Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
1 определение и геометрический смысл предела числоваой последовательности.
2 Теорема о сжатой переменной.
3 Теорема о скруктуре сходяшийся переменной.
4 Действия над пределами.
Арифметические свойства
Оператор взятия предела числовой последовательности является линейным, т. е. проявляет два свойства линейных отображений.
Аддитивность. Предел суммы числовых последовательностей есть сумма их пределов, если каждый из них существует.
Однородность. Константу можно выносить из-под знака предела.
Предел произведения числовых последовательностей факторизуется на произведение пределов, если каждый из них существует.
Предел отношения числовых последовательностей есть отношение их пределов, если эти пределы существуют и последовательность-делитель не является бесконечно малой.
5 Определение предела функции в точке.
|
Предел функции в точке |
|
1. Функция одной переменной. Определение предела функции в точке по Коши.Число bназывается пределом функции у = f(x) при х, стремящемся к а (или в точке а), если для любого положительного числа e существует такое положительное число d, что при всех х ≠ а, таких, что |x – a | < d, выполняется неравенство Определение предела функции в точке по Гейне. Число b называется пределом функции у = f(x) при х, стремящемся к а (или в точке а), если для любой последовательности {xn}, сходящейся ка (стремящейся к а, имеющей пределом число а), причем ни при каком значении n хn ≠ а, последовательность {yn = f(xn)} сходится к b. Данные определения предполагают, что функция у = f(x) определена в некоторой окрестноститочки а, кроме, быть может, самой точки а. Определения предела функции в точке по Коши и по Гейне эквивалентны: если число b служит пределом по одному из них, то это верно и по второму. Указанный предел обозначается так: Геометрически существование предела функции в точке по Коши означает, что для любого числа e > 0 можно указать на координатной плоскости такой прямоугольник с основанием 2d > 0, высотой 2e и центром в точке (а; b), что все точки графика данной функции на интервале (а–d; а + d), за исключением, быть может, точки М(а; f(а)), лежат в этом прямоугольнике – см. рис.: Читать дальше... Критерий Коши существования предела функции в точке. Число b – предел функции у = f(x) при х, стремящемся к а, тогда и только тогда, когда для любого числа e > 0 можно указать такую проколотую -окрестность точки а, что для любых чисел х1 и х2, содержащихся в этой окрестности, выполняется неравенство Пусть Тогда существуют пределы суммы и произведения функций f(x) и g(x), а в случае с ≠ 0 – и частного этих функций, причём: В теории пределов доказываются следующие два утверждения. Первый замечательный предел: Второй замечательный предел: где е – знаменитое иррациональное число, e= 2,71... При вычислении пределов для раскрытия неопределённостей, связанных с дифференцируемыми функциями, часто используют правило Лопиталя. Читать далее... 2. Функция многих переменных. Пусть функция у = f(x1; x2; …; xn) определена в некоторой выколотой окрестности точки Р(р1; р2; …; рn), принадлежащей области n–мерного пространства, состоящей из точек Х(x1; x2; …; xn). Число b называется пределом функции у =f(x1; x2; …; xn) при Х, стремящейся к Р, если для любого числа e > 0 существует такое положительное число d, что в точках Х выколотой окрестности точки Р, задаваемой неравенствами выполняется неравенство | f(x1;x2; ...;xn) – b | < e. |
6 Левосторонний предел и правосторонний предел и соотношение между ними.
7 Замечательные пределы.
8 Бесконечно малые и их свойства
БЕСКОНЕЧНО МАЛЫЕ И ИХ СВОЙСТВА
Функция α(х) называется бесконечно малой при , если ,
т. е. для любого числа ε > 0 существует такое число δ > 0, что для всех х, удовлетворяющих неравенству
,
выполняется неравенство
.
Бесконечно малую функцию α(х) называют бесконечно малой величиной или просто бесконечно малой.
Функция f (х) называется ограниченной при , если существуют положительные числа М и δ, такие, что при условии
, выполняется неравенство
.
Например, любая бесконечно малая α(х) является ограниченной функцией при .
В дальнейшем будем рассматривать бесконечно малые при .
Свойства бесконечно малых.
1. Если функции и являются бесконечно малыми, то функция также есть бесконечно малая. Это свойство распространяется на случай алгебраической суммы любого конечного числа бесконечно малых.
2. Произведение ограниченной при функции на бесконечно малую есть функция бесконечно малая.
3. Произведение постоянной на бесконечно малую есть бесконечно малая.
4. Произведение двух бесконечно малых есть бесконечно малая. Это свойство распространяется на любое конечное число бесконечно малых.
Сравнение бесконечно малых величин
Зададимся вопросом, как можно сравнить две бесконечно малые величины или две бесконечно большие величины?
Определения. Пусть при функции f(x) и g(x) являются бесконечно малыми. Тогда:
2. Если , то f(x) называется бесконечно малой высшего порядка относительно g(x).
2. Если (конечен и отличен от 0), то f(x) называется бесконечно малой n-го порядка относительно g(x).
3. Если , то f(x) и g(x) называются эквивалентными бесконечно малыми.Эквивалентность записывается так: .
Свойства эквивалентных бесконечно малых:
1. Разность двух эквивалентных бесконечно малых есть бесконечно малая высшего порядка относительно каждой из них.
2. Если из суммы нескольких бесконечно малых разных порядков отбросить бесконечно малые высших порядков, то оставшаяся часть, называемая главной, эквивалентна всей сумме.
Из первого свойства следует, что эквивалентные бесконечно малые могут сделаться приближенно равными со сколь угодно малой относительной погрешностью. Поэтому знак мы применяем как для обозначения эквивалентности бесконечно малых, так и для записи
9 Два определения непрерывности функции в точке.
10 Теорема о равносильности двух определений непрерывносту функции в точке.
11 классификация разрывов.
12 определение и геометрический смысл производной.
Если функции f и g дифференцируемы в точке x0 то в этой же точке дифференцируемы сумма, произведение и частное (если g(x0)=0) этих функций, причем
Постоянный множитель C можно выносить из-под знака производной: (Cf)' = Cf'. В частности, С'=0
14 Таблица производных
15 Производная сложной функции.
16 Производная функции заданной параметрически.
Производная функции, заданной параметрически.
Пусть
Предположим, что эти функции имеют производные и функция x = j(t) имеет обратную функцию t = Ф(х).
Тогда функция у = y(t) может быть рассмотрена как сложная функция y = y[Ф(х)].
т.к. Ф(х) – обратная функция, то
Окончательно получаем:
Таким образом, можно находить производную функции, не находя непосредственной зависимости у от х.
Пример. Найти производную функции
Способ 1: Выразим одну переменную через другую , тогда
Способ 2: Применим параметрическое задание данной кривой: .
x2 = a2cos2t;
17 Дифференцирование функции.
18 Правило лопиталя
19 Иследование функции производной.
20 Схема исследования функции с помощью производной.
21 Теорема ферма.
22Теорема роуля ,теорема Лагранжа, теорема Каши.
Теоремы Ролля, Лагранжа, Коши
Теорема Ролля. Пусть функция f(x) удовлетворяет условиям:
Тогда существует точка с (a, b) такая что f '(c) = 0.
Физическая интерпретация теоремы Ролля. Пусть х – время, а f(x) – координата точки, движущийся по прямой, в момент времени х. В начальный момент х = а точка имеет координату f(a), далее движется с определенным образом со скоростью f '(x) и в момент времени x = b она возвращается в точку с координатой f(a) [f(a) = f(b)]. Ясно, что для возвращения в точку f(а) она должна остановиться в некоторый момент времени (прежде чем «повернуть назад»), т.е. в некоторый момент x = c скорость f '(с) = 0.
Геометрическая интерпретация теоремы Ролля. Существует точка с (a, b) такая, что касательная к графику функции y = f(x) в точке (с, f(c)) параллельна оси Ох.
Теорема Лагранжа. Пусть функция f(x) удовлетворяет условиям:
Тогда существует точка с (a, b) такая, что
f(b) – f(a) = f '(c)(b – a). (1)
Формула (1) называется формулой Лагранжа (или формулой конечных приращений).
Физическая интерпретация теоремы Лагранжа. Пусть х – время, f(x) – координата точки, движущейся по прямой, в момент времени х. Запишем формулу Лагранжа в виде
Величина в левой части равенства является, очевидно, средней скоростью движения точки по прямой за промежуток времени от а до b. Формула Лагранжа показывает, что существует такой момент времени х = с, в который мгновенная скорость равна средней скорости на временном отрезке [a, b].
Геометрическая интерпретация теоремы Лагранжа. Число является угловым коэффициентом прямой, проходящей через концы графика функции y = f(x) – точки (a, f(a)) и (b, f(b)), а f '(с) – угловым коэффициентом касательной к графику в точке (с, f(с)). Формула Лагранжа показывает, что касательная к графику в некоторой точке (с, f(с)) параллельна прямой, проходящей через концы графика (или совпадает с ней).
Теорема Коши. Пусть функции f(x) и g(x) удовлетворяют условиям:
Тогда существует точка с (a, b) такая, что
(2)
Формула (2) называется формулой Коши.