Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
ПП 4. Теория поля
ОСНОВНЫЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ И ФОРМУЛЫ
4.1. Поверхности и линии уровня
Поверхность уровня (эквипотенциальная поверхность) – множество точек , в которых скалярное поле принимает одно и то же значение .
В силу однозначности функции поверхности уровня, соответствующие различным значениям c, не пересекаются между собой.
Скалярное поле называется плоским, если при подходящем выборе системы координат функция поля зависит только от двух переменных. Множество точек плоскости , для которых , называется линией уровня плоского скалярного поля.
4.2. Производная по направлению
Производная скалярной функции u в точке по направлению вектора :
,
определяет скорость изменения скалярного поля в направлении вектора .
4.3. Градиент скалярного поля
Градиент скалярного поля u в точке – вектор, определяемый равенством:
.
Символический вектор “набла” или оператор Гамильтона:
,
, понимается как результат действия оператора “набла” на функцию u.
Связь градиента и производной по направлению
.
Свойства градиента
4.4. Векторные линии. Уравнения векторных линий.
Векторная линия поля –кривая, в каждой точке которой вектор направлен по касательной к ней.
Уравнения векторных линий:
.
4.5. Поверхностный интеграл 1-го рода
Вычисление поверхностных интегралов 1-го рода
|
Поверхность задана |
|
где - проекции на плоскости .
4.6. Поверхностный интеграл 2-го рода
.
Связь между поверхностными интегралами 1-го и 2-го рода:
,
- единичный вектор нормали к выбранной стороне поверхности ; при интегрировании
по положительной стороне поверхности: ,
по отрицательной: .
, – векторный элемент площади, направленный по нормали к поверхности .
4.7. Поток векторного поля
Поток вектора через поверхность равен поверхностному интегралу 2-го рода от вектора по поверхности .
Способы вычисления потока
Введем - векторный дифференциальный элемент поверхности, тогда
, .
Поток сводится к интегралу 1-го рода по поверхности от скалярного произведения вектора на нормаль к этой поверхности (иначе: от проекции поля на нормаль к поверхности ).
Проектирование на одну координатную плоскость
Если поверхность задана уравнением и однозначно проектируется в область на координатной плоскости , то .
,
поток вектора через эту поверхность равен
,
знак зависит от направления положительной нормали к поверхности. Аналогичные формулы получаются при проектировании на другие координатные плоскости для поверхностей вида и .
Проектирование на три координатные плоскости
Поверхность задана неявно уравнением ;
, ,
.
– углы, которые образует нормаль с осями координат, единичная нормаль . Так как , то
,
=.
Пусть поверхность взаимно однозначно проектируется на все три координатные плоскости. Если это не имеет места, поверхность нужно разбить на однозначно проектирующиеся участки.
Рассмотрим слагаемое , для него уравнение поверхности запишем в виде , тогда в точке , ,=.
Знак (+) соответствует острому углу между нормалью и осью (), знак (–) – тупому углу между нормалью и осью ().
Аналогично,
, ,
и окончательно имеем:
.
Знаки перед слагаемыми соответствуют знакам направляющих косинусов нормали .
Указанная формула устанавливает связь между потоком и поверхностным интегралом 2-го рода:
.
4.8. Дивергенция векторного поля
,
, .
Свойства дивергенции
1. .
2. .
4.9. Теорема Остроградского - Гаусса
Поток векторного поля через внешнюю сторону замкнутой поверхности равен тройному интегралу от дивергенции по области G, ограниченной поверхностью :
,
где символ обозначает интеграл по замкнутой поверхности.
4.10. Линейный интеграл в векторном поле
=.
Свойства линейного интеграла
1. =+.
2. =+.
3. =.
Криволинейный интеграл по замкнутому контуру называется циркуляцией векторного поля по замкнутому контуру: .
Вычисление линейного интеграла
Пусть и кривая L задана параметрическими уравнениями:
,
при имеем точку , при ,
тогда
= = =,
где обозначения означают дифференцирование по переменной t.
4.11. Ротор (вихрь) векторного поля
.
С использованием оператора набла , или .
В виде символического определителя
определитель вычисляется разложением по первой строке.
Свойства ротора (вихря)
1. , иначе
.
2. Пусть . =.
В векторных обозначениях: .
4.12. Теорема Стокса
Поток вектора через ориентированную поверхность равен циркуляции поля по контуру L, ориентированному в соответствии с ориентацией ,
=.
Для того чтобы криволинейный интеграл по любому кусочно-гладкому контуру равнялся нулю, необходимо и достаточно, чтобы выполнялись условия Стокса: или .
4.13. Потенциальное векторное поле
Векторное поле называется потенциальным, если оно является градиентом некоторого скалярного поля (функции) , т.е. . Функция u в этом случае называется силовой функцией, или потенциалом поля. Потенциал u определяется с точностью до постоянного слагаемого.
Свойства потенциального поля
1. Циркуляция векторного поля по любому замкнутому контуру, лежащему в области непрерывности потенциального поля, равна нулю.
По теореме Стокса =.
2. Линейный интеграл в потенциальном поле не зависит от пути интегрирования и равен разности потенциалов поля в конечной и начальной точках интегрирования.
Теорема. Для того чтобы векторное поле в некоторой односвязной области G было потенциальным, необходимо и достаточно, чтобы оно было безвихревым, т.е. .
Вычисление потенциала поля
Потенциал векторного поля может быть найден по формуле
,
где А (x0, y0, z0) - фиксированная точка поля, координаты которой удовлетворяют условиям существования полей и (как правило, А(0,0,0)), а Р(x,y,z) - текущая точка поля. Линейный интеграл вычисляется по любому контуру дуги , важно лишь положение начальной и конечной точек. Наиболее удобен для вычисления контур в виде ломаной, звенья которой параллельны осям координат.
В этом случае
.
Соленоидальное поле
Векторное поле называется соленоидальным (трубчатым), если в каждой точке поля .
Свойства соленоидального поля
1. Соленоидальные поля не имеют источников и стоков.
2. Поток через любую замкнутую ориентированную кусочно – гладкую поверхность, лежащую в поле, равен нулю:
.
3. В соленоидальном поле векторные линии не могут начинаться или кончаться, они либо замкнуты, либо имеют концы на границе поля.
4. Поток векторного поля через поперечное сечение векторной трубки в соленоидальном поле остаётся постоянным вдоль всей трубки.
Оператор Гамильтона (набла)
.
В этом операторе соединены дифференциальные и векторные свойства, поэтому при действиях с ним необходимо пользоваться правилами векторной алгебры и дифференцирования.
Правила действий с оператором «набла»:
1. Если оператор действует на какое-либо произведение, то вначале используются его дифференциальные, а затем векторные свойства.
2. Чтобы отметить тот факт, что «набла» не воздействует на какую-либо величину, входящую в состав сложной формулы, эту величину помечают индексом c (const).
3. Все величины, на которые оператор «набла» не действует, в окончательном варианте ставятся впереди него.
Оператор Лапласа
.
Дифференциальные операции второго порядка
|
|
Скалярное поле |
Векторное поле |
|
|
ПП 4. Теория поля |
||
|
4.1. Поверхности и линии уровня |
||
|
№ п/п |
Задание |
Ответ |
|
ПП 4.№1. |
Скалярное поле определено функцией Найти градиент поля в точке Построить поверхности уровня для Решение: Градиент скалярного поля определяется равенством Находим в точке Следовательно, Находим теперь поверхности уровня. 1)
- сфера с центром в точке и радиусом равным 2. 2) - сфера с и 3) - сфера с и 4) - сфера с и На рисунке приведено сечение поверхностей уровня плоскостью, проходящей через ось . |
сферы с центром и радиусом 2, с центром и радиусом 1, с центром и радиусом 1, с центром и радиусом |
|
ПП 4.№2. |
Найти производную скалярного поля в точке по направлению вектора если Решение: Производная скалярного поля в точке по направлению вектора равна Находим частные производные функции и вычисляем их значения в точке : Находим направляющие косинусы вектора
Следовательно, |
|
|
ПП 4.№3. |
Найти производную скалярного поля в точке по направлению нормали к поверхности , образующей острый угол с положительным направлением оси если Решение:
Если поверхность задана уравнением , то нормаль к поверхности имеет вид: Находим нормаль к поверхности в точке Так как у нас то По условию задачи нормаль образует острый угол с положительным направлением оси , следовательно ее проекция на эту ось имеет положительный знак, т.е. искомая нормаль . Направляющие косинусы этого вектора:
|
6 |
|
ПП 4.№4. |
Найдите единичный вектор нормали к поверхности в точке Р(1,1,1). Решение: По свойству градиента , , =, . |
|
|
ПП 4.№5. |
Найти угол между градиентами скалярных полей и в точке если Решение: Градиент скалярного поля определяется равенством Находим в точке Таким образом, Аналогично находим
Таким образом, Вычислим косинус угла между градиентами скалярных полей и в точке , |
|
|
ПП 4.№6. |
Найти производную функции в точке в направлении, составляющем с осями координат равные тупые углы. Решение: Производная скалярного поля в точке по направлению вектора равна
Находим направляющие косинусы вектора
|
|
|
ПП 4.№7. |
Найдите наибольшую крутизну подъёма поверхности в точке Р (2,2,4). Решение: max ; =; |
|
|
4.4. Векторные линии. Уравнения векторных линий. |
||
|
ПП 4.№8. |
Найдите векторные линии поля, если поле задано вектором: в точке Р(1,0,0). Решение: . 1) ,; ; - уравнение окружности. 2) . Из параметрического вида уравнения окружности , В точке P(1,0,0) получаем: Векторные линии поля представляют собой винтовые линии. |
|
|
ПП 4.№9. |
Найти векторные линии в векторном поле Решение: Векторные линии для векторного поля описываются системой дифференциальных уравнений Согласно этой формуле, имеем или Интегрируя, получаем или то есть векторные линии этого поля представляют собой эллипсы с центрами на оси , лежащие в плоскостях, перпендикулярных к этой оси. |
|
|
ПП 4.№10. |
Найти векторные линии поля Решение: Векторные линии векторного поля могут быть найдены из системы Для нашего поля имеем Решим эту систему с помощью метода составления интегрируемых комбинаций. Равенство образует первую интегрируемую комбинацию.
Вычитая числители и знаменатели первой и третьей дробей, получаем вторую интегрируемую комбинацию
Таким образом, векторные линии задаются системой т.е. являются линиями пересечения гиперболических цилиндров с плоскостями. |
|
|
4.7. Поток векторного поля |
||
|
ПП 4.№11. |
Найти поток векторного поля через часть плоскости расположенной в первом октанте (нормаль образует острый угол с осью ), если Решение: Запишем уравнение плоскости "в отрезках": Из него видно, что точки пересечения плоскости с координатными осями есть , где - часть плоскости расположенная в первом октанте. Если плоскость задана уравнением то нормальный вектор . Следовательно, для нашей плоскости
Так как нормаль образует острые углы с осями координат, то для выбираем знак «+». Таким образом, . |
|
|
ПП 4.№12. |
Найти поток векторного поля через часть плоскости расположенную в первом октанте (нормаль образует острый угол с осью Oz), если Решение: Нормаль к плоскости Она образует острые углы с осями координат, следовательно, . |
|
|
ПП 4.№13. |
Найти поток векторного поля через часть поверхности вырезаемую плоскостями и (нормаль внешняя к замкнутой поверхности, образуемой данными поверхностями), если Решение: 1способ. Найдем поток методом проектирования на три координатные плоскости. Для этого воспользуемся формулой Таким образом, для нашего вектора Вычислим каждый из трех интегралов отдельно. Так как - цилиндрическая поверхность с образующей, параллельной оси то Для вычисления интеграла разобьем поверхность плоскостью на две части и ( - та часть, где ). Проекцией и на плоскость является одна и та же область но при сведении поверхностного интеграла к двойному в первом случае перед интегралом берется знак «+», во втором – «-», так как для направляющий косинус нормали , а для - . Аналогично вычисляем При вычислении этого интеграла поверхность разбиваем на две части плоскостью
Таким образом, 2способ. Найдем поток векторного поля через часть поверхности цилиндра вырезаемую плоскостями и как разность потока через замкнутую поверхность образованную этим цилиндром и этими плоскостями, и потоков и через части плоскостей и , вырезаемые цилиндром . Для вычисления потока воспользуемся формулой Остроградского-Гаусса: , т.е. поток векторного поля через замкнутую поверхность в направлении внешней нормали равен тройному интегралу от дивергенции этого поля по объему , ограниченному данной поверхностью. Вычислим дивергенцию вектора Таким образом, Вычислим теперь поток через круг являющийся нижним основанием цилиндра, в направлении внешней к цилиндру нормали. Аналогично вычисляем через верхнее основание цилиндра Для Таким образом, |
0 |
|
ПП 4.№14. |
Найти поток векторного поля через часть поверхности , вырезаемую плоскостью (нормаль внешняя к замкнутой поверхности, образуемой данными поверхностями), если Решение: 1способ. Найдем поток методом проектирования на одну координатную плоскость. Поверхность однозначно проектируется в круг на координатной плоскости Находим . , где - уравнение поверхности. У нас
Таким образом, Из геометрических соображений понятно, что внешняя нормаль образует острый угол с осью т.е. следовательно, интересующая нас единичная нормаль 2способ. Найдем поток векторного поля как разность потока через замкнутую поверхность, состоящую из полусферы и ограничивающей ее плоскости, и потока через данную часть плоскости
Для плоскости Следовательно, |
|
|
ПП 4.№15. |
Найти поток векторного поля через замкнутую поверхность (нормаль внешняя), если Решение: Уравнение плоскости "в отрезках": Поток векторного поля через замкнутую поверхность в направлении внешней нормали Вычисляем Поэтому |
- 8 |
|
ПП 4.№16. |
Найти поток векторного поля через замкнутую поверхность (нормаль внешняя), если Решение: где - тело, ограниченное замкнутой поверхностью образованной парой параболоидов вращения. Вычислим |
|
|
ПП 4.№17. |
Найти поток векторного поля через замкнутую поверхность (нормаль внешняя), если Решение:
Вычисляем |
|
|
ПП 4.№18. |
Вычислите поток векторного поля радиус - вектора через внешнюю сторону цилиндра с высотой H и радиусом основания R.). Решение: , , . = =={из рисунка ясно, что проекция на по равна H, т.е. }=. ==0. 3R2H. |
3R2H |
|
ПП 4.№19. |
Вычислите поток векторного поля через всю поверхность (нормаль внешняя): Решение: Разобьем поверхность на две части и представим поток в виде ; =, ; , , (знак выбирается «+», так как ), . = =… {перейдем в полярную систему координат} . = { } =. . |
|
|
ПП 4.№20. |
Найдите поток вектора через часть сферы , расположенную в первом октанте (нормаль внешняя). Решение: {компоненты поля и области интегрирования обладают симметрией относительно замены и } Важно отметить, что cosα, cosβ, cosγ положительны, перед всеми интегралами берется знак (+), так как сторона поверхности - внешняя. |
|
|
ПП 4.№21. |
Вычислите дивергенцию векторного поля . Решение: . |
0 |
|
ПП 4.№22. |
Вычислите дивергенцию векторного поля . Решение: . |
3 |
|
ПП 4.№23. |
Вычислите поток поля через замкнутую поверхность . Решение:
|
|
|
4.10. Линейный интеграл в векторном поле |
||
|
ПП 4.№24. |
Найти работу силы при перемещении вдоль линии от точки к точке , если Решение: Вычисляем работу силы применяя формулу Следовательно, Так как вдоль линии переменные связаны равенством то Таким образом, криволинейный интеграл сводится к определенному интегралу: |
-2,5 |
|
ПП 4.№25. |
Найти работу силы при перемещении вдоль линии от точки к точке , если Решение: Запишем уравнение кривой в параметрическом виде: Точке соответствует точке – Вычислим работу силы : Следовательно, |
|
|
ПП 4.№26. |
Найти криволинейный интеграл вектора вдоль дуги винтовой линии от точки до точки . Решение: Криволинейный интеграл вектора вдоль линии вычисляется по формуле
|
|
|
ПП 4.№27. |
Найти циркуляцию векторного поля вдоль контура ( в направлении, соответствующем возрастанию параметра ), если
Решение: Контур - эллипс, получающийся при пересечении цилиндра с плоскостью Таким образом, это замкнутая линия с периодом Вычисляем циркуляцию. |
|
|
ПП 4.№28. |
Задача 15. Найти модуль циркуляции векторного поля вдоль контура , если Решение: Контур - это общие точки сферы и цилиндра то есть, это окружность с центром в начале координат и радиусом, равным 3, лежащая в плоскости Перепишем уравнение кривой в виде: 1способ. Вычисляем модуль циркуляции Так как вдоль контура а следовательно и то все три интеграла равны 0. Итак, 2способ. Для вычисления циркуляции воспользуемся формулой Стокса: т.е. циркуляция вектора по замкнутому контуру равна потоку ротора этого вектора через поверхность ограниченную этим контуром. Вычисляем ротор вектора . В качестве поверхности можно взять круг, который вырезается цилиндром из плоскости Для этой поверхности Тогда |
0 |
|
ПП 4.№29. |
Проверить формулу Стокса для поля вектора принимая за поверхность интегрирования боковую поверхность пирамиды, ограниченную плоскостями а за контур интегрирования – линию ее пересечения с плоскостью Решение: Надо показать, что Вычислим каждый из этих интегралов. Линия состоит из трех отрезков: , , , где Пусть контур обходится в направлении Тогда Найдем Поверхность состоит из трех треугольников: и где Нормали к плоскостям, в которых лежат эти треугольники, выберем так, чтобы обход контура , наблюдаемый из конца нормали, происходил против часовой стрелки. Для Для Для .
, Таким образом, мы убедились в справедливости формулы Стокса для поля данного вектора. |
|
|
ПП 4.№30. |
Найти поток вихря вектора через: а) боковую поверхность конуса б) сечение этого конуса плоскостью в положительном направлении оси Решение: Найдем ротор (вихрь) вектора а) Найдем поток вихря вектора через боковую поверхность конуса как разность потока через замкнутую поверхность и потока через основание этого конуса Для б). Для плоскости |
а) |
|
ПП 4.№31. |
Найти где - постоянный вектор, - радиус-вектор точки, - произвольная дифференцируемая функция. Решение: Пусть Тогда Так как а то
Аналогично, Следовательно, |
|
|
ПП 4.№32. |
Для поля вектора где - радиус-вектор точки, найти и Решение: Найдем .
Таким образом, Теперь найдем Пусть Тогда . Ротор обладает следующим свойством:
Следовательно, |
|
|
4.13. Потенциальное векторное поле |
||
|
ПП 4.№33. |
Показать, что поле вектора является потенциальным и найти его потенциал. Решение: Необходимым и достаточным условием потенциальности поля является В нашем случае Следовательно, поле потенциально. Найдем потенциал поля. где - фиксированная точка, а - произвольная точка поля. В силу независимости интеграла от формы пути, линию интегрирования выберем в виде ломаной где отрезок параллелен оси отрезок - оси а отрезок - оси Тогда |
PAGE 8