Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
Вариант № 16
Дан сферический сосуд на который действует внешняя распределённая нагрузка P0, P1. Исходные данные:
r=0.41 м R=0.425 м P0=200 МПа P1=120 МПа Е=2*10^5 МПа =0,3 []=220 МПа r1=0.35м R1=0.37м
Решение:
За неизвестные этой задачи примем компоненты вектора перемещений. Рассмотренная задача обладает полной симметрией, материал изотропный. У вектора перемещения будет только одна компонента U=U(ρ), где ρ – текущий сферический радиус, U– перемещение любой материальной точки вдоль радиуса.
Возьмём две близкие точки в теле, лежащие на радиусе. Расстояние между точками до деформации будет Δρ=Δl:
Т.к. это относительная деформация элемента, который расположен вдоль радиуса, получается:
.
Возьмём в теле до деформаций маленький отрезок 1-2 направленный по дуге окружности:
В силу симметрии деформации сдвига будут равны нулю.
Тензор деформации в локально-ортогональной системе координат:
Найдем напряжения, воспользовавшись законом Гука:
Вычислим компоненты тензора напряжений:
Тензор напряжений:
– нормальные напряжения на площадках перпендикулярных радиусу;
– нормальные напряжения на площадках перпендикулярных окружностям, отстоящих от центра на расстояние ρ.
Вырежем из внутренней части сосуда элементарный объём, ограниченный телесным углом Δφ (рис. 3.4)
Рис.3.4.
Напряжения должны удовлетворять уравнениям равновесия. В данной задаче уравнение равновесия будет одно: сумма проекций всех сил на направление радиуса должна быть равна нулю.
Составим это уравнение:
Где
Разделим на Δρ и Δρ→0:
Получим дифференциальное уравнение с переменными коэффициентами. Чтобы вывести краевое условие вырежем элементы на границах:
Выведем краевое условие на внутренней границе:
Краевые условия:
;
;
Рис. 3.6
Подставим напряжения в уравнения равновесия:
Частное решение:
;;
U=ρ; U=ρ-2.
Найдём постоянные А и В:
Считаем напряжения в точках А, В, С:
Энергетическая теория прочности (из сопротивления материалов – четвёртая теория прочности):
Найдем значение внешнего радиуса
Из последнего равенства выражаем R и определяем его (решение в MatchCad):
R=0.45м.
Эквивалентные напряжения превышают допускаемое напряжение – это означает, что сосуд будет не прочным. Необходимо увеличить толщину стенки сосуда на ≈ 0,115м
Приложение
Эпюра
Эпюра