Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
Контрольна робота №1
Зразок розв’язання і оформлення контрольної роботи №1
Варіант № 31
Завдання 1.1.31. У коробці 5 однакових виробів, причому 3 з них пофарбовано. Навмання витягнуто 2 вироби. Знайти ймовірності таких подій: ={серед витягнутих виробів два вироби пофарбовані}, ={серед вибраних виробів хоча виріб пофарбований}.
Розв’язання. – всі можливі комбінації з 5 виробів по 2 (сполучення з 5 по 2); , ;
.
Нехай ={серед вибраних виробів хоча виріб пофарбований}, , ,
.
Завдання 1.2.31. Три стрільці стріляють в ціль незалежно один від одного. Ймовірність влучення в ціль для першого стрільця дорівнює 0,1, для другого — 0,5, для третього — 0,8. Знайдіть ймовірність того, що: а) один стрілець влучить у ціль; б) хоча б один стрілець влучить у ціль за умови, що кожен з них зробить по одному пострілу.
Розв’язання. Введемо позначення подій: подія — перший стрілець влучає в ціль; подія — другий стрілець влучає в ціль; подія — третій стрілець влучає в ціль. Тож за умовою
Визначимо протилежні події: подія — перший стрілець не влучає в ціль; подія — другий стрілець не влучає в ціль; подія — третій стрілець не влучає в ціль. Обчислимо ймовірності протилежних подій:
а) Нехай подія — один стрілець влучить у ціль. Тоді . Оскільки за умовою події — незалежні (події — також незалежні), а добутки — несумісні, то згідно з теоремою про ймовірність добутку незалежних подій та теоремою про ймовірність суми несумісних подій маємо:
б) Нехай подія — хоча б один стрілець влучив у ціль. За формулою ймовірності появи хоча б однієї події маємо:
.
Цю ймовірність можна знайти й так:
Завдання 1.3.31. На заводі перший цех виробляє 10%, другий – 70%, третій – 20% всіх деталей. В їх продукції браку відповідно 9%, 8%, 7%. Випадково вибрана деталь виявилась дефектною. Знайти ймовірність того, що вона виготовлена другим цехом.
Розв’язання. Нехай подія – деталь дефектна. Висунемо гіпотези: – деталь виготовлена першим цехом, – деталь виготовлена другим цехом, – деталь виготовлена третім цехом. За умовою задачі, відповідні ймовірності гіпотез Умовні ймовірності події дорівнюють:
За формулою Байєса маємо:
Завдання 1.1.31. а) Імовірність влучити в мішень при одному пострілі дорівнює 0,8. Знайти найімовірніше число влучень із шести пострілів і відповідну ймовірність.
б) Ймовірність присутності студента на лекції дорівнює 0,8. Знайдіть ймовірність того, що зі 100 студентів на лекції будуть присутні : а) рівно 75; б) не менше 75 та не більше 90.
в) Частка діабетиків у певній місцевості становить у середньому 0,2%. Навмання було обстежено 1000 осіб. Яка ймовірність того, що серед них діабетиків не більше як 1 особи.
Розв’язання. а) За формулою найімовірнішого числа “успіхів“ у схемі Бернуллі маємо:
, , .
Таким чином, найбільш імовірне число влучень . Імовірність п’яти влучень із шести пострілів обчислюємо за формулою Бернуллі:
.
б) За умовою маємо: .
1) За умовою . Використаємо локальну теорему Муавра-Лапласа. Обчислимо значення :
.
Оскільки функція Гаусса парна, за таблицею її значень отримаємо: . Таким чином, маємо:
.
2) За умовою . Використаємо інтегральну теорему Муавра-Лапласа. Обчислимо межі інтегрування:
За таблицею значень функції Лапласа отримаємо, враховуючи, що вона непарна:
.
Отже, шукана ймовірність
в) За умовою: . Знайдемо : . За формулою Пуасона шукана ймовірність дорівнює:
,
.
Завдання 1.5.31. Фермер відправляє свою продукцію до трьох магазинів. Імовірність своєчасної доставки до 1-го магазину дорівнює 0,9, до 2-го магазину — 0,95, до 3-го магазину — 0,85. Нехай Х — кількість своєчасних доставок до трьох магазинів. Знайти закон розподілу випадкової величини Х та її числові характеристики.
Розв’язання. Подія — {перший магазин отримає продукцію своєчасно}, подія — {другий магазин отримає продукцію своєчасно}, подія — {третій магазин отримає продукцію своєчасно}.
За умовою задачі
тоді
Якщо жоден магазин не отримає продукцію своєчасно, то і перший магазин не отримає її своєчасно, і другий, і третій.
Маємо:
Аналогічні міркування приводять до таких результатів:
Отже, ряд розподілу кількості своєчасних доставок до трьох магазинів має вигляд:
|
Х |
0 |
1 |
2 |
3 |
|
р |
0,00075 |
0,02525 |
0,21725 |
0,72675 |
Математичне сподівання знайдемо за формулою:
.
Дисперсію обчислимо за формулою
Середнє квадратичне відхилення обчислюємо за формулою:
.
Завдання 1.6.31. Задано розподіл імовірностей дискретної двовимірної випадкової величини.
|
|
3 |
10 |
12 |
|
1 |
0,17 |
0,13 |
0,25 |
|
5 |
0,10 |
0,30 |
0,05 |
Обчислити: а) , ;
б) , .
Розв’язання. Для обчислення умовних числових характеристик необхідно побудувати умовні закони розподілу.
а) Знайдемо умовні ймовірності можливих значень за умови, що складова набула значення :
;
;
.
Запишемо умовний закон розподілу :
|
3 |
10 |
12 |
|
Знайдемо математичне сподівання:
.
Знайдемо дисперсію:
;
Знайдемо середнє квадратичне відхилення:
.
б) Знайдемо умовний закон розподілу за умови, що складова набуде значення :
;
.
Запишемо умовний закон розподілу :
|
1 |
5 |
|
Обчислимо числові характеристики:
;
Завдання 1.7.31. Неперервна випадкова величина Х задана функцією розподілу ймовірностей
Необхідно:
а) знайти щільність розподілу ймовірностей ;
б) знайти числові характеристики НВВ Х;
в) знайти ймовірність попадання ВВ Х до інтервалу
г) побудувати графіки функцій і
Розв’язання. а) Щільність розподілу ймовірностей знайдемо за формулою :
б) За формулами обчислимо числові характеристики:
;
в) За формулою:
=.
Або: =.
г) Графік функції розподілу зображено на рис. 1:
Рис. 1
Графік щільності розподілу наведений на рис. 2:
Рис. 2
Завдання 1.8.31. Коробки з шоколадом пакуються автоматично, їхня середня маса дорівнює 1,06 кг, а стандартне відхилення 0,02 кг. Вважаючи, що маса коробок розподілена за нормальним законом, знайти ймовірність того, що коробки мають масу меншу 1 кг.
Розв’язання. Використаємо формулу для обчислення ймовірності потрапляння випадкової величини в інтервал. Підставивши дістанемо:
За додатком знаходимо значення функції Лапласа, враховуючи, що функція Лапласа непарна та для всіх
Завдання 1.9.31. Задано
Знайти , . Обчислити . Знайти безумовні щільності розподілів складових і . З’ясувати, чи залежні ВВ та .
Розв’язання. Для визначення застосуємо 1-ту властивість щільності розподілу (умову нормування):
звідки .
Отже,
Для побудови функції розподілу скористаємося властивістю щільності розподілу.
Якщо х < –2 або у < –3, то
Якщо то
Якщо , то
Якщо , то
Якщо , то
Отже,
Обчислимо за властивістю функції розподілу:
Знайдемо безумовні закони розподілу і :
Отже, .
Отже, .
Перевіримо, чи незалежні ВВ, тобто перевіримо виконання умови :
.
Оскільки ,
тобто , то ВВ і залежні.
ВАРІАНТИ ЗАВДАНЬ КОНТРОЛЬНОЇ РОБОТИ № 1
Завдання 1.1. Знайти ймовірність випадкової події за допомогою правил і теорем комбінаторики.
1.1.1. На книжковій полиці розставлено 10 томів, однакових за розміром. Із них три томи творів Пушкіна, п’ять томів п’єс Шекспіра і два томи поезій Шевченка. Навмання з полиці беруть два томи. Яка ймовірність того, що вони належатимуть одному автору?
1.1.2. На чотирьох картках написано літери А,Т,Е,М. Картки навмання розкладують в ряд. Яка ймовірність того, що при цьому буде отримано слово ТЕМА або МЕТА?
1.1.3. Задана множина цілих чисел: = {1,2,3,1,5,6,7,8,9}. Із цієї множини навмання беруть по одному числу і розкладають в ряд. Таким чином було обрано чотири цифри. Яка ймовірність того, що при цьому отримано 1915 або 1965 рік?
1.1.1. В пеналі міститься 12 однакових за розміром олівців. Із них 8 червоного, а 1 синього кольору. Навмання з пеналу береться 3 олівці. Яка ймовірність того, що вони виявляться однакового кольору?
1.1.5. На дев’яти картках написані літери З, А, Л, І, З, Н, И, Ц, Я. Після перемішування картки розкладають в ряд довільним чином. Яка ймовірність того, що буде отримано слово ЗАЛІЗНИЦЯ?
1.1.6. На шести картках написані числа: 1, 2, 3, 1, 5, 6. Картки кладуть в коробку та перемішують. Потім одна за одною виймають дві картки. Чи будуть ці події незалежними? Яка ймовірність того, що при цьому на першій картці виявиться число більше, ніж на другій?
1.1.7. В розіграші першості з шахів бере участь 16 осіб. Розігруються золота, срібна та бронзова медалі. Яка ймовірність вгадати з першого разу трійку призерів (порядок прізвищ неважливий)?
1.1.8. В урні містяться 20 однакових за розміром кульок. Із них вісім червоного кольору, сім синього та п’ять зеленого. Навмання з урни беруть три кульки. Яка ймовірність того, що всі вони виявляться різного кольору або всі червоного?
1.1.9. Серед 10 однотипних електромоторів, що надійшли на склад, сім відповідають вимогам стандарту, а решта з похибками. Навмання вибирають три електромотори. Яка ймовірність того, що всі вони виявляться придатними до експлуатації або всі ні?
1.1.10. Задано дві множини цілих чисел: 1 = {1,2,3,1,5,6,7,8}, 2 = {1,2,3,1,5,6}. З кожної береться по одному числу. Побудувати простір елементарних подій для цього експерименту і такі випадкові події: А сума чисел кратна 5; В сума чисел, кратна 2. Знайти ймовірність події АВ.
1.1.11. В ліфт семиповерхового будинку на першому поверсі увійшло шість осіб, кожна з яких із однаковою ймовірністю може залишити ліфт на будь-якому поверсі, починаючи з другого. Яка ймовірність того, що всі вони залишать ліфт на одному поверсі?
1.1.12. Три гральні кубики кидають по одному разу. Яка ймовірність того, що при цьому експерименті на трьох гранях випадуть однакові числа або всі числа будуть різними?
1.1.13. Вісім томів, однакових за розміром, навмання ставляться на книжкову полицю. Яка ймовірність того, що номера томів утворять спадну послідовність?
1.1.11. 33 літери українського алфавіту записані на картках розрізної абетки. Картки навмання беруть по одній, виписують літеру картки і повертають її до загалу. Таким чином було виписано 7 літер. Яка ймовірність того, що при цьому з’явиться слово “Україна” або “Держава”?
1.1.15. Серед 13 однотипних деталей, що містяться в ящику, 8 стандартних, а решта браковані. Навмання беруть чотири деталі. Яка ймовірність того, що при цьому взято чотири стандартні деталі або дві браковані та дві стандартні?
1.1.16. В групі 25 студентів. Із них десять хлопців, а решта дівчата. Навмання по списку вибирають 5 студентів. Яка ймовірність того, що всі вони виявляться хлопцями або всі дівчатами?
1.1.17. Задано дві множини цілих чисел: . Із кожної множини навмання беруть по одному числу. Побудувати простір елементарних подій для цього експерименту появи пари чисел і обчислити ймовірність того, що сума цифр виявиться кратною 3 або 2.
1.1.18. Серед 11 однакових за зовнішним виглядом електролампочок вісім штук на 220 вольт, а решта на 127 вольт. Навмання вибирають 1 лампочи. Яка ймовірність того, що вони виявляться всі на 220 або всі на 127 вольт?
1.1.19. В урні містяться 11 однакових за розміром кульок. Із них 6 чорних, а решта білі. Навмання з урни беруть 5 кульок. Яка ймовірність того, що серед них виявиться хоча б одна біла кулька?
1.1.20. Задано 3 множини цілих чисел: , , . Із множини навмання беруть по одному числу. Побудувати простір елементарних подій цього експерименту появи трьох чисел і обчислити ймовірність того, що сума чисел виявиться кратною 3 або 2.
1.1.21. Слово ТРАНСЛЯЦІЯ, записане на паперовій смужці, розрізають на 10 частин так, щоб у кожній частині була записана одна літера. Із десяти літер навмання беруть по одній і розкладають в ряд. Таким чином було розкладено 5 літер. Яка ймовірність того, що одержано слово “рація”, або слово “транс”?
1.1.22. Гральний кубик підкидається 10 разів. Яка ймовірність того, що одиниця з’явиться три рази, 2 чотири рази, 5 три рази, або 1 з’явиться два рази, 2 три рази, 3 один раз, 5 чотири рази?
1.1.23. Одночасно підкидають два гральних кубики. Побудувати простір елементарних подій цього експерименту та обчислити ймовірність того, що сума аба добуток чисел на гранях виявляться кратними 5.
1.1.21. В розіграші першості з баскетболу бере участь 16 команд. Серед них 1 команди екстракласу. Випадково з 16 команд формують дві групи по 8 команд. Яка ймовірність того, що всі команди екстракласу опиняться в одній групі?
1.1.25. Задана множина цілих чисел: . Ці числа навмання розкладають в ряд. Яка ймовірність того, що числа 1 і 2 опиняться поряд?
1.1.26. Серед 12 однотипних деталей 1 браковані. Навмання вибирають дві деталей із дванадцяти. Яка ймовірність того, що серед них виявиться хоча б одна стандартна деталь?
1.1.27. Серед 16 однакових телевізорів 10 виготовлено першим заводом, а решта другим заводом. Навмання з них вибирають 5 штук. Яка ймовірність того, що всі вони виявляться виготовленими заводом №1 або всі заводом №2?
1.1.28. По одному разу кидають два гральні кубики. Побудувати простір елементарних подій для цього експерименту появи пари чисел, що з’явилися на гранях кубика, та випадкових подій: А сума чисел виявиться кратною 1; В сума чисел виявиться кратною 3. З’ясувати, чи сумісні випадкові події А і В та обчислити Р(АВ).
1.1.29. Серед 10 водяних насосів 3 штуки мають певні дефекти. Навмання вибирається 1 насоси. Обчислити ймовірність таких випадкових подій: А1 чотири насоси виявляться без дефектів; А2 три без дефектів, а один з дефектом; А3 два без дефектів, а два з дефектом; А1 один без дефектів, а решта із дефектами.
1.1.30. Відомо, що випадкові події А1, А2, А3, А1, А5, А6 є несумісними і утворюють повну групу. Знайти Р(Аі) (і = 1,2,3,1,5,6), якщо відомо, що Р(А1) = 0,8Р(А2); Р(А2) = 0,6Р(А3); Р(А3) = 0,5Р(А1); Р(А1) = 0,1Р(А5); Р(А5) = 0,2Р(А6).
1.2. Обчислити ймовірності подій за допомогою теорем додавання та множення ймовірностей.
1.2.1. Прилад складається з трьох незалежно працюючих вузлів. Вихід з ладу хоча б одного з них призводить до відмови всього приладу. Ймовірність безвідмовної работи протягом доби для першого вузла становить 0,9; для другого та третього вузлів ця ймовірність відповідно дорівнює 0,85, 0,75. Яка ймовірність того, що протягом доби прилад працюватиме безвідмовно?
1.2.2. В першому ящику містяться 7 стандартних і 3 бракованих деталі, а в другому 9 стандартних і 1 бракована. З кожного ящика беруть по одній деталі. Яка ймовірність того, що всі деталі виявляться стандартними або всі бракованими?
1.2.3. Відомі значення: P() = 0,2, P(А) = 0,5, P(В) = 0,1. З’ясувати, чи залежні випадкові події А і В. Обчислити P(A+B), P(А/В), P(В/А).
1.2.1. Задані дві множини цілих чисел: , . Із кожної множини навмання беруть по одному числу. Побудувати випадкові події: А сума чисел виявиться кратною двом; В сума чисел виявиться кратною трьом. З’ясувати, чи залежні випадкові події А і В. Обчислити Р(А+В), Р(AB).
1.2.5. При вмиканні запалювання мотор машини починає працювати з ймовірністю 0,9. Знайти ймовірність таких подій мотор машини почне працювати при другому вмиканні запалювання, мотор буде працювати при вмиканні запалювання не більше двох разів.
1.2.6. Одна й та сама монета підкидається два рази. Яка ймовірність того, що герб при цьому експерименті з’явиться при першому або при другому кидку?
1.2.7. В ящику містяться 10 червоних, 8 зелених і 12 синіх кульок однакових на дотик. Навмання вибирають дві кульки. Яка ймовірність того, що всі вони виявляться зеленого кольору, якщо відомо, що серед них відсутні сині кульки?
1.2.8. Знайти ймовірність безвідмовної роботи електричного ланцюга при вмиканні в мережу, якщо ймовірність виходу одного елементу з ладу при вмиканні є величиною сталою і дорівнює 0,1. Елементи з’єднані за схемою:
1.2.9. Ймовірність того, що стрілок при одному пострілі виб’є 10 очок, дорівнює 0,1, ймовірність вибити 9 очок 0,3, ймовірність вибити менше 0,6. Знайти ймовірність того, що при одному пострілі стрілок виб’є не менше 9 очок.
1.2.10. Деталі проходять три незалежних технологічних операції. Ймовірність одержати брак на першій операції дорівнює 0,05, на другій та третій відповідно 0,02 і 0,01. Яка ймовірність одержати деталь без браку після проведення трьох операцій?
1.2.11. Яке значення повинна мати ймовірність випадкової подій в кожному з трьох незалежних випробувань, якщо відомо, що ймовірність появи випадкової події хоча б один раз з трьох виявилась рівною 0,999?
1.2.12. На автомобілі встановлено два охоронні пристрої, які працюють незалежно. Ймовірність того, що при спробі викрадення спрацює перший, дорівнює 0,95, другий 0,9. Знайти ймовірність того, що спрацює:
1) тільки один пристрій;
2) хоча б один.
1.2.13. Монету та гральний кубик підкидають по одному разу. Яка ймовірність того, що при цьому з’явиться число 5 на грані кубика і випаде герб на монеті, або з’явиться на грані кубика парне число і випаде герб на монеті?
1.2.11. Ймовірність влучення в мішень при кожному пострілі р = 0,9. Обчислити ймовірність того, що при здійсненні п’яти пострілів підряд буде три промахи.
1.2.15. Ймовірність влучити в мішень при одному пострілі є величиною сталою і дорівнює 0,9. Скільки необхідно спортсменові зробити пострілів, щоб ймовірність влучити в мішень хоча б один раз дорівнювала 0,9999?
1.2.16. По військовому літаку здійснено три ракетні залпи. Ймовірність влучити при першому дорівнює 0,95, при другому та третьому відповідно 0,85 та 0,7. При одному влученні в літак його буде знищено. Яка ймовірність того, що літак буде знищено?
1.2.17. На іспиті з теорії ймовірностей є 31 білети. Студент підготував лише 30 з них. Яка ймовірність того, що студент знає відповіді на питання другого білету, якщо першим він витяг білет, якого не знав?
1.2.18. Прилад складається з п’яти незалежно працюючих вузлів. Ймовірність того, що перший вузол не вийде з ладу під час роботи приладу є величиною сталою і дорівнює 0,95. Для другого, третього, четвертого та п’ятого вузлів ця ймовірність відповідно дорівнює 0,9; 0,85; 0,8; 0,7. Якщо під час роботи приладу з ладу вийде не менше ніж два вузли, то прилад стає непрацездатним. Обчислити ймовірність того, що прилад не буде працювати.
1.2.19. Знайти ймовірність безвідмовної роботи електричного ланцюга при вмиканні в мережу, якщо ймовірність виходу одного елементу з ладу при вмиканні є величиною сталою і дорівнює 0,1. Елементи з’єднані за схемою:
1.2.20. В першій урні містяться 6 червоних і 1 синіх кульки, а в другій 8 червоних і 2 синіх. Із кожної урни беруть по одній кульці. Яка ймовірність того, що кульки виявляться однакового кольору?
1.2.21. В урні містяться 3 білих і 1 чорних кульки. Два гравці по черзі навмання виймають по одній кульці із урни, без повернення. Виграє той гравець, в якого раніше з’явиться біла кулька. Для якого гравця ймовірність виграти більше для першого чи другого?
1.2.22. В майстерні працюють три станки. Протягом зміни перший станок потребує наладки з ймовірністю 0,2 (і після цього не потребує наладки до кінця зміни). Для другого станка ця ймовірність дорівнює 0,15, а для третього 0,1. Враховуючи те, що станки потребують наладки незалежно один від одного, знайти ймовірність того, що протягом зміни хоча б один станок потребуватиме наладки.
1.2.23. Ймовірність влучення в мішень при одному пострілі для першого стрільця дорівнює 0,7, для другого 0,9. Кожен із стрільців здійснив по одному пострілу. Яка ймовірність того, що в мішені буде два влучення або жодного?
1.2.21. В розіграші першості з баскетболу бере участь 16 команд. Серед них 1 команди екстракласу. Випадково з 16 команд формують дві групи по 8 команд. Яка ймовірність того, що всі команди екстракласу опиняться в одній групі?
1.2.25. Знайти ймовірність безвідмовної роботи електричного ланцюга при вмиканні в мережу, якщо ймовірність виходу одного елементу з ладу при вмиканні є величиною сталою і дорівнює 0,2. Елементи з’єднані за схемою:
1.2.26. Три стрільця роблять по мішені по одному пострілу. Ймовірності влучення для першого стрільця 0,5, для другого 0,7 і для третього 0,8. Знайти ймовірність того, що в мішені буде одна чи дві пробоїни.
1.2.27. Знайти ймовірність безвідмовної роботи електричного ланцюга при вмиканні в мережу, якщо ймовірність виходу одного елементу з ладу при вмиканні є величиною сталою і дорівнює 0,2. Елементи з’єднані за схемою:
1.2.28. Деталь послідовно обробляється чотирма робітниками незалежно один від одного. Ймовірність припуститися браку першим робітником дорівнює 0,01. Для другого, третього та четвертого робітників ця ймовірність відповідно дорівнює 0,02, 0,08 та 0,05. Яка ймовірність того, що після обробки чотирма робітниками деталь виявиться придатною?
1.2.29. Задані дві множини цілих чисел , . Із кожної множини навмання беруть по одному числу. Випадкові події: А добуток чисел виявиться кратним 3, В добуток чисел виявиться кратним 7. З’ясувати, чи залежні випадкові події А і В. Обчислити Р(А+В), Р(АB).
1.2.30. В урні міститься 3 білих і 1 чорних кульки. Два гравці по черзі навмання виймають по одній кульці з урни, без повернення. Виграє той гравець, в якого раніше з’явиться біла кулька. Яка ймовірність того, що виграє:
1) перший гравець;
2) другий гравець?
Завдання 1.3. Формула повної ймовірності. Формула Байєса.
1.3.1. На першому станку виготовлено 15 деталей, на другому 25, на третьому 10. Імовірність одержання браку на першому станку дорівнює 0,02, на другому 0,015, на третьому 0,03. Знайти ймовірність того, що випадково вибрана деталь виявиться бракованою.
1.3.2. 21% яблук (у ящиках) надійшов у продаж з держгоспу №1, з них 90% ящиків стандартних, 35% - з держгоспу №2, з них 80% - стандартних; 29% - з колгоспу №1, з них 70% стандартних; 15% - з колгоспу №2, з них 80% - стандартних. При відкриванні навмання вибраного ящика яблука визнано стандартними. Визначити ймовірність того, що ці яблука надійшли з колгоспу №2.
1.3.3. На першому станку виготовлено 15 деталей, на другому - 25, на третьому – 10. Ймовірність одержання браку на першому станку дорівнює 0,02; на другому – 0,015, на третьому – 0,03. Знайти ймовірність того, що випадково вибрана деталь виявиться бракованою.
1.3.4. На заводі 40% всієї продукції виготовляєьтся першим верстатом, решта – другим. У середньому 9 із 1000 деталей, виготовлених першим верстатом, виявляються бракованими, для другого верстата цей показник – одна бракована деталь із 250. Випадково вибрана з усієї продукції деталь виявилася бракованою. Яка ймовірність того, що її виготовлено першим верстатом?
1.3.5. Чотири робітники виготовляють однотипні вироби. При цьому продуктивність праці цих робітників задовольняє таке відношення: 2 : 1,5 : 4 : 2,5. Відомо, що частка браку для першого, другого, третього та четвертого робітників дорівнює відповідно 1,5%; 2,8%; 2%; 4,5%. Після робочої зміни всі виготовлені робітниками вироби вміщують в один бункер. Навмання взятий виріб із бункера виявився стандартним. Яка ймовірність того, що його виготував перший робітник?
1.3.6. На складання агрегату надходять деталі, які виготовляються двома верстатами-автоматами. Перший верстат виготовляє в середньому 0,2% бракованих деталей, а другий – 0,1%. Знайти ймовірність надходження бракованої деталі на складання, якщо від першого верстата надійшло 2000 деталей, а від другого- 3000.
1.3.7. Вершкове масло фасується на двох технологічних лініях молокозаводу. Ймовірність виходу кондиційної продукції з першої лінії дорівнює 0,88, а з другої -0,95. Навмання взятий пакет масла виявився кондиційним. З якої лінії найімовірніше фасовано що цей пакет?
1.3.8. У групі спортсменів 20 лижників, 6 велосипедистів, 4 бігуни. Ймовірність виконати кваліфіковану норму така: для лижника - 0,9; для велосипедиста- 0,8; для бігуна- 0,75. Знайти ймовірність того, що навмання вибраний спортсмен виконає норму.
1.3.9. Вироби перевіряються одним із двох контролерів. Перший встигає перевірити 60% всіх виробів, другий – 40%. Ймовірність того, що перший контролер пропустить нестандартний виріб, дорівнює 0,01, другий – 0,02. Взятий навмання виріб із маркою „стандарт” виявився нестандартним. Яка ймовірність того, що його пропустив другий контролер?
1.3.10. Імовірність виходу літака на заданий маршрут на значних висотах дорівнює 0,8; на середніх- 0,9; на малих- 0,6. На значних висотах виконується 20% усіх польотів, на середніх- 10%, на малих- 70%. Знайти ймовірність того, що літак вийшов на заданий маршрут.
1.3.11. Уздовж траси з бензоколонкою проїжджає вдвічі більше вантажних автомашин, ніж легкових. Ймовірність того, що заправлятися буде вантажівка, дорівнює 0,1, а для легкової автомашини вона становить 0,2. На заправку під’їхала машина. Знайти ймовірність того, що вона легкова.
1.3.12. В групі з 20 стрілків є 4 відмінних, 10 хороших і 6 посередніх стрілків. Ймовірність влучення в ціль при одному пострілі для відмінного стрілка дорівнює 0,9, для хорошого – 0,7, для посереднього – 0,5. Відомо, що в ціль влучено однією кулею. Знайти ймовірність того, що навмання вибраний стрілок влучив у мішень.
1.3.13. Фабрика виготовляє однотипну продукцію на трьох конвеєрних лініях, які мають однакову продуктивність. На першій лінії виробляється продукція тільки 1-го сорту. На другій лінії продукція 1-го сорту становить 90%, а на третій – 85%. Випадково взятий виріб виявився першосортним. Знайти ймовірність того, що він виготовлений на третій лінії.
1.3.14. Робітниця обслуговує три верстати. Ймовірність виготовлення одиниці бракованої продукції на 1-му верстаті дорівнює 0,01, на 2-му – 0,03, на 3-му – 0,2. Продуктивність першого верстата втричі більша від продуктивності другого, а третього – удвічі менша від продуктивності другого. Уся вироблена продукція надходить в один контейнер. Знайти ймовірність того, що взята одиниця продукції виявилася бракованою.
1.3.15. Деталі виробляються на двох заводах. Об’єм продукції другого заводу в 9 раз перевищує об’єм продукції першого. Доля браку на першому заводі 1%, на другому – 2%. Навмання взята деталь виявилася бракованою. Яка ймовірність того, що вона зроблена на другому заводі?
1.3.16. З першого автомата на зборку потрапляє 40%, з другого – 35%, з третього – 25% деталей. Серед деталей першого автомата 0,2% бракованих, другого – 0,3%, з третього – 0,5%. Знайти ймовірність того, що деталь, яка потрапила на зборку, виявилася бракованою.
1.3.17. Задачу розв’язують 2 відмінника, 5 хорошистів і 3 середніх студенти. Ймовірність того, що задачу розв’яже відмінник дорівнює 0,9, хорошист – 0,7, середній студент – 0,5. Задача була розв’язана. Яка ймовірність того, що її розв’язав відмінник?
1.3.18. Прибори виготовляються трьома заводами. Перший завод поставляє 45% всіх виробів, другий – 30%, третій – 25%. Надійність прибору, виготовленого першим заводом, дорівнює 0,8; другим – 0,85 і третім – 0,9. Визначити середню надійність прибору, що потрапив на виробництво.
1.3.19. На вхід радіолокаційного пристрою із ймовірністю 0,9 надходить корисний сигнал із завадами, і з ймовірністю 0,1 – самі лише завади. Коли надходить корисний сигнал із завадами, то пристрій реєструє цей сигнал з ймовірністю 0,8; якщо надходять лише завади, то із ймовірністю 0,9. Відомо, що пристрій зареєстрував наявність якогось сигналу. Яка ймовірність того, що це корисний сигнал?
1.3.20. Вершкове масло фасується на двох технологічних лініях молокозаводу. Ймовірність виходу кондиційної продукції з першої лінії дорівнює 0,88; а з другої – 0,95. Визначити ймовірність того, що навмання взятий пакет масла виявився кондиційним.
1.3.21. Клапани, виготовлені цехом заводу, перевіряють три контролери. Ймовірність того, що клапан потрапить на перевірку до першого контролера дорівнює 0,3, до другого – 0,5, до третього – 0,2. Ймовірність того, що бракована деталь буде виявлена для першого, другого і третього контролерів відповідно дорівнює 0,95;0,9;0,85. Під час повторної перевірки відбракованої деталі вона виявилася бракованою. Яка ймовірність того, що цю деталь перевіряв третій контролер?
1.3.22. Деталі потрапляють на підприємство з трьох цехів: 50% - з першого, 30% - з другого і 20% - з третього. При цьому матеріал першого цеху має 8% браку, другого – 6% і третього – 4%. Знайти ймовірність того, що навмання взята деталь не має дефектів.
1.3.23. 21% яблук надійшов у продаж з держгоспу №1, з них 90% ящиків стандартних, 35% - з держгоспу №2, з них 80% - стандартних, 29% - з колгоспу №1, з них 70% - стандартних, 15% – з колгоспу №2, з них 80% - стандартних. При відкриванні навмання вибраного ящика яблука визнано стандартними. Визначити ймовірність того, що ці яблука надійшли з держгоспу №1.
1.3.24. Виробник комп’ютерів отримує комплектуючі деталі від трьох постачальників, частки яких становлять 20%, 45%, 35%. Деталі першого постачальника мають 2% браку, другого – 1,5%, а третього – 1,7%. Яка ймовірність того, що навмання вибрана деталь буде з браком?
1.3.25. Податкові декларації робітникам підприємства надходять із двох відділів: 55% із першого, 45% із другого. При цьому декларації з першого відділу містять 3% браку, а з другого відділу – 5% браку. Навмання вибрана декларація виявилася придатною. Знайти ймовірність того, що вона надійшла з другого відділу.
1.3.26. На складі зберігаються комп’ютери, 70% яких зібрано на заводі №1, а решта – на заводі №2. Імовірність того, що комп’ютер витримає гарантійний строк, дорівнює 0,9 для заводу №2 і 0,8 для заводу №1. Знайти ймовірність того, що навмання вибраний комп’ютер витримає гарантійний строк.
1.3.27. Робітник обслуговує три автоматичні верстати. Імовірність виготовлення бракованої деталі на першому верстаті дорівнює 0,02, на другому – 0,05, на третьому – 0,1. Продуктивність першого верстата втричі більша від продуктивності другого, а третього – удвічі менша від продуктивності другого. Уся вироблена продукція надходить в один контейнер. Узята деталь виявилася бракованою. На якому з верстатів вона найімовірніше за все виготовлена?
1.3.28. До каси підприємства надійшли банкноти у пачках від двох банків: 50 пачок від першого і 70 – від другого. Ймовірність помилки касирів першого банку становить 0,15%, а другого – 0,2%. Яка ймовірність того, що навмання вибрану пачку сформовано без помилок?
1.3.29. Справи клієнтів банку зберігаються у 8 сейфах: у трьох – по 150 справ, у п’яти – по 250. Ймовірність вчасного повернення кредиту клієнтами, справи яких лежать у перших трьох сейфах, становить 0,96, в останніх п’яти – 0,95. Де найімовірніше лежала справа клієнта, який своєчасно повернув кредит в одному з перших трьох чи в одному з останніх п’яти сейфах?
1.3.30. Магазин отримує продукцію від двох виробників: перший постачає 2/5 усіх виробів, другий – 3/5. Імовірність продажу виробів першого постачальника становить 0,95, другого – 0,8. Яка ймовірність того, що навмання вибраний виріб не буде реалізовано?
Завдання 1.4. Формула Бернуллі. Формули Муавра-Лапласа. Формула Пуассона.
1.4.1. Серед великого числа виробів, що знаходяться в комплекті, 30% – нестандартних. Знайти ймовірності того, що серед п’яти виробів, навмання узятих із комплекту, буде: а) тільки один нестандартний; б) принаймні один нестандартний.
1.4.2. Імовірність того, що кожен клієнт, який звернувся в авіакасу, замовить квиток до аеропорту N, дорівнює 0,1. Знайдіть імовірності того, що із 100 клієнтів, що звернулися в касу, замовлять квиток до аеропорту N: а) менше 15 чоловік; б) від 5 до 12 чоловік; в) більше 20 чоловік.
1.4.3. Радіоапаратура складається з 1000 елементів. Імовірність відмови протягом доби для кожного елемента становить 0,002 і не залежить від стану інших елементів. Знайти ймовірність відмови протягом доби: а) тільки двох елементів; б) не менше двох елементів.
1.4.4. Авіакомпанія виконує протягом місяця 400 рейсів. Імовірність повного комерційного завантаження кожного рейса дорівнює 0,8. Знайти ймовірності того, що протягом місяця з повним комерційним завантаженням буде виконано: а) не менше 300 рейсів; б) більша частина рейсів.
1.4.5. Якість одного виробу перевіряють незалежно один від одного 4 контролери. Імовірність приймання виробу кожним контролером дорівнює 0,9. Знайдіть імовірності того, що виріб буде прийнято: а) усіма контролерами; б) хоча б одним контролером; в) принаймні двома контролерами.
1.4.6. За статистичними даними у середньому 1% пасажирів відмовляється від рейса. Знайти ймовірності того, що з 300 пасажирів, що мають квитки на рейс, відмовляться від польоту: а) не більше 5 пасажирів; б) не менше 3 пасажирів.
1.4.7. Відділ технічного контролю приймає в середньому 90% продукції заводу. Скільки виробів потрібно виготовити, щоб з імовірністю 0,95 можна було очікувати, що не менше 200 виробів буде прийняте?
1.4.8. За статистичними даними у середньому 5% рейсів, що виконуються авіакомпанією, затримуються з технічних причини. Знайдіть імовірність того, що з 400 запланованих рейсів буде затримано з технічних причин: а) не більше 3% рейсів; б) не менше 10% рейсів.
1.4.9. Велика партія електроламп містить 1% браку. а) Знайти ймовірність того, що серед випадково взятих 8 ламп рівно 2 лампи виявляться бракованими. б) Скільки ламп потрібно відібрати з партії, щоб імовірність наявності серед них хоча б однієї бракованої була не менше 0,95.
1.4.10. Імовірність прольоту певного пункту обов'язкового повідомлення в зазначений час для кожного з чотирьох літаків дорівнює 0,8. Знайти ймовірність того, що пункт обов'язкового повідомлення в зазначений час пролетить: а) принаймні один літак; б) два літаки; в) не менше трьох літаків.
1.4.11. Телефонна станція обслуговує 2000 абонентів. Імовірність того, що будь-який абонент подзвонить на станцію протягом певної години, дорівнює 0,001. Знайти ймовірності того, що протягом години на телефонну станцію подзвонять: а) 5 абонентів; б) не більше трьох абонентів.
1.4.12. В осінньо-зимовий період регулярність польотів становить 90%. Яку кількість рейсів потрібно запланувати на цей період, щоб з імовірністю 0,96 було виконано не менше 1500 рейсів?
1.4.13. Фабрика випускає 75% продукції першим сортом. Знайти ймовірність того, що з 300 виробів, виготовлених фабрикою, число першосортних виробів буде: а) не менше 250; б) від 220 до 235; в) не більше 200.
1.4.14. Авіакомпанія має 12 літаків. Імовірність готовності кожного літака до польоту дорівнює 0,8. Знайти ймовірність того, що будуть готовими до польоту: а) не менше 8 літаків; б) від 5 до 10 літаків; в) не більше 10 літаків.
1.4.15. Імовірність закриття аеропорту на одну добу через метеоумови в осінньо-зимовий період дорівнює 0,25. Знайдіть імовірність того, що в цей період аеропорт буде закритий: а) 30 діб; б) не більше 20 діб; в) не менше 50 діб.
1.4.16. За статистичними даними 30% усіх затримок рейсів авіакомпанії відбувається з вини служби перевезень. Протягом тижня з різних причин із затримкою було виконано 12 рейсів. Знайдіть найбільш імовірне число рейсів, затриманих із вини служби перевезень, і обчисліть відповідну ймовірність.
1.4.17. Авіаприлад складається з чотирьох незалежно працюючих модулів. Імовірність безвідмовної роботи кожного модуля протягом певного часу дорівнює 0,87. Знайдіть імовірність того, що протягом цього часу будуть безвідмовно працювати: а) усі модулі; б) хоча б один модуль; в) не менше трьох модулів.
1.4.18. При перевезені скляних виробів у середньому 0,05% від їх числа пошкоджується. Знайдіть імовірності того, що при перевезені 1000 виробів будуть пошкоджені: а) рівно 3 вироби; б) не більше трьох виробів; в) хоча б один виріб.
1.4.19. З комплекту, що складається з 9 доброякісних і одного бракованого виробу, випадково по одному виймаються вироби, кожен із який після визначення якості повертається в комплект. а) Знайти ймовірність того, що з 10 спроб хоча б один раз буде виявлений бракований виріб. б) Скільки потрібно зробити спроб, щоб з імовірністю не меншою 0,9 бракований виріб був виявлений хоча б один раз?
1.4.20. За даними аеропорту в листопаді через метеоумови відкладається 10% рейсів. Знайдіть імовірності того, що з 400 рейсів, запланованих на листопад, будуть відкладені: а) 50 рейсів; б) від 30 до 50 рейсів; в) не більше 30 рейсів.
1.4.21. За статистичними даними 90% рейсів в аеропорт А виконується без запізнення. а) Знайти ймовірність того, що з 169 рейсів без запізнення буде виконано не менше 150 рейсів. б) Скільки потрібно виконати рейсів, щоб з імовірністю 0,9 можна було очікувати виконання без запізнення не менше 150 рейсів?
1.4.22. Серед продукції фабрики у середньому 20% виробів – нестандартні. а) Знайти ймовірність того, що число нестандартних виробів у партії із 100 штук буде більше 2. б) Якою за кількістю має бути партія, аби з імовірністю 0,9 вона містила принаймні один нестандартний виріб?
1.4.23. Радіостанція аеропорту посилає 6 повідомлень екіпажу літака. Імовірність прийому кожного з повідомлень дорівнює 0,6. а) Знайти найбільш імовірне число повідомлень, прийнятих екіпажем, і відповідну ймовірність. б) Знайдіть імовірність того, що екіпаж прийме принаймні чотири повідомлення.
1.4.24. Імовірність того, що рейс буде виконаний із запізненням дорівнює 0,04. Знайти ймовірності того, що з 50 рейсів будуть виконані із запізненням: а) рівно 4 рейси; б) не більше 4 рейсів; в) принаймні один рейс.
1.4.25. У зону аеродрому протягом години прибувають 6 літаків. Імовірність стандартного заходу на посадку (тобто без втручання диспетчера) дорівнює для кожного літака 0,85. Знайти найбільш імовірне число літаків, для посадки яких не потрібне втручання диспетчера, і обчислити відповідну ймовірність.
1.4.26. Завод відправив на базу 500 виробів. Імовірність пошкодження кожного виробу при перевезенні дорівнює 0,001. Знайдіть імовірності пошкодження при перевезенні: а) рівно трьох виробів; б) менше трьох виробів; в) принаймні одного виробу.
1.4.27. На контроль надійшла велика партія виробів. Відомо, що 5% усіх виробів не задовольняє стандарту. а) Знайти найбільш імовірне число нестандартних виробів серед 6 перевірених і відповідну йому ймовірність. б) Скільки потрібно узяти виробів, щоб імовірність наявності серед них принаймні одного нестандартного випроба була меншою 0,95?
1.4.28. Імовірність того, що кожна з узятих 5 електроламп буде працювати більше 10000 годин, дорівнює 0,1. а) Знайти найбільш імовірне число ламп серед узятих, час працездатності яких перевищує 10000 годин. б) Яку кількість ламп потрібно взяти, щоб з імовірністю більшою за 0,95 хоча б одна з них залишилася працездатною після 10000 годин роботи?
1.4.29. Імовірність того, що відвідувач універмагу зробить покупку, у середньому дорівнює 0,7. Знайти ймовірність того, що із 100 відвідувачів зроблять покупку: а) 60 чоловік; б) не більше 70 чоловік; в) не менше 60 чоловік.
1.4.30. За даними метеослужби аеропорту число нельотних днів у ІV кварталі становить 10%. Знайти ймовірність того, що в майбутньому році у ІV кварталі будуть нельотними: а) 10 днів; б) від 5 до 15 днів; в) не більше 10 днів.
Завдання 1.5. Ряд розподілу і числові характеристики дискретної випадкової величини
Знайти ряд розподілу і функцію розподілу дискретної випадкової величини Х, яка має тільки два можливі значення: , причому . Математичне сподівання М(Х), дисперсія D(X) і ймовірність можливого значення задані нижче для кожного варіанта.
1.5.1. ; М(Х)=3,1; D(Х)=0,09.
1.5.2. 8; М(Х)=3,2; D(Х)=0,16.
1.5.3. 7; М(Х)=3,3; D(Х)=0,21.
1.5.4. 6; М(Х)=3,4; D(Х)=0,24.
1.5.5. 5; М(Х)=3,5; D(Х)=0,25.
1.5.6. 4; М(Х)=3,6; D(Х)=0,24.
1.5.7. 3; М(Х)=3,7; D(Х)=0,21.
1.5.8. 2; М(Х)=3,8; D(Х)=0,16.
1.5.9. 1; М(Х)=3,9; D(Х)=0,09.
1.5.10. 5; М(Х)=2,2; D(X)=0,36.
1.5.11. 1; М(Х)=1,9; D(Х)=0,09.
1.5.12. 2; М(Х)=2,6; D(Х)=0,64.
1.5.13. 3; М(Х)=3,1; D(Х)=1,89.
1.5.14. 4; М(Х)=2,6; D(Х)=0,24.
1.5.15. 5; М(Х)=3; D(Х)=1.
1.5.16. 6; М(Х)=3,2; D(Х)=2,16
1.5.17. 7; М(Х)=3,3; D(Х)=0,21.
1.5.18. 8; М(Х)=3,4; D(Х)=0,64.
1.5.19. 9; М(Х)=4,1; D(Х)=0,09.
1.5.20. 1; М(Х)=5,8; D(Х)=0,36.
1.5.21. 1; М(Х)=1,18; D(Х)=0,0036.
1.5.22. 2; М(Х)=1,46; D(Х)=0,0064.
1.5.23. 3; М(Х)=1,74; D(Х)=0,0084.
1.5.24. 4; М(Х)=1,92; D(Х)=0,0096.
1.5.25. 5; М(Х)=2,1; D(Х)=0,01.
1.5.26. 6; М(Х)=2,28; D(Х)=0,0216.
1.5.27. 7; М(Х)=2,46; D(Х)=0,0084.
1.5.28. 8; М(Х)=2,64; D(Х)=0,0064.
1.5.29. 9; М(Х)=2,82; D(Х)=0,0036.
1.5.30. 1; М(Х)=3,18; D(Х)=0,0036.
Завдання 1.6. Система двох дискретних випадкових величин
Закон розподілу системи двох дискретних випадкових величин (Х; Y) задано табл.1, у якій k – номер варіанта контрольної роботи.
Таблиця 1
|
Y X |
k |
k+2 |
k+4 |
k+6 |
|
k |
0,002(35 – k) |
0,002(k+40) |
0,002(70 – k) |
0,002(k+20) |
|
k+5 |
0,002(k+30) |
0,002(55 – k) |
0,002(k+25) |
0,002(40 – k) |
|
k+10 |
0,002(50 – k) |
0,002(k+5) |
0,002(80 – k) |
0,002(k+50) |
Виконати наступні завдання:
а) скласти закон розподілу системи (табл. 1), що відповідає номеру вашого варіанта;
б) знайти числові характеристики складових Х і Y системи:
в) обчислити кореляційний момент і коефіцієнт кореляції ;
г) побудувати умовні закони розподілу
д) обчислити умовні математичні сподівання
Завдання 1.7. Неперервна випадкова величина, задана функцією розподілу, та її числові характеристики
Задана функція розподілу неперервної випадкової величини . Знайти коефіцієнт А; записати щільність розподілу ; обчислити числові характеристики , а також ймовірність події . Зробити креслення функції розподілу та щільності розподілу).
|
№ |
|||
|
1.7.1. |
0,25 |
0,75 |
|
|
1.7.2. |
1 |
2 |
|
|
1.7.3. |
0,5 |
1,5 |
|
|
1.7.4. |
0,3 |
0,8 |
|
|
1.7.5. |
0,2 |
3,5 |
|
|
1.7.6. |
0,1 |
0,4. |
|
|
1.7.7. |
3 |
5 |
|
|
1.7.8. |
–0,5 |
1,5 |
|
|
1.7.9. |
1 |
||
|
1.7.10. |
0,2 |
1,7 |
|
|
1.7.11. |
0,3 |
1,2 |
|
|
1.7.12. |
2,5 |
3,5 |
|
|
1.7.13. |
0,5 |
1,5 |
|
|
1.7.14. |
0 |
0,5 |
|
|
1.7.15. |
–1 |
1 |
|
|
1.7.16. |
|||
|
1.7.17. |
0 |
||
|
1.7.18. |
–1 |
1 |
|
|
1.7.19. |
|||
|
1.7.20. |
0,1 |
0,3 |
|
|
1.7.21. |
2 |
10 |
|
|
1.7.22. |
–0,5 |
0,5 |
|
|
1.7.23. |
0 |
1,5 |
|
|
1.7.24. |
– |
0 |
|
|
1.7.25. |
–2 |
0,5 |
|
|
1.7.26. |
1,5 |
3 |
|
|
1.7.27. |
0 |
||
|
1.7.28. |
2 |
10 |
|
|
1.7.29. |
0,3 |
0,8 |
|
|
1.7.30. |
– |
Завдання 1.8. Основні закони розподілу неперервних випадкових величин
1.8.1. Ціна ділення шкали радіодалекоміра дорівнює 10 м. Яка ймовірність того, що абсолютна помилка виміру відстані не перевищує 2 м?
1.8.2. Ціна ділення шкали радіодалекоміра дорівнює 20 м. Яка ймовірність того, що помилка виміру відстані не перевищує 5 м?
1.8.3. Шкала секундоміра має ціну ділення 0,2 с. Яка ймовірність зробити цим секундоміром відлік часу з помилкою більше 0,05 с?
1.8.4. Шкала секундоміра має ціну ділення 0,1 с. Яка ймовірність зробити цим секундоміром відлік часу з помилкою менше 0,02 с?
1.8.5. Випадкова величина задає тривалість прямокутного імпульсу напруги і має рівномірний закон розподілу на інтервалі (10, 18) мкс. Записати закон розподілу , знайти її числові характеристики. Яка ймовірність того, що різниця між і не перевищує 1,5?
1.8.6. Випадкова величина задає тривалість прямокутного імпульсу напруги і має рівномірний закон розподілу на інтервалі (6, 12) мкс. Записати закон розподілу , знайти її числові характеристики. Яка ймовірність події {4<<10}?
1.8.7. Випадкова величина напруги має рівномірний закон розподілу на інтервалі (0, 10). Записати закон розподілу , знайти її числові характеристики. Яка ймовірність події {<<8}?
1.8.8. Дальність до об’єкту округлюється до 10 м. Помилка округлення розподілена за рівномірним законом. Знайти помилки округлення та ймовірність події .
1.8.9. Дальність до об’єкту округлюється до 5 м. Помилка округлення розподілена за рівномірним законом. Знайти помилки округлення та ймовірність події .
1.8.10. Випадкова величина задає час безвідмовної роботи системи. Вона має розподіл Знайти А і надійність (імовірність безвідмовної роботи системи) протягом часу . Яка ймовірність того, що час безвідмовної роботи системи буде меншим від математичного сподівання?
1.8.11. Випадкова величина задає час безвідмовної роботи системи (в годинах). Вона має розподіл Знайти значення і надійність (імовірність безвідмовної роботи системи) протягом 10 год.
1.8.12. Функція розподілу часу в годинах безвідмовної роботи радіоапаратури літака має вигляд: , Знайти щільність розподілу часу безвідмовної роботи, а також надійність роботи радіоапаратури протягом трьох льотних змін по 6 год. кожна?
1.8.13. Функція розподілу часу в годинах безвідмовної роботи радіоапаратури літака має вигляд: , Знайти щільність розподілу часу безвідмовної роботи, а також надійність роботи радіоапаратури протягом п’яти льотних змін по 6 год. кожна?
1.8.14. Час відновлення каналу зв’язку має експоненціальний розподіл. Середній час відновлення дорівнює 10 хв. Яка ймовірність того, що час відновлення буде знаходитись в межах від 5 до 25 хв?
1.8.15. Час безвідмовної роботи приладу літака має експоненціальний розподіл. Яким повинен бути середній час безвідмовної роботи приладу, щоб його надійність за 4 год. польоту літака була не нижче 0,99?
1.8.16. Щільність розподілу часу роботи елементу деякого приладу дорівнює: . Знайти ймовірності подій А={елемент відказав за час його роботи у схемі приладу протягом 648 год.}; В={елемент відказав в інтервалі часу роботи приладу від 324 до 800 год.}; С={елемент безвідмовно працював протягом трьох діб}.
1.8.17. Час прийому та обробки одного повідомлення є випадкова величина , яка розподілена за показниковим законом. В середньому за хвилину приймається 6 повідомлень. Яка ймовірність того, що повідомлення буде прийнято та оброблено протягом 4 хв.?
1.8.18. Неперервна випадкова величина розподілена за законом Гаусса та має числові характеристики =2, =1. Записати щільність розподілу та функцію розподілу . Яка ймовірність події {0<<3}?
1.8.19. Неперервна випадкова величина розподілена за законом Гаусса та має числові характеристики =0, =2. Записати щільність розподілу та функцію розподілу . Яка ймовірність події {2<<5}?
1.8.20. Амплітуда струму в коливальному контурі розподілена за законом Гаусса з числовими характеристиками =30 mА, =55 mА2. Знайти ймовірності того, що амплітуди струму в контурі будуть: 1) в межах від 20 до 40 mА; 2) не менше 25 mА.
1.8.21. Численними вимірами встановлено, що напруга в електричній мережі в 220 В не відхиляється від свого номіналу більше ніж на 27 В. Записати щільність розподілу нормального закону, який має напруга. Яка ймовірність нормальної роботи телевізора, якщо стандартний діапазон напруги становить від 205 до 235 В?
1.8.22. Помилка , яку дає вимірювальний прилад, розподілена за законом Гаусса з параметрами . Яка ймовірність того, що абсолютна величина помилки не перевищує 5 одиниць?
1.8.23. Помилка , яку дає вимірювальний прилад, має дисперсію 16 м. Систематичної помилки прилад не дає. Яка ймовірність того, що в 5 незалежних вимірах помилка лише один раз перевищує 6 м?
1.8.24. Помилка , яку дає вимірювальний прилад, має дисперсію 25 м2. Систематична помилка приладу дорівнює 5 м. Яка ймовірність того, що в 3 незалежних вимірах помилка лише один раз буде більше 10 м?
1.8.25. Висотомір дає систематичну помилку 20 м, дисперсія помилки дорівнює 36 м2. Для польоту літака відведено коридор 100 м. Вважаючи, що помилка висотоміру розподілена за законом Гаусса, знайти ймовірність того, що літак не вийде з коридору.
1.8.26. Висотомір дає систематичну помилку 10 м, дисперсія помилки дорівнює 25 м. Для польоту літака відведено коридор 100 м. Вважаючи, що помилка висотоміру розподілена за законом Гаусса, знайти ймовірність того, що літак буде летіти вище коридору.
1.8.27. Випадкові помилки, які дає висотомір розподілені за нормальним законом. Систематичні помилки прилад не дає. Яку дисперсію має помилка приладу, якщо з імовірністю 0,9 помилки виміру висоти за абсолютною величиною менше 100 м?
1.8.28. Випадкові помилки, які дає висотомір розподілені за нормальним законом. Прилад дає систематичну помилку 10 м. Яку дисперсію має помилка приладу, якщо з імовірністю 0,8 помилки виміру висоти за абсолютною величиною менше 100 м?
1.8.29. Бракування кульок для підшипників виконується так: якщо кулька не минає через отвір діаметром , але минає через отвір діаметром , то її розмір вважається допустимим. Якщо будь-яка умова не виконується, то кулька бракується. Відомо, що діаметр кульки є нормально розподіленою випадковою величиною з характеристиками , . Знайти ймовірність того, що кулька буде забракована.
1.8.30. В умовах задачі 1.8.29 знайти , якщо відомо, що брак складає 10% усієї продукції.
Завдання 1.9. Система неперервних випадкових величин
Задана щільність розподілу системи двох неперервних випадкових величин . Для варіантів 1.9.1. – 1.9.15. треба: а) знайти коефіцієнт А; б) записати функцію розподілу системи ; в) знайти числові характеристики системи; г) зробити висновок про залежність чи незалежність , Для варіантів 1.9.16. – 1.9.30. треба: а) знайти коефіцієнт А; б) записати закони розподілу окремих компонент; в) знайти умовні щільності розподілу і зробити висновок про залежність чи незалежність , ; г) знайти ймовірність попадання випадкової точки в область D.
1.9.1., 1.9.16.
1.9.2., 1.9.17.
1.9.3., 1.9.18.
1.9.4., 1.9.19.
1.9.5., 1.9.20.
.
1.9.6., 1.9.21.
.
1.9.7., 1.9.22.
1.9.8., 1.9.23.
.
1.9.9., 1.9.24.
1.9.10., 1.9.25.
1.9.11., 1.9.26.
1.9.12., 1.9.27.
.
1.9.13., 1.9.28.
1.9.14., 1.9.29.
1.9.15., 1.9.30.
.
Основна рекомендована література
1. Ластівка І.О., Мартиненко В.П., Паламарчук Ю.А., Шевченко І.В. Вища математика. Модуль 8. Теорія ймовірностей. Випадкові події: Навч. посібник. – К.: Книжкове вид-во НАУ, 2006. – 108 с.
2. Ластівка І.О., Мартиненко В.П., Паламарчук Ю.А., Шевченко І.В. Вища математика. Модуль 9. Теорія ймовірностей. Випадкові величини: Навч. посібник. – К.: Книжкове вид-во НАУ, 2007. – 164 с.
3. Ластівка І.О., Паламарчук Ю.А., Теорія ймовірностей та математична статистика: Практикум для студентів економічних спеціальностей.– К.:Книжкове вид-во НАУ, 2009. – 236 с.
Додаткова рекомендована література
4. Жлуктенко В.І., Наконечний С.І. Теорія ймовірностей і математична статистика. – Ч. 1 Теорія ймовірностей. – К.: КНЕУ, 2000. – 304 с.
5. Гмурман В.Е. Введение в теорию вероятностей и математическую статистику. – М.: Высш. шк. 1966.
6. Гмурман В.Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике. – М.: Высш. шк., 1979.
1
1
0
x
1
1
0
x