Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
Вариант № 12
В задачах 1…9 найти неопределённые интегралы, ответ проверить дифференцированием.
1. .
Проверка: .
Ответ: .
2. . Интегрируем по частям: . . Проверка: .
Ответ: .
3. . Проверка:
.
Ответ: .
4. . Выделяем целую часть дроби и разлагаем дробную часть на простые дроби.
. Полагаем , получим . Из равенства следует . Приравнивая коэффициенты при , получим . Или . Таким образом,
Проверка:
.
Ответ: .
5. . Разлагаем дробь на простые дроби и интегрируем. .. Полагаем , получим . Приравнивая коэффициенты при , получим . Или . Приравнивая коэффициенты при , получим . Или . Таким образом, .
Проверка:
.
Ответ: .
6. . Интегрируем с помощью замены переменной. .
Проверка: .
Ответ: .
7. . Интегрируем с помощью замены переменной.
.
Проверка: . Ответ: .
8. . Интегрируем после предварительных преобразований.
.
Проверка: .
Ответ: .
9. . Интегрируем с помощью замены переменной.
.
Проверка: . Ответ: .
Задачи 10-11. Вычислите несобственные интегралы или установите их расходимость.
10. . Интеграл сходится. Ответ: . Интеграл сходится.
11. .
Интеграл сходится.
Ответ: . Интеграл сходится.
Задачи 12-13. Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями.
12. . Найдём точки пересечения линий: .
Тогда . Ответ: .
13. . Это трёхлепестковая роза и окружность. Найдём точки пересечения ли-
ний: . Вычислим площадь для одного лепестка и утроим её: . Ответ: .
14. Вычислите длину дуги кривой (L): (циклоида).
. Ответ: .
15. Найдите объём тела вращения плоской фигуры (S) вокруг оси OY.
. Ответ: .
16. Вычислите площадь поверхности вращения дуги (L) вокруг оси OY.
. Ответ: .
Задачи 17…18. Вычислите интегралы, воспользовавшись справочниками по высшей математике.
17. . По справочнику находим: . (Г.Б. Двайт. Таблицы интегралов и другие математические формулы.)
Ответ: .
18. . По справочнику находим: , знак совпадает со
знаком числа a. Ответ: , знак совпадает со знаком числа a.
19. Квадратная пластина погружена в воду вертикально так, что одна из вершин квадрата лежит на поверхности воды, а одна из диагоналей параллельна поверхности, сторона квадрата равна a. С какой силой вода давит на каждую сторону пластины?
Пусть начало координат находится в центре квадрата. Диагональ квадрата равна . Обозначим через h половину диагонали. Из подобия треугольников находим для верхней половины квадрата и для нижней половины квадрата. Здесь z – ширина квадрата на уровне y. Площадь элементарной площадке на уровне y , будет равна для верхней половины и для нижней половины квадрата. Давление на эти элементарные площадки будут равны соответственно и . Следовательно,
. Ответ: .
20. В цилиндре, площадь основания которого 10 см2, высота 30 см, заключён атмосферный воздух. Какую работу нужно совершить, чтобы вдвинуть поршень на 20 см. Атмосферное давление кг/см2.
По закону Бойля-Мариотта , т.е. . Начальный объём будет равен см3. Конечный объём равен . Пусть дно цилиндра расположено в точке x=0, а x – точка текущего положения поршня. Тогда . Из этого следует, что . В положении поршня x давление на поршень составит величину . Таким образом, на участке (x, x+dx) необходимо совершить работу . Следовательно,
Ответ: или кГм.
dy
h
a
z