Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
[Лекция 12]
3.9. Решение методом разделения переменных
первой смешанной задачи для однородного уравнения
теплопроводности в стержне
Рассмотрим первую смешанную задачу (3.17)-(3.19) для однородного одномерного уравнения теплопроводности с однородными граничными условиями:
в области , (3.78)
, (3.79)
, , . (3.80)
Выберем пространства функций, учитывая условия согласования:
,
.
Для решения задачи (3.78)-(3.80) применим метод разделения переменных, отыскивая решения уравнения (3.78) в виде
. (3.81)
Подставив в уравнение (3.78) и разделив переменные, получим соотношение
,
где - постоянная разделения.
Имеем два обыкновенных дифференциальных уравнения:
(3.82)
. (3.83)
Потребуем, чтобы решения (3.81) удовлетворяли граничным условиям (3.80). Подставив (3.81) в (3.80), получим
, . (3.84)
Таким образом, получена задача Штурма-Лиувилля (3.83), (3.84), совпадающая с задачей (3.57), (3.58), для которой собственные значения и собственные функции определяются формулами (3.59), (3.60).
Вычислим , положив в уравнении (3.82) :
.
Общее решение
, ,
где - произвольные постоянные.
В результате получена бесконечная последовательность частных решений вида (3.81) уравнения (3.78), которая удовлетворяет граничным условиям (3.80):
. (3.85)
Из этих решений составим общее решение в виде ряда
(3.86)
Вычислим коэффициенты , удовлетворяя начальному условию (3.79):
откуда
(3.87)
Таким образом, решение задачи (3.78)-(3.80) представлено в виде разложения (3.86).
3.10. Корректность первой смешанной задачи
для уравнения теплопроводности
В предыдущем параграфе была рассмотрена смешанная задача (3.78)-(3.80):
в , (3.88)
, (3.89)
, (3.90)
для пары пространств .
1) для существует решение задачи (3.88)-(3.90)
2) для решение задачи (3.88)-(3.90) единственно в пространстве
3) решение задачи (3.88)-(3.90) непрерывно зависит от начальных функций в пространстве ■
В дальнейшем докажем корректность задачи (3.88)-(3.90).
Существование решения. Решение задачи было построено методом разделения переменных и представлено в виде ряда (3.86):
. (3.91)
Необходимо показать, что решение (3.91) является классическим, то есть .
Лемма 3.1. Если то функция , представленная рядом (3.91), любое число раз непрерывно дифференцируема по переменным и в области .
Доказательство. Из непрерывности функции следует ее ограниченность Оценим коэффициент (3.87), учитывая неравенство , тогда
(3.92)
Далее, продифференцируем ряд (3.91) почленно раз по переменной :
(3.93)
Дифференцирование под знаком бесконечной суммы законно, если ряд (3.93) сходится равномерно. Построим мажорантный ряд для ряда (3.93) в области , используя оценку (3.92). Сходимость мажорантного ряда,
доказывает равномерную сходимость ряда (3.93). В силу произвольности формула (3.93) верна для области . Аналогично доказывается формула
. ■ (3.94)
Следствие 3.1. Из формулы (3.94) следует , так как функции являются частными решениями уравнения (3.88). ■
Лемма 3.2. Если , тогда функция , представленная рядом (3.91), непрерывна в замкнутой области , то есть .
Доказательство. Преобразуем коэффициент , интегрируя по частям интеграл (3.87) и учитывая свойство , тогда
, (3.95)
где - коэффициент ряда Фурье функции
по системе взаимно ортогональных функций . Так как
, то из неравенства Бесселя [11, с. 151] следует, что
(3.96)
Подставим формулу (3.95) в ряд (3.91) и построим мажорантный ряд в области :
Мажорантный ряд сходится на основании неравенства Коши-Буняковского и оценки (3.96):
Из сходимости мажорантного ряда следует равномерная сходимость ряда (3.91) в области . Так как ряд составлен из непрерывных функций, то равномерная сходимость обеспечивает непрерывность функции и в ■
Следствие 3.2. Функция (3.91) непрерывно примыкает к граничным линиям области (см. рис. 3.1) и удовлетворяет условиям (3.89), (3.90).
Суммируя результаты доказанных лемм, заключаем, что , то есть функция (3.91) является классическим решением первой смешанной задачи (3.88)-(3.90). ■
Единственность решения.
Утверждение 3.1. Классическое решение первой смешанной задачи (3.17)-(3.19) (в предположении существования решения) единственно в пространстве
Доказательство. Пусть существуют два решения Образуем функцию Очевидно, что
. (3.97)
Функция удовлетворяет уравнению теплопроводности, поэтому на основании принципа максимума и минимума (2.58) функция достигает максимального и минимального значений на линиях Из (3.97) следует, что значит в области . ■
Непрерывная зависимость решения от начальной и граничных функций.
Рассмотрим две первые смешанные задачи (3.17)-(3.19) с различными начальными и граничными функциями:
(3.98)
Определение 3.2. Решение первой смешанной задачи (3.17)-(3.19) непрерывно зависит от начальной функции и граничных функций и , если для такое, что если , тогда ■
Утверждение 3.2. Классическое решение первой смешанной задачи (3.17)-(3.19) непрерывно зависит от начальной и граничных функций.
Доказательство. Обозначим: . С учетом (3.98) получим
Пусть . Это означает, что на границе области . Используя следствие 2.4. из принципа максимума и минимума для уравнения теплопроводности, заключаем, что для Таким образом, для найдено , что из условий следует неравенство .
Непрерывная зависимость доказана. ■
теплопроводности в пластине
Рассмотрим первую смешанную задачу (3.27)–(3.29) для двухмерного однородного уравнения теплопроводности в прямоугольной пластине с однородными граничными условиями на контуре :
в , (3.99)
, , (3.100)
, . (3.101)
Выберем пространства функций, учитывая условия согласования:
,
.
Для решения задачи (3.99)-(3.101) применим метод Фурье, состоящий в отыскании решений уравнения (3.99) в виде
(3.102)
и представлении решения исходной задачи в виде разложения в ряд.
Подставляя (3.102) в уравнение (3.99) и разделяя переменные, получаем соотношение
,
где - постоянная разделения.
Имеем два дифференциальных уравнения:
, (3.103)
. (3.104)
Спектральная задача.
в , (3.106)
. (3.107)
Требуется найти числа , для которых существуют нетривиальные решения уравнения (3.106) с условием (3.107). Числа называются собственными значениями, а соответствующие нетривиальные функции называются собственными функциями спектральной задачи для оператора Лапласа. ■
Спектральную задачу (3.106), (3.107) для прямоугольной области решим методом разделения переменных в координатах . Для этого найдем все решения уравнения (3.106) вида
. (3.108)
Подставим (3.108) в уравнение (3.106) и разделим на тогда
,
где - постоянная разделения.
Таким образом, получены два обыкновенных дифференциальных уравнения
, (3.109)
, (3.110)
для определения функций .
Запишем граничное условие (3.107) в виде четырех условий на сторонах прямоугольника :
, ,
(3.111)
,
и потребуем, чтобы функции (3.108) удовлетворяли этим условиям. После подстановки (3.108) в (3.111) получим
, , (3.112)
, (3.113)
Добавим условия (3.112) к уравнению (3.109). Получим задачу Штурма-Лиувилля (3.57), (3.58), решение которой определяется формулами (3.59), (3.60). Таким образом,
, , .
Аналогично решим задачу (3.110), (3.113):
, , .
Все собственные функции спектральной задачи (3.106), (3.107), определяемые формулой (3.108), найдены:
, ; . (3.114)
Найдем соответствующие собственные значения:
. (3.115)
Найденные числа подставим в уравнение (3.103) и запишем его общее решение:
, (3.116)
где - произвольная постоянная интегрирования.
Подставив функции (3.114), (3.116), в формулу (3.102), получим последовательность частных решений уравнения теплопроводности (3.99), удовлетворяющих граничному условию (3.101):
, (3.117)
; .
Построим общее решение уравнения теплопроводности (3.99) как линейную комбинацию частных решений (3.117):
. (3.118)
Неизвестные коэффициенты определим, подставив ряд в начальное условие (3.100). Тогда
. (3.119)
Используя ортогональность собственных функций на прямоугольнике
,
находим коэффициенты ряда Фурье (3.119):
(3.120)
По аналогии с леммой 3.2 можно доказать, что для начальных функций ряд (3.118) с коэффициентами (3.120) сходится абсолютно и равномерно и определяет решение смешанной задачи (3.99)-(3.101), принадлежащее пространству .
Задачи к главе 3
1.1. , ; 1.2. , ;
, ; , ;
, . , .
1.3. , ; 1.4. , ;
, , ; , ;
, , . , .
1.5. , ;
;
.
1.6. , ;
;
.
2.1. , ; 2.2. , ;
, ; , ;
, , . , , .
2.3. , , , ;
, , ;
, , , ;
, , , .
116