Лекция 4 Ротор Теорема Стокса 4
Работа добавлена на сайт samzan.net:
Лекция 4. Ротор. Теорема Стокса
4.1. Ротор. В 1.2 было показано, что для полей потенциальных циркуляция при однозначности потенциала равна нулю (п. 4). Однако в общем случае циркуляция вектора по некоторому контуру L не должна обязательно быть равной нулю. Подобно потоку вектора, циркуляция также может быть использована для локальной характеристики поля. При этом возникает понятие ротора вектора , обозначаемого символом rot. По определению, rot есть вектор, проекция которого на произвольное направление выражается следующим образом:
(4.1)
где ΔS - площадка, выбранная так, что есть нормаль к ней, a L - контур этой площадки, направление обхода которого при интегрировании составляет с нормалью правовинтовую систему (если смотреть вдоль нормали, то обход производится по часовой стрелке).
4.2. Ротор в декартовых координатах. Как и дивергенцию, ротор вектора нетрудно представить в виде дифференциального выражения в декартовой системе координат. Обратимся к рис. 4.1, на котором через произвольную точку М(х, у, z) проведены три координатные линии и построены элементарные площадки, лежащие в координатных плоскостях. Желая сначала найти проекцию вектора на ось х, мы должны вычислить циркуляцию вектора F по контуру первой площадки и перейти к пределу согласно (4.1). Действия при этом похожи на производившиеся в преыдущем разделе. Итак, на основании (4.1)
Таким образом,
(4.2a)
Совершенно аналогично получаем:
, (4.2б)
и
. (4.2в)
Эти три равенства удобно объединяются в форме определителя:
(4.3)
Нетрудно показать, что потенциальные поля являются обязательно «безвихревыми», т. е. для всякого вектора будет . Чтобы проверить тождество
, (4.4)
достаточно рассмотреть какую-либо одну его проекцию. Так, составляя по формулам (4.2а) и (2.4а) проекцию этого вектора на ось х, имеем:
.
Другой важный факт заключается в том, что дивергенция вихревого поля тождественно равна нулю, т. е. такое векторное поле соленоидально (3.2):
. (4.5)
Действительно,
Из определения ротора, его можно трактовать в физическом смысле как вихрь.
4.3. Теорема Стокса. Перейдем, наконец, к теореме Стокса, содержание которой выражается равенством:
, (4.6)
где S - некоторая поверхность, a L - её контур, направление обхода которого при интегрировании согласовано с направлением положительной нормали к S, как и ранее. Согласно теореме Стокса, поток ротора некоторого вектора F через поверхность S равен циркуляции самого вектора по соответствующему контуру L.
Чтобы убедиться в справедливости теоремы Стокса, разобьем произвольную поверхность S на достаточно малые элементарные площадки Δsi (рис. 4.3) и для определения ротора внутри Δsi воспользуемся приближённым соотношением
есть внутри Δsi) вместо (4.1). Поскольку точность этого равенства может быть как угодно велика (достаточно лишь взять соответственно малые размеры элемента Δsi), то
где ε – наперёд заданная сколь угодно малая положительная величина.
Рис. 4.3
Выбрав все элементы достаточно малыми, произведём суммирование по i и получим:
где фигурирует циркуляция по граничному контуру L всей поверхности S, поскольку при суммировании части циркуляции по общим границам смежных элементов взаимно уничтожались; действительно, как видно из рис. 4.3, направления обходов общих участков границ смежных элементов противоположны.
Неограниченно измельчая все элементы и переходя соответственно этому от суммы к интегралу (N→∞), а также учитывая произвольную малость ε, приходим от предыдущего равенства к формулировке теоремы Стокса (4.6).
5. Некоторые соотношения векторного анализа
5.1. Оператор Гамильтона. В векторном анализе широко используется так называемый оператор Гамильтона «набла»
(5.2)
Это символическое обозначение дифференциальной операции, которую можно произвести как над скалярной, так и над векторной функцией. В первом случае имеем:
т. е.
(5.3)
Что касается действия на вектор, то здесь существенна векторная структура самого оператора, позволяющая понимать это действие двояко. Во-первых, очевидно, можно строить по формальному правилу составления скалярного произведения двух векторов (1.4), принимая операторы дифференцирования д/дх, д/ду и д/дz за компоненты вектора. Это дает:
Как видно,
. (5.4)
Но можно рассматривать и «векторное произведение» оператора на вектор :
что даёт ротор вектора:
. (5.5)
Оператор Гамильтона является, таким образом, удобным средством представления операций векторного анализа. При выполнении различных действий его следует понимать как вектороподобный комплекс обычных дифференциальных операторов д/дх, д/ду и д/дz. Однако, обращаясь с формально как с вектором, надо помнить, что не имеет смысла дописывание этого оператора справа (например, или ), поскольку бессмысленны выражения типа в отличие от .
Пользуясь формулами (3.7) и (2.5), нетрудно образовать дивергенцию градиента некоторой скалярной функции:
(5.6)
Запишем это с использованием оператора Гамильтона:
(5.6а)
Оператор (его обозначают также Δ) называется оператором Лапласа. Это один из важнейших операторов математической физики. Он применяется и к векторным функциям, при этом
. (5.7)
5.2. Тождества векторного анализа. В § 4 п. 3 были получены два важных тождества векторного анализа (4.4) и (4.5), т. е. равенства, справедливые для любых функций, к которым их применение осмысленно (в данном случае требуется существование частных производных второго порядка) и компонент . Запишем ещё некоторые тождества, часто применяемые в теории электромагнетизма.
Следующие четыре тождества векторного анализа имеют значение правил дифференцирования произведения функций:
, (5.8)
, (5.9)
(5.10)
. (5.11)
Вывод их весьма прост с использованием векторного дифференциального оператора «набла». При этом необходимо использовать обычные правила дифференцирования произведения. Например,
Здесь индексы операторов «набла» условно показывают, на который из двух сомножителей они действуют. В последующем эти индексы опущены за ненадобностью.
Ещё одно часто используемое тождество имеет вид:
(5.12)
Его можно получить, в частности, из формулы (1.9) при помощи оператора Гамильтона, соблюдая правила применения последнего. Перепишем сначала (1.9) в виде:
(существен порядок сомножителей скалярных произведений). Полагая теперь , имеем:
,
что совпадает с (5.12), если учесть (5.3) и (5.4).
С помощью оператора Гамильтона легко доказываются также другие полученные ранее тождества (4.4), (4.5):
Последнее равенство можно трактовать физически так: «вихрь не растекается».
2. Батько майбутнього поета юрист Олександр Львович Блок талановитий наділений гострим скептичним роз
3. Тибетская литература
4. менее сталкивался с компьютером слышал про это слово
5. правовой статистики [3] Глава 2 Исследование преступлений в области незаконного оборота наркотических
6. Ревматичні хвороби
7. КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА по дисциплине Налоги и налогообложение Вариант 1 Преподаватель- Бог
8. Введение Целью гражданского процесса является восстановление нарушенного права т
9. Задание 1 Отразите в журнале операций следующие хозяйственные операции по поступлению основных средств
10. Она мне понравилось намного больше чем книга которую Максим Котин написал про меня
11. 18 июня 2003 г 33 ПРАВИЛА ПЕРЕВОЗОК ЖЕЛЕЗНОДОРОЖНЫМ ТРАНСПОРТОМ ГРУЗОВ МЕЛКИМИ ОТПРАВКАМИ 1
12. синтетичного методу навчання грамоти- суть прийоми звукового синтезу прийоми звукового аналізу
13. Порівняльний аналіз динамічних властивостей астатичних систем підпорядкованого регулювання швидкості
14. i igi i ii1 i1 элемент памятиблок умножения
15. Курсовой проект Анализ Финляндии по дисциплине Статистика ОГЛАВЛЕНИЕ.
16. Маннергейм На службе России
17. ДипломнАЯ РАБОТА Совершенствование структуры службы пожаротушения государственной противопожарной слу
18. рідкісності обмеженості ресурсів та ефективності використання їх альтернативності вибору
19. К основным функциям ядра ОС UNIX принято относить следующие
20. Методы регулирования психоэмоционального состояния на занятиях физическими упражнениями и спортом