Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
[Лекция 17]
5.5. Уравнения Колмогорова для
стохастических процессов
Одномерные уравнения Колмогорова. Рассмотрим марковский стохастический процесс c переходной функцией плотности вероятностей . Выведем два уравнения с частными производными, которым удовлетворяет переходная функция по двум парам переменных, соответственно по и по . Вывод уравнений оформим в виде двух теорем.
Теорема 5.1. Пусть:
полнены свойства А;
на, то есть
, (5.53)
где не зависит от и ;
, (5.54)
непрерывны, как функции двух переменных и на множестве ;
, (5.55)
непрерывны на множестве .
Тогда плотность удовлетворяет параболическому уравнению с частными производными по переменным , на :
. (5.56)
Доказательство. Рассмотрим вспомогательную функцию
, (5.57)
где - произвольная финитная функция,
Вычислим производную по переменной функции (5.57), производя дифференцирование под знаком интеграла на основании непрерывности функций (5.54) на любом прямоугольнике [6, с. 522].
В результате
. (5.58)
Тогда
(5.59)
В повторном интеграле (5.59) переставим порядок интегралов. Это, возможно, так как интеграл
(5.60)
равномерно сходится на множестве . Действительно, используя признак Вейерштрасса и неравенства (5.24), (5.53), оценим интеграл
.
В результате
. (5.61)
(5.62)
равномерно на множестве в силу леммы 5.1, формула (5.25);
, (5.63)
где
сходится равномерно на множестве . Действительно, из определения предела, для такое, что если (не зависит от ), тогда
,
откуда
.
Функция (5.50) ограничена на множестве то есть , так как - финитная функция. Получим оценку
,
где не зависит от и .
Оценим интеграл (5.63), используя признак Вейерштрасса равномерной сходимости интеграла:
.
В результате формула (5.61) преобразуется к виду
Интегрируя по частям, получаем
. (5.64)
Приравняем формулы (5.58) и (5.64), тогда
Опуская интеграл в силу произвольности финитной функции и непрерывности подынтегрального выражения, получим требуемое уравнение (5.56). ■
Теорема 5.2. Пусть:
1) для переходной функции плотности вероятностей выполнены свойства А;
2) при фиксированном и функции , ; , , непрерывны и ограничены на множестве .
Тогда плотность удовлетворяет уравнению с частными производными по переменным на множестве :
. (5.65)
Доказательство приведено в [8, с. 280]. ■
Уравнения (5.56), (5.65) называются уравнениями Колмогорова.
Двухмерные уравнения Колмогорова. В случае двухмерных сто-хастических процессов, удовлетворяющих условиям (5.20), переход-ная функция плотности вероятностей удовлетворяет следующей паре уравнений Колмогорова [2,с. 144]:
в , (5.66)
где
в , (5.67)
где .
Многомерные уравнения Колмогорова. В случае многомерных стохастических процессов, удовлетворяющих условиям (5.23), пере-ходная функция плотности вероятностей удовлетворяет следующей паре уравнений Колмогорова [8, с. 280]:
, ; (5.68)
, . (5.69)
5.6. Определяющие задачи для стохастических процессов
Фундаментальное решение уравнения Колмогорова (5.66) опреде-ляется как обобщенное решение уравнения
, (5.70)
где правая часть уравнения – это - функция Дирака в (см. (2.81)).
Заметим, что уравнение (5.70) рассматривается при , а уравнение (5.66) – при .
Рассмотрим фундаментальное решение уравнения (5.70). Можно показать, что это решение совпадает с переходной фун-кцией плотности вероятностей, то есть при . В случае постоянных коэффициентов фундамен-тальное решение определяется формулой (5.21). Фундаментальное решение для одномерного уравнения Колмогорова построено в параграфе 2.9.
Утверждение 5.1. Для фундаментального решения выполнено соотношение Маркова-Колмогорова-Чепмена (5.19).
Доказательство. Рассмотрим вспомогательную задачу Коши для уравнения Колмогорова:
; .
На основании формул [9, с. 229] решение этой задачи выражается через фундаментальное решение:
. (5.71)
Рассмотрим вспомогательную функцию
, (5.72)
и задачу Коши
; .
Решение этой задачи определяется формулой
(5.73)
В силу единственности решения задачи Коши приравняем выра-жения (5.71) и (5.73), тогда с учетом (5.72) получим
В силу произвольности функции опустим интеграл по :
.
В результате получено требуемое тождество (5.19) для функции . ■
Утверждение 5.1 означает, что фундаментальное решение уравнения Колмогорова (5.70) может быть принято в качестве переходной функции плотности вероятностей стохастического процесса. Вообще говоря, уравнение (5.70) имеет бесчисленное множество решений. Для выделения единственного решения необходимо использовать дополнительные условия. С точки зрения обобщенных функций свойство (5.50) означает, что переходная функция плотности вероятностей сходится к - функции Дирака (2.71), то есть .
Это условие запишем в виде начального условия [8, с. 299]:
. (5.74)
Добавим начальное условие (5.74) к уравнению (5.70), получим следующую задачу Коши.
Определяющая задача Коши. Требуется определить условную плотность вероятностей , для которой
,
, (5.75)
где оператор определен в (5.66). При этом должно выполняться условие на бесконечности при , которое обеспечивает условие нормировки (5.18). ■
Задача Коши (5.75) является определяющей дифференциальной задачей для марковского стохастического процесса при условии существования неотрицательного решения задачи.
Заметим, что задача Коши (5.75) определяет стохастический процесс на всей плоскости . В случае конечной плоской области , где – множество элементарных событий стохастического процесса, задача (5.75) должна быть видоизменена. Вместо задачи Коши для уравнения Колмогорова рассмотрим смешанную задачу
третьего рода, определяющую стохастический процесс на области .
Определяющая смешанная задача. Требуется определить условную плотность вероятностей , для которой
,
,
, (5.76)
где – контур, ограничивающий область ; – внешняя единичная нормаль к контуру в точке ; – граничный векторный дифференциальный оператор, задаваемый выражением:
.■(5.77)
Смешанная задача (5.76) является обобщением смешанных задач, сформулированных в параграфе 3.3 для уравнения теплопроводности. Граничное условие (5.76) означает, что поток вероятностей через контур равен нулю. Это приводит к выполнению условия нормировки
.
Граничное условие (5.76) будет получено в параграфе 6.6.
В одномерном случае на основании уравнения Колмогорова (5.56) и условия (5.32) имеем следующие определяющие задачи.
Определяющая задача Коши.
,
, при . ■ (5.78)
Определяющая смешанная задача.
,
,
. ■ (5.79)
Для уравнения (5.68) также могут быть поставлены определяющие задачи, аналогичные задачам (5.75), (5.76).
Задачи к главе 5
1.1. , , , ;
, ;
, , .
1.2. , , ;
, ;
, , при .
вероятностей на пространстве элементарных событий :
2.1. , , ;
, , ;
, , , ;
, , , .
2.2. , , ;
, , ;
, , ;
, , , .
2.3. , , ;
, , ;
, , ; , , .
165