Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
27 НЕПОЛНАЯ ИНДУКЦИЯ
Математика — наука дедуктивная. Это означает, что предло жения, формулируемые в рамках какой-либо теории, доказываю! ся в ней строго логическим путем на основе некоторых исходных положений. Тем не менее наряду с дедуктивными умозаключе ниями, в которых заключение с логической необходимостью следу ет из посылок, большую роль в математике имеют умозаклю чения, основанные на опыте и интуиции; умозаключения, в ко торых заключение имеет лишь определенную степень достовер ности. Роль таких умозаключений (часто они называются правдо подобными) не менее важна.
Как правило, утверждение, требующее доказательства, получа ем из опыта «Вы должны догадаться о математической теоре ме,— пишет Д. Пойа,— прежде, чем ее докажете; вы должны дога даться об идее доказательства прежде, чем проведете его в дета лях. Вы должны сопоставлять наблюдения и следовать аналогиям; вы должны пробовать и снова пробовать. Результат творческой работы математика — доказательное рассуждение, доказательст во; но доказательство открывается с помощью правдоподобного рассуждения, с помощью догадки» (Пойа Д. Математика и правдоподобные рассуждения.— М.: Наука, 1975.—С. 15).
К числу правдоподобных умозаключений относятся индуктив ные умозаключения и умозаключения по аналогии.
Определение. Умозаключение будем называть индуктивным, ес ли на основании того, что некоторые объекты класса обла дают определенным свойством, делается вывод, что этим свойством обладают все объекты данного класса.
Такое умозаключение называется также неполной индукцией.
В индуктивном умозаключении осуществляется переход от от дельных единичных или частных случаев к общему выводу. На пример, заметив, что 1 +2 = 2+ 1, 3 + 5 = 5 + 3, 14 + 20 = 20+ 14, можно сделать вывод, что от перестановки мест любых слага емых сумма не изменяется.
Умозаключение, построенное по такой схеме, не является де дуктивным, поскольку, рассуждая по такой схеме, можно прийти к ложному выводу. Например, рассмотрев выражения 3 + 5 и 3-5, 2 + 7 и 2-7, 4 + 8 и 4-8 и сопоставив их значения, можно уви деть, что 3 + 5<3-5, 2 + 7<2-7, 4 + 8С4-8, и подвести учащихся к выводу, что сумма любых натуральных чисел всегда меньше их произведения. Однако нетрудно заметить, что этот вывод не верен, поскольку, взяв числа 1 и 2, получаем ложное высказы вание: 1 +2< 1 -2.
Данный пример показывает, что в индуктивных умозаклю чениях заключение не следует из посылок, поэтому необходимо критически относиться к выводам, полученным с помощью неполной индукции, и помнить о том, что они носят лишь хнрактер предположения, гипотезы, а поэтому нуждаются в даль нейшей проверке: их надо либо доказать, либо опровергнуть.
В процессе познания индукция и дедукция оказываются тесно пинанными и дополняют друг друга. Например, рассматривая произведения 1-2, 2-3, 3-4, 4-5, 5-6, 6-7, можно заметить, что получающиеся при этом числа 2, 6, 12, 20, 30 и 42 — четные, и вы сказать предположение о том, что произведение любых двух после довательных натуральных чисел есть число четное. (Вывод сдела ли на основании неполной индукции.) Для проверки его истин ности нужно провести доказательство.
Для доказательства утверждения (уп £N)n(n-\-1);2 доста точно рассмотреть два случая: когда л —четное и когда п — не четное. Легко заметить, что в первом случае на 2 делится множи тель п, а во втором — 1. Таким образом, доказали, что данное утверждение истинно, т. е. наша догадка верна. (Заметим, что для доказательства воспользовались полной индукцией, которая является дедуктивным умозаключением и поэтому может быть использована для доказательства утверждений.)
Проверить истинность высказанного индуктивного предполо жения не всегда бывает просто. Например, французский мате матик XVII в. П. Ферма, рассматривая числа 22' + 1 =5, 22‘1 = = 17, 2r-\- 1 =257, 22<~f 1 =65 534, пришел к выводу, что при лю бом натуральном п число 22"-f-l является простым. Проверить справедливость этого утверждения он не смог. Сделал это другой математик, живший в XVIII в.,— Л. Эйлер. Он сумел показать, что при л = 5 число 22*+1 делится на 641, опровергнув тем самым высказанное П. Ферма утверждение.
Несмотря на то что неполная индукция не всегда приводит к истинным выводам, роль таких умозаключений в процессе познания чрезвычайно велика. Не следует противопоставлять ин дуктивные и дедуктивные умозаключения друг другу, нужно просто понимать роль каждого из них.
Начальный курс математики имеет все возможности для прове дения с учащимися индуктивных умозаключений. Как правило, все общие закономерности выводятся в нем индуктивным путем. Это относится к законам сложения и умножения, к выявлению закономерностей между компонентами и результатами действий, к получению равенств 0-\-а = а, 1 -а —а и другим выводам.
Обучение индуктивным умозаключениям весьма важная зада ча. В ходе индуктивных умозаключений формируется умение ана лизировать явления, находить общее в частных случаях, подмечать закономерности, высказывать догадки.