Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
Под инвестиционным портфелем понимается совокупность ценных бумаг, управляемая как самостоятельный инвестиционный объект. Желательно, чтобы инвестиционный портфель обладал такими качествами как высокая доходность и минимально допустимый риск. Важно также, чтобы инвестиционный портфель мог быть ликвидным, то есть, чтобы возможно было продать составные части портфеля и получить наличные деньги без существенных потерь для инвестора. Кроме того, инвестиционный портфель необходимо диверсифицировать, то есть формировать его таким образом, чтобы он содержал ценные бумаги различных видов, классов и эмитентов.
Сложно найти ценную бумагу, которая была бы одновременно высокодоходной, высоконадежной и высоколиквидной. Сущность портфельного инвестирования как раз и заключается в распределении инвестиционных ресурсов между различными группами активов для достижения требуемых параметров. В зависимости от того, какие цели и задачи стоят при формировании того или иного портфеля, выбирается определенное соотношение между различными типами активов, составляющими портфель инвестора. Основная задача инвестиционного менеджера состоит в том, чтобы учесть потребности инвестора и сформировать портфель из ценных бумаг, сочетающий в себе разумный риск и приемлемую доходность.
Для составления инвестиционного портфеля необходимо:
• формулирование основной цели, определение приоритетов (максимизация доходности, минимизация риска, рост капитала, сохранение капитала и т.д.);
• отбор инвестиционно привлекательных ценных бумаг, обеспечивающий требуемый уровень доходности;
• поиск адекватного соотношения видов и типов ценных бумаг в портфеле для достижения поставленных целей;
• мониторинг инвестиционного портфеля по мере изменения основных параметров инвестиционного портфеля.
Инвестиционные портфели бывают различных видов. Критерием их классификации может служить источник дохода от ценных бумаг, образующих портфель, и степень риска.
Обычно ценные бумаги обеспечивают получение дохода двумя способами:
• за счет роста их курсовой стоимости;
• за счет получения дополнительных доходов (в виде дивиденда по акциям или купонного дохода по облигациям).
Если основным источником доходов по ценным бумагам портфеля служит рост их курсовой стоимости, то такие портфели принято относить к портфелям роста. Эти портфели можно подразделить на следующие виды:
портфели простого роста формируются из ценных бумаг, курсовая стоимость которых растет. Цель данного типа портфеля рост стоимости портфеля;
портфель высокого роста нацелен на максимальный прирост капитала. В состав портфеля входят ценные бумаги быстрорастущих компаний. Инвестиции являются достаточно рискованными, но вместе с тем могут приносить самый высокий доход;
портфель умеренного роста является наименее рискованным. Он состоит в основном из ценных бумаг хорошо известных компаний, характеризующихся, хотя и невысокими, но устойчивыми темпами роста курсовой стоимости. Состав портфеля остается стабильным в течение длительного периода времени и нацелен на сохранение капитала;
портфель среднего роста сочетание инвестиционных свойств портфелей умеренного и высокого роста. При этом гарантируется средний прирост капитала и умеренная степень риска. Является наиболее распространенной моделью портфеля.
Если источником дохода по ценным бумагам портфеля служат дополнительные суммы денег, то такие портфели принято относить к портфелям дохода.
Портфель дохода ориентирован на получение высокого текущего дохода процентов по облигациям и дивидендов по акциям. В него должны включаться акции, характеризующиеся умеренным ростом кур совой стоимости и высокими дивидендами, а также облигации и другие ценные бумаги, обеспечивающие высокие текущие выплаты. Цель создания этого портфеля получение определенного уровня дохода, величина которого соответствовала бы минимальной степени риска. Поэтому объектами портфельного инвестирования в таком случае являются высоконадежные финансовые активы.
Данные портфели также можно подразделить на :
• портфель постоянного дохода_ это портфель, который состоит из высоконадежных ценных бумаг и приносит средний доход при минимальном уровне риска;
• портфель высокого дохода включает высокодоходные ценные бумаги, приносящие высокий доход при среднем уровне риска.
На практике инвесторы предпочитают оба способа получения дохода по ценным бумагам портфеля, в силу чего вкладывают средства в так называемые комбинированные портфели. Они формируется для того, что избежать возможные потери на фондовом рынке, как от падения курсовой стоимости, так и низких дивидендных и процентных выплат.
Одна часть финансовых активов приносит владельцу увеличение его капитала в связи с ростом курсовой стоимости, а другая благодаря получению дивидендов и процентов. Падение прироста капитала из-за уменьшения одной части может компенсироваться возрастанием другой.
Если рассматривать типы инвестиционных портфелей в зависимости от степени риска, приемлемого для инвестора, то надо учитывать тип инвестора.
Как правило, инвесторов подразделяют на консервативных, умеренно агрессивных и агрессивных. смотри Схему 2
Консервативный тип инвестора характеризуется склонностью к минимизации риска, к надежности вложений.
Умеренно агрессивному типу инвестора присущи такие черты, как склонность к риску, но не очень высокому, предпочтение высокой доходности вложений, но с определенным уровнем защищенности.
Агрессивный инвестор готов идти на риск ради получения высокой доходности.
Схема 2. Инвестиционный портфель для различных инвесторов
Для того чтобы инвестиционный портфель приносил необходимую доходность, им надо управлять. Под управлением инвестиционным портфелем понимается совокупность методов, которые обеспечивают:
• сохранение первоначально вложенных средств;
• достижение максимального возможного уровня доходности;
• снижение уровня риска.
Обычно выделяют два способа управления: активное и пассивное управление.
Активное управление это такое управление, которое связано с постоянным отслеживанием рынка ценных бумаг, приобретением наиболее эффективных ценных бумаг и максимально быстрым избавлением от низко доходных ценных бумаг. Такой вид предполагает довольно бы строе изменение состава инвестиционного портфеля. При этом широко используются мониторинг, который помогает быстро реагировать на краткосрочные изменения на рынке ценных бумаг и выявлять привлекательные ценные бумаги для инвестирования.
Мониторинг активного управления предполагает:
• отбор ценных бумаг (покупку высокодоходных и продажу низко доходных ценных бумаг);
• определение доходности и риска нового портфеля с учетом ротации ценных бумаг;
• сравнение эффективности старого и нового портфелей с учетом затрат на операции по купле – продаже ценных бумаг;
• реструктуризация портфеля, обновление его состава. Активный мониторинг – это непрерывный процесс наблюдения за
курсами акций, анализ текущей ситуации и прогнозирование будущих котировок.
Активное управление характерно для опытных инвесторов, инвестиционных менеджеров высокой квалификации; оно требует хорошего знания рынка ценных бумаг, умения быстро ориентироваться при изменении конъюнктуры рынка.
Пассивное управление это такое управление инвестиционным портфелем, которое приводит к формированию диверсифицированного портфеля и сохранению его в течение продолжительного времени.
Мониторинг пассивного управления предполагает:
• определение минимального уровня доходности;
• отбор ценных бумаг в хорошо диверсифицированный портфель;
• формирование оптимального портфеля;
• обновление портфеля при падении доходности ниже минимальной.
Мониторинг является основой для получения адекватных доходов от вложенных средств в зависимости от интенсификации транзакций с ценными бумагами .
Активный и пассивный способ управления можно представить следующей схемой.
В теории портфельного инвестирования исходят из того, что значения доходности отдельной ценной бумаги портфеля являются случайными величинами, распределенными по нормальному (Гауссовскому) закону.
Чтобы определить распределение вероятностей случайной величины r необходимо знать, какие фактические значения ri принимает данная величина, и какова вероятность Р i каждого подобного результата. При этом инвестора интересует доходность инвестиций в конце инвестиционного периода, то есть будущие значения ri , которые в начальный момент инвестирования неизвестны. Значит, инвестор дол жен оперировать ожидаемым, будущим распределением случайной величины r . Существуют два подхода к построению распределения вероятностей – субъективный и объективный, или исторический. При использовании субъективного подхода инвестор прежде всего должен определить возможные сценарии развития экономической ситуации в течение холдингового периода, оценить вероятность каждого результата и ожидаемую при этом доходность ценной бумаги.
Субъективный подход имеет важное преимущество, поскольку позволяет оценивать сразу будущие значение доходности. Однако, он не находит широкого применения, поскольку для обычного инвестора очень трудно сделать оценку вероятностей экономических сценариев и ожидаемую при этом доходность.
Чаще используется объективный, или исторический подход. В его основе лежит предложение о том, что распределение вероятностей будущих (ожидаемых) величин практически совпадает с распределением вероятностей уже наблюдавшихся фактических, исторических величин. Значит, чтобы получить представление о распределении случайной величины r в будущем достаточно построить распределение этих величин за какой-то промежуток времени в прошлом.
Как показывают исследования западных экономистов, для рынка акций наиболее приемлемым является промежуток 710 шагов расчета. В отличие от субъективного подхода, который предполагает разную вероятность различных значений доходности, при объективном подходе каждый результат имеет одинаковую вероятность, поскольку при N наблюдениях случайной величины вероятность конкретного результата составляет величину 1/ N . Например, если исследуется доходность акции за предшествующие 10 лет, то вероятность каждой годовой доходности ri составляет 1/10.
Наиболее часто в теории инвестиционного портфеля используется среднее арифметическое значение доходности отдельной ценной бумаги. Напомним, что если rt ( t = 1,2,…, N ) представляют собой значения доходности в конце t – го холдингового периода, а Pt – вероятности данных значений доходности, то:
Доходность портфеля. Под ожидаемой доходностью портфеля понимается средневзвешенное значение ожидаемых значений доходности ценных бумаг, входящих в портфель. При этом “вес” каждой ценной бумаги определяется относительным количеством денег, направленных инвестором на покупку этой ценной бумаги. Ожидаемая доходность инвестиционного портфеля равна:
Измерение риска портфеля . При определении риска портфеля следует учитывать, что дисперсию портфеля нельзя найти как средневзвешенную величин дисперсий входящих в портфель ценных бумаг. Это объясняется тем, что дисперсия портфеля зависит не только от дисперсий входящих в портфель ценных бумаг, но также и от взаимосвязи доходностей ценных бумаг портфеля друг с другом. Иными словами, риск портфеля объясняется не только индивидуальным риском каждой отдельно взятой ценной бумаги портфеля, но и тем, что существует риск воздействия изменений наблюдаемых ежегодных величин доходности одной акции на изменения доходности других акций, включаемых в инвестиционный портфель.
Меру взаимозависимости двух случайных величин измеряют с по мощью ковариации и коэффициента корреляции. Положительная ковариация означает, что в движении доходности двух ценных бумаг имеется тенденция изменяться в одних и тех же направлениях: если доходность одной акции возрастает (уменьшается), то и доходность другой акции также возрастет (уменьшится). Если же просматривается обратная тенденция, то есть увеличению (уменьшению) доходности акций одной компании соответствует снижение (увеличение) доходности акций другой компании, то считается, что между доходностями акций этих двух компаний существует отрицательная ковариация.
Когда рассматриваются величины доходности ценных бумаг за прошедшие периоды, то ковариация подсчитывается по формуле:
Коэффициент корреляции между доходностью ценных бумаг i и j равен отношению ковариации доходности этих ценных бумаг к произведению их стандартных отклонений. Значения ρij изменяются в пределах: -1 < ρij < +1 и не зависят от способов подсчета величин aij и a i, aj . Это позволяет более точно оценивать степень взаимосвязи доходности двух ценных бумаг: если ρij > 0, то доходность ценных бумаг i и j имеет тенденцию изменяться в одних и тех же направлениях, то есть, когда доходность i ой ценной бумаги возрастает (снижается), то и доходность j ой ценной бумаги также возрастает (снижается). Чем ближе значение ρij к величине +1, тем сильнее эта взаимосвязь. Когда ρij = +1, то считается, что ценные бумаги i и j имеют абсолютную положительную корреляцию: в этом случае значение годовой доходности ri t и rj t связаны положительной линейной зависимостью, то есть любым изменениям ri , t всегда соответствуют пропорциональные изменения rj , t в тех же направлениях.
Если ρij отрицательны, то ri t и rj t имеют тенденцию изменяться в разных направлениях: когда ri t возрастает (снижается), rj t уменьшается (повышается). Чем ближе в этом случае ρij к величине ( -1), тем выше степень отрицательной взаимосвязи. При ρij = -1 наблюдается абсолютная отрицательная корреляция, когда ri t и rj t связаны отрицательной линейной зависимостью. При ρij = 0 отсутствует какая либо взаимосвязь между величинами доходности двух ценных бумаг.
Коэффициент корреляции очень важен для формирования портфеля. Чем ниже коэффициент корреляции ценных бумаг, составляющих портфель, тем ниже и риск инвестиционного портфеля.
Итак, риск инвестиционного портфеля надо определять с помощью дисперсии. Пусть в исследуемый портфель входят n ценных бумаг; тогда дисперсию портфеля необходимо вычислять по формуле:
В 1952 г. американский экономист Г. Марковиц опубликовал ста тью “ Portfolio Selection ”, которая легла в основу теории инвестиционного портфеля1 . Г. Марковиц исходил из предположения о том, что инвестирование рассматривается как однопериодовый процесс, т.е. полученный в результате инвестирования доход не реинвестируется. Другим важным исходным положением в теории Г. Марковица является идея об эффективности рынка ценных бумаг. Под эффективным рынком понимается такой рынок, на котором вся имеющаяся информация трансформируется в изменение котировок ценных бумаг; это рынок, который практически мгновенно реагирует на появление новой информации.
В своих исследованиях Марковиц полагал, что значения доходности ценных бумаг являются случайными величинами, распределенными по нормальному (Гауссовскому) закону. В этой связи Марковиц считал, что инвестор формируя свой портфель, оценивает лишь два показателя E ( r ) – ожидаемую доходность и σ стандартное отклонение как меру риска (только эти два показателя определяют плотность вероятности случайных чисел при нормальном распределении). Следовательно, инвестор должен оценить доходность и стандартное отклонение каждого портфеля и выбрать наилучший портфель, который больше всего удовлетворяет его желания – обеспечивает максимальную доходность r при допустимом значении риска σ . Какой при этом конкретный портфель предпочтет инвестор, зависит от его оценки соотношения “доходность - риск”.
Эффективные портфели. Цель любого инвестора – составить та кой портфель ценных бумаг, который бы давал максимально возможную отдачу с минимально допустимым риском. Раскроем прежде всего взаимосвязь эффекта корреляции и риска инвестиционного портфеля.
Сравнение значений стандартных отклонений различных портфелей позволяет сделать два важных вывода: во-первых, при одних и тех же значениях ρ 1,2 разным портфелям соответствуют разные величины σ , то есть при изменении соотношения ценных бумаг в портфеле меняется и риск портфеля. Во-вторых, что более важно, для любого портфеля с понижением коэффициента корреляции уменьшается и риск портфеля (если, конечно портфель не состоит из одной ценной бумаги).
Если брать различные количества ценных бумаг (3, 4, 5, …, n ), имеющих любые по-парные коэффициенты доходностей в пределах от (-1) до (+ 1), и создавать из них портфели, варьируя “вес” каждой ценной бумаги, то какому-то конкретному портфелю А будет соответствовать вполне определенное соотношение ожидаемой доходности E ( rA ) и риска (стандартное отклонение σ А ). Перенеся эти соотношения на координатную плоскость с осями E ( r ) и σ , получим точку А с координатами [ E ( rA ); σ A ] на рисунке 7.1:
Для другого набора этих же ценных бумаг с определенным “весом” каждой бумаги получим другое соотношение ожидаемой доходности и риска (например, точка N на рис. 7.1). Можно показать, что из любого ограниченного набора ценных бумаг, выбранных инвестором, путем варьирования их “веса” можно получить бесконечное количество портфелей . Если для каждого из портфелей определить ожидаемую доходность и стандартное отклонение, отложить их на графике (рис. 7.1), то получим совокупность точек – зону, определяющую все возможные портфели для выбранного количества ценных бумаг.
Ключ к решению проблемы выбора оптимального портфеля лежит в теореме о существовании эффективного набора портфелей, так называемой границы эффективности. Суть теоремы сводится к выводу о том, что любой инвестор должен выбрать из всего бесконечного набора портфелей такой портфель, который:
1. Обеспечивает максимальную ожидаемую доходность при каждом уровне риска. всегда путем перебора весов ценных бумаг портфеля можно найти такой портфель (на рис. 7.1– точка М )
2. Обеспечивает минимальный риск для каждой величины ожидаемой доходности.
Иначе говоря, если инвестор выбрал n ценных бумаг со своими характеристиками [ E ( ri ); σ i ; σ ij ; ρ ij , где i , j = 1,2,…, n ], то найдется только одна комбинация ценных бумаг в портфеле, минимизирующая риск портфеля при каждом заданном значении ожидаемой доходности портфеля.
Набор портфелей, которые минимизируют уровень риска при каждой величине ожидаемой доходности, образует так называемую границу эффективности – на рис. 7.1 это линия R . Как видно из данного рисунка, при перемещении по границе вверх вправо величины E ( r ) и σ увеличиваются, а при движении вниз влево – уменьшаются.
Итак, эффективный портфель – это портфель, который обеспечивает минимальный риск при заданной величине E ( r ) и максимальную отдачу при заданном уровне риска.
Как отмечалось, на риск портфеля основное влияние оказывает степень корреляции доходностей входящих в портфель ценных бумаг – чем ниже уровень корреляции, то есть чем ближе коэффициент корреляции приближается к ( 1), тем ниже риск портфеля. Тогда можно пред положить, что путем диверсификации – изменения количества входящих в портфель ценных бумаг и их весов – инвестор способен снизить уровень риска портфеля, не изменяя при этом его ожидаемой доходности.
Та часть риска портфеля, которая может быть устранена путем диверсификации, называется диверсифицируемым, или несистематическим риском. Доля же риска, которая не устранятся диверсификацией, носит название недиверсифицируемого, или систематического риска.
Общая постановка задачи нахождения границы эффективных портфелей.
Если портфель состоит из более чем из 2 ценных бумаг, то для любого заданного уровня доходности существует бесконечное число портфелей, или, иными словами, можно сформировать бесконечное количество портфелей, имеющих одну и ту же доходность. Тогда задача инвестора сводится к следующему: из всего бесконечного набора портфелей с ожидаемой нормой отдачи E ( rn ) необходимо найти такой, который обеспечивал бы минимальный уровень риска. Иными словами, можно задачу свести к следующему: найти минимальное значение дисперсий портфеля
Существуют три способа решения подобного рода задач – графический, математический и с использованием компьютерных программ.
Графический способ был предложен Г. Марковицем. Необходимо учитывать, что при n > 3 этот способ мало применим, поскольку не позволяет графически представить границу эффективных портфелей. Математический способ позволяет оптимизировать портфель, содержащий много больше ценных бумаг, и широко используется на практике. Наконец, с помощью специальных программ можно решать подобные задачи с дополнительными начальными условиями.
Итак, для решения задачи нахождения оптимального портфеля, содержащего n ценных бумаг, необходимо первоначально вычислить:
а) n значений ожидаемой доходности E ( ri ) , где i = 1, 2,…, n каждой ценной бумаги в портфеле;
б) n значений дисперсий σ 2 i каждой ценной бумаги;
в) n ( n 1)/2 значений ковариации σ i , j , где i , j = 1, 2,…, n .Способы их вычисления приведены ранее. Если подставить значения E ( ri ), σ i и σ i , j в уравнения (7.1) (7.3), то выясняется, что в этих уравнениях неизвестными оказываются только величины Wi – “веса” каждой ценной бумаги в портфеле. Следовательно, задача формирования оптимального портфеля из n акций, по сути дела, сводится к следующему: для выбранной величины доходности Е инвестор должен найти такие значения Wi, при которых риск инвестиционного портфеля становится минимальным. Иначе говоря, для выбранного значения Е инвестор должен определить, какие суммы инвестиционных затрат необходимо направить на приобретение той или иной ценной бумаги, чтобы риск инвестиционного портфеля оказался минимальным.
Нахождение оптимального портфеля. В теории Марковица инвесторы стремятся сформировать портфель ценных бумаг, чтобы максимизировать получаемую полезность. Иными словами, каждый инвестор желает таким образом сформировать портфель, чтобы сочетание ожидаемой доходности E ( r ) и уровня риска σ портфеля приносило бы ему максимальное удовлетворение потребностей и минимизировало риск при желаемой доходности. Разные инвесторы имеют отличные друг от друга мнения об оптимальности сочетания E ( r ) и σ , поскольку отношение одного инвестора к риску не похоже на желание рисковать другого инвестора.
Поэтому, говоря об оптимальном портфеле, надо иметь в виду, что эта категория сугубо индивидуальна, и оптимальные портфели разных инвесторов теоретически отличаются друг от друга. Тем не менее каждый оптимальный портфель непременно является эффективным, то есть инвесторы выбирают удовлетворяющий их (оптимальный) портфель из эффективных портфелей.
Выведенные Марковицем правила построения границы эффективных портфелей позволяет находить оптимальный (с точки зрения инвестора) портфель для любого количества ценных бумаг в портфеле. Основной сложностью применения метода Марковица является большой объем вычислений, необходимый для определения весов Wi каждой ценной бумаги. Действительно, если портфель объединяет n ценных бумаг, то для построения границы эффективных портфелей необходимо предварительно вычислить n значений ожидаемых (средних арифметических) доходностей E ( ri ) каждой ценной бумаги, n величин с2 i дисперсий всех норм отдачи и n(n1)/2 выражений попарных ковариаций ai j ценных бумаг в портфеле.
В 1963 г. американский экономист У. Шарп ( William Sharpe ) предложил новый метод построения границы эффективных портфелей, позволяющий существенно сократить объемы необходимых вычислений. В дальнейшем этот метод модифицировался и в настоящее время известен как одноидексная модель Шарпа ( Sharpe singleindex model ).
Общее описание модели. В основе модели Шарпа лежит метод линейного регрессионного анализа, позволяющий связать две случайные переменные величины независимую Х и зависимую Y линейным выражением типа Y = а + bХ. В модели Шарпа независимой считается величина какого-то рыночного индекса. Таковыми могут быть, например, темпы роста валового внутреннего продукта, уровень инфляции, индекс цен потребительских товаров и т.п. Сам Шарп в качестве независимой переменной рассматривал доходность rm , вычисленную на основе индекса Standart and Poor s ( S & P 500). В качестве зависимой переменной берется доходность ri какой-то i ой ценной бумаги. Поскольку зачастую индекс S & P 500 рассматривается как индекс, характеризующий рынок ценных бумаг в целом, то обычно модель Шарпа называют рыночной моделью ( Market Model ), а доходность rm доходностью рыночного портфеля.
Пусть доходность rm принимает случайные значения, и в течение N шагов расчета наблюдались величины rm 1, rm 2, ... , rmN . При этом доходность ri какой-то i ой ценной бумаги имела значения ri 1, ri 2, ... , riN . В таком случае линейная регрессионная модель позволяет представить взаимосвязь между величинами rm и ri в любой наблюдаемый момент времени в виде:
где: ri t доходность i ой ценной бумаги в момент времени t (например, 31 декабря 2010 года);
a i параметр , постоянная составляющая линейной регрессии, показывающая, какая часть доходности i ой ценной бумаги не связана с изменениями доходности рынка ценных бумаг rm ;
Pi параметр линейной регрессии, называемый бета, показывающий чувствительность доходности i ой ценной бумаги к изменениям рыночной доходности;
rm t доходность рыночного портфеля в момент t ;
sit случайная ошибка, свидетельствующая о том, что реальные, действующие значения ri t и rm t порою отклоняются от линейной зависимости.
Особое значение необходимо уделить параметру Pi
В общем случае, если Pi >1, то доходность данной ценной бумаги более чувствительная, подвержена большим колебаниям, чем рыночная доходность rm . Соответственно, при Pi < 1 ценная бумага имеет меньший размах отклонений доходности rj от средней арифметической (ожидаемой) величины E ( r ) j , чем рыночная доходность. В этой связи ценные бумаги с коэффициентом Pi > 1 классифицируются как более рискованные, чем рынок в целом, а с Pi < 1 менее рискованными.
Оценка результатов регрессии.
Параметры α i и β i регрессионной модели дают представление об общих тенденциях взаимосвязей между изменениями рыночного показателя rm и нормой отдачи ri . Однако величины a i и Pi не позволяют давать однозначный ответ о степени подобной взаимосвязи. На точность регрессионной модели оказывает значительное влияние ошибки Pi. Значит, точность регрессионной модели, степень взаимосвязи rm и ri , определяется разбросим случайных ошибок , который можно оценить с помощью дисперсии случайной ошибки.
Кроме того, точность регрессии можно определить, оценивая, сколь точно регрессионная модель определяет дисперсию ценных бумаг, для которых составляется регрессионная модель.
Дисперсию ценной бумаги можно представить в виде двух слагаемых:
В этом случае первое слагаемое будет показывать, какую долю в общем риске ценной бумаги можно описать с помощью регрессионной модели, а второе слагаемое - степень неточности регрессионной модели. Значит, чем ближе величина дисперсии к единице, тем более точная регрессионная модель.
Следует иметь в виду, что квадрат коэффициента корреляции является общепризнанной мерой оценки линейной регрессии, то есть мерой того, насколько точно уравнение регрессии подходит для описания соотношений реальных данных ri t и rm t .
Поскольку для определения оптимального портфеля с использованием модели Шарпа понадобятся значения дисперсий случайных ошибок, тo их можно вычислить. Общая формула для вычисления дисперсии случайной ошибки:
В данном случае средняя арифметическая величина вычисляется делением на ( N -2), поскольку две степени свободы были утеряны при вычислении a i и Pi .
Использование рыночной модели Шарпа для построения границы эффективных портфелей.
Одно из главных достоинств модели Шарпа состоит в том, что она позволяет значительно сократить объемы вычислений при определении оптимального портфеля, давая при этом результаты, близко совпадающие с получаемыми по модели Марковица. Поскольку в основу модели Шарпа положена линейная регрессия, то для ее применения необходимо ввести ряд предварительных условий. Если инвестор формирует портфель из n ценных бумаг, то:
1) Средняя арифметическая (ожидаемая) величина случайных ошибок E ( ε i )=0 для всех ценных бумаг портфеля, то есть для i = 1, 2, ... , n .
2) Дисперсия случайных ошибок σ 2i для каждой ценной бумаги постоянна.
3) Для каждой конкретной ценной бумаги отсутствует корреляция между наблюдаемыми в течение N лет величинами случайных ошибок.
4) Отсутствует корреляция между случайными ошибками любых двух ценных бумаг в портфеле.
5) Отсутствует корреляция между случайными ошибками ε i и рыночной доходностью.
Используя эти упрощения, можно получить выражения E ( ri ), σ i 2 и σ i, j для любых ценных бумаг в портфеле:
Подведем итог: если инвестор формирует портфель из n ценных бумаг, то использование параметров линейной регрессии a i и Pi позволяет выразить с их помощью все начальные элементы: ожидаемую доходность E( ri ) каждой ценной бумаги в портфеле, дисперсии и ковариации этих ценных бумаг, необходимые для построения границы эффективных портфелей.
Определение ожидаемой доходности и дисперсии портфеля.
Ожидаемая доходность портфеля, состоящего из n ценных бумаг, вычисляется по формуле
Для придания этой формуле компактности, Шарп предложил считать рыночный индекс как характеристику условной ( n +1)ой ценной бумаги в портфеле. В таком случае, второе слагаемое уравнения можно представить в виде:
Итак, отметим основные этапы, которые необходимо выполнить для построения границы эффективных портфелей в модели Шарпа:
1) Выбрать n ценных бумаг, из которых формируется портфель, и определить исторический промежуток в N шагов расчета, за который будут наблюдаться значения доходности ri , t каждой ценной бумаги.
2) По рыночному индексу (например, AK & M ) вычислить рыночные доходности rm , t для того же промежутка времени.
3) Определить величины β i:
5) Вычислить дисперсии σε 2 i ошибок регрессионной модели
6) Подставить эти значения в уравнения (7.15 – 7.18)
После такой подстановки выяснится, что неизвестными величинами являются веса Wi ценных бумаг. Выбрав определенную величину ожидаемой доходности портфеля E *, можно найти веса ценных бумаг в портфеле, построить границу эффективных портфелей и определить оптимальный портфель.