Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
Занятие 7
Численные характеристики случайных величин. Численные характеристики выборки.
Цель: научиться формально представлять данные экспериментов или наблюдений.
Величина, которая принимает различные числовые значения под влиянием случайных обстоятельств, называется случайной величиной.
Различают дискретные и непрерывные случайные величины.
Соответствие между возможными значениями дискретной случайной величины и их вероятностями называется законом распределения этой величины.
Обозначим возможные значения случайной величины Х через хi, а соответствующие им вероятности – через рi. Тогда закон распределения дискретной случайной величины можно задать тремя способами: в виде таблицы, графика или формулы.
В таблице, которая называется рядом распределения, перечисляются все возможные значения дискретной случайной величины Х и соответствующие этим значениям вероятности Р(Х):
Х |
х 1 |
х2 |
….. |
xi |
….. |
xn |
|
P(X) |
p1 |
p2 |
….. |
pi |
….. |
pn |
При этом сумма всех вероятностей рi должна быть равна единице:
рi = p1 + p2 + ... + pn = 1.
Графически закон представляется ломаной линией, которую принято называть многоугольником распределения (рис.1). Здесь по горизонтальной оси откладывают все возможные значения случайной величины хi,, а по вертикальной оси – соответствующие им вероятности рi
Аналитически закон выражается формулой.
Основные числовые характеристики случайных величин
Характеристики положения – математическое ожидание, мода.
Математическое ожидание М(Х) случайной величины Х является вероятностным аналогом ее среднего арифметического (М(Х) = или М(Х) ).
Для дискретной случайной величины М(Х) вычисляется по формуле:
М(Х) = х1р1 + х2р2 +…+ хnрn =.
Модой Мо(Х) дискретной случайной величины называют ее наиболее вероятное значение
Характеристики рассеяния – это дисперсия и стандартное отклонение (среднее квадратическое отклонение)
Дисперсия D(X) случайной величины Х определяется как математическое ожидание квадрата отклонения случайной Х от ее математического ожидания М(Х):
D(X) = M[X – M(X)]2 ,
или D(X) = M(X2 ) – [M(X)]2 .
При конкретных расчетах для дискретной случайной величины эти формулы записываются так:
D(X) =[хi–М(Х)]2 рi , или D(X) =хi2 рi – [M(X)] 2
Дисперсия характеризует рассеяние, разбросанность, значений случайной величины Х относительно ее математического ожидания.
Дисперсия D(Х) имеет размерность квадрата случайной величины, что весьма неудобно при оценке разброса в физических, биологических, медицинских и других приложениях. Поэтому обычно пользуются параметром, размерность которого совпадает с размерностью Х. Это – среднее квадратическое (иначе – стандартное) отклонение случайной величины Х, которое обозначают (Х):
(Х) = .
Задание
Фундаментальными понятиями математической статистики являются генеральная совокупность и выборочная совокупность (выборка).
Для получения наглядного представления о распределении выборок строят соответствующие графики, в частности, полигон частот или гистограмму распределения.
Вариационный ряд часто изображают графически в виде полигона частот или полигона относительных частот.
Для построения полигона частот на оси абсцисс откладывают варианты хi, а на оси ординат – соответствующие им частоты mi. Точки (хi; mi) соединяют отрезками прямых. Полигоном частот называют ломаную линию, отрезки которой соединяют точки (х1;m1);
(х2; m2)…..(хк; mк).
Полигоном относительных частот называют ломаную линию, отрезки которой соединяют точки (х1; ); (х2; ); (хк; ). На рис. 3 показан полигон относительных частот.
Для непрерывной случайной величины обычно строят гистограммы частот или относительных частот.
Гистограммой частот называют диаграмму, состоящую из вертикальных прямоугольников, основаниями которых являются интервалы длиной х =h, а высоты равны отношению (плотности частоты). Для построения гистограммы частот на оси абсцисс откладывают интервалы значений исследуемого показателя (интервалы вариант) и на них строят прямоугольники высотой . Площадь i -го прямоугольника равна х = mi, т.е. равна количеству вариант в i-м интервале. Следовательно, площадь гистограммы частот равна сумме частот для всех интервалов, иначе говоря, равна объему выборки.
Гистограмма относительных частот отличается от предыдущей гистограммы тем, что на ней высоты прямоугольников равны отношению ,т.е. равны плотности относительной частоты. В этом случае площадь i-го прямоугольника равна х = рi – относительной частоте вариант, попавших в i-ый интервал.
Гистограмма относительных частот рис. 4.
Численные характеристики
Показатели положения описывают положение вариант выборки на числовой оси:
а) минимальную и максимальную варианту;
б) выборочное среднее арифметическое значение (выборочное среднее), выборочные моду и медиану. Они определяют «центральную» точку распределения выборки: наиболее значимую для поставленной задачи варианту.
Выборочным средним называется величина
в = ,
где хi – i-ая варианта, полученная в опыте с i-ым элементом выборки; n – объем выборки.
Выборочная мода Мов – варианта, которая чаще всего встречается в исследуемой выборке, т.е. имеет наибольшую частоту.
Выборочная медиана Мев – варианта, которая делит статистический ряд на две равные части по числу попадающих в них вариант.
Показатели разброса описывают степень разброса данных относительно своего центра. Здесь обычно используются:
а) стандартное отклонение S и выборочная дисперсия Dв = S2, характеризующие рассеяние вариант вокруг их среднего выборочного значения в:
;
б) размах выборки – разность между максимальной и минимальной вариантами: хмакс – хмин;
в) коэффициент вариации:
= 100%,
который применяется для сравнения величин рассеяния двух вариационных рядов: тот из них имеет большее рассеяние, у которого коэффициент вариации больше.
PAGE 38
Рис.1.
Рис.2
17 18 19 20 21 22 23 24 25 xi
mi/n
0,4
0,3
0,2
0,1
0
Рис.3.
mi/nh
1,40
1,20
1,00
0,80
0,60
0,40
0,20
0,00
2,7 3,04 3,38 3,72 4,06 4,4 масса тела, кг
Рис.4