Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
Київський національний університет
імені Тараса Шевченка
Савастру Ольга Володимирівна
УДК 511.33
Розподіл значень арифметичних функцій
на спеціальних послідовностях
01.01.06 –алгебра та теорія чисел
Автореферат дисертації на здобуття наукового ступеня
кандидата фізико-математичних наук
Київ-2005
Дисертацією є рукопис.
Робота виконана на кафедрі комп’ютерної алгебри та дискретної математики в Одеському національному університеті імені І. І. Мечникова, Міністерство освіти і науки України.
Науковий керівник:
доктор фізико-математичних наук, професор
Варбанець Павло Дмитрович,
завідувач кафедри комп’ютерної алгебри та дискретної математики
Одеського національного університету імені І. І. Мечникова.
Офіційні опоненти:
доктор фізико-математичних наук, професор
Берник Василь Іванович,
завідувач лабораторії теорії чисел Інституту математики
Академії наук Білорусі, м. Мінськ;
доктор фізико-математичних наук, професор
Лауринчикас Антанас,
професор-завідувач кафедри теорії чисел та теорії йомовірностей
Вільнюського університету (Литва).
Провідна установа: Львівський національний університет імені Івана Франка.
Захист відбудеться “26 ” вересня 2005 р. о 14 годині на засіданні спеціалізованої вченої ради
Д 26.001.18 при Київському національному університеті імені Тараса Шевченка за адресою: 03127, Київ-127, проспект акад. Глушкова 6, механіко-математичний факультет.
З дисертацією можна ознайомитись у Науковій бібліотеці імені М.Максимовича Київського університету імені Тараса Шевченка ( м. Київ, вул. Володимирська, 58).
Автореферат розісланий “18”серпня 2005 року.
Вчений секретар
спеціалізованої вченої ради Плахотник В.В.
Актуальність теми. Основними напрямками досліджень в аналітичній теорії чисел є дослідження розподілу значень арифметичних функцій (насамперед, мультиплікативних та адитивних), вивчення аналітичних властивостей відповідних рядів Дирихле, побудова точних і наближених функціональних рівнянь для функцій, визначених цими рядами Дирихле. Важливим класом арифметичних функцій є функції, що визначають кількість зображень натурального n (або цілого алгебраїчного числа) спеціальними формами. Тут можна згадати класичні задачі Варинга і Гольдбаха, проблеми кола Гауса, дільників Дирихле та інші. Ця проблематика актуальна і сьогодні. Так, за останні 20 років M. Huxley, H. Iwaniec, E. Bombieri, D. Heath-Brown істотно поліпшили ряд результатів класичної теорії чисел. Розроблений H. Iwaniec, E. Bombieri, M. Huxley дискретний метод Харді-Літлвуда дозволив одержати нові оцінки тригонометричних сум, що дає можливість одержувати нові асимптотичі оцінки в задачах про кількість зображень чисел квадратичними формами. Вивченню деяких арифметичних функцій на множині натуральних чисел та над кільцем цілих гаусових чисел присвячена дана дисертаційна робота.
Дослідження Лежен-Дирихле суматорної функції дільників натурального було узагальнено деякими авторами. Так, у роботах E.Kratzel, G.Kolesnik, P.Shmidt, A.Ivič вивчалася несиметрична функція дільників та її суматорна функція. Коли a=b=c=1, ми одержуємо задачу Пильтца. Близькою до цієї функції є функція
.
Ці узагальнені функції дільників вивчають як на відрізках натурального ряду, так і на відрізках арифметичної прогресії. У першому випадку успіх досягається за рахунок поліпшення оцінок тригонометричних сум виду , де - диференційована функція в області D, а в другому - за рахунок оцінок тригонометричних сум на алгебраїчному многовиді над скінченним полем. Саме на цьому шляху були отримані асимптотичні оцінки
(M. Huxley),
(G. Kolesnik),
(П.Д. Варбанець),
(D. Heath-Brown).
Дисертаційна робота також присвячена дослідженню розподілу значень деяких узагальнених функцій дільників натурального аргументу та цілих гаусових чисел.
Мета і задачі дослідження. Метою дисертаційної роботи є:
побудова асимптотичних формул для суматорних функцій узагальнених функцій дільників на відрізках натурального ряду та на арифметичних прогресіях цілих гаусових чисел;
побудова наближеного функціонального рівняння для дзета-функції Епштейна для бінарної додатньо визначеної квадратичної форми ;
знаходження асимптотичної оцінки другого моменту дзета-функції Епштейна;
вивчення властивостей аналога функції Клостермана на ;
дослідження розподілу значень функції на множині цілих гаусових чисел.
Методи дослідження. В роботі використовуються методи твірних рядів Дирихле, тригонометричних сум з диференційованою функцією в показнику, спеціальних тригонометричних сум над скінченним полем, оцінки середніх значень многочленів Дирихле.
Наукова новизна одержаних результатів. У дисертації отримані такі результати:
побудовані асимптотичні формули для суматорної функції несиметричної функції дільників в арифметичній прогресії на множині натуральних чисел і над кільцем цілих гаусових чисел;
отримана асимптотична формула для кількості розв’язків діофантового рівняння з умовою ;
досліджена поведінка залишкового члена в асимптотичній формулі для функції, що позначає кількість розв’язків нерівності з цілими , де - фіксовані числа, - зростаючий параметр;
побудоване наближене функціональне рівняння для дзета-функції Епштейна для бінарної додатньо визначеної квадратичної форми ;
отримана асимптотична оцінка другого моменту дзета-функції Епштейна в спеціальному випадку;
досліджено розподіл значень функції , що позначає кількість зображень у вигдяді , де є простим гаусовим числом, , .
Зв’язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Дана робота прямо пов'язана з основними дослідженнями кафедри комп’ютерної алгебри та дискретної математики Одеського національного університету імені І.І. Мечникова, які ведуться в рамках науково-дослідної теми “Дослідження асимптотичних задач теорії чисел” (номер державної реєстрації 0101V008297).
Практичне значення одержаних результатів. Дисертація має теоретичне значення. Результати роботи знайдуть застосування при дослідженнях з теорії арифметичних функцій , в дискретній математиці.
Особистий внесок здобувача. Всі результати дисертаційної роботи отримані самостійно.
Апробація результатів дисертації. Результати дисертації доповідалися на таких конференціях та семінарах:
Міжнародна математична конференція, присвячена сторіччю від початку роботи
Д.О. Граве в Київському університеті (Київ, 2002 р.);
IV Міжнародна алгебраїчна конференція в Україні (Львів, 2003 р.);
III Міжнародна конференція пам’яті В.Я.Буняковського (Київ, 2004 р.);
розширений семінар кафедри алгебри та математичної логіки Київського університету імені Тараса Шевченка (Київ, 2004 р.).
Публікації. Результати дисертації опубліковані в 7-ми наукових працях. З них чотири опубліковані в спеціалізованих виданнях з переліку №1, затвердженого ВАК України, та три –в матеріалах та тезах конференцій. Список робіт наведений наприкінці автореферату.
Структура та обсяг дисертації. Дисертація складається зі вступу та п’яти глав. Повний обсяг роботи –сторінки, 7 з яких займає список використаних літературних джерел, що складається із 61-го найменування.
Хочу висловити глибоку подяку своєму науковому керівнику П.Д.Варбанцю за постановку задач, постійну увагу до роботи, плідні обговорення, цінні поради та зауваження.
основний зміст
У вступі подається загальна характеристика роботи та стан проблематики. Формулюються основні результати, які порівнюються з аналогічними результатами, отриманими іншими авторами.
Розділ 1. У цьому розділі досліджується несиметрична функція дільників в арифметичній прогресії.
Нехай -дійсне число, . Покладемо
.
Отримана асимптотична формула для цієї функції.
Теорема 1.1. Нехай . Тоді
,
де
,
, - як завгодно мале позитивне число, стала в символі “О”залежить тільки від . Ця формула нетривіальна при , де f(x)g(x) –це символ Виноградова, який позначає, що f(x)=O(g(х)).
При цьому доведене наступне твердження для узагальненої суми Клостермана
.
Лема 1.5. Нехай . Тоді
.
В §1.2 досліджується розподіл значень функції в арифметичній прогресії над кільцем цілих гаусових чисел .
Позначимо через її суматорну функцію
,
де .
Доведена наступна теорема.
Теорема 1.2. Нехай . Тоді при
має місце асимптотична формула
,
тут і далі стала в символі “О”залежить тільки від .
Для побудови цієї формули використовується підхід, що опирається на метод твірних рядів Дирихле та оцінки узагальнених сум Клостермана над .
Розділ 2. У цьому розділі вивчається адитивна проблема дільників над кільцем цілих гаусових чисел.
У 1927 році A.E.Ingham одержав асимптотическую формулу для кількості розв’язків діофантового рівняння , з умовою, що . Ця задача може трактуватися в термінах функції дільників , при цьому використовується результат, що відноситься до розподілу значень функції в арифметичній прогресії. Зазначена адитивна задача вивчалася багатьма авторами з метою уточнення залишкового члена в асимптотичній формулі. В другому розділі розлядається спеціальний аналог адитивної задачі дільників над кільцем цілих гаусових чисел. Побудована асимптотична формула для функції , що позначає кількість розв’язків у цілих гаусових числах діофантового рівняння , з умовою .
Спочатку була отримана асимптотична формула для функції в арифметичній прогресії, де позначає число дільників гаусового числа .
Лема 2.2. Нехай . Тоді при
ми маємо
де ,
.
Основним результатом другого розділу є наступна теорема.
Теорема 2.1. Нехай - позитивне дійсне число, . Для та як завгодно малого позитивного справедлива наступна формула
,
де .
Розділ 3.У третьому розділі вивчається узагальнена проблема дільників.
Нехай функція позначає кількість розв’язків нерівності
,
в цілих , де є додатньо визначеною квадратичною формою, , - фіксовані дійсні числа. У третьому розділі досліджується поведінка залишкового члена в асимптотичній формулі для функції , коли - зростаючий параметр. При розв’язанні цієї задачі істотно використовується апарат дзета-функції Епштейна.
Розглянемо функцію виду
.
Використовуючи нові оцінки тригонометричних сум спеціального виду, які отримав P.Sargos, маємо наступний допоміжний результат.
Лема 3.6. Для будь-якого та деяких має місце оцінка
.
Використовуючи функціональні рівняння для дзета-функцій Гурвіца та Римана, перетворення Мелліна та лему 3.6, доводиться основний результат розділу 3.
Теорема 3.1. Нехай є додатньо визначеною квадратичною формою, - фіксовані дійсні числа, , тоді
.
Розділ 4. В цьому розділі основною задачею є дослідження дзета-функції Епштейна, яка має багато застосувань в асимптотичних задачах теорії чисел. Але на відміну від дзета-функції Римана, вона, взагалі кажучи, не має Ейлерового добутку, що й ускладнює її дослідження.
Для дійсних чисел та комплексної змінної s визначимо дзета-функцію Епштейна в області
.
Ця функція має функціональне рівняння
,
де .
В §4.1 отримане наближене рівняння для дзета-функції Епштейна.
Теорема 4.1. Нехай . Тоді для функції Епштейна має місце наближене функціональне рівняння
, (1)
де
.
Це твердження можна розглядати як аналог формули M.Jutila для .
Для залишкового члена в теоремі 4.1, коли справедлива оцінка
.
У теорії дзета-функції Римана та її застосуваннях важливе місце займають оцінки моментів -го порядку для , але асимптотичні формули для цих моментів отримані тільки при та 4. В § 4.2 отримана оцінка другого моменту дзета-функції Епштейна.
У наближеному рівнянні (1) залишковий член досить великий для побудови асимптотичної формули для другого моменту
,
тому при розв’язанні цієї задачі використовуєтьсяться ідея D.R. Heath-Brown.
Позначимо
.
Доведена наступна теорема.
Теорема 4.2. Нехай . Тоді
.
Зауваження 4.3. Так як має місце оцінка , ми можемо оцінити третій доданок в теоремі 4.2 як .
При дослідженні розподілу значень функції на арифметичних прогресіях можна використати наступний результат, отриманий в §4.2.
Теорема 4.3. Нехай . Тоді
,
де Β позначає множину точок (u,v), які задовольняють наступним умовам і
Крім того доведена наступна лема.
Лема 4.4. Нехай рід квадратичної форми ,
є однокласним. Покладемо
.
Тоді функція є мультиплікативною, причому
.
В спеціальному випадку, коли рід квадратичної форми є однокласним, вдається прорахувати головний член формули із теореми 4.2, тому що тоді або є мультиплікативною функцією (лема 4.4) і, отже, можна скористатися тотожністю Ейлера. Доведення основної теореми 4.4 §4.2 зпирається на доведені леми 4.5-4.6 і наслідок 4.2.
Лема 4.5. Нехай квадратична форма належить однокласному роду G. Тоді
(Константи залежать від А.)
Лема 4.6. Нехай . Тоді при виконанні умов леми 4.4 для будь-якого >0 має місце формула
,
де
Наслідок 4.2. Рівномірно по існує константа , така що
де ε- довільна нескінченно мала константа. Більше того,
.
У випадку, коли квадратична форма має спеціальний вигляд, отримана наступна асимптотична оцінка другого моменту дзета-функції Епштейна.
Теорема 4.4. Нехай рід G квадратичної форми дискримінанта -4А ( , ) є однокласним. Тоді для будь-якого ε>0 справедлива рівність
де >0, - обчислені константи, що залежать від А.
Розділ 5. У цьому розділі вивчається суматорна функція
,
де ,
- дві множини з кільця цілих гаусових чисел.
Задача про оцінку суматорної функції для у раціональному випадку для спеціальних множин розглядалась в роботах Р. Varbanets, P. Zarzycki, R.Smith, M. Subbarao, W. Nowak. У даній роботі розглядається випадок, коли (множина простих гаусових чисел), .
Використовуючи асимптотичний закон розподілу простих гаусових чисел, теорему тауберового типу, яка належить Kaczorowski J., а також інформацію про розподіл нулів дзета-функції Гекке поля гаусових чисел, отримана асимптотична формула для
.
Теорема 5.1. Нехай , .
Для довільного цілого справедлива наступна асимптотична формула
рівномірно по всіх параметрах .
( - обчислюєма константа, - лінійні многочлени, .)
У дисертації побудована асимптотична формула для суматорної функції несиметричної функції дільників в арифметичній прогресії , яка використовується при рішенні багатьох задач статистичної теорії чисел. У роботі досліджена тригонометрична сума
і доводиться ряд її властивостей. Зокрема, показано, що
,
що дозволило довести основну теорему першого розділу.
Двомірний аналог цієї теореми доводиться за допомогою отриманої оцінки узагальненої суми Клостермана над кільцем :
і аналога співвідношення Н.В. Кузнєцова для раціональних сум Клостермана.
У другому розділі роботи доводиться результат для кількості рішень діофантового рівняння у цілих гаусових числах , з умовою . Отриманий результат є узагальненням класичної адитивної задачі дільників, що досліджувалася в роботах A. E. Ingham, T. Estermann, D.R. Heath-Brown, Д. Ісмоілова, A. Ivic, Y. Motohashi. Зауважимо, що близька задача про кількість рішень діофантового рівняння з умовою , розглядалася в роботах R.Smith –M.Subbarao, Д. Ісмоілова, Г. Бєлозьорова, П. Д. Варбанця та ін. На жаль, методи спектральної теорії автоморфних форм (які використовував Y.Motohashi у задачі про кількість рішень діофантового рівняння ) застосувати не вдається.
У третьому розділі розглядається задача про кількість рішень нерівності у цілих для фіксованих дійсних , де - зростаючий параметр, яка є узагальненням класичних задач Гауса про кількість цілих точок у колі і Дирихле про кількість цілих точок під гіперболою. Основний результат цього розділу доводиться з використанням теорії дзета-функції Епштейна, оцінки Ван дер Корпута для тригонометричних сум і нових оцінок тригонометричних сум спеціального виду. Цей результат по силі аналогічний оцінці G. Kolesnik для функції .
У теорії дзета-функції Римана і її застосуваннях важливе місце займають оцінки моментів -го порядку. Ряди Дирихле для і дзета-функції Епштейна дуже “схожі”. У четвертому розділі отримана оцінка другого моменту дзета-функції Епштейна. Основним методом побудови асимптотичних оцінок другого і четвертого моментів для є метод, заснований на застосуванні наближених функціональних рівнянь для й . У роботі також використовується цей метод. Крім того, побудоване наближене функціональне рівняння для . У випадку, коли рід квадратичної форми є однокласним, теорема про другий момент має більш завершений вигляд.
У розділі 5 досліджено розподіл кількості зображень цілих гаусових чисел у вигляді , де просте гаусове число, а належить арифметичній прогресії .
список опублікованих автором праць
за темою дисертації
1. Savastru O.V. The non-symmetric divisor function in arithmetic progression // Matematychni Studii –. –Vol.18, No.2. –P. 115–.
. Savastru O.V. Distribution of the non-symmetric divisor function over in arithmetic progression // Вісник Київського університету, Серія: фіз. - мат. Науки. –. –№ 3. –С. 56–.
3. Savastru O.V., Varbanets P.D. An additive divisor problem in // Algebra and discrete Math. –. –No.1. –P. 103–.
. Fugelo N., Savastru O. An asymptotic formula in generalization divisor problem // Book of abstracts of 4th International Algebraik Conference in Ukraine. Lviv: Ivan Franco National University of Lviv. –. –P.71–.
5. Савастру О. В. Обобщенная задача делителей // Тезисы докладов VI Международной конференции по алгебре и теории чисел, посвященной 100-летию Н. Г. Чудакова. Саратов: Саратовский государственный университет им Н. Г. Чернышевского. –. –С.104 –.
. Савастру О. Распределение значений функции простых делителей гауссовых чисел // Тези доповідей Міжнародної конференції пам’яті В.Я. Буняковського. Київ: Інститут математики Національної академії наук України. –. –С.116–.
7. Savastru O.V., Varbanets P.D. On the mean square of the Epstein zeta-function // Algebra and discrete Math. –. –No.1. –P. 99 –.
анотації
Савастру О.В. Розподіл значень арифметичних функцій на спеціальних послідовностях. –Рукопис.
Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук за спеціальністю 01.01.06 –алгебра та теорія чисел.– Київський університет імені Тараса Шевченка, м. Київ, 2005 р.
У дисертації побудована асимптотична формула для суматорної функції несиметричної функції дільників в арифметичній прогресії на множині натуральних чисел та над кільцем цілих гаусових чисел. Також досліджені тригонометричні суми , і доводиться ряд їх властивостей.
У другому розділі роботи доводиться результат для кількості розв’язків діофантового рівняння у цілих гаусових числах , з умовою .
У розділі 3 розглядається задача про кількість розв’язків нерівності у цілих для фіксованих дійсних , де - зростаючий параметр, яка є узагальненням класичних задач Гауса про кількість цілих точок у колі і Дирихле про кількість цілих точок під гіперболою. Основний результат цього розділу доводиться з використанням теорії дзета-функції Епштейна, оцінки Ван дер Корпута для тригонометричних сум і нових оцінок тригонометричних сум спеціального виду.
У четвертому розділі побудоване наближене функціональне рівняння для , отримана оцінка другого моменту дзета-функції Епштейна. У випадку, коли рід квадратичної форми є однокласним, теорема про другий момент має більш завершений вигляд.
У розділі 5 досліджено розподіл кількості зображень цілих гаусових чисел у вигляді , де - просте гаусове число, а належить арифметичній прогресії .
Ключові слова: арифметична функція, асимптотична формула, тригонометрична сума, функціональне рівняння, дзета-функція Епштейна.
Савастру О.В. Распределение значений арифметических функций на специальных последовательностях.– Рукопись.
Диссертация на соискание научной степени кандидата физико-математических наук по специальности 01.01.06 –алгебра и теория чисел. – Киевский университет имени Тараса Шевченко, г. Киев, 2005 г.
В диссертации построена асимптотическая формула для сумматорной функции несимметричной функции делителей в арифметической прогрессии на множестве натуральных чисел и над кольцом целых гауссових чисел. Также исследуются тригонометрические суммы , , изучаются свойства этих функций.
Во втором разделе работы получен результат для количества решений диофантового уравнения в целых гауссовых числах , при условии . Полученный результат является обобщением классической аддитивной задачи делителей, которая исследовалась в работах A. E. Ingham, T. Estermann, D.R. Heath-Brown, Д. Ісмоилова, A. Ivic.
В разделе 3 рассматривается задача о количестве решений неравенства в целых
для фиксированных действительных чисел , где - возрастающий параметр. Эта задача является обобщением классических задач Гаусса о количестве целых точек в круге и Дирихле о количестве целых точек под гиперболой. Основной результат этого раздела получен с применением аппарата дзета-функции Эпштейна, оценки Ван дер Корпута для тригонометрических сумм и новых оценок тригонометрических сумм специального вида. Этот результат по силе своей аналогичен оценке G. Kolesnik для функции
.
В теории дзета-функции Римана и ее приложениях важное место занимают оценки моментов -го порядка. Ряды Дирихле для и дзета-функции Эпштейна очень “похожи”. В четвертом разделе получена оценка второго момента дзета-функции Эпштейна. Основным методом построения асимптотических оценок второго и четвертого моментов для является метод, основанный на применении приближенных функциональных уравнений для и . В работе также используется этот метод. В случае, когда род квадратичной формы является одноклассным, теорема о втором моменте имеет более законченный вид. Кроме того, построено приближенное функциональное уравнение для функции .
В разделе 5 исследуется распределение числа представлений целых гауссовых чисел в
виде , где - простое гауссово число, а принадлежит арифметической прогрессии
.
Ключевые слова: асимптотическая формула, тригонометрическая сумма, функциональное уравнение, дзета-функция Эпштейна.
Savastru O.V. Distribution of values of arithmetic functions in special sequences. –Manuscript.
Thesis of dissertation for obtaining the degree of candidate of sciences in physics and mathematics, speciality 01.01.06 –algebra and number theory. –Kyiv Taras Shevchenko university, Kyiv, 2005.
In the dissertation the results about asymptotic behaviour of the sum and
are improved. The estimations of the exponential sums are used. The auxiliary results about estimations of the exponential sums , are received which generalize the sums of Kloosterman.
In the second section of work the result for quantity of solutions of diofantic equation in integer gaussian numbers , is received, under condition of .
In section 3 the problem about quantity of solutions of inequality is considered, where are integers, are fixed real numbers, is a growing parameter. The basic results of this section are received, using the theory of zeta-function of Еpstein, estimation of Van der Corput for the trigonometrical sums and new estimations of the trigonometrical sums of a special kind. This result on the force is similar to estimation G. Kolesnik for function .
In the fourth section the estimation of the second moment of zeta-function of Еpstein is received. The theorem of the second moment has more finished appearance, when the kind of positive quadratic form consists out of one class. Besides, the approached functional equation for function
is constructed.
In section 5 distribution of function is investigated. This function denotes the number of representations of the integer gaussian numbers in the form of , where is a simple gaussian number, and belongs to an arithmetic progression .
Key words: asymptotic formula, exponential sum, functional equation, zeta-function of Epshtein.