Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
Лабораторна робота № 5
Мета роботи: Ознайомитись із застосуванням імовірнісно-статистичних методів для контролю якості виконання технологічних операцій. Побудувати криву нормального розподілу випадкових величин f(x).
Контроль якості виконання технологічних операцій у рільництві базується на виконанні вимірювань. Наприклад, для оцінки якості виконання оранки необхідно зробити певну кількість вимірів глибини обробітку ґрунту, для оцінки якості виконання сівби-певну кількість вимірів глибини загортання насіння у грунт і величини відхилення рослин від осьової лінії рядка тощо. В усіх цих випадках в результаті виконання вимірювань одержують масиви (тобто велику кількість) значень глибини обробітку ґрунту, глибини загортання насіння у грунт і величини відхилення рослин від осьової лінії рядка.
Аналіз цих масивів показує, що їх окремі значення відрізняються одне від одного. Наприклад, можемо мати такий масив даних глибини обробітку ґрунту (см) у порядку виконання вимірювань: 25; 26,3; 24,5; 25; 27,2; 25,8; 27,2 і т.д. Результати вимірювань вказують на наявність відхилень фактичної глибини обробітку ґрунту від заданої (наприклад 25 см), які, в свою чергу, можуть бути обумовлені рядом факторів, таких як нерівності поверхні ґрунту, різна щільність і вологість ґрунту по напрямку руху орного агрегату і т.д. Виконуючи вимірювання глибини обробітку ґрунту, кожного разу отримують її значення, наперед невідомо, яке саме.
Явища і процеси, які характеризуються наявністю змінних величин, значення яких наперед невідомі (тобто випадкові), досліджуються і вивчаються із застосуванням методів теорії імовірностей – математичної науки, яка вивчає закономірності у випадкових явищах.
Теорія імовірностей виникла з практичних – потреб – необхідності створення математичного апарату, пристосованого для аналізу випадкових явищ (азартні ігри, похибки вимірювань, нещасні випадки і т.п.). Одним з джерел формування теорії імовірностей були саме азартні ігри (гральні кості, карти), а слово "азарт" з французької мови перекладається як "випадок".
Теорія імовірностей оперує рядом понять, найважливішими серед яких є
поняття події, імовірності, випадкової величини.
Подія – будь який факт, який в результаті досліду (виконання вимірювань, проведення спостережень тощо) може відбутись або не відбутись. Наприклад, 1-поява герба при киданні монети, 2-поява трьох гербів, при трьох киданнях монети, 3-вихід з ладу деталі після t годин роботи, 4-значення глибини оранки 25 см, 5-однакове значення глибини оранки, рівне 25,8 см, при виконанні 7 послідовних вимірювань в різних точках поля. Кожна подія має певну ступінь можливості: одна більшу, друга-меншу. Наприклад, події 1 і 4 більш можливі, ніж події 2і.Для кількісного порівняння подій по ступеню їх можливості, треба з кожною з них зв'язати певне число, яке тим більше, чим більш можлива подія. За одиницю виміру приймається імовірність достовірної події, тобто події, яка повинна обов'язково відбутись. Наприклад, значення глибини обробітку ґрунту при оранці більше 25см, або менше 25см. Для достовірної події імовірність приймається рівною 1. Для неможливої події, тобто такої, яка не може відбутись (наприклад, загортання насінини в грунт одночасно на глибину 5 і 6см), імовірність приймається рівною 0. Всі інші події, можливі, але не достовірні, будуть мати імовірність, яка складає частку одиниці, тобто в межах від 0 до 1.
Кілька подій у даному досліді утворюють повну групу подій, якщо в результаті досліду повинна обов'язково з'явитися хоча б одна з них. Наприклад, глибина загортання насіння у грунт при сівбі більше 5 см і менше 5 см.
Кілька подій називаються несумісними, якщо ніякі дві з них в даному досліді не можуть з'явитись разом. Наприклад, напрацювання машини до першої поломки більше 10 год і менше 10 год.
Кілька подій називаються рівноможливими, коли ні одна з цих подій не є об'єктивно більш можливою, ніж інша. Наприклад, випадання герба і цифри при киданні монети, відхилення насінин при сівбі вправо і вліво від осьової лінії рядка.
Групи подій, які мають всі три властивості (утворюють повну групу подій, несумісні, рівно можливі), називаються випадками.
Випадок називається сприятливим деякій події, якщо поява цього випадку тягне за собою появу даної події. Наприклад, такі випадки, як напрацювання машини до першої поломки 15 або 20 годин є сприятливими для появи такої події, як напрацювання машини до першої поломки більше 10 год.
Імовірністю події А називається відношення кількості випадків, сприятливих події А, до загальної кількості випадків, тобто
, (2.1)
де m – кількість випадків, сприятливих події А;
n – загальна кількість випадків.
Формула (2.1) використовується для безпосереднього підрахунку імовірностей і застосовується тоді і тільки тоді, коли дослід зводиться до схеми випадків, тобто володіє симетрією можливих результатів. Так, наприклад, можна підрахувати імовірність діставання білої кулі з урни, в якій є 45 білих, 35 червоних і 20 чорних куль. Р(А) називають ще математичною імовірністю.
Для подій, що не зводяться до схеми випадків (вихід з ладу деталі протягом 1 год роботи, загортання насінини в грунт на задану глибину і т.д.), способи обчислення імовірності базуються на експерименті. В цьому випадку застосовують термін частота події, або статистична імовірність. Частота події А визначається як
, (2.2)
де m- кількість дослідів, в яких з'явилась подія А;
n- загальна кількість дослідів.
При невеликій кількості дослідів частота події має в значній мірі випадковий характер, але при збільшенні кількості дослідів вона має тенденцію до стабілізації і наближення з практичною достовірністю до імовірності.
Випадковою величиною називається величина, яка в досліді може прийняти то чи інше значення, причому наперед невідомо, яке саме. Наприклад,
1-кількість попадань в мішень при 10 пострілах,
2-кількість стебел пшениці на 1м2 поля;
3-вага коренеплодів цукрових буряків;
4-глибина загортання насінин у грунт при сівбі.
Випадкові величини, які приймають тільки відділені одне від одного значення, називаються дискретними випадковими величинами (як у прикладах 1 і 2).
Випадкові величини, можливі значення яких безперервно заповнюють деякий проміжок, називаються безперервними випадковими величинами (як у прикладах 3 і 4).
Розглянемо дискретну випадкову величину А з можливими, але не достовірними, значеннями а1, а2, а3,..., аn, кожне з яких може бути прийняте з деякою імовірністю. В результаті досліду випадкова величина А прийме одне з цих значень, тобто відбудеться одна з повної групи несумісних подій. Позначимо імовірності цих подій відповідно р1, р2, р3,..., рn. Для несумісних подій, які утворюють повну групу . Випадкова величина буде повністю описана з імовірнісної точки зору, якщо вказати, яку імовірність має кожна з подій, тобто встановити закон розподілу випадкової величини.
Законом розподілу випадкової величини називається всяке співвідношення, яке встановлює зв'язок між можливими значеннями випадкової величини і відповідними їм імовірностями. Найпростішою формою представлення такого закону є таблиця:
|
а1 |
а2 |
а3 |
... |
аn |
|
р1 |
р2 |
р3 |
... |
рn |
Така таблиця називається рядом розподілу випадкової величини А.
Ряд розподілу існує тільки для дискретних величин. Для характеристики безперервних величин застосовується функція розподілу F(х). Похідна від функції розподілу характеризує щільність, з якою розподіляються значення випадкової величини в даній точці, і називається щільністю розподілу або щільністю імовірності. Щільність розподілу є одна з форм закону розподілу, а крива називається кривою розподілу.
Одними з основних числових характеристик випадкових величин є середнє значення і середнє квадратичне, або стандартне відхилення.
Середнє значення є характеристикою положення випадкової величини на числовій осі, тобто вказує деяке середнє, орієнтовне значення, навколо якого групуються всі можливі значення випадкової величини.
, (2.3)
де х1,..., хn – значення випадкової величини;
n - кількість значень випадкової величини.
Середнє квадратичне відхилення є характеристикою ступеня розсіювання значень випадкової величини навколо її середнього значення. Воно обчислюється як
, (2.4)
де хі – поточні значення випадкової величини.
Середнє значення і середнє квадратичне мають розмірність відповідної випадкової величини.
Безрозмірною характеристикою ступеня розсіювання значень випадкової величини навколо її середнього значення є коефіцієнт варіації. Він обчислюється як
, (2.5)
Нормальний закон розподілу випадкових величин
Нормальний закон розподілу випадкових величин - це закон, який найбільш часто зустрічається на практиці. Головна його особливість в тому, що він є граничним законом, до якого наближаються інші закони розподілу.
Крива нормального закону розподілу (рис. 2.1) симетрична відносно середнього значення , а її положення на осі абсцис визначається величиною середнього значення. Форма кривої нормального закону розподілу визначається величиною середнього квадратичного відхилення G.
Рис. 2.1 – Криві нормального розподілу випадкової величини
Нормальний закон розподілу характеризується слідуючою закономірністю: практично всі, а саме 99,73 %, значення випадкової величини, яка підлягає нормальному закону розподілу, знаходяться в інтервалі . Ця закономірність називається правилом 3G.
Правило 3G знаходить застосування при вирішенні практичних задач. Наприклад, при аналізі результатів вимірювань випадкової величини може трапитись ситуація, коли поряд з близькими значеннями вимірів трапляється значення, яке суттєво відрізняється від інших. В цьому випадку виникає питання: "Враховувати значення, яке суттєво, відрізняється, в подальшому аналізі результатів вимірювань, чи знехтувати ним?"
Таке питання вирішується слідуючим чином. Маючи на увазі, що результати вимірювань мають нормальний закон розподілу (для перевірки, чи це дійсно так, існують спеціальні методи), визначають значення і G випадкової величини без врахування значення, яке суттєво відрізняється. Далі, за обчисленими значеннями будують інтервал . Якщо значення, яке суттєво відрізняється, потрапляє в цей інтервал, то його приймають для подальших розрахунків, а якщо виходить за межі інтервалу - то ним нехтують.
Порядок виконання роботи
1. За даними варіанту завдання (табл. 2.1) обчислити значення і G.
2. Побудувати інтервал .
3. Визначити, чи потрапляє в цей інтервал значення, яке суттєво відрізняється.
4. Зробити висновок про необхідність врахування значення, яке суттєво відрізняється, в подальшому аналізі результатів вимірювань, чи нехтування ним.
Таблиця 2.1 - Варіанти завдань
|
Варіант |
Випадкові величини f(x) |
Варіант |
Випадкові величини f(x) |
||||||||||||||
|
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
||
|
1 |
5,0 |
4,8 |
5,2 |
5,3 |
6,5 |
5,0 |
4,9 |
5,1 |
16 |
6 |
5 |
6 |
5 |
7 |
7 |
7 |
4 |
|
2 |
14,0 |
14,5 |
13,9 |
15,1 |
16,9 |
15,3 |
14,8 |
15,1 |
17 |
9,9 |
10,1 |
10,0 |
10,1 |
9,8 |
9,4 |
10,0 |
10,2 |
|
3 |
6,9 |
7,1 |
3,9 |
4,7 |
5,4 |
6,2 |
4,9 |
5,1 |
18 |
4,0 |
3,8 |
4,2 |
4,3 |
5,5 |
4,0 |
3,9 |
4,1 |
|
4 |
43,9 |
44,5 |
45,4 |
44,1 |
44,2 |
44,0 |
44,1 |
44,0 |
19 |
18,0 |
18,5 |
17,9 |
19,1 |
20,9 |
19,3 |
18,8 |
19,1 |
|
5 |
1,4 |
0,9 |
1,3 |
1,0 |
1,48 |
1,0 |
0,95 |
1,1 |
20 |
6,5 |
6,0 |
4,1 |
4,9 |
5,0 |
6,0 |
4,9 |
5,0 |
|
6 |
0,980 |
1,05 |
0,799 |
0,870 |
0,950 |
0,893 |
1,0 |
0,910 |
21 |
33,9 |
34,5 |
35,2 |
34,1 |
34,2 |
34,0 |
34,1 |
34,0 |
|
7 |
10,1 |
9,9 |
10,2 |
10,1 |
9,8 |
9,9 |
10,0 |
10,4 |
22 |
1,1 |
0,8 |
1,2 |
1,0 |
1,48 |
1,2 |
0,95 |
1,2 |
|
8 |
24,5 |
23,7 |
23,6 |
23,8 |
23,7 |
23,8 |
23,7 |
23,6 |
23 |
0,780 |
1,01 |
0,799 |
0,860 |
0,920 |
0,893 |
1,0 |
0,940 |
|
9 |
13,3 |
18,7 |
12,9 |
15,5 |
13,9 |
13,1 |
13,4 |
14,0 |
24 |
9,1 |
8,9 |
9,2 |
10,1 |
8,8 |
8,9 |
9,0 |
10,6 |
|
10 |
5,8 |
5,2 |
4,9 |
5,1 |
3,9 |
5,5 |
5,5 |
5,7 |
25 |
14,6 |
13,7 |
13,6 |
13,8 |
13,7 |
13,8 |
13,7 |
13,6 |
|
11 |
10,7 |
9,3 |
9,2 |
10,5 |
10,0 |
9,7 |
10,0 |
11,6 |
26 |
13,1 |
15,7 |
12,2 |
15,0 |
13,9 |
13,1 |
13,4 |
14,0 |
|
12 |
4,9 |
4,1 |
3,1 |
4,1 |
5,1 |
4,2 |
4,9 |
5,1 |
27 |
4,8 |
4,2 |
3,9 |
4,1 |
2,9 |
4,5 |
4,5 |
4,7 |
|
13 |
0,880 |
0,905 |
0,699 |
0,770 |
0,910 |
0,891 |
0,930 |
0,910 |
28 |
50,7 |
49,3 |
49,2 |
50,5 |
50,0 |
49,7 |
50,0 |
51,6 |
|
14 |
0,80 |
0,55 |
0,73 |
0,80 |
0,95 |
0,89 |
0,80 |
0,69 |
29 |
19,9 |
19,1 |
18,1 |
19,1 |
20,1 |
19,2 |
19,9 |
20,1 |
|
15 |
23 |
30 |
39 |
38 |
32 |
33 |
31 |
29 |
30 |
1,880 |
1,905 |
1,699 |
1,770 |
1,910 |
1,891 |
1,930 |
1,910 |
Приклад розрахунку
Вихідні дані: Варіант – 30 (Табл. 2.1)
Випадковими величинами f(x) є значення:
|
f(x) |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
|
x |
1,880 |
1,905 |
1,699 |
1,770 |
1,910 |
1,891 |
1,930 |
1,910 |
Розв’язок
1. Приймаючи, що результати вимірювань мають нормальний закон розподілу визначаємо значення і G.
,
де х1,..., хn – значення випадкової величини;
n - кількість значень випадкової величини.
Підставивши значення випадкових величин згідно варіанту середнє значення буде рівне:
Середнє квадратичне відхилення G, що характеризує ступінь розсіювання значень випадкової величини навколо її середнього значення, розраховуємо за формулою:
,
де хі – поточні значення випадкової величини;
- середнє значення випадкових величин, =1,862.
Тоді,
x
2. На кривій нормального розподілу випадкової величини (рис. 2.2) відмічаємо інтервал . Інтервали ліворуч та праворуч, відносно вертикалі середнього значення , відповідно становлять:
ліворуч ;
праворуч .
Якщо значення випадкової величини, яке суттєво відрізняється, потрапляє в цей інтервал, то його приймають для подальших розрахунків, а якщо ж виходить за межі інтервалу - то ним нехтують.
Рис. 2. 2 – Нормальний закон розподілу випадкової величини
3. Як видно із нормального закону розподілу випадкової величини (рис. 2. 2) усі значення випадкової величини знаходяться у інтервалі .
4. Враховуючи вище сказане можна зробити висновок: усі значення випадкової величини, які суттєво відрізняються від середнього, приймаємо для подальшого аналізу результатів вимірювання чи розрахунків.
Контрольні запитання
PAGE 1
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3