. Условие параллельности и перпендикулярности двух плоскостей (рис. 9).
Даны две плоскости:
и
и ; - нормальные векторы к соответствующим данным плоскостям.
За угол между двумя плоскостями принимается угол между их нормальными векторами:
(17)
Если плоскости параллельны, то векторы и коллинеарны, и, следовательно,
(18)
условие параллельности двух плоскостей.
Если плоскости перпендикулярны, то
(19)
условие перпендикулярности двух плоскостей.
Прямую линию в пространстве можно представить как пересечение двух плоскостей, то есть совокупность двух уравнений плоскостей. Систему двух непараллельных уравнений (плоскостей) называют общими уравнениями прямой:
.
5.а. Канонические уравнения прямой в пространстве.
Каждый не равный нулю вектор, лежащий на данной прямой или параллельный ей, называется направляющим вектором данной прямой и обозначается: .
Если известна точка , прямой и направляющий вектор , то прямая может быть определена (двумя) уравнениями вида:
, (20)
которые называются каноническими уравнениями прямой.
Канонические уравнения прямой, проходящей через две данные точки и имеют вид:
. (21)
Обозначив буквой каждое из равных отношений в канонических уравнениях, мы получим: . Отсюда
. (22)
Уравнения (22) есть параметрические уравнения прямой, проходящей через точку , параллельно вектору . В уравнениях (22) рассматривается как произвольно изменяющийся параметр; - как функции от . При изменении величины меняются так, что точка движется по данной прямой.
Пусть прямая линия задана общими уравнениями:
, (23)
где , – нормальные векторы заданных плоскостей .
Выберем на прямой определенную точку . Для этого, например, зададим произвольно, а и получим из системы (23).
В качестве направляющего вектора возьмем вектор :
.
Следовательно, каноническое уравнения прямой, соответствующее системе (23), имеет вид:
(24)
, ,
принимается угол между их направляющими векторами.
Здесь , – направляющие вектора данных прямых:
(25)
Условие параллельности двух прямых:
(26)
Условие перпендикулярности двух прямых:
(27)
Пример 4. Составить каноническое уравнение прямой , проходящей через две заданные точки: , .
Согласно формуле (21) запишем:
.
Пример 5. Составить уравнение прямой , проходящей через точку параллельно прямой :
Решение. На прямой образуем текущий вектор . Из канонического уравнения прямой находим направляющий вектор , здесь . Так как , то для любой точки . Используя теперь условие параллельности, получаем канонические уравнения прямой :
.
Пример 6. Известны уравнения двух прямых:
: , и :
Решение.
а) Из условия параллельности прямых имеем, , если их направляющие вектора и параллельны. Координаты вектора легко получаются из заданных канонических уравнений прямой : . Для прямой , определяемой пересечением плоскостей, направляющий вектор находится как векторное произведение: =, где , .
Вычисляем,
.
Так как координаты векторов и не пропорциональны, то условие параллельности для векторов и не выполняется, а значит, не параллельна .
b) Из условия перпендикулярности прямых, , если . Так как , то условие перпендикулярности векторов и не выполняется. Стало быть, не перпендикулярна к .
c) Угол между прямыми найдем по формуле (25):
.
Пример 7. Привести к каноническому виду уравнения прямой:
.
Решение.
Найдем направляющий вектор прямой :
.
За точку , через которую проходит искомая прямая в уравнении (20), можно принять точку пересечения ее с любой из координатных плоскостей, например с плоскостью . Так как при этом , то координаты определяются из заданного уравнения прямой, если в нем положить :
.
Откуда находим , и .
Итак, воспользовавшись теперь общей формулой (20), получаем:
.
Углом между прямой и плоскостью называется угол между прямой и ее проекцией на плоскость (рис. 11).
Пусть даны плоскость : c нормальным вектором и прямая с направляющим вектором .
Угол между векторами и отличается от угла между прямой и плоскостью на ; или
(28)
2) Условие параллельности прямой и плоскости:
(29)
(30)
Пусть данная плоскость ,
- каноническое уравнения прямой, проходящей через точку , параллельно вектору .
Условие принадлежности прямой плоскости имеет вид:
(31)
Если прямая лежит в плоскости, то она этой плоскости параллельна (первое уравнение) и любая точка прямой удовлетворяет уравнению плоскости (второе уравнение).
Пусть имеем две прямые:
и .
Отсюда, направляющие вектора этих прямых , и точки , лежат на соответствующих прямых. Если прямые лежат в одной плоскости, то векторы и 2 компланарны. Условие того, что две прямые лежат в одной плоскости равносильно условию компланарности этих векторов: или
. (32)
Условие (32) является также критерием пересечения двух прямых.
Замечание. Если заданы две прямые, то они могут быть в одном из трех следующих соотношений:
.
Пример 8. Найти уравнение плоскости, проходящей через точку параллельно прямым :
: и : .
Решение.
На искомой плоскости образуем текущий вектор . Из канонического уравнения прямой и параметрического уравнения прямой получим координаты их направляющих векторов и . Условие компланарности этих трех векторов дает уравнение плоскости α:
.
Пример 9. Найти уравнение плоскости, проходящей через точку и прямую :
.
Решение.
На искомой плоскости образуем текущий вектор .
Уравнение прямой задано пересечением плоскостей, поэтому ее направляющий вектор определяется из равенств:
.
Так как , , то .
На прямой зафиксируем произвольную точку . Координаты найдем из системы уравнений заданной прямой, положив в них, например, :
.
Решая эту систему, получим , . Таким образом, . Соединив точки и , получим вектор , принадлежащий плоскости α.
Для любой точки выполняется условие компланарности векторов . И, так как
не параллелен , то уравнение плоскости дается равенством:
Пример 10. Найти уравнение плоскости α, проходящей через прямые
: и : .
Решение.
Из канонического уравнения прямой найдем координаты некоторой точки , расположенной на : и, соединив ее с текущей точкой , образуем текущий вектор .
Из уравнений прямых получим направляющие вектора , , которые, как и прямые , , принадлежат плоскости . Так как для любой точки выполняется условие компланарности векторов , а не параллелен 2, то искомая плоскость описывается уравнением:
Остальные семь примеров в другом файле.
Порядком алгебраического уравнения называется высшая степень входящего в уравнение неизвестного. Порядок кривой не зависит от выбора осей координат на плоскости.
Общий вид кривой 2-го порядка:
К кривым 2-го порядка относятся эллипс, частным случаем которого является окружность, гипербола и парабола.
8.а Окружность
Пусть – центр окружности радиуса , тогда уравнение окружности имеет вид:
8.б. Эллипс (в декартовой системе координат)
Эллипсом называется множество точек плоскости, сумма расстояний от которых до двух данных точек, называемых фокусами эллипса, постоянна и равна (рис. 13).
Пусть фокусами эллипса являются точки и , при этом есть фокальная ось эллипса. – некоторая точка, принадлежащая эллипсу. По определению эллипса, для любой его точки , имеем:
Пусть ось совпадает с фокальной осью . Начало координат выберем посередине между фокусами и , а ось перпендикулярно фокальной оси. При таком выборе системы координат уравнение эллипса примет вид:
.
Действительно, согласно рисунку 13, . Следовательно, .
Аналогично . Отсюда, по определению,
Преобразуем полученное уравнение эллипса.
Отсюда получаем искомое уравнение эллипса.
Так как из следует, что т.е. , то полагают и получают каноническую (простейшую) форму уравнения эллипса:
. (33)
Эксцентриситет эллипса: .
– вершины эллипса, a директрисы имеют уравнения: (рис. 14).
Параметрические уравнения эллипса (рис. 15):
8.в. Гипербола
Гиперболой называется множество точек плоскости, разность расстояний которых до двух данных точек, называемых фокусами гиперболы, постоянна и равна (рис. 16).
Фокальная ось гиперболы ; , – фокальные радиусы гиперболы,
соответствующие точке . ; , ( по свойству сторон треугольника).
Каноническое уравнение гиперболы
.
Обозначим , тогда уравнение гиперболы примет вид:
. (34)
Вершины гиперболы: – вещественные вершины; – мнимые вершины.
Прямые являются асимптотами гиперболы (рис. 17).
Гипербола состоит из двух несмыкающихся ветвей, лежащих в углах между прямыми , и неограниченно приближающихся к этим прямым. вещественная ось, – мнимая ось.
Эксцентриситет гиперболы .
Директрисы гиперболы обладают тем свойством, что отношение расстояния любой точки гиперболы до фокуса к расстоянию до соответствующей директрисы есть величина постоянная, равная эксцентриситету гиперболы.
Уравнение директрис или .
8.г. Парабола
Параболой называется множество точек плоскости, одинаково удаленных от заданной прямой (директрисы) и заданной точки (фокуса). Пусть точка – фокус. Прямая – директриса параболы; – произвольная точка параболы, параметр параболы.
По определению параболы . Уравнение параболы с вершиной в точке и директрисой (см. рис. 18) , заданной уравнением , имеет канонический вид:
. (35)
Замечание: если положить , то , то есть (). Эксцентриситет параболы = 1.
Другие виды параболы:
2) (рис. 19) - парабола с осью симметрии , фокусом и директрисой .
3) - (рис. 20.) парабола с осью симметрии , фокусом и директрисой .
4) - (рис. 21.) парабола с осью симметрии , фокусом и директрисой .
определяет эллипс. Найти его центр , полуоси, координаты фокусов , , эксцентриситет и уравнения директрис. Сделать чертеж.
Решение.
1. В заданном уравнении сгруппируем слагаемые, содержащие одноименные координаты и вынесем коэффициенты при квадратах за скобки:
.
Дополним выражения, стоящие в скобках, до полного квадрата и полученные свободные константы перенесем в правую часть:
,
,
.
Разделим обе части уравнения на 45, получим
.
2. Введем новую систему координат , полученную сдвигом по каждой из координатных осей, и связанную со старой декартовой системой координат равенствами:
(1).
Тогда, исследуемое уравнение кривой относительно новых осей примет вид:
, .
Это есть канонический вид эллипса с центром , большой полуосью , малой полуосью . Фокусы эллипса располагаются на оси на расстоянии от начала координат , в точках , в новой системе координат XOY.
Вычисляем, , , . Мера сжатия, то есть эксцентриситет, дается равенством . Отсюда . Директрисы эллипса в системе XOY задаются уравнениями . В нашем случае, .
3. Чтобы найти координаты центра и фокусов в старой системе , воспользуемся равенствами (1), осуществляющими связь систем координат:
центр : , ,
фокусы : , , : , .
Уравнения директрис: .
4. Теперь построим эллипс. С помощью параллельного переноса системы координат образуем новую систему координат так, чтобы новое начало координат совпадало с точкой . При указанном выборе, оси координат системы являются осями симметрии эллипса, а точка - центром симметрии. Теперь симметрично по оси отложим отрезки длины , а по оси отрезки длины .
Соединив найденные вершины, получим эллипс. На оси симметрично относительно на расстоянии отложим точки , - фокусы эллипса. Так как директрисы эллипса описываются уравнениями , то они располагаются параллельно , причем одна из них проходит через точку , другая через .
Остальные примеры в другом файле.
Полярная система координат.
При решении многих задач аналитической геометрии оказывается более удобным определять положение точки на плоскости не прямоугольными декартовыми координатами, а так называемыми полярными координатами.
Система полярных координат задается полюсом - точкой и полупрямой, исходящей из полюса («луч» - - полярная ось).
|
|
, . Числа ρ и определяют положение точки относительно системы координат, их называют полярными координатами точки . |
Чтобы установить взаимнооднозначное соответствие между точками плоскости и координатами этой точки, ограничим изменение полярного угла промежутком (или иным промежутком длины ). Значения , удовлетворяющие этому условию, называют главными значениями. Назовем полярные координаты основными, если , а есть главное значение полярного угла, т.е. если .
Связь между прямоугольными и полярными координатами.
Пусть полюс системы координат совпадает с началом декартовой системы координат, а полярная ось совпадает с положительной полуосью OX. Тогда из :
- это формулы перехода к декартовой системе координат.
Выведем формулы обратного перехода от декартовых координат к полярным.
Полярный радиус – вектор , будучи расстоянием от точки до начала координат, будет равен:
, а также, , .
Угол определяется из условия: t и знаков функций .
FVB
Y
X
Рис. 1
EMBED Equation.3
X
R
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
x
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
y
O
A
X
Y
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
Рис. 21
()
F
p
N
X
M
O
D
B
Y
Рис. 20
Рис. 4
Рис. 3.
Рис. 2
Рис. 5
Рис. 6
Рис. 7
Рис. 8
Рис. 9
Рис. 19
Рис. 11
Рис. 12
Рис. 13
Директрисы
Рис. 14
Рис. 15
Рис. 16
Рис. 17
Рис. 18
директрисы