Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
Отчёт по лабораторной работе:
“Линейные системы уравнений”
Студента группы 2097/2
Майкова Артема Андреевича
14.03.2013
Задание №1
Сравнить между собой естественное и стандартное числа обусловленности матрицы а также - точное значение стандартного числа обусловленности с его оценкой, вычисленной процедурой DECOMP.
Для 1 типа матрицы, 3 порядка.
Естественное число обусловленности (muj1): 1.733*101
Стандартное число обусловленности (muj2): 2.000*101
Оценка стандартного числа обусловленности (cond): 1.175*101
(muj2-cond)/muj2 = 41%
Для 2 типа матрицы, 3 порядка.
Естественное число обусловленности (muj1): 1.867*101
Стандартное число обусловленности (muj2): 2.400*101
Оценка стандартного числа обусловленности (cond): 1.933*101
(muj2-cond)/muj2 = 19%
Для 4 типа матрицы, 3 порядка.
Естественное число обусловленности (muj1): 1.753*101
Стандартное число обусловленности (muj2): 2.347*101
Оценка стандартного числа обусловленности (cond): 1.266*101
(muj2-cond)/muj2 = 46%
Вывод: Стандартное число обусловленности позволяет получить грубую оценку матрицы А. Мuj2 из процедуры DECOMP достаточно удобна для использования.
Задание №2
Вывод: В связи с большим количеством мат. операций и округлений точность решения падает с увеличением порядка матриц, при этом скорость роста ошибки не велика. Порядок реальной ошибки и ее оценка совпадают. Число обусловленности с ростом порядка матрицы растет.
Оценить точность решений, получаемых методом исключения Гаусса для систем с одинаково хорошо обусловленными матрицами порядка от 3 до 15; провести анализ точности, как функции порядка матрицы; сравнить фактически получаемую ошибку с ее оценками.
Для хорошо обусловленной матрицы 3 типа.
|
Порядок матрицы |
Ошибка решения |
Оценка ошибки |
Ч.О. |
|
3 |
3.638*10-12 |
5.80*10-12 |
4.074 |
|
6 |
1.152*10-11 |
2.25*10-11 |
13.58 |
|
9 |
1.698*10-11 |
4.42*10-11 |
27.26 |
|
12 |
1.789*10-11 |
5.29*10-11 |
44.06 |
|
15 |
3.298*10-11 |
1.29*10-11 |
63.94 |
Задание №3
|
Порядок матрицы |
Ошибка решения |
Оценка ошибки |
Ч.О. |
|
3 |
2.547*10-11 |
3.44*10-11 |
680.8 |
|
6 |
5.458*10-6 |
7.60*10-6 |
2.262*107 |
|
9 |
3.543*10-3 |
2.43*10-1 |
8.130*1011 |
|
12 |
1.163*101 |
8.46*101 |
7.553*1013 |
|
15 |
7.233 |
2.63*101 |
5.783*1013 |
Выполнить задания п.2 для систем с одинаково плохо обусловленными матрицами.
Вывод: Ошибка для систем с плохо обусловленными матрицами с увеличением порядка резко возрастает(на 5-6 порядков) до 9 порядка, далее скорость роста ошибки уменьшается,. Оценка ошибки по числу обусловленности, немного завышена по сравнению с реальной ошибкой. Число обусловленности с ростом порядка матрицы растет.
Для плохо обусловленной матрицы 5 типа.
Задание №4
Оценить точность решений, получаемых методом исключения Гаусса для систем одного порядка, но различной обусловленности (от «очень хороших» до «очень плохих»). Результаты анализа представить в виде зависимости относительной точности решения от числа обусловленности. Обратить внимание на величину нормы вектора невязки и проследить ее зависимость от обусловленности системы и связь с фактической ошибкой решения.
Вывод: Точность решения падает при увеличении числа обусловленности матрицы. Также норма вектора невязки и ошибка решения не зависят друг от друга и числа обусловленности матрицы.
Матрица 5 порядка.
|
Тип |
Ст. число обусловленности |
Норма вектора навязки |
Ошибка решения |
|
1 |
5.860*101 |
0 |
0 |
|
2 |
5.382*101 |
0 |
0 |
|
3 |
1.000*101 |
1.348*10-10 |
7.276*10-13 |
|
4 |
6.864 |
1.194*10-11 |
1.637*10-12 |
|
5 |
6.941*105 |
1.258*10-12 |
8.069*10-8 |
|
6 |
1.352*1010 |
6.022*10-11 |
1.158*10-5 |
|
7 |
4.944*106 |
3.316*10-13 |
9.040*10-9 |
|
8 |
1.066*107 |
2.347*10-11 |
3.188*10-6 |
Задание №5
Исследовать возможность улучшения обусловленности задачи посредством внесения малого случайного возмущения в матрицу системы.
Порядок матриц: 7; Тип возмущения: M
|
Матрица 8 типа |
Матрица 3 типа |
||||
|
kEpsA |
kEpsB |
Ст. число обусловл. |
kEpsA |
kEpsB |
Ст. число обусловл. |
|
1 |
0 |
4.415*107 |
1 |
0 |
1.785*101 |
|
103 |
0 |
4.415*107 |
103 |
0 |
1.785*101 |
|
106 |
0 |
4.415*107 |
106 |
0 |
1.785*101 |
|
109 |
0 |
4.415*107 |
109 |
0 |
1.785*101 |
|
1012 |
0 |
4.872*107 |
1012 |
0 |
1.785*101 |
|
1015 |
0 |
9.540*105 |
1015 |
0 |
1.785*101 |
|
1018 |
0 |
1.190*104 |
1018 |
0 |
2.082*101 |
|
1021 |
0 |
2.031*10 |
1021 |
0 |
9.997*101 |
|
0 |
1 |
4.415*107 |
0 |
1 |
1.785*101 |
|
0 |
103 |
4.415*107 |
0 |
103 |
1.785*101 |
|
0 |
106 |
4.415*107 |
0 |
106 |
1.785*101 |
|
0 |
109 |
4.415*107 |
0 |
109 |
1.785*101 |
|
0 |
1012 |
4.415*107 |
0 |
1012 |
1.785*101 |
|
0 |
1015 |
4.415*107 |
0 |
1015 |
1.785*101 |
|
0 |
1018 |
4.415*107 |
0 |
1018 |
1.785*101 |
|
0 |
1021 |
4.415*107 |
0 |
1021 |
1.785*101 |
|
1 |
1 |
4.415*107 |
1 |
1 |
1.785*101 |
|
103 |
103 |
4.415*107 |
103 |
103 |
1.785*101 |
|
106 |
106 |
4.415*107 |
106 |
106 |
1.785*101 |
|
109 |
109 |
4.417*107 |
109 |
109 |
1.785*101 |
|
1012 |
1012 |
4.737*107 |
1012 |
1012 |
1.785*101 |
|
1015 |
1015 |
1.730*107 |
1015 |
1015 |
1.785*101 |
|
1018 |
1018 |
4.609*102 |
1018 |
1018 |
2.060*101 |
|
1021 |
1021 |
6.671*102 |
1021 |
1021 |
3.994*101 |
Вывод: При возмущениях меньше чем 1015 у хорошо и плохо обусловленных матриц обусловленность не меняется. У хорошо обусловленных матриц при больших возмущениях kEpsA (>1015) обусловленность матрицы ухудшается, у плохо обусловленных матриц наоборот увеличивается на несколько (на 5) порядков. При любых возмущениях kEpsB обусловленность матрицы в обоих случаях не меняется.
Задание №6
Для задач с «хорошей» матрицей (m = 102 - 104) посредством внесения в матрицу системы возмущений различной величины сделать заключение о приемлемой для получения требуемой (наперед заданной) точности решения степени неопределенности в задании исходных данных.
Матрица 2 типа, 7 порядка. Тип возмущения P.
|
kEpsA |
kEpsB |
Ст. число обусл. |
Ошибка решения |
ErrEst (cond) |
ErrEst ([P]) |
ErrEst ([M]) |
|
0 |
0 |
1.353*102 |
0 |
0 |
1.08*10-19 |
1 |
|
103 |
0 |
1.353*102 |
0 |
0 |
2.98*10-16 |
1 |
|
106 |
0 |
1.353*102 |
0 |
0 |
2.50*10-13 |
1 |
|
109 |
0 |
1.353*102 |
1.492*10-10 |
1.71*10-10 |
3.00*10-10 |
1 |
|
1012 |
0 |
1.353*102 |
2.263*10-7 |
4.78*10-11 |
2.88*10-7 |
1 |
|
0 |
103 |
1.353*102 |
0 |
0 |
1.08*10-16 |
1 |
|
0 |
106 |
1.353*102 |
0 |
0 |
1.08*10-13 |
1 |
|
0 |
109 |
1.353*102 |
1.455*10-10 |
1.47*10-8 |
2.54*10-10 |
1 |
|
0 |
1012 |
1.353*102 |
1.085*10-7 |
1.47*10-5 |
2.17*10-7 |
1 |
|
103 |
103 |
1.353*102 |
0 |
0 |
3.77*10-16 |
1 |
|
106 |
106 |
1.353*102 |
0 |
0 |
4.59*10-13 |
1 |
|
109 |
109 |
1.353*102 |
3.074*10-10 |
1.47*10-8 |
5.66*10-10 |
1 |
|
1012 |
1012 |
1.353*102 |
1.334*10-7 |
1.47*10-5 |
5.10*10-7 |
1 |
Матрица 5 типа 3 порядка. Тип возмущения P.
|
kEpsA |
kEpsB |
Ст. число обусл. |
Ошибка решения |
ErrEst (cond) |
ErrEst ([P]) |
ErrEst ([M]) |
|
0 |
0 |
6.808*102 |
2.365*10-11 |
6.19*10-11 |
7.28*10-12 |
3*101 |
|
103 |
0 |
6.808*102 |
2.365*10-11 |
6.19*10-11 |
7.28*10-12 |
3*101 |
|
106 |
0 |
6.808*102 |
2.365*10-11 |
6.19*10-11 |
7.38*10-12 |
3*101 |
|
109 |
0 |
6.808*102 |
9.277*10-11 |
1.24*10-10 |
1.45*10-10 |
3*101 |
|
1012 |
0 |
6.808*102 |
5.256*10-8 |
5.72*10-11 |
9.86*10-8 |
3*101 |
|
0 |
103 |
6.808*102 |
2.365*10-11 |
6.19*10-11 |
7.28*10-12 |
3*101 |
|
0 |
106 |
6.808*102 |
2.365*10-11 |
6.19*10-11 |
7.38*10-12 |
3*101 |
|
0 |
109 |
6.808*102 |
3.747*10-10 |
7.40*10-8 |
4.53*10-10 |
3*101 |
|
0 |
1012 |
6.808*102 |
1.085*10-7 |
7.38*10-5 |
2.17*10-7 |
3*101 |
|
103 |
103 |
6.808*102 |
2.365*10-11 |
6.19*10-11 |
7.28*10-12 |
3*101 |
|
106 |
106 |
6.808*102 |
2.365*10-11 |
6.19*10-11 |
7.47*10-12 |
3*101 |
|
109 |
109 |
6.808*102 |
3.474*10-10 |
7.38*10-8 |
5.72*10-10 |
3*101 |
|
1012 |
1012 |
6.808*102 |
1.984*10-7 |
7.38*10-5 |
3.07*10-7 |
3*101 |
Вывод: При степени неопределённости исходных данных (kEpsA и/или kEpsB), меньшей, чем, примерно, 109 достигается требуемая точность решения для хорошо обусловленной матрицы, при большей степени неопределенности исходных данных, оценка ошибки не соответствует реальной ошибке. При ошибке порядка 109 реальная ошибка резко возрастает, и отличается от оценки решения.
Задание №7
Повторить эксперимент п.6 для задач с плохо обусловленной матрицей.
Матрица 12 типа, 3 порядка; Тип возмущения P.
|
kEpsA |
kEpsB |
Ст. число обусловл. |
Ошибка решения |
ErrEst (cond) |
ErrEst ([P]) |
ErrEst ([M]) |
|
1 |
0 |
9.986*105 |
3.021*10-8 |
3.02*10-7 |
5.62*10-9 |
1.26*106 |
|
103 |
0 |
9.986*105 |
3.021*10-8 |
3.02*10-7 |
5.62*10-9 |
1.26*106 |
|
106 |
0 |
9.986*105 |
3.080*10-8 |
8.32*10-8 |
6.13*10-9 |
1.26*106 |
|
109 |
0 |
9.986*105 |
3.293*10-8 |
3.57*10-7 |
1.19*10-8 |
1.26*106 |
|
1012 |
0 |
9.986*105 |
3.617*10-8 |
6.16*10-8 |
1.30*10-7 |
1.26*106 |
|
1015 |
0 |
9.986*105 |
3.381*10-5 |
3.04*10-7 |
7.21*10-5 |
1.26*106 |
|
1018 |
0 |
1.128*106 |
1.087*10-1 |
5.12*10-7 |
1.34*10-1 |
1.26*106 |
|
0 |
1 |
9.986*105 |
3.021*10-8 |
3.02*10-7 |
5.62*10-9 |
1.26*106 |
|
0 |
103 |
9.986*105 |
3.021*10-8 |
3.02*10-7 |
5.62*10-9 |
1.26*106 |
|
0 |
106 |
9.986*105 |
3.021*10-8 |
3.02*10-7 |
5.62*10-9 |
1.26*106 |
|
0 |
109 |
9.986*105 |
1.986*10-8 |
1.08*10-4 |
4.85*10-9 |
1.26*106 |
|
0 |
1012 |
9.986*105 |
9.873*10-8 |
1.08*10-1 |
2.32*10-7 |
1.26*106 |
|
0 |
1015 |
9.986*105 |
1.084*10-4 |
1.08*102 |
2.17*10-4 |
1.26*106 |
|
0 |
1018 |
9.986*105 |
1.084*10-1 |
1.08*105 |
1.96*10-1 |
1.26*106 |
|
1 |
1 |
9.986*105 |
3.021*10-8 |
3.02*10-7 |
5.62*10-9 |
1.26*106 |
|
103 |
103 |
9.986*105 |
3.021*10-8 |
3.02*10-7 |
5.62*10-9 |
1.26*106 |
|
106 |
106 |
9.986*105 |
3.021*10-8 |
3.02*10-7 |
5.62*10-9 |
1.26*106 |
|
109 |
109 |
9.986*105 |
2.591*10-8 |
1.08*10-4 |
5.50*10-9 |
1.26*106 |
|
1012 |
1012 |
9.986*105 |
1.356*10-7 |
1.08*10-1 |
3.86*10-7 |
1.26*106 |
|
1015 |
1015 |
9.986*105 |
1.445*10-4 |
1.08*102 |
3.15*10-4 |
1.26*106 |
|
1018 |
1018 |
1.070*106 |
1.129*10-1 |
1.08*105 |
3.06*10-1 |
1.26*106 |
Матрица 12 типа, 4 порядка; Тип возмущения P.
|
kEpsA |
kEpsB |
Ст. число обусловл. |
Ошибка решения |
ErrEst (cond) |
ErrEst ([P]) |
ErrEst ([M]) |
|
1 |
0 |
1.488*109 |
1.579*10-5 |
5.40*10-4 |
1.04*10-5 |
6.50*107 |
|
103 |
0 |
1.488*109 |
1.579*10-5 |
5.40*10-4 |
1.04*10-5 |
6.50*107 |
|
106 |
0 |
1.488*109 |
1.579*10-5 |
5.44*10-4 |
1.03*10-5 |
6.50*107 |
|
109 |
0 |
1.488*109 |
3.265*10-5 |
1.93*10-4 |
4.04*10-6 |
6.50*107 |
|
1012 |
0 |
1.488*109 |
4.293*10-5 |
1.03*10-4 |
6.70*10-6 |
6.50*107 |
|
1015 |
0 |
1.488*109 |
4.579*10-5 |
2.09*10-4 |
1.31*10-4 |
6.50*107 |
|
1018 |
0 |
1.605*109 |
6.833*10-2 |
2.43*10-4 |
1.15*10-1 |
6.50*107 |
|
0 |
1 |
1.488*109 |
1.579*10-5 |
5.40*10-4 |
1.04*10-5 |
6.50*107 |
|
0 |
103 |
1.488*109 |
1.579*10-5 |
5.40*10-4 |
1.04*10-5 |
6.50*107 |
|
0 |
106 |
1.488*109 |
1.579*10-5 |
5.40*10-4 |
1.04*10-5 |
6.50*107 |
|
0 |
109 |
1.488*109 |
1.971*10-5 |
1.60*10-1 |
6.45*10-6 |
6.50*107 |
|
0 |
1012 |
1.488*109 |
1.717*10-5 |
1.61*102 |
9.11*10-6 |
6.50*107 |
|
0 |
1015 |
1.488*109 |
1.017*10-5 |
1.61*102 |
2.20*10-4 |
6.50*107 |
|
0 |
1018 |
1.488*109 |
1.084*10-1 |
1.61*108 |
1.96*10-1 |
6.50*107 |
|
1 |
1 |
1.488*109 |
1.579*10-5 |
5.40*10-4 |
1.04*10-5 |
6.50*107 |
|
103 |
103 |
1.488*109 |
1.579*10-5 |
5.40*10-4 |
1.04*10-5 |
6.50*107 |
|
106 |
106 |
1.488*109 |
1.614*10-5 |
5.74*10-4 |
9.85*10-6 |
6.50*107 |
|
109 |
109 |
1.488*109 |
4.314*10-5 |
1.61*10-1 |
4.36*10-6 |
6.50*107 |
|
1012 |
1012 |
1.488*109 |
2.076*10-5 |
1.61*102 |
3.89*10-6 |
6.50*107 |
|
1015 |
1015 |
1.488*109 |
1.331*10-4 |
1.61*105 |
3.04*10-4 |
6.50*107 |
|
1018 |
1018 |
1.527*109 |
2.346*10-1 |
1.66*108 |
3.52*10-1 |
6.50*107 |
Вывод: Плохо обусловленная матрица менее подвержена возмущению, чем хорошо обусловленная. При внесении внесении возмущения kEpsB независимо от kEpsA заданная точность достигается при степени неопределенности исх. данных, меньшей, чем 109, при внесении только возмущений типа kEpsA заданная точность достигается при степени неопределённости исходных данных, меньшей, чем 1015. При ошибке порядка 109 реальная ошибка резко возрастает, и отличается от оценки решения.
Задание №8
Выполняя п. 6 и 7 , исследовать работоспособность различных методов оценки ошибок решения (выражения (7), (12), (13)) при наличии возмущения левой части системы.
Вывод: При внесении возмущений типа Р оценка ErrEst([P]) более точна чем ErrEst([M]), при любом возмущении Р ErrEst([M]) дает несоответствующий реальной ошибке результат так как каждый из способов оценки ошибки решения даёт более точный результат для «своего» типа возмущения. ErrEst(cond) даёт точную оценку ошибки только при малых возмущениях. При больших возмущениях ErrEst(cond) дает отличия от реальной ошибки на несколько порядков.
Задание №9
Применить для решения нескольких систем из пунктов 2-4 итерационные методы Якоби и Гаусса-Зейделя; проверить реализацию задаваемого критерия точности. Исследованием спектра матрицы В проверить выполнение теоремы сходимости стационарного метода; выявить взаимосвязь скорости сходимости итерационного процесса с величиной спектрального радиуса матрицы В.
|
Тип |
Обусловл. |
Метод решения |
Спектральный радиус |
Количество итераций |
|
1 |
1.175*101 |
Якоби |
0 |
4 |
|
1.175*101 |
Гаусса-Зейделя |
0 |
4 |
|
|
4 |
1.307*101 |
Якоби |
6.454*10-1 |
63 |
|
1.307*101 |
Гаусса-Зейделя |
9.424*10-1 |
424 |
|
|
6 |
5.756*101 |
Якоби |
0 |
2 |
|
5.756*101 |
Гаусса-Зейделя |
0 |
2 |
|
|
13 |
1.191*107 |
Якоби |
5.21 |
- |
|
1.191*107 |
Гаусса-Зейделя |
2.58 |
- |
Вывод: Для матриц хорошо обусловленных решение было найдено за конечное число итераций с заданной точностью. За конечное число итераций решение было найдено при спектральном радиусе меньше 1, что подтверждает теорему сходимости стационарного метода, также эксперимент показал, что скорость сходимости итерационного процесса увеличивается с уменьшением спектрального радиуса.
Задание №10
Провести исследование влияния вида доминирования матрицы задачи на сходимость процедур Якоби и Гаусса-Зейделя.
|
Тип матрицы |
Метод решения |
Спектральный радиус |
Количество итераций |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Якоби |
0 |
4 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Гаусса-Зейделя |
0 |
2 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Якоби |
0 |
2 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Гаусса-Зейделя |
0 |
2 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Якоби |
3.260 |
- |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Гаусса-Зейделя |
1.390 |
- |
Вывод: За одинаковое количество итераций для диагональной матрицы оба метода решили задачу. Метод Гаусса-Зейделя для нижней треугольной матрицы решил задачу за меньшее число итераций, чем метод Якоби, так как метод Гаусса-Зейделя представляет матрицу в виде суммы нижней треугольной, верхней треугольной и диагональной матриц. Т.к. радиус сходимости оказался больше 1 для произвольной матрицы (без доминирования) решения найдено не было.