тематика Секция- прикладная математика ЗОНЫ ДИРИХЛЕ ВЕРШИН ТРЕУГОЛЬНИКА Работу выполнил-

Работа добавлена на сайт samzan.net:

PAGE  35

Министерство образования и науки, молодёжи и спорта Украины

Министерство образования и науки Автономной Республики Крым

Малая академия наук школьников Крыма «Искатель»

Отделение: математика

Секция: прикладная математика

ЗОНЫ ДИРИХЛЕ ВЕРШИН ТРЕУГОЛЬНИКА

Работу выполнил:

Магера Николай Владимирович,

ученик 9 – Б класса

средней общеобразовательной школы

I–III ступеней № 27 г. Симферополя

Научный руководитель:

Стонякин Фёдор Сергеевич,

ассистент кафедры алгебры и функционального анализа

Таврического национального университета  им. В. И. Вернадского

Симферополь — 2011

СОДЕРЖАНИЕ

[1] ЗОНЫ ДИРИХЛЕ ВЕРШИН ТРЕУГОЛЬНИКА [2] СОДЕРЖАНИЕ [3] СПИСОК УСЛОВНЫХ ОБОЗНАЧЕНИЙ [4]        [5] ВВЕДЕНИЕ [6] РАЗДЕЛ 1 [7] О ПРИНАДЛЕЖНОСТИ НЕКОТОРЫХ ЗАМЕЧАТЕЛЬНЫХ ТОЧЕК ТРЕУГОЛЬНИКА ЗОНАМ ДИРИХЛЕ ЕГО ВЕРШИН [7.1] Центр описанной окружности [7.2] Ортоцентр [7.3] Центроид [7.4] Инцентр [7.5] Точки Брокара [7.6] Точка Торричелли [7.7] Теорема о принадлежности замечательных точек треугольника зонам Дирихле его вершин [8] РАЗДЕЛ 2 [9] ЗАДАЧИ [9.1] 2.1. Задача 1. [9.2] 2.2. Задача 2. [9.3] 2.3. Задача 3. [9.4] 2.4. Задача 4. [9.5] 2.5. Задача 5. [10] ВЫВОДЫ [11] СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ [12] ПРИЛОЖЕНИЯ [13] 2. Метрические пространства и зоны Дирихле [13.1] Какие бывают расстояния [13.2] Шары [13.3] Аксиомы метрики [13.4] Зоны Дирихле в метрических пространствах и их приложения [14] 3. Интересный факт [15] 4. Компьютерное приложение к работе

СПИСОК УСЛОВНЫХ ОБОЗНАЧЕНИЙ

               Знак логического следования.

                      Расстояние между точками X, Y.

А В              «Сравним величины А и В».

                    Точка Х принадлежит зоне Дирихле точки А.

                                 Название евклидовой метрики, заданной формулой

                                            () .

                                 Название городской метрики, заданной формулой

                                             .

                                  Название метрики, заданной формулой

                                      ().

                                Название метрики, заданной формулой

                                      ()

 

 

      

ВВЕДЕНИЕ

Актуальность темы. Хорошо известно понятие «метрическое пространство» (это множество, в котором определено расстояние между любой парой элементов) и «зоны Дирихле» в метрическом пространстве. Для несколько точек метрического пространства  оно делится на зоны Дирихле относительно этих точек следующим образом: каждой из точек  соотносится такое подмножество метрического пространства , что  , .  Зоны Дирихле также называют сферами влияния. Они используются во многих прикладных задачах [1]. В качестве примеров можно привести задачу о станциях метро, а также задачу из теории кодирования (см. приложение «Зоны Дирихле в метрических пространствах и их приложения» к данной работе).

В треугольнике известно множество замечательных точек, обладающих важными свойствами. Например, точка Торричелли широко используется в теории кратчайших сетей [2]. Также существует и активно используется понятие центра тяжести (центра масс) системы материальных точек на плоскости [3]. При этом многие замечательные точки треугольника являются центрами тяжести системы вершин треугольника, в которые помещены грузы с некоторыми массами [3].

В связи с этим интерес представляет задача выяснения условий на элементы треугольника, при которых эти точки принадлежат зонам Дирихле одной или нескольких вершин треугольника.

Объект исследования. Треугольник  и его элементы (особенно – различные его замечательные точки).

Предмет исследования. Принадлежность замечательных точек треугольника зонам Дирихле его вершин в евклидовой метрике на плоскости.

Цели и задачи работы. Цель данной работы состоит в том, чтобы провести исследование и выяснить условия принадлежности основных замечательных точек треугольника зонам Дирихле вершин треугольника. Попутно изучаются понятия метрика (расстояние), метрическое пространство и зоны Дирихле в метрических пространствах, рассмотрены способы деления пространств на зоны Дирихле, приложения зон Дирихле к некоторым прикладным задачам.

В первом разделе выяснены условия принадлежности ряда замечательных точек, таких как ортоцентр, инцентр, центроид, центр описанной окружности, 2 точки Брокара, точка Торричелли в треугольнике зонам Дирихле их вершин в зависимости от элементов (см. теорему на с. 16).

Во втором разделе составлены и решены 5 авторских задач, в которых используется полученный результат.

Приложения посвящены метрическим пространствам, зонам Дирихле в них и некоторым их приложениям.

Также написано три программы  на языке программирования Delphi 7 для персонального компьютера. Программы автоматизируют деление пространства на сферы влияния для разных метрик, а также определение принадлежности исследуемых точек зонам Дирихле. Подробнее про работу программ можно прочитать в приложениях к работе.

Научная новизна. Самостоятельно получена теорема о принадлежности замечательных точек треугольника (ортоцентр, инцентр, центроид, центр описанной окружности, 2 точки Брокара, точка Торричелли) зонам Дирихле его вершин. Также составлено и решено 5 авторских задач, в которых используется полученный результат. Указанных фактов нет в доступной автору литературе. Полученные результаты дополняют и развивают геометрию треугольника.

Методы исследования. В работе используются методы геометрии треугольника (для вывода теоремы, решения задач), метод координат (для написания программ), метод математического анализа, а именно неравенства Коши, принцип упорядоченных наборов (для решения авторских задач (№№ 1, 2)).

Практическая значимость работы. Работа имеет, в основном, теоретическое значение. Отдельные факты имеют некоторое прикладное значение (например, задачи о торговых точках).

РАЗДЕЛ 1 

О ПРИНАДЛЕЖНОСТИ НЕКОТОРЫХ ЗАМЕЧАТЕЛЬНЫХ ТОЧЕК ТРЕУГОЛЬНИКА ЗОНАМ ДИРИХЛЕ ЕГО ВЕРШИН

Рассмотрим обычную плоскость с «евклидовой» метрикой и зафиксируем 3 точки на ней, не лежащие на одной прямой. Получится треугольник.

Для того чтобы разделить плоскость на зоны Дирихле относительно трёх вершин треугольника, достаточно провести серединные перпендикуляры к сторонам треугольника.

Как известно, в треугольнике существует множество особых точек, обладающих экстремальными и другими интересными свойствами. Рассмотрим некоторые из них: центр описанной окружности, ортоцентр, центроид, инцентр, точки Брокара, точка Торричелли и выясним условия на элементы треугольника, при которых эти точки принадлежали зоне Дирихле одной из вершин треугольника.

1.  Центр описанной окружности

Так как центр описанной окружности является точкой пересечения серединных перпендикуляров, то он находится на одинаковом расстоянии от вершин треугольника (на расстоянии, равном радиусу описанной окружности), то есть на пересечении зон Дирихле всех вершин треугольника.

1.  Ортоцентр

Высота треугольника — прямая СD (рис. 1.1) опущенная из вершины треугольника перпендикулярно к прямой, содержащей противоположную сторону. Ортоцентр – точка пересечения высот в треугольнике. Ортоцентр лежит внутри треугольника в случае остроугольного треугольника, на вершине прямого угла в прямоугольном треугольнике, и вне треугольника – в тупоугольном.

1.2.1. При каких условиях ортоцентр

находится на пересечении зон Дирихле?

Высоты треугольника пересекаются в одной точке, называемой ортоцентром. Он совпадает с  центром описанной окружности тогда и только тогда, когда 3 высоты совпадают с тремя серединными перпендикулярами.  Если это будет верно для 3 сторон, то получим равносторонний треугольник (рис. 1.2).

Точка О (ортоцентр и центр описанной окружности) находится на пересечении зон Дирихле. В этом случае углы треугольника АВС равны.

1.2.2. При каких условиях ортоцентр принадлежит  

зоне Дирихле вершины А?

Так как в зависимости от мер углов треугольника ортоцентр может лежать как внутри треугольника, так и совпадать с его вершиной, так и быть вне треугольника, то рассмотрим отдельно случаи остроугольного, прямоугольного и тупоугольного треугольника.

1.2.2.1. Для остроугольного треугольника:

Гипотеза: , то есть .

Пусть угол А – больший (рис. 1.3.). Имеем:

Из  и  имеем  , .

Докажем, что        или        при     

Из теоремы косинусов имеем:     .

Докажем требуемые неравенства.

А)  умножим на ,   ,

,   , так как , то , ч. т. д.

Б)  умножим на ,   ,

,   , так как , то , ч. т. д.

Значит, система  верна при .

Вывод:  , ч. т. д.

1.2.2.2. Для прямоугольного треугольника:

Так как ортоцентр всегда лежит в вершине прямого угла, то он принадлежит его зоне Дирихле.

Вывод:.

1.2.2.3. Для тупоугольного треугольника:

В тупоугольном треугольнике ортоцентр лежит на продолжении высоты проведенной из вершины тупого угла (рис 1.4). Так как в любом треугольнике против большего угла лежит большая сторона и тупой угол больше острого, то:

А) Из  имеем .

Б) Из  имеем .

Значит,  в тупоугольном треугольнике и .

Вывод: .

1.  Центроид

Медиана треугольника ― отрезок внутри треугольника, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны (рис. 1.5). Центроид — точка пересечения медиан в треугольнике. Точка пересечения медиан всегда лежит внутри треугольника.

1.3.1. При каких условиях центроид находится на пересечении зон Дирихле всех вершин треугольника?

Как для ортоцентра, центроид принадлежит зонам Дирихле всех вершин треугольника только в равностороннем треугольнике. Это следует из того, что медианы в равностороннем треугольнике являются высотами и центроид совпадает с центром описанной окружности.

1.3.2. При каких условиях центроид

принадлежит  зоне Дирихле вершины А?

В треугольнике медиана находится по формуле

,     ,     .

Это следует из тождества параллелограмма, согласно которому сумма квадратов диагоналей любого параллелограмма равна сумме квадратов всех его сторон. Известно, что центроидом медианы делятся на отрезки, которые относятся как 2:1, начиная от вершины треугольника. Имеем:

,     ,     .

Будем искать условия на элементы треугольника, при которых  , то есть выполняется система  .

.

Найдем условия на , ,  при которых эта система верна. 

А) Первое неравенство верно тогда, и только тогда, когда

/возведём в квадрат

,    ,

,      ,     , выполняется при .

Б) Второе неравенство верно тогда, и только тогда, когда

/возведём в квадрат

,    ,

,     ,     , выполняется при .

Тогда система выполняется при .

Вывод: .

1.  Инцентр

Биссектриса – луч, делящий угол пополам. Инцентр — точка пересечения биссектрис треугольника. Также инцентр является центром вписанной в треугольник окружности. Инцентр всегда лежит внутри треугольника.

1.4.1. При каких условиях инцентр

находится на пересечении зон Дирихле всех вершин треугольника?

Найдём условия на элементы треугольника, при которых инцентр совпадает с  центром описанной окружности. Пусть они совпадают (рис 1.6).

Имеем , так как  — центр описанной окружности  , ,   — равнобедренные  , ,  (как углы при основании равнобедренных треугольников). Так как , ,  — биссектрисы , то , то есть ( — равносторонний).

Инцентр лежит на пересечении зон Дирихле всех вершин треугольника в равностороннем треугольнике.

1.4.2. При каких условиях инцентр

принадлежит  зоне влияния точки А?

Гипотеза: .

Доказательство

Точками касания окружность делит стороны треугольника на 6 частей           (рис. 1.7), для которых выполняется система:

                                                                                                                                     (1.1)

Пусть , тогда .

Тогда , то есть проекции отрезка    на ,  меньше, чем  и соответственно.  Преобразуем систему (1.1) :,     ,  .

Далее ,    ,    ,  ,

  или  .

        Так как  то:

                   и         .

Значит, .

Вывод: .

1.  Точки Брокара

Точка Р, лежащая внутри , называется первой точкой Брокара (рис. 1.8), если   . Точка Q, лежащая внутри , называется второй точкой Брокара (рис. 1.9), если   .

Известно, что  ([4, стр. 23]). Угол  называют углом Брокара.

1.5.1. При каких условиях первая (вторая) точка Брокара

находится на пересечении зон Дирихле всех вершин треугольника?

Это возможно только в том случае, если точка Р (Q) совпадает с центром описанной окружности. Пусть это так (рис. 1.10). Имеем , так как  — центр описанной окружности  , ,  — равнобедренные  , ,  (как углы при основании равнобедренных треугольников). Так как   – первая точка Брокара, то   , то есть (  —  равносторонний). Аналогично, вторая точка Брокара (Q) совпадает с центром описанной окружности только в правильном треугольнике.

1.5.2. При каких условиях первая точка Брокара

принадлежит зоне Дирихле вершины А?

Задание: найти условия на элементы треугольника, при которых верно:

.

А) Из  имеем: , ,

или , то есть .

Б) Из  имеем: , ,

или , то есть .

В) Из  имеем: , ,

или , то есть .

По теореме синусов (для , , ):

Решим предыдущую систему. Начнём с первого неравенства.

.

По теореме синусов:                 ,          .

Значит,   .

Рассмотрим второе неравенство.  .

По теореме синусов:                  ,            

Значит,   .

Система  верна при

Вывод: .

1.5.3. При каких условиях вторая точка Брокара

принадлежит зоне Дирихле точки А?

Задание: найти условия элементов треугольника, при которых верно:

.

А) Из  имеем: , ,  

или , то есть .

Б) Из  имеем: , ,

или , то есть .

В) Из  имеем:   , ,

или , то есть .

По теореме синусов:

.

.

.

.

Решим предыдущую систему. Начнём с первого неравенства.

По теореме синусов:                ,          .

Значит,                                       .

Рассмотрим второе неравенство.   .

По теореме синусов:                ,             .

Значит,                                      

Система  верна при

Вывод: .

При каких условиях обе точки Брокара

принадлежат зоне Дирихле вершины А?

.

1.  Точка Торричелли

Точка Торричелли  — точка треугольника (рис. 1.11), из которой все стороны видны под углом в 120°. Существует только в треугольниках с углами меньшими 120° [5].

1.6.1. При каких условиях точка Торричелли

находится на пересечении зон влияния?

Точка находится на пересечении зон Дирихле, если , а так как    , значит , следовательно,   является равносторонним.

1.6.2.При каких условиях точка Торричелли

принадлежит зоне Дирихле вершины А?

Задание: найти условия на элементы треугольника, при которых выполняется система:

                                                                                                             (1.2).

По теореме косинусов:

, , значит

Пусть система (1.2) верна, тогда:

.

 

.

Значит система (1.2) выполняется при .

Вывод: .

1.  Теорема о принадлежности замечательных точек треугольника зонам Дирихле его вершин

Теорема. (О принадлежности замечательных точек треугольника зоне Дирихле его  вершины). Центр описанной окружности всегда находится на пересечении зон Дирихле вершин треугольника. Ортоцентр, инцентр, центроид, точка Торричелли  принадлежат зоне Дирихле вершины большего угла. Точки  Брокара принадлежат зоне Дирихле вершины А, если выполняются соотношения:

,  или .

Следствие (О принадлежности замечательных точек треугольника пересечению зон Дирихле его  вершин ). 

 Условия ,  ,  ,  , ,  верны   — правильный.

РАЗДЕЛ 2

ЗАДАЧИ

В этом разделе рассмотрены пять авторских задач, в которых используется полученная теорема.

2.1. Задача 1.

Предприниматель купил 3 торговых зоны (А, В, С) в сельской зоне. Ему нужно выбрать место для склада Х, до которого нужно отремонтировать дороги. Где выбрать Х так, чтобы минимизировать затраты на ремонт дорог и перевозку товаров. Считаем, что затраты на ремонт пропорциональны ++, а затраты на перевозку пропорциональны ++ ( — площади  торговых зон).

Для решения задач я буду использовать хорошо известный принцип упорядоченных наборов для трёх чисел: если , , то , где — некоторая перестановка  . Его доказательство представлено в [6, стр. 14].

Решение

Возможны такие случаи:

1.  Все углы АВС меньше 120˚.
2.  Треугольник АВС имеет больший угол равный или больший 120˚.
3.  Точки А, В, С лежат на одной прямой.

Для первого случая ответом является точка Торричелли. По её свойству:

, значит .

Для второго случая ответом будет точка Ферма, которая будет совпадать с вершиной тупого угла.

Если точки А, В, С образуют прямую, то  совпадает с точкой, лежащей между двумя другими.

Пусть и . По доказанному неравенству:

.

В отличие от стандартной задачи Ферма – Торричелли – Штейнера здесь введены коэффициенты при длинах расстояний и способ решения этой задачи. Используя теорему о принадлежности точки Торричелли зонам Дирихле вершин треугольника и зная длины , ,  можно упорядочить расстояния, ,  наибольшее и наименьшее.

2.2. Задача 2.

Предприниматель купил 3 торговых зоны (А, В, С) в деревенской зоне. Где нужно выбрать место для склада Х, до которого нужно отремонтировать дороги так, чтобы минимизировать затраты на ремонт дорог и перевозку. Затраты на ремонт пропорциональны ++; а затраты на перевозку пропорциональны ++ ,где ( — площади магазинов).

Решение

По теореме Лейбница [7, стр. 69] для :

, значит искомая точка – центроид.

Решение второй части задачи () аналогично решению второй части задачи №1.

2.3. Задача 3.

Даны 3 точки плоскости (А, В, С), образующие треугольник АВС, известны длины его сторон. Найти точку Х внутри треугольника такую, что  (рис 2.1). Пусть даны   — некоторые положительные числа. Каким образом нужно расставить коэффициенты  таким образом, чтобы минимизировать величину  , где  — некоторые перестановки .

Решение

1.  Умножим  на . Имеем:

=

 

По неравенству Коши (неравенство о среднем арифметическом и среднем геометрическом): , , , значит:

Равенство достигается при  

, , или , т. е. Х=I (инцентр).

Если даны коэффициенты , то решение задачи   аналогично решению второй части задачи №1.

2.4. Задача 4.

Дано: , , , ,  (рис 2.2).

Доказать: а) Точка К – центроид , б) .

Доказательство

1.  Проведём ,  (см рис. 2.3.).
   1.   - параллелограмм (Так как  и ).
      1.  Так как и  , то  , значит

                    — параллелограмм.

1.  Так как , то  и - диагонали , значит .
   1.  

.

1.  Так как и , то L – центроид , значит

1.   В параллелограмме :

.

Так как (по условию) и (по доказанному), то  и  L – центроид , то  – центроид .

Так как  и   параллелограммы, то .

Так как , то по теореме о принадлежности центроида зонам Дирихле вершин имеем (см. с. 16): , что и требовалось доказать.

2.5. Задача 5.

 Дано: ,  ,  , , ,                      , (см. рис. 2.4).

Доказать: 1) L – центроид ;   2) .

В решении использована следующая интересная вспомогательная лемма, которая вытекает из теоремы Чевы (см. приложение «Интересный факт», рис. 2.5).

Решение

1.  Проведём , .
2.   — параллелограмм (, ).

Следовательно, .

1.  Так как  и , то  — параллелограмм (, ).
2.  Так как , то  — вершина параллелограмма  (по доказанной лемме из приложений к работе — с. 32, рис. 2.5).
3.  Так как  ,, - параллелограммы, то по свойству диагоналей параллелограмма:

,

,

.

1.  Так как , то  =  =  К  – центроид  

     L=K  L – центроид , что и требовалось доказать.

1.  Так как , то по теореме о принадлежности центроида зонам Дирихле вершин треугольника , ч. т. д.

ВЫВОДЫ

В работе проведены исследования и выяснены условия принадлежности основных замечательных точек треугольника зонам Дирихле вершин треугольника в «евклидовой» метрике. Рассматриваются такие точки, как ортоцентр (Н), инцентр (I), центроид (М), центр описанной окружности (O), 2 точки Брокара (P та Q), точка Торричелли (Т). Доказано, что точка О лежит на пересечении зон Дирихле всех вершин треугольника, точки Н, I, М, Т принадлежат зоне Дирихле вершины большего угла треугольника, для точек P и Q определены специфические условия их принадлежности сферам влияния вершин треугольника. Полученные результаты сформулировано в виде теоремы. Также составлено и решено 5 авторских задач, в которых используется эта теорема. Параллельно были изучены понятия метрика, расстояние, метрическое пространство и зоны Дирихле в метрических пространствах, рассмотрены способы деления пространства на зоны Дирихле, практическое применение зон Дирихле. Также были написаны три программы по теме работы на Delphi 7 для персонального компьютера, которые автоматизируют деление плоскости на зоны Дирихле, а также определение принадлежности точек сферам влияния в разных метриках.

Все основные результаты работы получено самостоятельно. Они не содержатся в доступной автору литературе по теме.

СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ

1.  Скворцов. В. А. Примеры метрических пространств. – М.:МЦНМО, 2002. – 24с.
2.  Протасов В. Ю. Максимумы и минимумы в геометрии. – М.:МЦНМО, 2005. – 56с.
3.  Балк М. Б., Болтянский В. Г. Геометрия масс. – М.: «Наука», 1987. – 160 с.
4.  Прасолов. В. В. Точки Брокара и изогональное сопряжение. – М.:МЦНМО,       2000.–24с.
5.  Мякишев А. Г. Элементы геометрии треугольника – М.:МЦНМО, 2002. – 32 с.
6.  Пинтер Л., Хегедыш Й. Упорядоченные наборы чисел и неравенства.// Квант. Научно-популярный физико-математический журнал.– 1985, № 12. –  с.14 – 16.
7.  Зетель С.И. Новая геометрия треугольника. – М.: УЧПЕДГИЗ, 1962. – 151с.
8.  Ж. Адамар. Элементарная геометрия. – М.: УЧПЕДГИЗ, 1948. – 608с.
9.  Кудин А. Некоторые малоизвестные факты из геометрии треугольника.// Математика. Еженедельное научно-методическое приложение к газете «Первое сентября» – 1999, № 6. – с. 6 –10.
10.  Прасолов В.В. Задачи по планиметрии. Ч.1. –  М: «Наука», 1991. – 320 с.
11.  Прасолов В.В. Задачи по планиметрии. Ч.2. –  М: «Наука», 1991. – 240 с.
12.  Кушнiр I.A. Трикутник у задачах. К.: «Либiдь», 1994. – 104 с.
13.  Кушнир И.А., Финкельштейн Л.П. Геометрия. Школа боевого искусства. – К.: «Факт», 1999. – 232 с.
14.  Заславский А., Косов Д., Музафаров М. Траектории замечательных точек     треугольника Понселе. // Квант. Научно-популярный физико-математический журнал.– 2003,  № 2.–  с.22 – 25.
15.  Заславский А., Косов Д., Музафаров М. Траектории замечательных точек треугольника Понселе.  // Квант. Научно-популярный физико-математический журнал. – 2003,  № 3 –  с.60 – 63.
16.   Ефремов Д. Новая геометрия треугольника. – Одесса: Типография бланкоиздательства М. Шпенцера, 1902. – 335 с.

ПРИЛОЖЕНИЯ

1. Рисунки к основной части работы

                      Рис. 1.1                                                            Рис. 1.2

                                                            Рис. 1.3

                                                              Рис. 1.4

                                                                       Рис. 1.6

                 Рис. 1.5

Рис. 1.7

                      Рис. 1.8                                                               Рис.1.9

                                                                                                     

            Рис. 1.10                                                               Рис. 1.11

                          Рис. 2.1

                                                          Рис. 2.2   

Рис. 2.3

                            Рис. 2.4                                                              Рис. 2.5

2. Метрические пространства и зоны Дирихле

Какие бывают расстояния

Наверное, каждый знает, что такое значит «расстояние между двумя местами», но  даже в повседневной жизни мы вкладываем в него разные значения в зависимости от ситуации. Если для лётчика это расстояние будет измеряться вдоль прямой, то автомобилист будет считать расстояние вдоль шоссейных дорог, которые могут существенно отклоняться от прямолинейного пути.

На плоскости расстояние между двумя точками  и  на плоскости мы определяем так: соединяем эти точки отрезком и берём его длину за расстояние между этими точками. Расстояние можно вычислить по формуле ()  («Евклидово расстояние»).        

Но легко привести примеры, в которых более естественным оказывается другое определение. Допустим мы находимся в городе с «очень правильной» планировкой. В этом городе k*n прямоугольных кварталов, разделенных n-1 «горизонтальными» и k-1 вертикальными улицами (Рис. 3.1).  

Рис 3.1

В таком городе нет смысла пользоваться обычным расстоянием, если нас интересует расстояние от перекрёстка  до  на плоскости будет определяться формулой: .

Также существует метрика  (()). Этому расстоянию можно придать такой физический смысл. Пусть мы должны поддерживать определённую температуру в двух комнатах и измеряем показатели двумя термометрами. Пусть в первой комнате нужно поддерживать температуру , а во второй - . Показания термометров -  и  соответственно. Нужно следить за тем, чтобы температура не отклонялась от нормы. Тогда определённое так расстояние  между показаниями термометров показывает, на сколько градусов произошло отклонение от нормы

Аналогичные расстояния можно ввести и между точками  и   трехмерного пространства.

 Шары

Если на множестве определено расстояние, то с его помощью можно описать геометрические объекты все точки которого лежат в пределах этого расстояния.

Единичный шар – это множество точек, которые удалены от центра на расстояние не более, чем 1. Вот запись этого множества: .

На рис 3.2 мы видим представление единичного шара для различных расстояний.

 

Рис 3.2

Для евклидова расстояния единичный шар будет выглядеть так, как показано на рисунке 3.2(а). А  рис. 3.2(б) является представлением расстояния, названым . Рис 3.2(в) – представление метрики (это будет квадрат со сторонами параллельными осям).

Можно получить бесконечное количество способов задания расстояния если в формуле, определяющей евклидово расстояние, заменить 2 на ρ, ρ≥1. Получим такое расстояние : ().

Если ρ постепенно увеличивается от 1 до 2, то шар будет  раздуваться от ромба до круга (Рис. 3.3). А дальше, когда ρ станет больше 2, то шар будет всё больше заполнять большой квадрат. Т. е. при  получается квадрат, который является единичным шаром для расстояния . Поэтому, расстояние, названое , можно обозначить, как  (как при ρ, стремящимся к ∞ ).

 

Рис 3.3

 Аксиомы метрики

Все перечисленные выше расстояния, обладают некими универсальными свойствами:

1.  ρ(Х,У)≥0,  то есть расстояние неотрицательно.
2.  Если Х=У, то  ρ(Х,У)=0.
3.  ρ(Х,У)=ρ(У,X) – свойство симметрии.
4.  ρ(Х,Z)+ρ(Z,У)≥ρ(Х,У) – неравенство треугольника.

При выполнении всех этих аксиом, расстояние между точками называется метрикой, а пространство – метрическим пространством с метрикой ρ.

Рассмотрим на примере. Пусть есть карта местности и две речки, обозначенные кривыми Г и Г (рис. 3.4). Нам надо построить канал т. е. отрезок, чтоб было как можно меньше затраты ресурсов.

       

                          Рис 3.4                                                       Рис 3.5

Тогда естественно ввести такое расстояние:

Г,Г

Г

Г

Как видно, это разумно определенное расстояние, но оно не удовлетворяет 4 аксиоме метрике. Действительно, для трех речек (рис.3.5) оказывается

Г,ГГ,ГГ,Г

Это пример расстояния, которое нельзя назвать метрикой. Поэтому пространство кривых с таким расстоянием нельзя назвать метрическим.

Отметим также, что элементами метрических пространств могут быть не только точки, но и кривые, множества, функции. Главное – чтобы можно было определить расстояние между ними.

Зоны Дирихле в метрических пространствах и их приложения

Рассматривать обычное евклидово расстояние на плоскости:

() .

В этом случае зоны Дирихле нетрудно построить для любого числа точек. Так как серединный перпендикуляр является геометрическим местом точек равноудалённых от двух данных, то двух точек достаточно соединить их отрезком и провести серединный перпендикуляр. Эта прямая и будет делить пространство на зоны Дирихле (рис. 3.6).

                            

                                    Рис 3.6                                      Рис 3.7

Зоны Дирихле возникают во многих прикладных задачах. Например, пусть необходимо разделить город на зоны Дирихле относительно станций метро. Воспользуемся метрикой  (). Представим сетку улиц с правильной планировкой и две станции метро А и В (рис 3.7).  

Здесь разделителем плоскости на сферы влияния будет множество точек, от которых до станции А и В будет одинаковое расстояние. В это множество попадают точки отрезка CD, которые являются серединами кратчайшего пути от станции метро А до станции метро В (один из них показан пунктиром на рис. 3.7). Далее при перемещении вдоль линии-разделителя ниже точки С или выше D путь увеличивается на 1 квартал.

Зоны Дирихле также используются в теории кодирования. Пусть, например, нужно автоматически исправлять ошибки при передаче закодированных сообщений. Рассмотрим слова, записанные в двоичной системе счисления (0,1) и состоящие из 5 букв. За расстояние примем количество побуквенных различий в словах. Например, расстояние от 01011 и 11101 равно 3. В реальности используются более длинные слова. В качестве центров притяжения используются только осмысленные слова.

Так, если произошел сбой в передаче, то некоторые слова изменились на близкие к ним. А так как всё пространство делено на Зоны Дирихле относительно осмысленных слов, то мы можем изменить сообщение, заменяя слова с ошибками на ближайшие к ним. Именно так работают некоторые механизмы автоматического исправления в теории кодирования [1].

3. Интересный факт 

Лемма. Дан  и произвольная точка Х внутри него. Точку Х отразили симметрично относительно середин сторон треугольника. Отрезки  соединяют вершины исходного треугольника с отражениями точки Х (рис. 2.5). Оказывается, что построенные таким образом прямые пересекутся в одной точке.

Отметим, что похожее утверждение имеется в [8] и доказывается с помощью подобия треугольников.

Доказательство

Точка  не может лежать на продолжении ВС потому, что тогда  или , что невозможно.

Точка  не может лежать на продолжении АС потому, что тогда  или , что невозможно.

Точка  не может лежать на продолжении АВ потому, что тогда  или , что невозможно.

1) По теореме Чевы:

Если , то отрезки пересекаются в одной точке.

2)— параллелограммы, так как точкой пересечения диагонали делятся на равные части. Из этого следует, что:

А), ,       

Б), , , следовательно

 

,

3),      ,  

,      ,

,       .

4)  , , , значит

.

Значит,  и прямые пересекаются в одной точке, что и требовалось доказать. Так же необходимо отметить, что если Х – центроид  , то точка пересечения этих прямых совпадает с точкой Х.

4. Компьютерное приложение к работе

1.  Программа по координатам трёх точек, соответствующим вершинам треугольника и координатам 4-й исследуемой точки автоматизирует построение треугольника, деление пространства на зоны Дирихле, вычисление расстояния от исследуемой точки до каждой из вершин треугольника, выводит её принадлежность зоне Дирихле вершины треугольника. Информация выводится в виде таблицы.

В программе можно настраивать интерфейс, изменять масштаб изображения, сохранять изображение в формате «*.bmp».

1.  Программа автоматизирует вычисление расстояния от исследуемой точки до каждой из множества фиксированных точек (до 26 штук), автоматизирует определение принадлежности исследуемой точки к зоне Дирихле одной из этих точек в «евклидовой» метрике. Информация выводится в виде таблицы.

1.  Программа автоматизирует вычисление расстояния от исследуемой точки до каждой из множества фиксированных точек (до 26 штук), автоматизирует определение принадлежности исследуемой точки к зоне Дирихле одной из этих точек для городской метрики. Информация выводится в виде таблицы.

1. ВВЕДЕНИЕ Преобразования в экономической социальной политической сферах в Российской Федерации повлекли
2. Тема 9 Система бюджетирования и внутрихозяйственной отчетности
3. Происхождение и эволюция современного франчайзинга
4. театр имеет греческое происхождение и означает место для зрелищ и само зрелище
5. тема наймання та обліку персоналу Планування та маркетинг персоналу- Начальник планового відділу з
6. политическим руководством и в последние годы жизни Сталина
7. Работа переноса точечного электрического заряда в электростатическом поле
8. Контрольная ситуация 1 2 3 4 1 Вика Л
9. 15 кг в год примерно 4042 г в день
10. Практикум Задание- Определение оптимального варианта доставки пассажиров разными видами транспорта- Н
11. помочь ученику в изучении своей собственной природы в той мере насколько это связано с её интеллектуальной
12. Контрольная работа- История создания и анализ работы основных мировых производителей легковых автомобилей
13. Реферат- Контекстуальные аспекты в исследовании и изучении конфликтологической культуры специалиста
14. а из 23 цельных куриных яиц и яичных белков без ограничения или из 812 цельных перепелиных яиц
15. Лабораторная работа- Організація роботи заводу
16. Теория и методология защиты информации в адвокатской конторе
17. 1939 австрийский психолог психиатр и невропатолог создатель психоанализа открывший пути эмпирического ис
18. І Блок ~ анкетні дані Коваленко Єва 15
19. Обыкновенная история подвергается критике- 1
20.  Инфка и ИКТ Осипова каб

Материалы собраны группой SamZan и находятся в свободном доступе