Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
Брянская государственная инженерно-технологическая академия
Кафедра математики
Методические указания и задания к выполнению
расчетно-графической работы по теме:
"Приближенные методы решения
дифференциальных уравнений"
для студентов всех направлений подготовки бакалавров очной формы обучения всех специальностей
Брянск 2011
Брянская государственная инженерно-технологическая академия
Кафедра математики
Утверждены научно-методическим
советом БГИТА
Протокол №____от «___»_________2011 года
Методические указания и задания к выполнению
расчетно-графической работы по теме:
"Приближенные методы решения
дифференциальных уравнений"
для студентов всех направлений подготовки бакалавров очной формы обучения всех специальностей
Брянск 2011
Составители: ст. преподаватель Тайц В.И.,
доцент Камозина О.В.,
доцент Котова И.А.
Рецензент: профессор кафедры Э и АПП, д. ф.-м. наук О.Г. Тайц
Рекомендованы редакционно-издательской и методической комиссиями механико-технологического факультета БГИТА.
Протокол №__________от «____»____________2011 г.
Приближенные методы решения дифференциальных уравнений
Решение многих дифференциальных уравнений нельзя свести к интегрированию известных функций. Поэтому важное значение приобретают приближенные методы решения.
Существуют два метода численного решения дифференциальных уравнений 1-го порядка: метод Эйлера и метод Рунге-Кутта.
Для данного уравнения 1-го порядка
(1)
можно составить таблицу приближенных значений частного решения, удовлетворяющего начальному условию
(2)
или приближенно вычертить интегральную кривую на некотором отрезке[].
По методу Эйлера данный отрезок [] разбивается точками на n частичных отрезков.
На первом частичном отрезке [] искомая интегральная кривая, проходящая через известную точку M0() заменяется касательной к ней в точке
,
Откуда при получается приближенное значение искомого решения уравнения в точке
.
Далее тем же способом для отрезка [] находим приближенное значение искомого решения в точке
.
Продолжая этот процесс, последовательно находим приближенные значения искомого решения в точках .
С увеличением , при достаточно малой длине частичных отрезков, этим методом можно достигнуть заданной точности решения.
Данный отрезок [] удобно разделить на частичные отрезки одинаковой длины
(шаг).
Тогда все последовательные приближенные значения решения уравнения (1), удовлетворяющего начальному условию (2), вычисляются по рекуррентной формуле
.
Таким образом, по методу Эйлера интегральную кривую, проходящую через точку , заменяют ломаной (ломаной Эйлера), каждый отрезок которой проведен по направлению поля, определенного уравнением (1). Иными словами, от предыдущей вершины ломаной к последующей двигаются по касательной к интегральной кривой, проведенной через начальную точку каждого отрезка.
Недостатки метода Эйлера:
1. Малая точность при значительном шаге и большой объем работ при малом шаге.
2. Систематическое накопление ошибок.
Поэтому метод Эйлера применяют лишь для грубых приближений.
Расчет ведется по следующей схеме:
|
0 |
||||
|
1 |
||||
|
2 |
||||
|
… |
… |
… |
… |
… |
|
-1 |
||||
2. Метод Рунге-Кутта
Метод Рунге-Кутта более чаще употребляется, чем метод Эйлера, хотя и требует большего объёма вычислений, однако это окупается повышенной точностью, что даёт возможность проводить счет с большим шагом, т.е. для получения результатов с одинаковой точностью в методе Эйлера потребуется значительно меньший шаг, чем в методе Рунге-Кутта.
Геометрически этот метод для задачи (1),(2) также как и в методе Эйлера состоит в том, что на малом отрезке [] интегральная кривая уравнения (1) заменяется прямой, проходящей через точку , однако в основу положен более тонкий, чем в методе Эйлера, подход к определению направления этого отрезка прямой.
Обозначим через приближенное значение искомого решения в точке . По методу Рунге-Кутта вычисление приближенного значения в следующей точке производится по формулам:
где
(3)
Шаг расчета можно поменять при переходе от одной точки к другой. Для контроля правильности выбора шага рекомендуем вычислить дробь
Величина не должна превышать нескольких сотых. В противном случае шаг следует уменьшить.
Все вычисления удобно располагать по схеме:
|
0 |
||||
|
+ |
||||
|
1 |
||||
|
… |
… |
… |
… |
… |
Порядок заполнения таблицы:
1) Записываем в первой строке таблицы данные значения .
2) Вычисляем умножаем на и заносим в таблицу в качестве .
3) Записываем во второй строке таблицы .
4) Вычисляем , умножаем на и заносим в таблицу в качестве .
5) Записываем в третьей строке таблицы .
6) Вычисляем , умножаем на , заносим в таблицу в качестве .
7) Записываем в четвертой строке таблицы .
8) Вычисляем , умножаем на и заносим в таблицу в качестве .
9) В столбец записываем .
10) Суммируем числа, стоящие в столбце , делим на 6 и заносим в таблицу в качестве .
11) Вычисляем .
Затем все вычисления продолжают в том же порядке, принимая за начальную точку .
Содержание РГР "Приближенные методы решения дифференциальных уравнений"
Студенту предлагается выполнить следующую работу:
1 . Точное решение дифференциального уравнения.
2. Приближенное решение дифференциального уравнения методом Эйлера.
3. Приближенное решение дифференциального уравнения методом Рунге-Кутта.
Варианты и образец выполнения РГР приведены ниже.
Варианты
Образец выполнения РГР
Задание. Найти решение дифференциального уравнения с начальным условием на отрезке , приняв за шаг .
- линейное уравнение.
Подстановка:
При найдем
- точное решение дифференциального уравнения.
2. Приближенное решение дифференциального уравнения по методу Эйлера
Т.к. то
|
0 |
||||
|
1 |
||||
|
2 |
||||
|
3 |
||||
|
4 |
||||
|
5 |
3. Приближенное решение дифференциального уравнения по методу Рунге-Кутта
1) Записываем в первой строке
2) Вычисляем тогда
3) Записываем во второй строке:
4) Вычисляем тогда
5) Записываем в третьей строке
6) Вычисляем тогда
7) Записываем в четвертой строке
8) Вычисляем тогда
9) В столбце записываем
10) Вычисляем
11) Получаем
Значения заносим в строку, помеченную индексом , и снова проводим вычисления по формулам (3).
|
0 |
0 |
1 |
0,1 |
0,1 |
|
|
0,05 |
1,05 |
0,11 |
0,22 |
||
|
0,05 |
1,055 |
0,1105 |
0,221 |
0,05 |
|
|
0,1 |
1,1105 |
0,12105 |
0,12105 |
||
|
1 |
0,1 |
1,11034 |
0,12103 |
0,12103 |
|
|
0,15 |
1,17085 |
0,13208 |
0,26417 |
||
|
0,15 |
1,17638 |
0,113264 |
0,26528 |
0,051 |
|
|
0,2 |
1,24298 |
0,12429 |
0,12429 |
||
|
2 |
0,2 |
1,2428 |
0,14428 |
0,14428 |
|
|
0,25 |
1,31494 |
0,15649 |
0,31298 |
||
|
0,25 |
1,32105 |
0,15710 |
0,31421 |
0,049 |
|
|
0,3 |
1,3999 |
0,16999 |
0,16999 |
||
|
3 |
0,3 |
1,39971 |
0,16997 |
0,16997 |
|
|
0,35 |
1,48469 |
0,18347 |
0,36694 |
||
|
0,35 |
1,49144 |
0,18414 |
0,36829 |
0,049 |
|
|
0,4 |
1,58384 |
0,19838 |
0,19838 |
||
|
4 |
0,4 |
1,58364 |
0,19836 |
0,19836 |
|
|
0,45 |
1,68282 |
0,21328 |
0,42656 |
||
|
0,45 |
1,69028 |
0,21403 |
0,42806 |
0,05 |
|
|
0,5 |
1,79767 |
0,22977 |
0,22977 |
||
|
5 |
0,5 |
1,79743 |
Из шестого столбца таблицы видно, что шаг выбран правильно.
Таблица сравнения методов Эйлера, Рунге-Кутта и точного решения уравнения.
|
x |
Метод Эйлера |
Метод Рунге-Кутта |
Точное решение |
|
y |
y |
y |
|
|
0 |
1 |
1 |
1 |
|
0,1 |
1,1 |
1,11034 |
1,11034 |
|
0,2 |
1,22 |
1,2428 |
1,2428 |
|
0,3 |
1,362 |
1,39971 |
1,3997 |
|
0,4 |
1,528 |
1,58364 |
1,58365 |
|
0,5 |
1,721 |
1,79743 |
1,79744 |
Вывод: анализируя полученные результаты, мы можем сказать, что самым точным из двух методов приближенного решения дифференциального уравнения явяляется метод Рунге-Кутта, метод Эйлера дает грубые ошибки. Метод Рунге-Кутта дает практически точное решение дифференциального уравнения, но требует большего объема вычислений, чем предыдущий метод.
Рисунок 1 – График сравнения методов Эйлера, Рунге-Кутта и точного решения дифференциального уравнения с начальным условием на отрезке и шагом .
1. Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисления для втузов. М.: «Наука», 1978. Т.2.
2. Данко П.Е., Кожевникова Т.Я. и др. «Высшая математика в упражнениях и задачах». М.: «Наука», 1980. Т.2.
3. Задачи и упражнения по математическому анализу для втузов. Под ред. Б.П. Демидовича. М.: ООО «Издательство Астрель», ООО «Издательство АСТ», 2003.
Виолетта Ивановна Тайц
Олеся Владимировна Камозина
Ирина Александровна Котова
Методические указания и задания к выполнению расчетно-графической работы по теме: «Приближенные методы решения дифференциальных уравнений»
для студентов всех направлений подготовки бакалавров очной формы обучения всех специальностей
Лицензия НД № 14185 от 6.03.2001 г.
Формат 6094 1/16. Тираж 30 экз. Печ. л. – 1,1
Брянская государственная инженерно-технологическая академия.
241037, г. Брянск, пр. Станке Димитрова, 3, редакционно-издательский
отдел. Подразделение оперативной печати.
Подписано к печати ____________________ 2011 г.